một số phương pháp sự phân nhánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trần Hòa Hiệp MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ PHÂN NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2012... BỘ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Trần Hòa Hiệp

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

SỰ PHÂN NHÁNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Trần Hòa Hiệp

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

SỰ PHÂN NHÁNH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Nguyễn Bích Huy

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2012

M ỤC LỤC

MỤC LỤC 3

Lời cảm ơn 4

Phần mở đầu 5

Phần nội dung chính 6

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 7

1.1 Định lý Hàm ẩn 7

1.2 Ứng dụng của định lý hàm ẩn 18

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BỔ ĐỀ MORSE 22

2.1 Phép dựng Lyapunow-Schmidt 22

2.2 Phương pháp sử dụng Bổ đề Morse 26

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ 34

3.1 Sự phân nhánh địa phương 34

3.2 Sự phân nhánh toàn cục 54

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 60

4.1 Phương pháp biến phân 60

4.2 Ví dụ: 63

Phần kết luận 66

Tài liệu tham khảo 67

L ời cảm ơn

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình

để hướng dẫn, đóng góp ý kiến cho luận văn của tôi, và xin cảm tạ đến thầy PGS TS

Lê Hoàn Hóa đã giúp đỡ, bổ túc kiến thức để luận văn của tôi được hoàn tất

Xin chân thành cảm tạ quý Thầy, Cô khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tâm giảng dạy, truyền đạt kiến thức và hỗ trợ tài liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập

Tiếp đến xin chân thành cảm tạ quý Thầy Cô, Cán bộ phòng Quản lý Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp

đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chánh cho tôi trong suốt quá trình học tập

Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được tham dự lớp Cao học tại Trường Đại học

Sư Phạm, Thành phố Hồ Chí Minh Xin gửi lời tri ân tất cả bạn bè đồng nghiệp, các bạn cùng lớp Cao học Giải tích khóa 21, cùng gia đình đã động viên quan tâm đến tôi trong quãng thời gian học tập và làm luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012

Học viên Trần Hòa Hiệp

Ph ần mở đầu

Nhiều vấn đề Khoa học tự nhiên, Khoa học xã hội, Kinh tế học dẫn đến việc nghiên cứu sự phân nhánh nghiệm của các phương trình chứa tham số Về mặt toán

học, các vấn đề này được mô tả bằng phương trình dạng F(x, λ) = 0 với λ là tham số,

nó đóng vai trò như các yếu tố tác động vào hệ thống được xét Với mỗi λ ta ký hiệu

S(λ) = {x : F(x, λ) = 0} và ta cần nghiên cứu tính chất của S(λ) khi mà λ thay đổi; đặc biệt ta muốn xét sự tồn tại điểm λ 0 sao cho khi λ đi qua λ 0 thì cấu trúc của tập S(λ) có

thay đổi về cơ bản hay trong hệ thôgns được xét có sự biến động đột ngột Giá trị λ 0

như vậy được gọi là điểm phân nhánh nghiệm của phương trình

Vì ý nghĩa quan trọng trong ứng dụng thực tế, bài toán xác định điểm phân

nhánh và nghiên cứu tập S(λ) khi λ gần λ 0 hoặc λ xa λ 0 được quan tâm nghiên cứu từ

giữa thế kỷ XIX cho đến ngày nay trong các công trình của Liapunov,S chmit,

Nekrasov, Krasnoselskii, Rabinowitz, Dancer, Tùy theo các tính chất của các ánh xạ tham gia vào phương trình mà có nhiều phương pháp khác nhau để nghiên cứu sự phân nhánh

Ph ần nội dung chính

Nội dung chính của bản luận văn nói về việc nghiên cứu nghiệm (x, y) của phương trình f(x, y) = 0 trong lân cận của (x 0 , y 0 ) Bao gồm 4 chương:

