Nhắc lại một số kiến thức về giá trị riêng và phổ của một tốn tử tuyến tính.
Cho X là khơng gian Banach trên trường K3
và K: X → X là tốn tử tuyến tính.
1. Số λ ∈ K là giá trị riêng của Knếu cĩ vector X ≠ θx sao cho:
Kx = λx hay (K - λI) (x) = 0.
2. λ≠ 0 được gọi là giá trị đặc trưng của Knếu λ-1 là giá trị riêng của K.
3. λ được gọi là giá trị phổ của K nếu K — λI khơng đẳng cấu từ X vào X. Ký hiệu σ(K)là tập các giá trị phổ của K, và gọi là phổcủa K.
4. λlà giá trị riêng của K ⇒λ > ∈ σ(K).
Trong chương này, đầu tiên mà chúng ta nĩi đến là việc đi tìm điều kiện cần hay đủ cho sự tồn tại điểm phân nhánh của phương trình:
f(x,λ) = 0, với các giả thiết được nêu sau đây:
Cho X là các khơng gian Banach trên trường số thực, Ω là lân cận của điểm (0, λo) trong X x . Giả sử ánh xạ ƒ : Ω→ X liên tục, thuộc lớp Cp≥ 1 và tại điểm (0, λo) thì ƒ (0, λo) = 0.
Định nghĩa 3.1. Theo định nghĩa 2.2, ta cũng cĩ thể nĩi rằng (0,λo) là điểm phân nhánh của phương trình ƒ(x, λ) = 0 nếu:
(0, λo) ∈ cl {(x, λ) ∈ Ω : ƒ (x, λ) = 0, x ≠ 0}2
Như vậy, (0,λo) là điểm phân nhánh nếu tồn tại trong Ω dãy{(xn, λn)}n thoả mãn
f(xn, yn) = 0 và xn ≠ 0, ∀n∈* sao cho:
n n o n lim (x ,λ ) (0,λ ) →∞ = 3Trường K cĩ thể là thực hay phức.
Định lý 3.1. Cho (0, λo) là điểm phân nhánh của phương trình f (x,λ) = 0.
Khi đĩ:
(a) Nếu fx: Ω → £ (X) liên tục thì fx (0, λo): X → X khơng là phép đồng phơi tuyến tính. (b) Ta đặt f (x, λ) = x - λKx + g(x,λ) với K ∈ £(X), và x 0 g(x, ) lim 0 x λ → = đều theoλ, λ ≤δ) δ > 0; lúc đĩ ta sẽ cĩ 1 o (K) λ σ∈ . CHỨNGMINH (a)
• Giả sử rằng fx(0, λo) là phép đồng phơi tuyến tính, ngồi ra ta thấy ƒ liên tục trên Ω, fx liên tục, và ƒ (0, λo) = 0.
• Như vậy, các điều kiện giả thiết của định lý hàm ẩn được thoả mãn, do đĩ tồn tại quả cầu Br(λo) ⊂ và duy nhất u: Br(λo) → X sao cho:
{u ( o) 0 f (u ( ), ) 0
λ
λ λ= =
hay (0, λ) là nghiệm tầm thường 0 của ƒ gần (0, λo) từ đây theo định nghĩa 3.1 suy ra (0, λo) khơng là điểm phân nhánh của phương trình ƒ(x,λ) =0 (điều này trái giả thiết).
• Vậy ta cĩ được kết quả fx (0, λo) khơng là phép đồng phơi tuyến tính. • Giả sử rằng 1 1
0 (K) 0
λ− ∉σ ⇒λ− khơng là giá trị riêng của K. Do đĩ với ε > 0 sao cho λ ∈ [λo - ε, λo + ε) thì: (I - λK) : X → X, là đồng phơi tuyến tính với |λ| bé.
• Dưới đây ta kiểm chứng rằng điểm (0, λ) sẽ là nghiệm tầm thường 0 của phương trình f(x,λ) =0, thật vậy nếu (x, λ) là cũng là nghiệm tầm thường
(x≠ 0) thì:
f(x, λ) = 0 ⇔ x – λKx + g(x,λ)= 0
⇔ (I – λK)x = -g(x,λ)
Cho x → 0, và do tính đều của g(x, λ) theo λ khi λ đủ nhỏ thì (3.1) khơng thể xảy ra. Vậy phải cĩ (0, λ) là nghiệm tầm thường.
