Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính vinacal 570ES plus vào giải phương trình vô tỷ

Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I KHÁI NIỆM PHƢƠNG TRÌNH 1.1 Phƣơng trình ẩn Định nghĩa 1.1 Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x)  g ( x) , (1.1) f ( x) g ( x) biểu thức x Ta gọi f ( x) vế trái, g ( x) vế phải phương trình (1.1) Nếu có số thực x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) “mệnh đề” x0 gọi nghiệm phương trình (1.1) Giải phương trình (1.1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) 1.2 Điều kiện phƣơng trình Định nghĩa 1.2 Điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện ẩn số x để f ( x) g ( x) có nghĩa Khi phép toán hai vế phương trình thực với giá trị x ta không ghi điều kiện phương trình II PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Trong sách giáo khoa định nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, qua toán khác tài liệu tham khảo khác phương trình vô tỷ phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ x2  x   x  , trình vô tỷ x   x ,… phương III PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 3.1 Phƣơng trình tƣơng đƣơng Định nghĩa 1.3 Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm 3.2 Phép biến đổi tƣơng đƣơng Định nghĩa 1.4 Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương Định lý sau nêu lên số phép biến đổi tương đương thường sử dụng Định lý 1.5 Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà không làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức có giá trị khác 3.3 Phƣơng trình hệ Nếu nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) nghiệm phương trình f1 ( x)  g1 ( x) phương trình f1 ( x)  g1 ( x) gọi phương trình hệ phương trình f ( x)  g ( x) Ta viết f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) (1.2) IV ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Định lý 1.6 Cho f hàm số liên tục đoạn  a; b f (a) f (b)  tồn điểm c  (a, b) cho f ( x)  V ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lý 1.7 Nếu hàm số y  f  x  liên tục đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến nghịch biến) số nghiệm D phương trình f  x   không nhiều u, v  D : f  u   f  v   u  v Định lý 1.8 Nếu hai hàm số f ( x) g ( x) đơn điệu ngược chiều miền D số nghiệm D phương trình f ( x)  g ( x) không nhiều Chƣơng MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích tìm cách giải logic để tìm tất nghiệm phương trình tìm nghiệm, máy tính sử dụng công cụ hỗ trợ tính toán phức tạp dự đoán máy tính thực giải toán đưa Tuy nhiên, biết khai thác triệt để chức máy tính ta không tìm lời giải cho toán mà tìm nhiều cách giải khác I CHỨC NĂNG CALC Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, chức CALC hỏi giá trị biến tính giá trị biểu thức ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức cho phép ta tính giá trị biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác biến với lần nhập biểu thức, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể Chức CALC sử dụng tính toán số thực COMP (bấm MODE ) tính toán số phức CMPLX (bấm MODE ) 1.1 Tính giá trị biểu thức Các bước thực Bƣớc 1: Nhập biểu thức Bƣớc 2: Bấm phím CALC Bƣớc 3: Nhập giá trị biến bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị biểu thức ứng với giá trị biến Ví dụ 2.1: Cho biểu thức A  x  x  x   x  x  Tính giá trị