Chương 1 Định lý hàm ẩn trình bày sự tồn tại nghiệm x(t) của f(x,y) = 0 Các

công cụ đắc lực để chứng minh định lý này bao gồm các kiến thức về phép đồng đẳng cấu tuyến tính và sự khả vi theo Fréchet

Chương 2 Trình bày phương pháp sử dụng bổ đề Morse Ta nghiên cứu bài toán trong lân cận Ω của (0, λ 0 ) ∈ X × A với A là không gian các tham biến, bằng cách sử dụng phép dựng của Lyapunow-Schmidt A hữu hạn chiều thì việc nghiên cứu

địa phương phương trình f(x, λ) = 0 sẽ quy về việc nghiên cứu một số hữu hạn các phương trình với một số hữu hạn ẩn nhờ vào bổ đề Morse

Chương 3 Phương pháp sử dụng bậc tôpô, được chia ra làm hai phần Thứ nhất, sự phân nhánh địa phương nói về điều kiện cần để (0, λ 0 ) là điểm phân nhánh

của f, giá trị riêng đơn của toán tử tuyến tính liên tục K, sự phân nhánh ở vô cực, và

gi ải pháp của Đại số Banach Thứ nhì, sự phân nhánh toàn cục, nói về sự toàn cục của hàm ẩn, nghiệm mở rộng toàn cục, và mở rộng toàn cục trên nón

Chương 4 Trình bày về phương pháp biến phân, dùng để nghiên điểm phân

nhánh của phương trình f(x, λ) = 0 chính là điểm phân nhánh của ϕ’(x) – λx = 0 với

ϕ ∈ C 2 (Ω, )

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN

1.1 Định lý Hàm ẩn

Nội dung chương này được trình bày dựa theo [1] của PGS.TS Lê Hoàn Hóa, trang 283- 285; [7] của L Nirenberg (bản Việt dịch), trang 74-77; và [3] của Jean Dieudonné, trang 127-131

Các không gian được đề cập đều là các không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Ánh xạ f: X → Y là đẳng cấu nếu:

(I) f là ánh xạ tuyến tính, liên tục

(II) Ánh xạ f hả đảo (tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục g: Y → X sao cho g o f = I X và f o g = I Y )

Tay ký hiệu:

Isom(X, Y) = {f ∈ (X,Y) sao cho:

NÓI CÁCH KHÁC Ánh xạ f : X → Y là đẳng cấu, thì điều kiện cần và đủ là f

là một phép đồng phôi, tuyến tính

Định nghĩa 1.2 (Khả vi theo Fréchet)

Cho Ω là tập mở trong X, ánh xạ f : Ω → Y được gọi là khả vi (theo Fréchet)

tại điểm x 0 ∈ Ω, nếu ∃A ∈ L(X, Y) sao cho:

f x + −u f x −Au =o u (1.1) (1.1) có nghĩa là ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀u ∈ X : u X < δ thì:

Định nghĩa 1.3 Nếu f khả vi tại mọi x ∈ Ω ta nói f khả vi trên Ω (hay f khả vi) Khi đó

ánh xạ f’: Ω → L(X,Y) cho bởi f’(x) ∈ L(Xy,Y) ∀x ∈Ω, được gọi là đạo hàm (hay đạo

ánh) của f

Bây giờ, nếu f’ liên tục trên Ω thì ta gọi f khả vi liên tục hay thuộc lớp C 1

(Ω)

Mệnh đề 1.1 (Tích phân về giá trị trung bình)

Giả sử f ∈ C 1 trên tập lồi mở Ω, lấy mọi x ∈ Ωthì đối với hai điểm tùy ý x 1 , x 2 ∈Ω ta

có x = tx 1 + (1 – t)x 2 , (0 ≤ t ≤ 1) Khi đó

f x dt dt

=∫

1 0 ( ) ( )

Cho X, Y, Z là các không gian Banach, Ωlà tập mở trong không gian X ×Y, f :