• Do đĩ (0, λo) khơng là điểm phân nhánh của phương trình ƒ(x,λ) = 0 (điều này mâu thuẫn với giả thiết), vậy ta cĩ được kết quả 1
o (K) λ− ∈σ
Nhận xét 3.1. Như vậy từ định lý 3.1 chúng ta cĩ hai điều kiện cần để (0, λo) là điểm phân nhánh của phương trình f(x,λ) = 0 là:
(I) ƒx (0, λo): X → X khơng là phép đồng phơi tuyến tính. (II) λo là giá trị đặc trưng của K.
3.1.1. Giá trị riêng bội lẻ
SỐ BỘI CỦA GIÁ TRỊ RIÊNG.
Với X là khơng gian Banach, K ∈£(X) và λ ∈ σ (k) \{0}, đặt: m m 1 Nλ ∞ N(K λI) = = − và m m 1 Rλ ∞ R(K λI) = = −
Định nghĩa 3.2. Ta nĩi số bội của giá trị riêng λ chính là số chiều của Nλ và ký hiệu là nλ(K).Như vậy: m
m 1
n (K)λ dim ∞ N(K λI)
=
= −
Định lý 3.2. (Riesz)
Nếu K là tốn tử tuyến tính compact từ khơng gian Banach X vào chính nĩ, λ ∈ σ (K) \ {0} thì:
(a)λlà giá trị riêng của K.
(b) Rλ đĩng và Nλ hữu hạn chiều.
(c)X = Rλ ⊕ Nλ
(d)K (Rλ) ⊂ Rλ và K(Nλ) ⊂ Nλ
(e)(K - λI)|Rλ: Rλ → Rλlà phép đồng phơi tuyến tính.
CHỨNGMINH.
Xem trong [3], của Jean Dieudonné, trang 216 - 220. ■
BẬCLARY-SCHAUDERCỦANGHIỆMCƠLẬP.
. D là tập mở bị chặn trong khơng gian Banach X, D= ∪ ∂D D và ánh xạ ϕ: D X,thoả mãn 1
C (D) C (D), X \ ( D)
1. xo ∈ D là nghiệm cơ lập của phương trình ϕ (x) = 0, 2. K = I - ϕlà ánh xạ compact.
3. ϕx(xo) = I - Kx(xo) là khả đảo.
. Từ định lý hàm ẩn, ta chọn được quả cầu mở tâm xo bán kính ε, Bε(xo) = {x∈ D : ϕ(x) = θ, x−xo < ε}. Đặt T = Kx{xo), do K là ánh xạ compact nên T là ánh xạ compact (xem [4] của L. Nirenberg, Bổ đề 2.7.1, trang 73).
. Như vậy cĩ thể xác định được bậc tơpơ của ϕ trên Bε(xo) tại θ là deg (ϕ,
Bε(xo), θ). Với 0 < ε ≤ εo, bậc này khơng phụ thuộc vào ε, được gọi là chỉ số của ánh xạ ϕtại xo.
Định lý 3.3. (Leray-Schauder)
Với các giả thiết nêu trên, thì:
deg (I – K, Bε(xo), θ) = (- 1)β, với β =Σλ≥1 n
λ(K)
CHỨNGMINH.
Xem trong [4], của L. Nirenberg, trang 81 và 82. ■ ÁPDỤNGTRONGLÝTHUYẾTPHÂNNHÁNH
Ta xét phương trình:
f(x, λ) = x - λKx + g(x, λ) = 0 (3.2) trong lân cận của điểm (0, λo). Giả sử rằng T = I - λoK là tốn tử Fredholm chỉ số khơng, và λo là giá trị đặc trưng cơ lập của K. Từ định nghĩa 3.2 cũng nĩi số bội của giá trị đặc trưng cơ lập λo là dim N(Tm), trong đĩ m là số luỹ thừa bé nhất thoả mãn N(Tm+1
) =N(Tm).
Định lý 3.4. Cho X là khơng gian Banach thực, K ∈ £(X), Ω là lân cận của (0, λo) trong C x và tốn tử g: Ω → X liên tục thỏa mãn g (0, λ) = 0. Giả sử rằng:
(i) I - λo K ỉà tốn tử Fredholm chỉ số khơng vàλo là giá trị đặc trưng cơ lập, bội lẻ của tốn tử K.
