giải phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính vinacal 570es plus

Phương trình vô tỷ là dạng toán khó thường gặp ở trong chương trình toán học bậc phổ thông. Nhưng trong chương trình phổ thông, phương trình vô tỷ được giảng dạy chỉ dừng lại ở các phương trình vô tỷ đơn giản. Tuy nhiên, dạng toán này xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng. Để giải các bài toán về phương trình vô tỷ đòi hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác nhau mới có thể tìm được cách giải nhanh chóng và chính xác. Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực trong việc giải phương trình vô tỷ là máy tính bỏ túi. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn chưa sử dụng được chức năng này của máy tính bỏ túi. Một trong những loại máy tính bỏ túi thông dụng nhất hiện nay là VINACAL 570ES PLUS và loại máy này được cho phép sử dụng trong các kì thi.

LÊ THỊ NGỌC HÂN NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP – SƯ PHẠM TOÁN 201 MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Khái niệm phương trình … 1.1 Phương trình ẩn … 1.2 Điều kiện phương trình … Phương trình vơ tỷ Phương trình tương đương phương trình hệ 3.1 Phương trình tương đương … 3.2 Phép biến đổi tương đương … 3.3 Phương trình hệ … Định lý giá trị trung gian 5 Định lý tính đơn điệu hàm số Chương MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 1.Chức CALC … 1.1 Tính giá trị biểu thức … 1.2 Khai triển biểu thức thành đa thức 2.Chức STO 15 3.Chức SOLVE 16 Chức TABLE 19 4.1 Các bước sử dụng chức TABLE 19 4.2 Cách nhìn bảng TABLE 20 Giải phương trình bậc cao máy tính VINACAL 570ES PLUS 23 Nhận biết nghiệm đơn, nghiệm kép 26 6.1 Nghiệm đơn 26 6.2 Nghiệm kép 26 6.3 Các bước nhận biết nghiệm kép máy tính 27 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương pháp lũy thừa hai vế 29 1.1 Phương trình có dạng quen thuộc 29 1.2 Phương trình khơng có dạng quen thuộc 31 Phương pháp nhân lượng liên hợp 40 2.1 Phương pháp chung 40 2.2 Phương pháp tìm lượng liên hợp 41 Phương pháp đặt ẩn phụ 56 3.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 56 3.2 Đặt hai ẩn phụ hoàn toàn 63 3.3 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 67 3.3.1  số phương 67 3.3.2  không số phương 70 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 72 KẾT LUẬN 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 Mở đầu Phương trình vơ tỷ dạng tốn khó thường gặp chương trình tốn học bậc phổ thơng Nhưng chương trình phổ thơng, phương trình vơ tỷ giảng dạy dừng lại phương trình vơ tỷ đơn giản Tuy nhiên, dạng tốn xuất nhiều kì thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học, cao đẳng Để giải tốn phương trình vơ tỷ đòi hỏi phải có tầm nhìn bao qt, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác tìm cách giải nhanh chóng xác Một công cụ hỗ trợ đắc lực việc giải phương trình vơ tỷ máy tính bỏ túi Tuy nhiên, nhiều học sinh chưa sử dụng chức máy tính bỏ túi Một loại máy tính bỏ túi thơng dụng VINACAL 570ES PLUS loại máy cho phép sử dụng kì thi Máy tính VINACAL 570ES PLUS có chức trội so với loại máy tính khác - Giải phương trình bậc hai, bậc ba cho kết nghiệm dạng thức Tích phân, thức, lũy thừa có cách ghi giống sách giáo khoa - Tốc độ xử lý nhanh hơn, cho kết đầy đủ Với mong muốn thân đề tài mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy trường phổ thông, chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vơ tỷ” Với