Ω → Z liên tục và f có đạo hàm riêng Fréchet f x : Ω → L(X,Z) liên tục Giả sử tại điểm (x 0 , y 0 ) ∈Ω ta có f(x 0 , y 0 ) = 0

T a muốn nghiên cứu nghiêm (x, y) của phương trình:

f(x, y) = 0,

trong lân cận của (x 0 , y 0 ) Muốn vậy, giả sử A = f x (x 0 , y 0 ) 1 ∈Isom(X, Z) tức là A đẳng cấu không gian X lên không gian Z Khi đó:

(a) Tồn tại quả cầu mở B r (y 0 ) = { y : y−y0 < r } trong Y và duy nhất ánh xạ

u : B r (y 0 ) → X sao cho u(y 0 ) = x 0 và f(u(y), y) = 0

(a) Giả sử rằng x 0 = y 0 = 0 Ta viết phương trình f(x, y) = 0 với (x, y) ∈ Ω trong lân

cận của điểm (0, 0) dưới dạng tương đương như sau:

Ax = Ax – f(x,y,): đặt = R(x, y)

⇔ A -1 Ax = A -1 [Ax – f(x, y)] = A -1 R(x, y)

⇔ x = A -1 Ax – A -1 f(x,y) = A -1 R(x, y): đặt = g(x,y)

Bước 1 Ta sẽ chứng minh với các số r, δ > 0 thích hợp thì đối với mọi điểm cố định

Với mọi x 1 , x 2 ∈ Bδ (0) và 0 ≤ ≤t 1 thì x = tx 1 + (1 – t)x 2 (do không gian Banach X là

không gian lồi địa phương), ta có:

R(x 1 , y) – R(x 2 , y) = [Ax 1 – f(x 1 ,y)] – [Ax 2 – f(x 2 ,y)]

=

1

1 2 0

≤ − (do (1.4))

1 2 1

Lấy mọi x ∈ Bδ(0) ta sẽ chứng minh rằng g(x,y) ∈ Bδ(0)

* Do g(x,y) liên tục tại (0, 0) (vì g là ánh xạ co) nên

1 (0, )

Vậy g x y( , (0))∈Bδ hay g(x,y) đúng là ánh xạ đi từ Bδ(0) →Bδ(0)

Bước 3 Ta chứng minh có duy nhất ánh xạ u: B r (y 0 ) →X sao cho:

0 0

( ) ( ( ), ) 0

có nghiệm duy nhất với mỗi y mà ta cố định nó trên quả cầu B r (0) Điều này chứng tỏ

rằng x phụ thuộc theo biến y mà ta ký hiệu chúng là:

⇔ = (do A-1đồng phôi tuyến tính)

Bước 4 Cần chứng minh u: B r(0) → X liên tục Thật vậy, ∀y y1 , 2 ∈Br (0) ta có:

từ đây ta suy ra:

Theo giả thiết f ∈ C1, từ đây suy ra vế phải của đẳng thức (1.18) là liên tục theo y; tức

là u(y) ∈ C 1 ; tức là u(y) ∈ C 2 Vậy theo qui nạp cho ta nếu P

f ∈C thì u y( ) ∈C P Chú ý 1.1 Trong định lý hàm ẩn vừa chứng minh ở trên ánh xạ y→u y( ) từ Bδ(0)

vào X được gọi là ánh xạ ẩn được suy từ phương trình f(x, y) = 0

Từ định lý hàm ẩn, ta có một vài hệ quả quan trọng mà ta sẽ dùng chúng cho việc chứng minh các kết quả về lý thuyết phân nhánh sau này

(a) Tồn tại quả cầu Bε(y 0 ) = {y ∈ Y : y−y0 < ε} sao cho y0 = f(x 0 )

(b) Tồn tại duy nhất f —1 khả vi liên tục thuộc lớp C P

Chứng minh

(a)

* Đặt Y:=Z và đặt h: Ω x Y → Z, được cho bởi:

h(x, y):= f(x) – y, ∀(x, y) ∈ Ω × Y

Giả sử rằng x 0 = 0, và ta có thể xem Ω ×Y là lân cận mở của điểm (0, 0)