(ii) g(x, ) g(x,λ − λ ≤ ϕ(r). x−x nếu (x,λ), (x ,λ) ∈Ω trong đĩ x, x ∈Br
r 0
lim (r)ϕ 0
→ =
Khi đĩ (0, λo) là điểm phân nhánh của phương trình ƒ(x, λ) = 0.
CHỨNGMINH.
Bước 1.
. Rõ ràng, các giả thiết về gnĩi lên rằng:
r 0
lim (r)ϕ 0
→ =
đều theo λ với λ λ− o ≤δ δ, >0 . Với T = I - λoK: X → X và gọi m là số luỹ thừa bé nhất thoả mãn N(Tm+1
) = N(Tm). Như vậy theo định lý Riesz thì: . X = N(Tm) ⊕ R(Tm), mà cả hai khơng gian con này bất biến theo K.
. T|R(Tm): R(Tm) → R(Tm) là phép đồng phơi tuyến tính. . λo là giá trị riêng của K|N(Tm).
Ta đặt:
Q: X→ N(Tm)
x → Qx,
là ánh xạ chiếu lên N(Tm), như đã biết ánh xạ chiếu Q là tốn ánh, liên tục, mở. Ta cĩ R(I - Q) = R(Tm),thật vậy: N(I - Q) = (I – Q) (X) = X | Q(X) = [N (Tm) ⊕ R(Tm)] \ N(Tm) = R(Tm) (do Q là tồn ánh), do đĩ: I – Q: X →R(Tm) x → (I – Q)x
Vậy nếu ta đặt u = Qx và z = (I – Q)x, với mọi x ∈ X = N(Tm) ⊕ R(Tm) thì x
được viết duy nhất dưới dạng:
x = u + z,với u∈ N(Tm) và z ∈R(Tm).
Ngồi ra chúng ta cĩ:
⇔(I - λoK)x = µKx – g(x,λo + µ)
⇔ Tx = µKx – g(x, λo + µ) (3.3) . Vì rằng Xlà tổng trực tiếp của N(Tm) và R(Tm) nên m m { }
N(T )∩R(T )= 0 - Trường hợp 1. x = 0 + z ∈ X, ta cĩ: Ω N(Tm) và R(Tm)⊕ R(Tm) (I – Q)g I – Q R(Tm) (0 + z, λo + µ) ∈Ω ⇒ g (0 + z, λo + µ) ∈ N (Tm) ⊕ R (Tm) ⇒ g (z, λo + µ) = 0 + z = z (3.4) Ngồi ra I – Q: X → R (Tm) là phép chiếu, nên với 0 + z ∈ X thì:
(I – Q) (0 + z) = z (3.5) Từ (3.4) và (3.5) ta cĩ kết quả là:
(I – Q)g(z,λo + µ) (3.6)
Tĩm lại trong trường hợp này, từ (3.3) và (3.6) cho ta:
Tz = µKz – (I – Q) g (t + z, µ) (3.7) trong đĩ g(u + z, µ) = g(z,λo + µ) - Trường hợp 2. x = u + 0 ∈ X, ta cĩ: Ω N(Tm) ⊕ R(Tm) Qg Q N(Tm)
Tương tự như cách lập luận trên ta thu được kết quả:
Tu = µKu — Qg(µ + z, µ) (3.8) . Đặt 1 ( m): ( ) m R T S= − R T , ta cĩ S tồn tại do T|R(Tm ) là phép đồng phơi tuyến tính. Như vậy tác động hai vế của (3.7) cho S,ta được:
z = µSKz - S(I – Q)g (u+z,µ)
⇒ (I - µSK)z = - S (I – Q)g(u + z, µ) (3.9) ⇒ z = - (I - µSK)-1S (I – Q)g(u + z, µ)
Bước 2.
. Đối với u, µ đủ nhỏ, ta cĩ thể giải phương trình (3.9) bằng cách đặt một hàm hai biến liên tục z (u,µ) thoả mãn:
1. u ≤ r; |µ| ≤ η 2. z (0,0) = 0, 3. 0 ( , ) lim 0 u z u u µ → = , đều theo µ 4. 0 max ( , BxJ z = z u µ là đủ nhỏ, trong đĩ B = Br(0) ∩ V, V = N™ và J = [-η,η)
. Từ các điều kiện của hàm g ở giả thiết (ii) cho phép chúng ta áp dụng định lý điểm bất động Banach đối với:
M = {z∈CZ(B x J) : ||z(u,µ)|| < c||u|, ||z|| ≤ ε}
trong đĩ Z = R(Tm) và c > 0. Lúc đĩ ta cĩ được sự tồn tại duy nhất của z(u,µ).