biểu thức A x  , x  Bƣớc 1: Nhập biểu thức X  X  X   X  X  Bƣớc 2: Bấm phím CALC Bƣớc 3: Nhập x bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị biểu thức A ứng với 11  16 Tương tự, ta bấm phím CALC nhập 3, sau bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị biểu thức A ứng với giá trị x  25  31 1.2 Khai triển biểu thức thành đa thức Biểu thức f ( x) khai triển thành đa thức có dạng an x n  an1 x n1  an2 x n2   a1 x  a0 , (an  0) Ta cần tìm hệ số an , an1 , an2 , , a1 , a0 (gọi chiều thuận) Ta có f ( x )  an x n  an1 x n1  an2 x n2   a1 x  a0 , (an  0)  f ( x) 1 1  an  an1  an2   a1 n1  a0 n n x x x x x Khi f ( x) xn f ( x) Như vậy, hệ số an tìm cách tính lim n x  x Ta lại có f ( x )  an x n  an1 x n1  an2 x n2   a1 x  a0 , (an  0) an  lim x   f ( x )  an x n 1  an 1  an 2   a1 n2  a0 n1 n 1 x x x x Khi an1 f ( x )  an x n  lim x x n1 Như vậy, hệ số an1 tìm cách tính lim x  f ( x)  an x n , với an tìm x n1 Tương tự, ta tìm hệ số an2 , , a1 , a0 Từ ý tưởng trên, để tìm hệ số an , an1 , an2 , , a1 , a0 theo chiều thuận máy tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực theo bước sau Bƣớc 1: Xác định bậc đa thức khai triển nhập biểu thức f (X) Xn Bƣớc 2: Bấm phím CALC Nhập giá trị biến X 1000 Bƣớc 3: Bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị hệ số an f (X)  an X n Bƣớc 4: Quay trở hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức X n 1 Bƣớc 5: Bấm phím CALC Nhập giá trị biến X 1000 Bƣớc 6: Bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị hệ số an1 Tương tự, ta tìm hệ số an2 , , a1 , a0 Sau tìm hệ số an , an1 , an2 , , a1, a0 , ta có f ( x)  an x n  an1x n1  an2 x n2   a1x  a0 Ta thử lại kết cách Bƣớc 1: Nhập f ( X )  an X n  an1 X n1  an2 X n2   a1 X  a0 Bƣớc 2: Bấm phím CALC Nhập vài giá trị X Nếu kết phép khai triển với hệ số tìm Nếu hình hiển thị kết khác phép khai triển với hệ số tìm chưa cần kiểm tra lại Lúc này, ta kiểm tra lại hệ số cách tìm hệ số a0 , a1 , , an2 , an1, an (gọi chiều nghịch) hệ số tìm theo chiều nghịch trùng với hệ số tìm theo chiều thuận ta dừng lại Khi đó, ta thay hệ số tìm theo chiều thuận hệ số tìm theo chiều nghịch Ta có a0  lim f ( x ); x 0 a1  lim x 0 f ( x )  a0 ; x f ( x )  a0  a1 x   an 2 x n 2 ; x 0 x n 1 f ( x )  a0  a1 x  an 1 x n 1 an  lim x 0 xn Từ ý tưởng trên, để tìm hệ số a0 , a1 , , an2 , an1, an theo chiều nghịch máy an 1  lim tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực theo bước sau Bƣớc 1: Nhập biểu thức f (X) Bƣớc 2: Bấm phím CALC Nhập giá trị biến X 0,001 Bƣớc 3: Bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị hệ số a0 Bƣớc 4: Quay trở hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức f (X)  a0 X Bƣớc 5: Bấm phím CALC Nhập giá trị biến X 0,001 Bƣớc 6: Bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị hệ số a1 Ta thực tương tự nhận hệ số giống với khai triển theo chiều thuận thu đa thức khai triển dạng an x n  an1 x n1  an2 x n2   a1 x  a0 , (an  0)    Ví dụ 2.2: Khai triển biểu thức f ( x )= x  x  x  x  Nhận xét: Biểu thức f ( x ) khai triển thành đa thức bậc bốn có dạng a4 x  a3 x  a2 x  a1 x  a0 , (a4  0) Ta dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm hệ số a4 , a3 , a2 , a1 , a0 X Bƣớc 1: Nhập  X  3 X  X   X4 Bƣớc 2: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 3: Bấm phím X Bƣớc 4: Nhập  Ta a4   X  3 X  X  4  X