Do h thỏa mãn các giả thiết của định lý hàm ẩn, cho nên tồn tại quả cầu mở Bε(0) ⊂ Y

và duy nhất ánh xạ liên tục u: Bε(0) →X sao cho:

* Chứng minh Ω = u(W), thật vậy:

Với x∈Ω, ta xem x = 0, chọn y = 0 ∈ W, ta có 0 = u(0) (do (1.19)) điều này chứng tỏ

* Chứng minh u: W → u(W) là song ánh liên tục, thật vậy:

Ta có u: W → u(W) là toàn ánh (hiển nhiên)

f x y

⇒ = (do (1.20)) ( ) W

Như vậy ∃ ∈y W sao cho x = u(y) , điều này chứng tỏ x ∈ u(W)

Giả thiết cho f ∈ C P

hay f -1 khả vi liên tục thuộc lớp C P

Ngoài ra tính duy nhất của f – 1 được sủy a từ tính duy nhất của u (theo định lý hàm ẩn)

Hệ quả 1.2 Giả sử Ω là lân cận mở của (0, 0) trong X ×Y, f: Ω → Z khả vi liên tục thuộc lớp C P sao cho:

~

y có dạng:

1 ( , )

y= x y , với x1 ∈X1 , y∈Y

Đặt G~ : =X2 × →Y~ Z được cho bởi:

1 ( , ) :

chọn ε > 0 đủ nhỏ thỏa mãn δ + <r ε , và do Gthỏa mãn các điều kiện giả thiết của

đỉnh lý hàm ẩn, cho nên tồn tại quả cầu mở:

Đặt x 2 = u(x 1 ,y), khi đó từ (1.24) suy ra f(x 1 + x 2 ,y) = 0

Do vậy dẫn đến kết luận rằng x 2 = u(x 1 , y) là nghiệm của phương trình (1.24) thỏa mãn

u(0,0) = 0

Nghiệm này là duy và thuộc lớp C P (vì theo định lý hàm ẩn, ánh xạ u duy nhất và thuộc lớp C P) Vậy hệ quả được chứng mĩnhong

1.2 Ứng dụng của định lý hàm ẩn

Cho T > 0 và f: [0, T] × × →    là ánh xạ thỏa mãn điều kiện Carathéodory;

tức là f(t,u,u’) liên tục hầu khắp nơi đối với t tại (u, u’) và đo được theo t đối với (u, u’)

có nghiệm không tầm thường

Khi đó bài toán Dirichlet (1.25) có nghiệm duy nhất u ∈ 1

T

t =∫G t s v s d (1.29)

với G(t, s) là hàm Green cần tìm có dạng:

1 2

( , ) nê 0 ( , s)

Thế thì với các kết quả này, thay chứng vào (1.35) và (1.36) ta được:

g 2 (t, s) = Ps – PT = (M + 1)s – (M + 1)T (1.40) Kết hợp (1.31), (1.39) và (1.40) ta được:

1 ( ) nê

: : 0,

X C Y

Z C

π π

( , ) " u, (u, ) X Y

f u λ = +u λe ∀ λ ∈ ×

Dễ dàng thấy được f liên tục và f(0, 0) = 0

* Trường hợp 1 λ = 0 ; tức không có hệ nhiệt, khi đó (1.42) có nghiệm duy nhất u≡ 0 Lấy u0 ∈X , với mọi v∈X và t∈[ ]0, π ta có:

0 ( ) 0

1 ( ) nê t

G t s

π π

Được tìm như ở kết quả của (1.41)

Như vậy từ (1.43) suy ra rằng tồn tại M > 0 sao cho:

1

x

v x= A− h ≤M v

tức là A -1là ánh xạ 1-1 và liên tục Vậy A là phép đồng phôi tuyến tính từ X và Z