Với w(u,µ) đặt z u( , )
u
µ
thì w thoả mãn ||w||0 ≤ c, thật vậy vì bởi z∈ M, cho nên với mọi u≠ 0 ta cĩ: ( |{0} ( , ) ( , ) max B xJ z u z u c c u u µ µ ≤ ⇒ ≤ . Do đĩ từ (3.9) suy ra: ( , ) ( , ) z u w u u µ µ = 1 0 ( ( , ), (I SK) S I( Q) g u u w u u 0 u µ µ µ − → +
= − − → đều theo µ, khi |µ|≤η
. Như vậy, tất cả các nghiệm bé của ƒtrong lân cận của điểm (0, λo) đều ở trong tập sau đây:
{(x,λ) : x = u + z (u, µ), µ ≤ r, |u| ≤ η, và λ = λo+ µ}
. Bây giờ, thay thế z = z (u,µ) vào phương trình phân nhánh; tức là đối với phương trình (3.8) trên V = N(Tm), ta đặt h: B x J→V, được cho bởi:
H (u, µ) = (T - µK) u + Qg(u + z (u,µ), µ)
. Rõ ràng, h là liên tục, phần phi tuyến của h là o (||u||) khi u→ 0, phần tuyến tính của h là tính đồng phơi tuyến tính theo µ khi µ ≠ 0. Do đĩ hội đủ điều kiện để áp dụng định lý về tính bất biến đồng luân Brouwer. Xét đồng luân: . Chọn µ1, µ2 sao cho -η≤ u1 < 0 < µ2 ≤ η và ε∈ (0, r].
.Đồng luân h(u,µ1) trên V \ {0} tới (T - µiK)|V, ∀i = 1, 2. Khi đĩ:
deg (h (u,µi), Bε(0), 0) = deg (T - µiK, Bε(0), 0), trong đĩ T - µiK = I - λoK - µiK = I- (λo + µi)K
. Như vậy theo định lý Leray-Schauder cho ta:
Deg (h(u, µi),Bε(0),0) = deg (I -(λo + µi)K, Bε(0), 0) = (-1)m (3.10) trong đĩ mi = m(λo + µi) là tổng của các số bội của giá trị riêng λcủa tốn tử K|V thoả mãn λ (λo + µi) > 0, và mi = 0 nếu như khơng cĩ một giá trị riêng nào.
. Khi đĩ 1
o
λ− là giá trị riêng duy nhất của tốn tử K|V và xảy ra: 1 1 1 2 ( ) 1 ( ) 1 o o o o λ λ µ λ λ µ − − + > + < hoặc là: 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 o o o o λ λ µ λ λ µ − − + > + <
. Ta thấy một trong những bậc của (3.10) là +1 trong khi đĩ bậc cịn lại là -1, do số bội của 1
o
λ− là số lẻ. Vậy thì h phải cĩ một nghiệm là 0 trong [µi, µ2] x ∂
Bε(0), hay nĩi cách khác hlà phép đồng luân chấp nhận được. Ở đây nếu ta xem (uo,µo) là nghiệm 0 của h thì (xo,λo+ µo) là nghiệm khơng tầm thường của ƒ,
trong đĩ xo = uo + z(uo, µo).
. Ta cĩ thể chọn ε và µi gần gần 0 ta sẽ cĩ được (0, λo) là điểm phân nhánh của
3.1.2. Giá trị riêng đơn
Định nghĩa 3.3. Với X là khơng gian Banach, K ∈ L (X) và λ ∈ σ (K)\{0}. Khi số bội của giá trị riêng λbằng 1, ta nĩi A là giá trị riêng đơncủa K.