X3 Bƣớc 5: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 6: Bấm phím  Ta a3  Làm tương tự, X Bƣớc 7: Nhập  X  3 X  X  4  X X2 Bƣớc 8: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 9: Bấm phím  Ta a2  X Bƣớc 10: Nhập  X  3 X  X    X  X X Bƣớc 11: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 12: Bấm phím X Bƣớc 13: Nhập  Ta a1  2  X  3 X  X    X  X  X Bƣớc 14: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 15: Bấm phím  Ta a0  12 10 Ta thử lại xem hệ số chưa, cách quay trở hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức X  X  3 X  X    X  X  X  12 Bấm phím CALC , nhập vài giá trị X bấm phím  , ta thấy kết Vậy, hệ số tìm ta viết f ( x )   x  x  3 x  x    x  3x  x  12 Ví dụ 2.3: Khai triển biểu thức f ( x )=  x  x  3 x  x   Nhận xét: Biểu thức f ( x ) khai triển thành đa thức bậc sáu có dạng a6 x  a5 x5  a4 x  a3 x  a2 x  a1 x  a0 , (a6  0) Ta dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm hệ số a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1, a0 X Bƣớc 1: Nhập  X  3 X  X   X6 Bƣớc 2: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 3: Bấm phím X Bƣớc 4: Nhập  Ta a6   X  3 X  X  4  X X5 Bƣớc 5: Bấm phím CALC , nhập 1000 11 Bƣớc 6: Bấm phím  Ta a5  Làm tương tự, X Bƣớc 7: Nhập  X  3 X  X  4  X  X X4 Bƣớc 8: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 9: Bấm phím  Ta a4  X Bƣớc 10: Nhập  X  3 X  X    X  X  X X3 Bƣớc 11: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 12: Bấm phím X Bƣớc 13: Nhập  Ta a3   X  3 X  X    X  X  X  X X2 Bƣớc 14: Bấm phím CALC , nhập 1000 12 Bƣớc 15: Bấm phím X Bƣớc 16: Nhập  Ta a2  20  X  3 X  X    X  X  X  X  20 X 2 X Bƣớc 17: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 18: Bấm phím  Ta a1  16 Bƣớc 19: Nhập X  X  3 X  X    X  X  X  X  20 X  16 X Bƣớc 20: Bấm phím CALC , nhập 1000 Bƣớc 21: Bấm phím  Ta a0  48 Ta thử lại xem hệ số chưa, cách quay trở hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức X  X  3 X  X    X  X  X  X  20 X  16 X  48 Bấm phím CALC , nhập vài giá trị X bấm phím  , ta thấy kết Vậy, hệ số tìm ta viết 13 Vậy, phương trình cho có nghiệm x  1; x   41  41 ;x  2 3.3.2  không số phƣơng Ví dụ 3.21: Giải phương trình 5x  x   1  3x  x  Phân tích: Biến đổi 5x  x   1  3x  x    x  1  1  3x  x   3x  x20 đặt ẩn phụ t  x    t  x2  , phương trình trở thành (*) t  1  3x  t  3x  x   Phương trình (*) có biệt số   1  3x   12 x  x    3x không số phương Do ta cần điều chỉnh hệ số m mt , tức *   mt  t  mt  1  3x  t  3x2  x      mt  2x2   m 2x2   1  3x  t  3x2  x    mt  1  3x  t    2m x2  m  x   Ta có   t  1  3x   4m   2m x2  m  x  3       6x  9x2  4m 5x2  2mx2  m  x  3        8m2  20m  x2    6m x  12m  4m2  Để  t có dạng phương phương trình  t  phải có nghiệm kép, tức  x  b2  4ac  hay cần giải phương trình     x    6m  8m2  20m  12m  4m2   Do hệ số m thường đẹp m  , nên ta nhập phương trình   6X      8X  20X  12X  4X  vào máy tính bấm SHIFT CALC  phương trình cho ta nghiệm X  nên ta loại (do m  ) 70 Để kiểm tra nghiệm lại phương trình, ta thay đổi thành biểu thức 6  6X  48X  20X  912X  4X  1 : X 2 bấm SHIFT CALC phương trình cho nghiệm X  Giải 2 x  2 5x2  x   1  3x  2x2   2x2   1  3x  2x2   x2  x   Điều kiện 2x2    x     *  Đặt t  2x2    t  2x2  Khi *   2t  1  3x t  x 2  x   t  1  3x  8x2  12x   x2  6x    x  3 2 Do   4x  4x      3x  x  1 t   x     x     t   3x  