mục đích, đưa phương pháp, cách giải phương trình vơ tỷ nhanh chóng, xác nhờ cơng cụ hỗ trợ đắc lực máy tính bỏ túi Từ đó, giúp học sinh tư tốt hơn, hồn thành tốt tốn giải phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng khóa luận chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp Q Thầy, Cơ bạn để khóa luận hồn thiện Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số chức máy tính VINACAL 570ES PLUS giải phương trình vơ tỷ Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vơ tỷ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Phương trình ẩn Định nghĩa 1.1 Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x )  g ( x) , f ( x) g ( x) biểu thức x Ta gọi phải phương trình (1.1) (1.1) f ( x) vế trái, g ( x) vế Nếu có số thực x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) “mệnh đề” x0 gọi nghiệm phương trình (1.1) Giải phương trình (1.1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) 1.2 Điều kiện phương trình Định nghĩa 1.2 Điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện ẩn số x để f ( x) g ( x) có nghĩa Khi phép tốn hai vế phương trình thực với giá trị x ta khơng ghi điều kiện phương trình II PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Trong sách giáo khoa khơng có định nghĩa cụ thể cho phương trình vơ tỷ, qua toán khác tài liệu tham khảo khác phương trình vơ tỷ phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ x  x   x  , x   x2 ,… phương trình vơ tỷ III PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 3.1 Phương trình tương đương Định nghĩa 1.3 Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm 3.2 Phép biến đổi tương đương Định nghĩa 1.4 Để giải phương trình, thơng thường ta biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương Định lý sau nêu lên số phép biến đổi tương đương thường sử dụng Định lý 1.5 Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác 3.3 Phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình f ( x )  g ( x) nghiệm phương trình f1 ( x )  g1( x) phương trình f1 ( x )  g1( x) gọi phương trình hệ phương trình f ( x )  g ( x) Ta viết f ( x )  g ( x )  f1 ( x )  g1 ( x) (1.2) IV ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Định lý 1.6 Cho f hàm số liên tục đoạn a;b f ( a ) f (b)  tồn điểm c ( a, b) cho f ( x)  V ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lý 1.7 Nếu hàm số y  f x liên tục đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến nghịch biến) số nghiệm D phương trình f x  không nhiều u, v  D : f u   f v   u  v Định lý 1.8 Nếu hai hàm số f ( x) g ( x) đơn điệu ngược chiều miền D số nghiệm D phương trình f ( x )  g ( x) không nhiều Chương MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Khi giải phương trình vơ tỷ, mục đích tìm cách giải logic để tìm tất nghiệm phương trình khơng phải tìm nghiệm, máy tính sử dụng công cụ hỗ trợ tính tốn phức tạp dự đốn khơng phải máy tính thực giải tốn đưa Tuy nhiên, biết khai thác triệt để chức máy tính ta khơng tìm lời giải cho tốn mà tìm nhiều cách giải khác I CHỨC NĂNG CALC Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, chức CALC hỏi giá trị biến tính giá trị biểu thức ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức cho phép ta tính giá trị biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác biến với lần nhập biểu thức, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể Chức CALC sử dụng tính tốn số thực COMP (bấm tính tốn số phức CMPLX (bấm