NHẬN XÉT 3.2. Với giả thiết I -λoK là tốn tử Fredholm chỉ số khơng. Để ý rằng 1
0
λ− là cơ lập nếu như nĩ là một giá trị riêng đơn của K. Thật vậy, ta cĩ X = N(T) ⊕ R(T) và đặt N T( )= u −{tu t: ∈}, khi đĩ với mỗi x ∈ X sẽ được viết duy nhất dưới dạng x = tu + z. Với mỗi µ ≠ 0, đủ nhỏ thì:
x - (λo + µ)KX = 0 (3.11) ⇔ (I - λo K)x - µKx = 0
⇔ (T - µK)x = 0 (3.12)
Với tu = 0 thì x = z, vậy từ (3.12) suy ra (T - µK)z = 0, do đĩ z= 0 và ta cũng cĩ
t =0. Thế thì x = 0, vậy từ (3.11) và với µđủ nhỏ ta suy ra sự cơ lập của 1
o
λ−
.
Định lý 3.5. Cho X là khơng gian Banach thực, K ∈ L (X), Ω là lân cận của (0, λo) trong X x và tốn tử g: Ω→ X thoả mãn gλ, gx và gλx liên tục trên Ω. Giả sử rằng:
(i) I - λoK là tốn tử Fredholm chỉ số khơng và λo là giá trị đặc trưng đơn của tốn tử K.
(ii) g(0,λ) = 0, limx 0 g x( , ) 0
x
λ
→ = , đều theoλ với |λ - λo| ≤ δ, δ > 0.
Khi đĩ (0, λo) là điểm phân nhánh của phương trình (3.2) và cĩ một lân cận V của (0, λo) sao cho:
{ } { }
1
(0) ( ( ), o ( ) : (0, ) : (0, )
f − ∩ =V tu+tz t λ +µ t t <α ∩ λ λ ∈V (3.13)
trong đĩ α > 0, với µ, z là các hàm liên tục thoả mãn µ(0) = z(0) = 0, và miền giá trị của hàm z được chứa trong phần bù của hạch N(I - λoK) = u .
CHứNG MINH.
. Từ cảc giả thiết được cho đều thoả mãn các điều kiện của định lý 3.4 ở trên lân cận đủ nhỏ của điểm (0, λo), vì thế nên (0, λo) đúng là điểm phân nhánh của f. . Trong phần chứng minh ở bước 2 của định lý 3.4 mà bây giờ ta áp dụng vào trường hợp đơn giản là N(T)= u ={tu : t∈}, chúng ta cũng cĩ:
{ }
1
(0) , ) :λ ( , ),µ µ η, ;λ λ µ
− ∩ o ⊂ = + < < = o +
f V x x tu tw t t r ,
trong đĩ Vo là lân cận của (0, λo) và w(t,µ) là một hàm liên tục thoả mãn w(0,µ) = 0 trên µ η< .Hơn nữa ta cĩ tw (t,µ)∈ C1(-η, η). Thật vậy:
1. Chứng minh sự tồn tại của hàm w(t,µ). . Ta cĩ X = N(T) ⊕ R(T) = u ⊕ R(T).
. Đặt X = −[( δ δ, )∩N(T)]x(−η η, ), khi đĩ với mỗi x ∈X sẽ được viết dưới dạng x =(t, )µ trong đĩ t ( , ) N(T),∈ −δ δ ∩ µ∈ −( η η, )và đặt:
H:R(T) x X→X
(z, t, µ) → H(z, t, µ)
được cho bởi H(z, t, ) (Iµ dat= −µSK)z+S(I−Q)g(tu+z), với cách đặt này thì H đúng là ánh xạ.
. Ngồi ra H thoả mãn các điều kiện của định lý hàm ẩn, cho nên với mỗi δ, µ > 0 sao cho \t\ < δvà \µ\ < ηthì: x (0, ) (t, ) (0, ) (t,0) t µ µ µ δ η − = − = = < +
ta chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho δ + η <ε . Khi đĩ theo định lý hàm ẩn thì tồn tại quả cầu B (0, )ε µ ={x ∈X : x−(0, )µ <ε} và tồn tại duy nhất ánh xạ:
tw: Bε(0, µ) → R(T)
xtw(x=tw(t, )µ thoả mãn:
H(tw(x)=tw(t, )µ (3.15) 2. Chứng minh wµ liên tục trên (-η,η).