x   x    7x  4x      x  2   1  x     15  x     15 x   Thử lại, ta thấy phương trình cho có nghiệm 71 x 1 ;x  15  15 ;x  7 Bài tập tƣơng tự Bài 1: Giải phương trình ( x  1)2  3( x  1) x   2( x  3)  ĐS: x  Bài 2: Giải phương trình (3  8x) x   3x  x  ĐS: x  Bài 3: Giải phương trình 10 x2  x  8x x  3x    3 ĐS: x  ; x  ; x  Bài 4: Giải phương trình 2 x    x  x  16 ĐS: x  Bài 5: Giải phương trình ( x  4) x3   x3  x  12 ĐS: x  IV PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phương pháp chủ yếu vận dụng định lý 1.7 1.8 chương Ví dụ 3.22: Giải phương trình 5x   x   x  Phân tích: Dùng chức TABLE, ta dự đoán vế trái hàm đồng biến, vế phải số sử dụng chức SOLVE máy tính ta dự đoán phương trình có nghiệm x  SHIFT X   X   X   1 CALC SHIFT ( X   X   X  4) : ( X  1)   Can't Solve CALC 72 nên điều kiện thích hợp cho việc sử dụng phương pháp hàm số để giải Giải Điều kiện x3    x  5x   x   x   x   x   x   (*) Ta thấy x  Khi x  không nghiệm phương trình * , xét hàm số   f  x   5x   x   x   ;     5x  f ' x   1 ' 5x   15 x 2 5x     x  1 ' 3  x  1 3  x  1 1     , x   ;       Do hàm số f  x  đồng biến  ;     Mặt khác, f 1  nên x  nghiệm phương trình * Vậy, phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 3.23: Giải phương trình Phân tích:      x    x  3x  x    x    x  3x  x    3x  x  x x   x    Sử dụng chức SOLVE, SHIFT X  X  X X   X    0 CALC 3X  SHIFT  X  X X   X   : X   Can't Solve CALC 73 dự đoán x  nghiệm phương trình Để ý x2    x2    x   3x  x  3x  x  3x  nên để phương trình có nghiệm điều kiện kéo theo x  Đặt f ( x)  3x  x  8x x   x   Sử dụng chức TABLE, ta dự đoán f ( x) hàm số tăng Giải Điều kiện x     x    x  3x  x    3x  x  x x   x    Xét hàm số f  x   3x  x  8x x   x   0;    2x2  6x  f ' x   6x    2x2     x2   x2   32 x  x   6x   2x2  Do 32 x  x   0, x  R nên f '  x   0, x  Suy hàm số f  x  đồng biến 0;   Mặt khác, f    nên x  nghiệm phương trình Vậy, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 3.24: Giải phương trình x x  x  12  12   5 x  4 x Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính, ta dự đoán phương trình có nghiệm x  X X  X  12  12   SHIFT  X   X  4 CALC 74 X X  X  12  12  5 X  4 X  : ( X  4)  Can't Solve SHIFT CALC Dùng chức TABLE máy tính, ta dự đoán hàm số f ( x)  x x  x  12 vế trái hàm số đồng biến hàm số g ( x)  12    x   x vế phải hàm số nghịch biến Đồng thời, ta nhận thấy x  f (4)  g (4)  12 Giải Điều kiện  x  Xét hàm số f ( x)  x x  x  12 xác định liên tục  0;4 , có f ( x )  nên f ( x) đồng biến 0;4 Xét hàm số g ( x)  12  x  0, x  0;4 2 x  12 (1)   x   x xác định liên tục  0;4 , có 1   g ( x)  12      0, x  0;4   5 x 4 x  nên hàm số g ( x) nghịch biến 0;4 (2) Từ (1) (2), suy phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm f (4)  g (4)  12 nên x  nghiệm phương trình Vậy, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 3.25: Giải phương trình  x  1   3x   x   x  Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính,  X  1  3 X    SHIFT X   X    X 1 CALC 75  X  1   X  1     SHIFT X   X   X  8 : ( X  1)  2 CALC   SHIFT X   X   X  8 : ( X  1) : ( X  2)   Can't Solve CALC  nên dự đoán phương trình có có hai nghiệm x  , x  2 Dùng chức CALC máy tính, nhận thấy x  , x  3 không nghiệm phương trình  X  1  3 X    CALC X   X   9   X  1  3 X    CALC X   X    24,63621368  3 1 nên ta xét x   3,   \    4   x  1  3x    x   4x  