Như vậy các điều kiện của định lý hàm ẩn đều thỏa mãn vì thế cho nên với mỗi λ sao cho λ đủ nhỏ thì bài toán (1.42) có nghiệm duy nhất u∈X

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BỔ ĐỀ MORSE

2.1 Phép dựng Lyapunow-Schmidt

Định nghĩa 2.1 Ta nói rằng A ϵ ℒ (X,Y) là toán tử Fredholm1, nếu:

(I) N(,4) hữu hạn chiều

(II) R(A) đóng và có số đối chiều hữu hạn2

Chỉ số của toán tử Fredholm A được định nghĩa là:

Ind(A) = dim N(A) — codim R(A)

Chú ý 2.1 Theo định nghĩa này, A được gọi là toán tử Fredholm chỉ số không

nếu như:

(I) dim N(A) = n < +∞,

(II) R(A) đóng và codim R(A) = n

ĐẶTVẤN ĐỀ2.1

Cho X, Λ, Y là các không gian Banach với Λ là không gian các tham

biến và 𝛀 là lân cận của (x0,⋋0) trong X x Λ Giả sử rằng f: 𝛀 → Y là

ánh xạ khả vi, liên tục thuộc lớp 𝒞𝓟, 𝓟 ≥ 1 và f (x0,⋋0) = 0 Ta muốn

nghiên cứu bài toán tìm tập các nghiệm của phương trình

trong lân cận 𝛀 của (x0,⋋0)

Giả sử fx(x0,⋋0) là toán tử Fredholm và fx(x0,⋋0) ϵ Isom (X,Y), ta nhận các

giả thiết sau đây:

1 Ta cũng nói A là toán tử chỉ định

2 tức là phần bù đại số của R(A) hữu hạn chiều

, ,

[ ( )]=0, ( )[ ( )]=0.

lúc đó G đúng là ánh xạ (đã được chứng minh trong hệ quả 1.2) Cần chứng

minh G thoả mãn các giả thiết của hệ quả 1.2 Theo cách đặt ở (2.2), điều này

tương đương với việc kiểm chứng 4 vấn đều dưới đây:

1 Giả thiết cho ta f: Ω →Y khả vi cấp p với p ≥1 Khi đó ánh xạ đạo hàm cấp

Qf x  Q liên

tục đúng với mọi (x ) ∈Ω Do đó Qf ∈ 𝒞𝓟,p≥ 1.

2 Từ tính chất của tổng trực tiếp X cho ta X1 ∩X2 = {0}, nên đối với giả

thiết f(0,0) = 0 có thể viết dưới dang f(0,0) = 0 + 0

Do đó theo định nghĩa của xạ chiếu Q, ta có Qf(0,0) = Q(0 + 0) = 0

3 Ta có:

Ánh xạ hợp:

1 (0, 0) :

dat x

H =Qf X →Y

Chứng minh R[Qf x(0, 0)] = Y1; tức chứng minh H(X)= Y 1, thật vậy:

Ta, có H ( X ) Y 1 (hiền nhiên)

Ngược lại, với mỗi y 1 e Y 1 , do Q toàn ánh nên:

(do giả thuyết)

Do đó N (H) = X 1 , ngoài ra ta có X 1 đóng là do không gian con X 1 của không

gian Banch X có dim X1 < +∞

Vậy các giả thiết của hệ quả 1.2 được thoả mãn

Khi đó suy ra được rằng trong lân cận của 0 trong X1 × Λtồn tại duy nhất

nghiệm x2 =u(x1,⋋) của phương trình Qf(x1+ u(x1, ⋋), ⋋) = 0 Vậy x1+ u(x1, ⋋)

là nghiệm của phương trình f(x, ⋋) = 0 khi và chỉ khi:

Qf(x1 + u(x1,⋋) ⋋) = 0 (2.5)

Vì miền giá trị của ánh xạ I - Q là hữu hạn chiều, cho nên phương trình (2.5)