MODE MODE ) ) 1.1 Tính giá trị biểu thức Các bước thực Bước 1: Nhập biểu thức Bước 2: Bấm phím CALC Bước 3: Nhập giá trị biến bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị biểu thức ứng với giá trị biến Ví dụ 2.1: Cho biểu thức A  x  x  x   x  x 1 Tính giá trị biểu thức A x  , x  Bước 1: Nhập biểu thức X  X  X   Bước 2: Bấm phím CALC 4X2 2X 1 Bước 3: Nhập bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị biểu thức A ứng với x 11  16 Tương tự, ta bấm phím CALC nhập 3, sau bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị biểu thức A ứng với giá trị x  25  31 1.2 Khai triển biểu thức thành đa thức Biểu thức f ( x) khai triển thành đa thức có dạng x n2   a x  a , ( a  0) a x n  a x n 1  a n 1 n n 2 n Ta cần tìm hệ số an , an 1 , an2 , , a1 , a0 (gọi chiều thuận) Ta có f ( x)  a xn  a n  f ( x) Khi xn n 1 a 1 a a a n x n 1 n 1 x n2 n 2 x n2 x2 ( ,a   a x  a   a 1 xn 1  0) n a xn a  lim f ( x) x xn n Như vậy, hệ số an tìm cách tính lim f (x) xn Ta lại có x  n n 1 f ( x )  a n x  a n 1 x a n 2 x n2   a x  a , ( a n  0) f ( x )  a n xn Khi  x a a n 1 n 1 n2  lim a n1 x 1 x   a1 x n   a0 xn1 f ( x )  a n xn xn1 n Như vậy, hệ số an1 tìm cách tính lim f ( x )  a x n x , với an tìm xn1 Tương tự, ta tìm hệ số an2 , , a1 , a0 Từ ý tưởng trên, để tìm hệ số an , an 1 , an2 , , a1 , a0 theo chiều thuận máy tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực theo bước sau Bước 1: Xác định bậc đa thức khai triển nhập biểu thức f (X) Xn Bước 2: Bấm phím CALC Nhập giá trị biến X 1000 Bước 3: Bấm phím  Màn hình hiển thị giá trị hệ số an Bước 4: Quay trở hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức Bước 5: Bấm phím CALC Nhập giá trị biến X 1000 a f (X)  a n X n1 Xn n1 Bước 6: Bấm phím  Màn hình hiển thịgiá trịcủa hệsố Tương tự, ta tìm hệ số an2 , , a1 , a0 Sau tìm hệ số an , an 1 , an2 , , a1 , a0 , ta có f ( x )  an x n  an 1 x n 1  an2 x n2   a1 x  a0 Ta thử lại kết cách Bước 2: Bấm phím CALC Nhập vài giá trị X Nếu kết phép khai triển với hệ số tìm Nếu hình hiển thị kết khác phép khai triển với hệ số tìm chưa cần kiểm tra lại Lúc này, ta kiểm tra lại hệ số cách tìm hệ số a0 , a1 , , an  , an 1, an (gọi chiều nghịch) hệ số tìm theo chiều nghịch trùng với hệ số tìm theo chiều thuận ta dừng lại Khi đó, ta thay hệ số tìm theo chiều thuận hệ số tìm theo chiều nghịch Ta có a  lim f ( x); x0 a  lim f ( x )  a0 ; x x0 f ( x )  a  a x   a n2 xn2  lim a n 1 n xn1 x0  lim a x0 ; f ( x )  a  a x  a n1 xn1 x n Từ ý tưởng trên, để tìm hệ số a0 , a1 , , an  , an 1, an theo chiều nghịch máy tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực theo bước sau nên điều kiện thích hợp cho việc sử dụng phương pháp hàm số để giải Giải Điều kiện x    x  5x3132x1x4 x   x   x   (*)  không nghiệm phương trình * Ta thấy x  Khi x  , xét hàm số   ; x   x   x      f ' x   5x3 1'  2x 1' 1 5x3 1 3 2x    15 x 1     , x   f x   x 1 3 x 1  f x đồng biến  Do hàm số  ; Mặt khác,    35  ;   f  nên x 1 nghiệm phương trình    * Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1 Ví dụ 3.23: Giải phương trình Phân tích:      x    x  x  x2 1    x    x  x  x2 1  x  x  x x   x2    Sử dụng chức SOLVE, 3X X8 X 2X 1 3 2X  1 3 0  3X X8 X 2X 13 2X 73 1 3 : X Can't Solve SHIFT CALC SHIFT dự đoán x  nghiệm phương trình Để ý x    x2    x   x  x  x  x  x  nên để phương trình có nghiệm điều kiện kéo theo x  Đặt f ( x )  x  x  x x   x2   Sử dụng chức TABLE, ta dự đoán f ( x) hàm