4x  4x  4x   3x   x   0 4x 1  3x   x   76 4x  1  x   3,   \   4x 1 4 Dùng chức TABLE máy tính, ta dự đoán hàm số f ( x) đồng biến Xét hàm số f ( x)  3x   x   1   ;   4  1  khoảng  3;  , 4  Giải Điều kiện x    x  3 Do x  , x  3 không nghiệm phương trình nên ta xét 1  x   3,   \   4  Ta có  x  1  3x    x   4x  4x  4x  4x   3x   x    (*) 4x  4x  1  Xét hàm số f ( x)  3x   x   x   3,   \   , có 4x 1 4  3x   x   f ( x)   3x  5  36 1    0, x   3,   \   2 x   x  1 4 Bảng biến thiên x  f ( x)  + +  f ( x) 3  13 77   Ta có phương trình (*) phương trình hoành độ giao điểm hàm số f ( x) trục Ox có phương trình y  Từ bảng biến thiên suy phương trình (*) có tối đa hai nghiệm có f (2)  f (1)  nên x  2 , x  hai nghiệm cần tìm Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x  2 , x  Ví dụ 3.26: Giải phương trình x   x   x  x  Phân tích: Nhận thấy lập phương hai vế phương trình phức tạp, quan tâm đến mối liên hệ biến thức, ta nhận thấy x    x   x    x  1  Tức  x   x2   x2  x   x  1    x  1   x     x  với vế trái vế phải có dạng f  t   t   t mà ta gọi hàm đặc trưng Dùng chức TABLE máy tính, ta dự đoán hàm số f (t ) đồng biến Khi đó, phương trình viết dạng f  x  1  f  x  nên sử dụng phương pháp hàm số sau Giải  x   x2   x2  x   x  1    x  1   x     x   f  x  1  f  x  1 Xét hàm số f  t   t  t  , có f '  t   Do hàm số f  t  đồng biến 33 t2  3  t  1  0, x   2 Từ 1   suy x  f  x  1  f  x   x   x  x  x     x    Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x   ; x  2 2 78 \ 1;0 1   5x  x 1 Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh năm 2011 Ví dụ 3.27: Giải phương trình 24 x  60 x  36  Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính, 1 SHIFT 24 X  60 X  36    1,5  CALC 5X  X 1    24 X  60 X  36  5X      SHIFT  Can't Solve  :  X    CALC X 1    dự đoán phương trình có nghiệm x  1  0 5x  x 1 1  25 x  60 x  36   x2  5x  x 1 1  5x  6   x2  x 1 5x  6  24 x  60 x  36   f  5x    f  x  Xét hàm số f  t   t  1 1;  Dùng chức TABLE máy tính, t 1 ta dự đoán f ( x) hàm số đồng biến 1;  Giải Điều kiện x  79 1  0 5x  x 1 1  25 x  60 x  36   x2  5x  x 1 1  5x  6   x2  x 1 5x  6  24 x  60 x  36   f  5x  6  f  x  Xét hàm số f  t   t  1 1;  , ta có: t 1 f '  t   2t   0, t   t  1 t  Do hàm số f  t  đồng biến khoảng 1;   2 Từ 1   suy f  5x  6  f  x   5x   x  x  Vậy, phương trình cho có nghiệm x  x2  x   ( x  1) Ví dụ 3.28: Giải phương trình x  2x   x2 2  (*) Đề thi THPT Quốc gia 2015 Phân tích:Ví dụ giải cách, trình bày ví dụ 3.5, 3.12 3.15 Bây giờ, giải theo cách thứ phương pháp nhân lượng lien hợp phối hợp với phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Điều kiện: x  2 x2  2x   ( x  1) x   x2  2x  ( x  2)( x  4) x24   ( x  1) x  2x  x2 2 ( x  2)( x  4) x2   ( x  1) x  2x  x22   x 1   x4  ( x  2)   0 x2 2  x  2x  x   x4    x  x  x 1 x2 2 Ta có 80 (*)    x      x    x     x  1  x  x  3 (*)  x2  2  2   x  1  2  x  1      Xét hàm số f (t )   t    t   Sử dụng chức TABLE máy tính ta dự đoán f (t ) đồng biến Giải Điều kiện x  2 x2  2x   ( x  1) x   x2  2x  ( x  2)( x  4) x24   ( x  1) x  2x  x2 2 ( x  2)( x  4) x2   ( x  1) x  2x  x22   x 1   x4  ( x  2)   0 x2 2  x  2x  x   x4    x  x  Ta có   (*)  x 1 x2 2  x      (*) x    x     x  1  x  x  3 x2 Xét hàm số f (t )   t    t    2  2   x  1  2  x  1   (2)    2   f '  t   3t  4t    3t    0, t  3  nên f (t ) đồng biến Từ (2) (3) ta