Ta cĩ: (3.15) ⇔ −(I µSK)tw(t, )µ +S(I−Q)g(tu+tw(t, ), )µ µ =0 1 1 w(t, )µ t [ (I− µSK) S(I− Q)g(tu tw(t, ), )]µ µ ⇔ = − − − + 1 w(t, )µ t A( )g(x(t), )− µ µ ⇔ = (3.16)
Lấy vi phân của w ở (3.16) theo µ khi t ≠0, ta được:
1[A( )g(x(t), )] w (t, ) t [A( )g(x(t), )] µ µ µ µ µ µ − = − 1 A '( )g(x(t), ) A( )g (x(t), t . I A( )g(x(t), )] µ µ µ µ µ µ µ − + = − (3.17) Để ý rằng g =(x, )µ =g(x,λo +µ λ λ), = o +µ, vậy thì x x 0 g(0 x, ) g(0, ) g (0, ) lim x λ λ µ → + − = = x 0 g(x, ) lim 0 x λ → =
Do đĩ ta cũng cĩ g (x(t), )x µ =g (0, )x(t)xµ µ +o( t ) khi t →0, ở đây ta thấy vế phải của (3.17) tiến về khơng khi t → 0, và vì vậy ta cĩ được kết quả là wµ liên tục.
Bước 2
. Cũng giống như phần chứng minh ở bước 1 của định lý 3.4 ta cĩ một kết quả tương đương với (3.8) là:
Ttu=µKtu−Qg(tu+tw(t, ), )µ µ
ở đây ta thay Ttu=0 và Ktu=λo−1 vào kết quả này thì phương trình phân nhánh trở thành: h(t, )µ =0 trong đĩ: 1 o h(t, )µ =µλ− tu−Qg(tu+tw(t, ), )µ µ
. Với thừa số t trong số hạng đầu tiên của h(t, )µ , chúng ta cĩ h (0,0)µ =0, do đĩ khơng thể áp dụng định lý hàm ẩn một cách trực tiếp được. Nhưng khi t = 0 thì tương đương với nghiệm bé duy nhất của f. Vậy ta chia ra các trường hợp là t = 0 hay t ≠0, bằng cách: { 1 } 1 o t h ( t, ) voi t 0 u voi t 0 h(t, )µ µλ− µ − ≠ = =
- Rõ ràng, h liên tục, h (0,o) =0. Ngồi ra hµcũng liên tục, cho nên:
1 x t 0 t Qg (x(t), )− µ µ Qg (x(t), )µ 0 → + → 1 o h (0,0)µ =λ− v≠0
- Do đĩ, theo định lý hàm ẩn sẽ tồn tại một duy nhất hàm µ sao cho: µ (0) = 0
h(t,µ(t)) = 0, với t đủ nhỏ
. Vậy ta cĩ được (3.13) mà trong đĩ z(t) = w (t, µ(t))
3.1.3. Sự phân nhánh ở vơ cực
Một tập mở Ω được gọi là lân cận của ∞ trong khơng gian Banach thực X nếu
Ω = Ω ∪ ∂Ω là phần bù của lân cận bị chặn của khơng. Điều mà ta quan tâm đến là giải pháp tìm nghiệm “lớn” của phương trình f(x,λ) = 0.
Định nghĩa 3.4. Cho Ω là tập bất kỳ trong khơng gian Banach thực X, Λ=(λo - δ, λo + δ) ⊂ , và ánh xạ f: Ω xΛ→ X. Khi đĩ (∞, λo) được gọi là điểm phân nhánh tiệm cậncủa phương trình f(x, λ) = 0 nếu tồn tại dãy nghiệm {(xn, λn)}n trong Ω x Λthoả mãn:
n n o
n
lim( x ,λ ) ( ,λ )
→∞ = ∞ lim.(\\xn\\y xn)= (ọo, Ao). NHẬN XÉT 3.3. Phạm vi mà chúng ta sẽ xét đến là hàm:
f(x, λ) = x - λKx +g(x,λ),
trên Ω x Λ, ở đây Ω là lân cận của ∞, K ∈ L{X) và g: Ω x Λ→ X liên tục thoả mãn x g(x, ) lim 0 x λ
cách xây dựng một ánh xạ x x2 x
. Khi đĩ bài tốn gốc của chúng ta là x —
λKx + g(x, λ)= 0 trở thành: w−λKw+g(w, )λ =0 với (w, λ) ∈Ωo x Λ (3.18) ở đây o { } 2 { } o o w w X \ 0 : 0 , ( , )