số tăng Giải Điều kiện x      x    x  x  x2 1  x  x  x x   x2    Xét hàm số f x   x  x  x x   x2   0;    f ' x   x    x 1 2x2    2x2 1  x   32 x  x  x2 1 6x x2 1 Do 32 x  x   0,x  R nên f ' x   0, x  Suy hàm số f x đồng biến 0;  Mặt khác, f 0   nên x  nghiệm phương trình Vậy, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 3.24: Giải phương trình x x  x  12  12    x   x Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính, ta dự đốn phương trình có nghiệm x  X X  X 1212  5X 74 4X  4 CALC SHIFT X X 4 X X 12 12   X   CALC SHIFT : ( X  4) Can't Solv e Dùng chức TABLE máy tính, ta dự đốn hàm số f ( x )  x x  x 12 vế trái hàm số đồng biến hàm số g ( x )  12   x   x  vế phải hàm số nghịch biến Đồng thời, ta nhận thấy x  f (4)  g(4) 12 Giải Điều kiện  x  Xét hàm số f ( x )  x x  x 12 xác định liên tục 0; 4, có  0, x 0;4 x 12 f ( x )  x  2 nên f ( x) đồng biến 0;4  4 Xét hàm số g ( x )  12  x  x   g ( x )  12 (1)  xác định liên tục 0; 4, có   5  x    0, x 0;  x nên hàm số g ( x) nghịch biến 0;4  (2) Từ (1) (2), suy phương trình f ( x )  g ( x) có nghiệm f (4)  g(4) 12 nên x  nghiệm phương trình Vậy, phương trình có nghiệm x    Ví dụ 3.25: Giải phương trình x   3x5  x3  x  Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính, 4X 13 3X 5   X 3  4X 8SHIFT X 1 CALC 75  4X 1    4X 1   33X 5   X3  33X 4X 8 : (X 1) SHIFT2   CALC  5  4X 8 : ( X  1) : ( X  2) SHIFTCan't Solve X3    CALC nên dự đốn phương trình có có hai nghiệm x 1, x 2 Dùng chức CALC máy tính, nhận thấy x  , x 3 không nghiệm phương trình   4X 1 3 3X 5  X 3 4X 8 CALC9   4X 1   3X 5  X 3 4X 8 CALC24,63621368  3 1 nên ta xét x   3,  \     4x   33x    3x   x   4x  x3 4x  4x 1  x 3x   x   x  1  76 1 4x   Xét hàm số f (x )  3x   x   x   3,  \   4 4x 1 Dùng chức TABLE máy tính, ta dự đốn hàm số f ( x) đồng biến     khoảng  3;  ,  ;   4  Giải Điều kiện x    x 3 Do x  , x 3 không nghiệm phương trình nên ta xét  1 x 3, \   Ta có    4x  x   4x  3x    33x    Xét hàm số f ( x )  3 x3 4x  4x 1 x  x   x   x 1  (*) 3x5  3 x  5 4x8 x3 f ( x )   4  x 1 x3   1 x   3,  \   , có 4   1 36 4 x 1  0, x   3,  \    4 Bảng biến thiên x  f ( x)  + +  f ( x) 3 4  13  77 Ta có phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm hàm số f ( x) trục Ox có phương trình y  Từ bảng biến thiên suy phương trình (*) có tối đa hai nghiệm có f ( 2)  f (1)  nên x 2 , x 1 hai nghiệm cần tìm Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x 2 , x 1 Ví dụ 3.26: Giải phương trình x   x   x  x 1 Phân tích: Nhận thấy lập phương hai vế phương trình phức tạp, quan tâm đến mối liên hệ biến thức, ta nhận thấy x    x2 1 x    x  11 Tức x   x   x  x 1    1 2x   x113 x13 x với vế trái vế phải có dạng f t   t   t mà ta gọi hàm đặc trưng Dùng chức TABLE máy tính, ta dự đoán hàm số f (t) đồng biến  Khi đó, phương trình viết dạng f    x   f 2x2 nên sử dụng phương pháp hàm số sau Giải  x   x   x  x 1       x 1 1  x   x     t 1  Từ   , có f ' t    Do hàm số f t  đồng biến    2x    f x 1  f x2 Xét hàm số f  t   t    33 t2 2  3 t 1   0,x  \ 1;0 suy x  f x  1  f 2x   x   2x  2x  x     2  Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x  ; x  78 x    1  x x 1 Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh năm 2011 Ví dụ 3.27: Giải phương trình 24 x  60 x  36  Phân tích: Dùng chức SOLVE máy tính, 24 X 60X 36  5X 7 24X 60X 36   5X 7  1,5  SHIFT CALC X 1  :X  CALCCan't Solve   X 1  3  2 SHIFT dự đốn phương trình có nghiệm