có f   x   f  x  1  x   x   x   x2  x   x  3x   81 (3)   13 x     13 x   Thử lại, phương trình cho có hai nghiệm x  ; x   13 Bài tập tƣơng tự x   x   Bài 1: Giải phương trình ĐS: x  Bài 2: Giải phương trình  x   x3  2x 1   ĐS: x  Bài 3: Giải phương trình  x  1 x   3 x   x  ĐS: x  Bài 4: Giải phương trình ( x  1)2  x   ( x  5) x   3x  31  ĐS: x  x  x  15 x  13 Bài 5: Giải phương trình  x9  x  4x  x  12 ĐS: x  29  Bài 6: Giải phương trình  x  3 x    x  3  x  x  Bài 7: Giải phương trình ĐS: x  x  x   x   x  x   x  ĐS: x  Bài 8: Giải phương trình  x     41  3x   x    ĐS: x  1; x  Bài 9: Giải phương trình x3  x  x3  3x   x   3 ĐS: x   ; x  ; x  2 Bài 10: Giải phương trình 8x3  36 x2  53x  25  3x  ĐS: x  2; x  82 5 KẾT LUẬN Khóa luận đề cập đến số kiến thức phương trình vô tỷ, đưa ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào việc định hướng giải phương trình vô tỷ Việc trình bày số ứng dụng máy tính vào ví dụ phương trình vô tỷ cho thấy ưu điểm phương pháp giúp học sinh tận dụng triệt để máy tính bỏ túi vào việc định hướng giải phương trình vô tỷ Tuy nhiên, phương trình vô tỷ giải nhờ hỗ trợ máy tính bỏ túi Nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực máy tính bỏ túi, em học sinh đưa phương pháp, cách giải phương trình vô tỷ nhanh chóng xác Từ đó, giúp học sinh tư tốt hơn, hoàn thành tốt toán giải phương trình vô tỷ Đặc biệt em học sinh lớp 12, với hỗ trợ máy tính VINACAL 570ES PLUS nói riêng máy tính bỏ túi nói chung giúp em tự tin kì thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc dù cố gắng khóa luận chắn tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp Quý Thầy, Cô bạn 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Trí Dũng, Bùi Thế Việt, Phương pháp sử dụng máy tính Casio giải toán phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, NXB Đại học Sư phạm TPHCM, 2015 [2] Lê Văn Đoàn, Tư sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỷ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [3] Mai Xuân Việt, Sử dụng máy tính cầm tay tìm kiếm lời giải, Trung tâm luyện thi Thủ khoa, 2012 [4] Nguyễn Anh Huy, Phương trình, hệ phương trình, Diễn đàn MATHCOPE, 2012 [5] Nguyễn Quang Trung, Dạy học phân hóa qua tổ chức ôn tập số chủ đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục, 2007 [6] Sách hướng dẫn sử dụng máy tính VINACAL 570 ES PLUS [7] Trịnh Hồng Uyên, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ, Luận văn Thạc sĩ Toán học, 2011 [8] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10, NXB Giáo dục, 2014 [9] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục, 2014 84 [...]... hay không, ta thực hiện 27 Bƣớc 3: Bấm SHIFT  , nhập biểu thức f ( x ) và A Bấm  , màn hình cho kết quả bằng 0 Vậy, x  1,618033998 là nghiệm kép của phương trình 28 Chƣơng 3 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ I PHƢƠNG PHÁP LŨY THỪA HAI VẾ 1.1 Phƣơng trình có dạng quen thuộc 2n  f ( x)  g ( x)  f ( x)  2n g ( x)  ... màn hình hiển thị Ta nhận thấy các số ở cột F(X) giảm dần từ 2.224 xuống 9.133 , nên dự đoán f ( x) là hàm số giảm và tất cả các số ở cột F(X) đều âm nên dự đoán f ( x)  0, x  [1;5] V Giải phƣơng trình bậc cao bằng máy tính VINACAL 570ES PLUS Để giải phương trình bậc cao bằng máy tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực hiện các bước sau Bƣớc 1: Chuyển vế đưa phương trình