được gọi là phương trình phân nhánh là một hệ hữu hạn các phương trình

thường

Lúc đó, nếu không gian các tham biến Λ cũng hữu hạn chiều thì việc nghiên

cứu địa phương phương trình f(x,⋋) = 0 sẽ quy về việc nghiên cứu một số hữu

hạn các phương trình với một số hữu ,hạn ẩn

trong lân cận Ω của x0 ϵ X Với mức độ tong quát như vậy, bài

toán vừa nêu trong cách đặt vấn đề là hoàn toàn phức tạp Vì thế

cho nên:

Ta sẽ giả thiết rằng f thuộc lớp 𝒞𝒫, p≥ 1, và những không gian

Banach được xét đều ở trên trường số thực R Ngoài ra ta còn giả

thiết rằng f x ( x 0 ) là toán tử Fredholm; tức là:

– đa tạp con khả vi của 𝒞𝒫, đi qua x 0

Nấu Y1≠Y, codimY1= 1; tức là:

Ta có thể coi x 0 = 0, theo phép dựng của Lyapunow-Schimdt,

việc nghiên cứu bài toán tìm tập nghiệm của phương trình f(x) =

0

được dẫn về việc nghiên cứu tìm ngliiệm của phương trình chia nliánli duy nhất sau:

(2.7) trong đó x1 ∈ X1, ở đây X được phân tích thành tổng trực tiếp X = X1 ⊕ X2, và u: X 1 → X2

*

( ( )) 0,

2, ngoài ra trong lân cận của điểm (0 0) thì Fx(0,0) = 0 và ma trận đạo hàm

cấp hai Q = Fxx(0 0) không suy biến

Khi đó, trong lân cận thích hợp của gốc toạ độ (0, 0) tồn tại 𝒞p

hàm -x(y) với x(0) = 0 thoả mẫn phương

Thay biến x thành x - x(y) ta có thể coi F x (0, y) = 0 đối với y gần gốc toạ

độ Cần tìm 𝝃 dưới dạng:

( , ) ,

R x y x

ξ =

trong đó R là ma trận vuông cấp d x d thoả mãn điều kiện R(0, y) = Id. 4

Phương trình (2.9) phải được, thực hiện; tức là:

1 ( * ( ) , ) ( , ) (0, ),

• Ta thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.10) bằng cách sử dụng định

lý hàm ẩn Tại điểm x = 0 ta có = , trong đó R = I d thoả mãn phương trình (2.10) Đạm hàm Fréchet của ánh xạ R* R tại điểm x = 0 là ánh xạ tuyến tính:

R R* + R

Ánh xạ này là ánh lên không gian các ma trận đối xứng Thật vậy, nếu S là ma trận đối xứng tuỳ ý thì R = S thoả mãn hệ thức R*Q + QR = S

Từ đây theo định lý hàm ẩn cho ta phương trình (2.10) có nghiệm thuộc lớp

trong lân cận điểm (0,0), ta được điều phải chứng minh

2 B x y x x

=

:Y là phiếm hàm tuyến tính liên tục của Y *

và Y* và y* 0 Lúc

đó ta nói f thoả mãn điều kiện: ( )

Định lý 2.2 Giả sử rằng f thuộc lớp C p , p , thoả mãn điều kiện ( )nêu trên và thu hẹp f x 1 :X 1 Y thoả mãn điều kiện:

( ) Ma trận đối xứng y*f x1,x1 (0) cấp d x d, không xác định

phương trình f(x) = 0 được dẫn về việc nghiên cứu tìm nghiệm của phương

trình chia nhánh cìuy nhất sau:

y*f(x1 +x2(x1)) = 0,

trong đó x 1 ϵ X 1 , ở đây X được pliân tích thành tổng trực tiếp X = X 1⊕X 2 ,

và x2 : X 1 → X2 là hàm của lớp 𝒞p

Ta có:

Đặt F= y*f: Ω→ ℝ, được cho bởi:

Bây giờ ta ứng dụng bổ đề Morser suy rộng đối với hàm F được nêu trên;tức

là cần kiểm tra các điều kiện của bổ đề, cụ thể là:

1 Fx1(0)=0

2 F x 1 x 1 là ma trận vuông cấp d x d không suy biến

Muốn khẳng định điều đó, ta nhớ lại rằng theo phép dựng của

Lyapunow-Schimdt thì x2( x 1 ) thu được như là nghiệm của phương trình:

(2.11) Lấy vi phân của (2.11), ta thu được:

Như vậy, do y* fx 1(0) = 0, nên:

Fx1(0)=y*fx1(0)=0, (điều kiện 1 đươc thoả mãn), suy ra

Fx1x1 = y*fx1x1(0)

mà theo giả thiết (β), (γ) thì y* fx1x1(0) là ma trận vuông đối xứng cấp d x

d không suy biến và không xác định, cho liên F x1x1(0) cũng là ma trận vnông

cấp d x d không suy biến (điều kiện 2 đươc thoả mãn) Vậy định lý được

chứng minh xong ■

Định nghĩa 2.2 (Điểm phân nhánh)

Cho X, ℝ và Y là các không gian Banach, 𝛀 là lân cận của (0, ⋋0) trong X x ℝ Giả sử ánh xạ f: Ω → Y liên tục, thuộc lớp 𝓒p , p≥1và tại điểm

(0, ⋋0) thì f(0, ⋋0) = 0.

Điểm (0, ⋋0) được gọi là điếm phân nhánh của ánh xạ f, nếu mỗi lân

cận của nó trong X x ℝ chứa một nghiệm nào đó (x,⋋) (với x≠0)

của phương trình:

f(x,⋋)=0 (2.12)

CHÚ Ý 2.2 Vói (0, ⋋0) là điểm phân nhánh của ánh xạ f, ta cũng nói

nó là điểm phân nhánh của phương trình (2.12)

Định lý 2.3 Với ánh xạ f đã nêu trong phần định nghĩa 2.2, bây giờ sẽ khả vi

liên tục của lớv 𝓒p

, p≥2 Giả sử rằng:

codim Y1 =1;

Khi đó (0,⋋0) là điểm phân nhánh của ánh xạ f Đồng thời tập các nghiệm của

phương trình (2.12) gần gốc toạ độ gồm hai đường cong 𝚪 1, 𝚪2 của lớp 𝓒p-2 chỉ

giao nhau tại (0,⋋0) Tiếp đến, nếu p > 2 thì đường cong 𝚪 1 tiếp xúc với trục ⋋

tại (0,⋋0) và, do đó có thể tham, số hoá được nhờ biến ⋋:

- Giả sử y* ≠ 0 là phiếm hàm tuyến liên tục của Y* mà N(y*) = Y 1 điều này

cùng với các giả thiết (ii) và (iii) làm cho điều kiện (𝛼) được thoả mãn

- Bây giờ ta đặt H là ma trận vuông cấp 2 x 2 có dạng:

từ giả thiết (vi) suy ra các hạng tử ngoài đường chéo chính thì khác không Có

nghĩa là det H < 0, do đó ma trận H cấp 2 x 2 là ma trận đối xứng, không suy

biến và không xác định Điều đó chứng tỏ điều kiện (𝛽) và (γ) được thoả mãn Sau đây ứng dụng định lý 2.2 ta sẽ có được sự tồn tại của hai đường cong Γ1,

- Còn giả thiết (ii) là Nfx(0, 0) = (xo) suy ra đường cong theo tham số s

tiếp xúc với (x0) cho nên đường cong có dạng:

(sx0 + x2(s), ⋋(s)),

Trong đó x2(0,0)=x2.s(0) = 0,⋋(0) = ⋋o

Vậv định lý được chứng minh xong

 0

0

0

(0)( , 0), (0,1)

x

Nf x