x  1 24 x  60 x  36   0 5x7 x 1 1  25 x  60 x  36   x2  5x7 x 1   x  62     5 x   1  f 5x6 f x Xét hàm số f t  t   x2       x 1 1 1; Dùng chức TABLE máy tính, t 1 ta dự đốn f ( x) hàm số đồng biến 1;  Giải Điều kiện x  79 24 x  60 x  36  1 0 5x7 x 1 1  25 x  60 x  36   x2  5x7 x 1   x  62    5 x   1    x2   x 1  f x 6 f x    Xét hàm số f t  t  1; , ta có: 1 t 1 f ' t   2t  t  t 1  0, t 1         Do hàm số f t đồng biến khoảng 1;    Từ suy f 5x  6  f x   5x   x  x  Vậy, phương trình cho có nghiệm x  x  x 8 Ví dụ 3.28: Giải phương trình x  x   ( x  1)  x   (*) Đề thi THPT Quốc gia 2015 Phân tích:Ví dụ giải cách, trình bày ví dụ 3.5, 3.12 3.15 Bây giờ, giải theo cách thứ phương pháp nhân lượng lien hợp phối hợp với phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Điều kiện: x 2 x  2x  x  2x   ( x  1) x    ( x  2)( x  4)  ( x 1) x   x  2x  x22  ( x  2)( x  4)  ( x 1) x  x22x3 x22  x4 x 1   ( x  2)   0  x  2  x 2 x  x   x4 x 1   x22x3 Ta có  x2 2  (*) 80  x   x     x  1x  x  3   x    x   2  x    x  (  2          2  Xét hàm số f (t )   t  t  2 Sử dụng chức TABLE máy tính ta dự đốn f (t) đồng biến Giải Điều kiện x 2 x  2x  x  2x   ( x  1) x    ( x  2)( x  4)  ( x 1) x   x  2x  x22  ( x  2)( x  4)  ( x 1) x  x22x3 x22  x4 x 1   ( x  2)   0  x  2  x 2 x  x   x4 x 1   x22x3 x2 2  Ta có (    x22   4t     nên f (t) đồng biến Từ (2) (3) ta có f  (*) x     x  1x   x  3 x    x     x    x   2 (2) Xét hàm số f (t )   t  t    f ' t   3t      3t  2 3      x   x  x 1 81      0, t  x   f x 1  x   x 1  x23x10  (3)     x  x   13  13 Thử lại, phương trình cho có hai nghiệm x  ; x   13 Bài tập tương tự Bài 1: Giải phương trình x   x2  1 ĐS: x  32x Bài 2: Giải phương trình x 1   x3  ĐS: x 1 Bài 3: Giải phương trình x  1 x   3 x    x  ĐS: x  Bài 4: Giải phương trình ( x  1)  x   ( x  5) x   x  31  ĐS: x  Bài 5: Giải phương trình x  x  15 x 13 x24x7  x9  x 12 29 3 ĐS: x  Bài 6: Giải phương trình  x  3 x    x    x  x  ĐS: x  Bài 7: Giải phương trình x  x   x   x  x   x  418 ĐS: x  Bài 8: Giải phương trình  Bài 9: Giải phương trình  2x7  x   x    ĐS: x  1; x  x  x  x  x   x   3 ĐS: x  ; x  ; x  Bài 10: Giải phương trình x  36 x  53 x  25  3 x  ĐS: x  2; x   82 KẾT LUẬN Khóa luận đề cập đến số kiến thức phương trình vơ tỷ, đưa ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào việc định hướng giải phương trình vơ tỷ Việc trình bày số ứng dụng máy tính vào ví dụ phương trình vơ tỷ cho thấy ưu điểm phương pháp giúp học sinh tận dụng triệt để máy tính bỏ túi vào việc định hướng giải phương trình vơ tỷ Tuy nhiên, khơng phải phương trình vơ tỷ giải nhờ hỗ trợ máy tính bỏ túi Nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực máy tính bỏ túi, em học sinh đưa phương pháp, cách giải phương trình vơ tỷ nhanh chóng xác Từ đó, giúp học sinh tư tốt hơn, hồn thành tốt tốn giải phương trình vơ tỷ Đặc biệt em học sinh lớp 12, với hỗ trợ máy tính VINACAL 570ES PLUS nói riêng máy tính bỏ túi nói chung giúp em tự tin kì thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học, cao đẳng 84 ... Một số chức máy tính VINACAL 570ES PLUS giải phương trình vơ tỷ Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vơ tỷ Chương KIẾN... kép máy tính 27 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương pháp lũy thừa hai vế 29 1.1 Phương trình. .. đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vơ tỷ Với mục đích, đưa phương pháp, cách giải phương trình vơ tỷ nhanh chóng,