về dạng f ( x )  0 Nhập biểu... dụ 3.4: Giải phương trình ( x  3) 10  x 2  x 2  x  12 Phân tích:  A.C  0 Phương trình có dạng A B  C   2 , nhưng đa số học sinh đều không nắm 2 A B  C  rõ được điều kiện hai vế cùng dấu Vì vậy, trong ví dụ này, ta sẽ giải bằng cách bình 32 phương hai vế mà không cần quan tâm đến điều kiện, nhưng sau khi giải được nghiệm, ta phải thế vào phương trình, nghiệm nào không thỏa phương trình thì... đổi là suy ra, sau khi giải ra xong, ta thế nghiệm tìm được vào phương trình để thử lại Ví dụ 3.3: Giải phương trình 2 x  5  3  x  x  2 Phân tích: Phương trình có chứa căn bậc chẵn nên ta phải chuyển vế thích hợp để hai vế của phương trình cùng dấu, sau đó lũy thừa 2 hai vế Ta có thể sử dụng chức năng SOLVE để dự đoán nghiệm của phương trình 31 SHIFT 2 X  5  3  X  X  2   2 CALC   SHIFT... CALC với X là một số bất kỳ thỏa điều kiện của phương trình Bƣớc 3: Bấm SHIFT CALC , cho X nhận giá trị thỏa điều kiện của phương trình, bấm  ra kết quả nghiệm thứ nhất, gán vào A Nếu máy báo “Can’t solve”, nghĩa là phương trình vô nghiệm Bƣớc 4:Tìm nghiệm thứ hai, ta trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành f ( X )  ( X  A) , bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả nghiệm thứ hai, gán vào B Bƣớc 5: Tìm... 2: Sử dụng chức năng SOLVE tìm tất cả các nghiệm của phương trình Nếu phương trình có nghiệm vô tỷ, ta gán giá trị nghiệm cho biến Giả sử ta cần kiểm tra x  x0 có là nghiệm kép hay không, ta qua bước 3 Bƣớc 3: Bấm SHIFT  , nhập biểu thức f ( x ) và x0 và bấm  Nếu kết quả bằng 0 thì x  x0 là nghiệm kép của phương trình f ( x)  0 Nếu kết quả khác 0 thì x  x0 không là nghiệm kép của phương trình. .. tìm được vào B bằng cách bấm SHIFT RCL ,,, , rồi qua bước 5 Bƣớc 4: Trở lại biểu thức, rồi sửa thành X 4  3 X 3  6 X 2  6 X  4    X  A   ( X  B) bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả 24 Do đó, phương trình không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm trên Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x  0,438447187 và x  4,561552813 Bƣớc 5: Ta nhập vào máy tính và tìm được A  B  5 và A.B  2... thị Do đó, phương trình có một nghiệm x  0,438447187 Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm hay không, ta gán nghiệm tìm được vào A bằng cách bấm SHIFT RCL ( ) , rồi qua bước 3 Bƣớc 3: Trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành X 4  3X 3  6 X 2  6 X  4   X  A  bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả Do đó, phương trình có thêm một nghiệm là x  4,561552813 Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm... biến X Chức năng TABLE của máy tính VINACAL 570ES PLUS hiển thị được tối đa 30 giá trị của biến, ứng với 29 khoảng giá trị Vì thế, để End  Start tận dụng triệt để 30 giá trị của biến, ta nhập “Step?” là 29 19 Bƣớc 6: Bấm  , màn hình hiển thị một bảng các giá trị của x và f ( x) từ x  Start đến x  End 4.2 Cách nhìn bảng TABLE Bảng gồm có 3 cột Số thứ tự X F(X) Nhìn vào bảng TABLE, ta có thể -Dự... nghiệm của phương trình Chức năng SOLVE chỉ dùng trong tính toán số thực Khi nhập biểu thức f ( x) và bấm SHIFT CALC (chức năng SOLVE), màn hình hiển thị “X=?”, ta nhập một giá trị bất kì thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần nhất thoả mãn thì máy tính sẽ dừng lại và hiển thị nghiệm đó dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập