Phương pháp giải các bài toán động lực học vật rắn

Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật rắn và một số định luật bảo toàn chi phối chuyển động của vật rắn.. Trong chuyển động tịnh tiến: Tất cả

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của

khoá luận này, đồng thời em xin chân thành cám ơn thầy cô giáo trong tổ Vật lý đại cương đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình

Tuy nhiên đây là bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong được sự góp ý của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Hà nội, tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Phí Thị Trâm

Lời cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp “Phương pháp giải các bài toán động lực học vật

rắn” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

2.2 Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn

2.2.1 Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng

2.2.2 Bài tập áp dụng định luật bảo toàn hoặc biến thiên

Phần A: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những định luật của sự vận động vật chất

Cơ học nghiên cứu những vất đề đơn giản nhất nhưng lại là cơ bản nhất trong hệ thống tri thức Vật lý Cơ học vật rắn là một phần của giáo trình cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật rắn, điều kiện cân bằng của vật rắn và một số hiệu ứng liên quan Vậy vật rắn là gì? quy luật chuyển động của nó như thế nào

và bị chi phối bởi những định luật nào?

động của vật rắn Chính vì vậy tôi bước vào nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải các bài toán động lực học vật rắn”

2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu chuyển động và cân bằng của vặt rắn

- Đề ra phương pháp giải các bài tập động lực học vật rắn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật rắn và một

số định luật bảo toàn chi phối chuyển động của vật rắn

- Đưa ra phương pháp giải bài toán động lực học vật rắn

- Minh hoạ bằng việc giải một số bài toán động lực học vật rắn

4 Đối tượng nghiên cứu:

Động lực học vật rắn và các bài toán liên quan

5.Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp phân tích- tổng hợp

- Phương pháp đối chiếu- so sánh

Phần B: Nội dung Chương 1: Động lực học vật rắn 1.1 Chuyển động của vật rắn

- Chuyển động bất kỳ của vật rắn có thể quy về hai dạng chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Trong chuyển động tịnh tiến: Tất cả các điểm của vật đều có cùng một véctơ vận tốc và véctơ gia tốc tại mỗi thời điểm bởi vì các điểm của vật đều có

độ dời như nhau Do vậy để nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật thì chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của nó; người ta thường chọn điểm này là khối tâm của vật

Trong chuyển động quay tất cả các điểm của vật chuyển động theo những

đường tròn có tâm nằm trên cùng một đường thẳng gọi là trục quay Những điểm nằm trên trục quay có vận tốc bằng không Mô tả chuyển động quay của vật cần phải biết vị trí của trục quay trong không gian và vận tốc góc của vật tại mỗi thời

điểm

- Trong đề tài này ta chỉ xét chuyền động song phẳng Chuyển động song phẳng là chuyển động trong đó mọi điểm của vật dịch chuyển trong những mặt phẳng song song với nhau Một dịch chuyển nguyên tố d S của một điểm của vật chuyển động song phẳng có thể chia thành hai dịch chuyển: dịch chuyển “tịnh tiến” d S tt và dịch chuyển “quay” d S q

S d dt

S d dt

S d

Trong đó v0 là vận tốc của chuyển động tịnh tiến, vận tốc này là như nhau

đối với mọi điểm của vật; v, là vận tốc gây bởi chuyển động quay, các điểm khác nhau có vận tốc v, khác nhau

Như vậy có thể biểu diễn chuyển động song phẳng của một vật rắn như là tổng hợp của hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến với v0 và chuyển động

quay với vận tốc góc  quanh một trục nào đó Vận tốc ,

v của điểm có bán kính vectơ r so với trục quay, do sự quay của vật rắn gây ra là v,  r

Vậy vv0 r

Thông thường điểm cơ bản được chọn trùng khối tâm thì vv G  r

   

- Vận tốc của chuyển động tịnh tiến của vật rắn phụ thuộc điểm cơ bản ta chọn còn vận tốc góc lại có giá trị như nhau đối với các trục quay tức thời được chọn khác nhau

Chứng minh:

+ Xét chuyển động của vật rắn đối với hệ toạ độ nằm yên ở gốc O

M ,

A

v ; là vận tốc của điểm M, A đối với hệ O

Vật tuyệt đối rắn quay quanh trục qua A với vận tốc  Nên AM có độ lớn không đổi mà chỉ thay đổi về phương

 r

dt

r d

v M  A    (1.2)

(1.1) và (1.2) cùng biểu diễn vận tốc của điểm M trong hệ O nên ta có:

'

r v

r v

Xét vật rắn là một hình trụ quay quanh một trục không đổi với vận tốc

góc không đổi  đối với hệ K’ gắn với trục quay Hệ K’ chuyển động tịnh tiến

đối với hệ đứng yên K với vận tốc v0 theo trục ox

Hình trụ có bán kính R, nếu lăn không trượt dọc theo ox thì mỗi vòng lăn,

trục hình trụ đã dịch chuyển đối với hệ K một đoạn bằng 2πR Trong khoảng

thời gian dt, đoạn dịch chuyển là:

ds tt = ωRdt

Vận tốc tịnh tiến v 0 của hình trụ đối với hệ K dọc theo ox là:

R dt

v của mỗi điểm trên mặt hình trụ đều có cùng

mô đun v ’ = ωR và có phương tiếp tuyến với quỹ đạo

Vậy: Vận tốc của mỗi điểm trên mặt hình trụ đối với hệ K là: ,

- Nếu chọn trục tức thời qua A thì vận tốc tịnh tiến của A bằng 0 nên vận

tốc của các điểm trên hình trụ chỉ là vận tốc quay quanh trục tức thời với vận tốc góc cũng là 

Vật rắn chuyển động xung quanh trục cố định oz mỗi điểm của nó chuyển

động trên đường tròn vuông góc trục quay, có tâm nằm trên trục quay

F : là thành phần song song trục oz Thành phần này làm vật chuyển động

dọc trục Khi trục quay cố định thì F// cân bằng với phản lực liên kết

Mômen của lực F đối với tâm O là M r0F, phương của M không

trùng với oz Mômen của lực F đối với trục quay oz là thành phần M z của M

trên trục oz:

M Z rFsinr F  , rF t

- Gọi các chất điểm của vật rắn là m i Chất điểm chịu tác dụng của nội lực

và ngoại lực nhưng nội lực không làm biến đổi chuyển động của vật rắn nên ta chỉ quan tâm tới ngoại lực

Xét chất điểm m i bất kỳ Nó chịu ngoại lực F it theo phương tiếp tuyến với

quỹ đạo chuyển động có bán kính r i

Theo định luật II Niutơn:

2

i it

i

i i

i i i it i

i i it

r m F r r

a

a m r F r

a m F

i i

Nội dung: Tích mômen quán tính của vật với gia tốc góc của nó quay quanh một trục bằng tổng mômen ngoại lực tác dụng lên vật đối với trục quay

L d

+ Nếu M Z  0

+ F it  0 : (hệ kín)

+  

i Z

Đây là phương trình của định luật bảo toàn mômen động lượng

Nội dung của định luật bảo toàn mômen động lượng: Khi mômen của các ngoại lực tác dụng lên vật đối với một trục nào đó bằng không thì mômen động lượng của vật đối với trục đó không đổi

1.2.3 Mômen quán tính

Mômen quán tính của vật đối với một trục nào đó được xác định bằng công thức 

i i

i r m

I phụ thuộc vào hình dạng, kích thước, sự phân bố khối lượng của vật và

trục quay, I không phụ thuộc trạng thái chuyển động của vật

Đối với vật rắn có khối lượng phân bố liên tục thì  

dv r dm r

Trong đó r là khoảng cách từ nguyên tố khối lượng dm dv đến trục

quay; dv là thể tích nguyên tố

Mômen quán tính là một đại lượng cộng tính

Mômen quán tính của mỗi vật chỉ thể hiện khi có mômen ngoại lực tác dụng lên vật Với cùng một mômen lực tác dụng , vật có mômen quán tính càng bé thì thu được gia tốc góc càng lớn và ngược lại

- Định lý Stenơ- Huyghen:

Mô men quán tính I của vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng mômen quán tính I 0 của vật đó đối với trục song song với trục bất kỳ và đi qua khối tâm G của vật cộng với tích của khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách a giữa

0là trục song song oz đi qua khối tâm G vật

 là trục bất kỳ song song với 0, đi qua điểm P,  cách 0một khoảng a

Chọn hệ toạ độ có gốc ở khối tâm

Xét một phần tử khối lượng dm bất kỳ của vật rắn Vị trí của dm được xác

định bởi bán kính vectơ R đối với G và r đối với P

I 0 , I là mômen quán tính đối với trục 0, 



v

dm r

   

v

dm R a ma I

v

dm

dm R

Trong đó: I z là mô men quán tính của vật đối với trục oz

1.2.4.2 Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ:

Vận tốc của khối lượng nguyên tố thứ i là vi

= v0

+ [   r i

] Trong đó: v0 là vận tốc của điểm cơ bản O ta chọn

ri

là bán kính véc tơ xác định vị trí của khối lượng nguyên tố

thứ i đối với gốc O

Động năng của khối lượng nguyên tố m i là:

  

i i

i i

=> 

i i

= m rG

Gọi I là mômen quán tính của vật đối với trục quay O ta có : I = 

i i

Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ bằng tổng động năng chuyển

động tịnh tiến và động năng quay quanh trục đi qua khối tâm

* Cơ năng của vật rắn trong trường lực thế:

- Trong trường hấp dẫn:

Chọn gốc thế năng tại mặt đất Trục toạ độ oz hướng lên trên:

U = -  

h

dz mg

0

) ( = mgh

Vật chuyển động trong trường hấp dẫn thì cơ năng của vật được bảo toàn:

Thời điểm t = 0 hình trụ được thả cho chuyển động trên mặt ngang

- Nếu hoàn toàn không có lực ma sát thì hình trụ tiếp tục chuyển động tịnh tiến trên mặt ngang với vận tốc v0

d I

F dt

dv m

ms ms

ms



0

(1.6)

Từ đây ta thấy vận tốc của chuyển

động tịnh tiến của hình trụ giảm dần, còn lực

ma sát gây ra mômen quay làm hình trụ quay nhanh dần Điểm tiếp xúc A của

hình trụ và mặt ngang trượt về phía trước với vận tốc v R

Gọi t 1là thời điểm hình trụ chỉ lăn mà không trượt Khi đó vận tốc của

điểm tiếp xúc bằng 0 ta có:

const const

R v R

0 0 1

0 0

1

0

1 1

dt F m v v dt

F I

R d

dt F m dv





0 1

mR

I v

Từ (*) và (**) ta có:

mR

I R v mR

I

v v

0

0 1

2 0

Thời điểm t = 0 hình trụ được thả cho tiếp xúc với mặt ngang

- Nếu hoàn toàn không có ma

sát thì nó tiếp tục quay tại chỗ với vận

d

I

F dt

dv m

phía sau với vận tốc R  v

- Đến thời điểm t 1 hình trụ chỉ lăn mà không trượt, vận tốc của điểm tiếp xúc bằng 0

Ta có : 1Rv1 0  1 const, v1 const

Tính toán tương tự cho ta các kết quả:

0

2 0 1

0

2 0 1

1

; 1

I

mR I

mR

R v

* Kết luận:

- Muốn duy trì chuyển động lăn đều không trượt phải đặt lên hình trụ 1 lực

F Trong chuyển động lăn còn xuất hiện thêm lực cản mới F c không đi qua tâm

O để:

+ Cản lại chuyển động tịnh tiến

+ Cản lại chuyển động quay

- Hình trụ lăn không trượt và có một lực (hay một ngẫu lực) nội lực hoặc ngoại lực có xu hướng làm tăng hay giảm tốc độ tịnh tiến hoặc quay của hình trụ, thì ngoại lực ma sát lăn còn xuất hiện cả lực ma sát nghỉ

* Để thấy rõ tác dụng của ma sát trong chuyển động lăn ta hãy phân tích chuyển động của các bánh xe ô tô

- Bánh xe phát động: Do chuyển vận của động cơ bánh xe có một ngẫu lực phát động tác dụng Ngẫu lực này chỉ có thể làm quay bánh xe chứ không gây chuyển động tịnh tiến của xe Nhưng do ma sát nghỉ xuất hiện giữ cho điểm tiếp xúc của bánh xe với mặt đường không trượt về phía sau Lực ma sát nghỉ này tạo nên mômen cản chuyển động lăn của bánh xe, mặt khác nó gây ra gia tốc tịnh tiến cho bánh xe, đẩy bánh xe chuyển động về phía trước

- Bánh xe thụ động thì tự nó không quay mà tịnh tiến do tác dụng đẩy của bánh xe phát động Khi nó lăn không trượt thì chỉ lực ma sát lăn tác dụng mà thôi Ma sát tác dụng vào bánh xe thụ động chỉ có vai trò tiêu cực cản trở chuyển

động tịnh tiến

P

N F

a m F F

i

i i

i i

i

F r F

r M

F F

- Hợp lực của hệ lực song song:

Gọi e là vectơ đơn vị trên một trục song song với giá của các lực F i :

i

F F

Điểm đặt của Fđược xác định từ biểu thức ( 1 8 ):      

i

i

r F

F e r

F r

i i i i

i

F

F r r F

r F r

+ Vận dụng kết quả trên vào trường hợp: F i là trọng lực tác dụng lên phần

i i i

i i i

g m

r g m r

g m F

Điểm đặt của trọng lực 

i i

F là mút của r gọi là trọng tâm của vật rắn

+ Đối với trọng trường đều g = const:

m

r m m

r m

i i

i i i i

i i

F r M

M

F F

Hệ lực mà có tổng các lực bằng 0 và tổng mômen lực bằng 0 gọi là hệ lực cân bằng

+ Khi M o (tổng mômen lực đối với điểm O) thoả mãn điều kiện hệ lực cân bằng thì với O’ bất kỳ ta cũng có M0'  0

Chứng minh:

0

0 0

i

i

F r M

M

F F

i i

i i

Chương 2 : Phương pháp giải một số bài toán động học vật rắn Bài toán động lực học vật rắn cũng có 2 phương pháp khảo sát đó là phương pháp động lực học và phương pháp các định luật bảo toàn như các bài toán cơ học khác Tuy nhiên trong từng phương pháp có sự khác biệt mà ta sẽ thấy được sau đây

2.1 Phương pháp động lực học

Bước 1: + Chọn hệ qui chiếu sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất Thông thường hệ qui chiếu được chọn là hệ qui chiếu quán tính + Chọn chiều dương của mômen lực



I F r M

M

a m F F

i i i

i i

Trong đó: F1 là ngoại lực thứ i tác dụng lên vật

a là gia tốc khối tâm của vật

Bước 4: Chiếu (1) lên hệ qui chiếu đã chọn

Chiếu (2) lên chiều dương của mômen lực đã chọn

Bước 5: Giải hệ phương trình hình chiếu để tìm ẩn số

Khi ẩn số ít hơn số phương trình thì phải viết thêm các phương trình liên quan: Lực: biểu thức định luật III Niutơn, biểu thức độ lớn của các loại lực Gia tốc: Các công thức động học tương ứng

Điều kiện bài toán: Vật lăn không trượt: f ms  f mst,a R

Vật lăn có trượt: f ms  f mst,a R

* Nếu hệ qui chiếu ta chọn là hệ qui chiếu không quán tính thì các phương trình mô tả chuyển động của vật là:

)' 1 (

r F r F  I ( 2 )'

M M M

i

qt qt i i qt

2.2 Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn

Các định luật bảo toàn là công cụ rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu chuyển động của cơ hệ Trong trường hợp chưa biết các lực tác dụng (khi va chạm) thì các định luật bảo toàn là phương tiện duy nhất để chúng ta khảo sát hệ cơ học Ngay cả khi biết các lực tác dụng người ta vẫn sử dụng phương pháp này

để tránh các phép tính phức tạp không cần thiết Trong việc giải các bài toán

động lực học vật rắn chúng ta sử dụng hai định luật chủ yếu: Định luật bảo toàn cơ năng và định luật bảo toàn mômen xung lượng

2.2.1 Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng

Bước 1: Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu

Bước 2: + Xác định các lực tác dụng lên hệ

+ Chọn mốc thế năng sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên cơ năng + Hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì áp dụng định luật bảo toàn cơ năng : E 2 E1

+ Ngoài lực thế, hệ còn chịu tác dụng của lực không thế thì áp dụng định luật biến thiên cơ năng: dEdA(kt)  E2E1 A(kt)

+ M  0 Hệ kín F i  0

 

i i

M

M 0 mặc dù F i  0

F là lực xuyên tâm, giá của lực đi qua điểm tính mô men

áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng: 0 L2 L1

dt

L d







+ Nếu một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì áp dụng định luật

dt

L d

Bước 4: Giải phương trình tìm ẩn số

Chương III: Một số bài tập minh họa phương pháp giải bài tập động lực học vật rắn

Bài 0: Bài toán bổ sung

Dựa vào các kiến thức đã tìm hiểu thì ta có thể làm rõ một số điều kiện tương đương với các dữ kiện cho trong bài tập Đó là bỏ qua khối lượng ròng rọc,

bỏ qua khối lượng sợi dây, dây không giãn ở các bài sau có sợi dây và ròng rọc khi không nói gì thêm ta hiểu là luôn có 3 điều kiện trên

2 lực T1,T2 gây nên: M r1T1  r2T2I

Mô men quán tính:  

v i

r m

Bỏ qua khối lượng ròng rọc nên I 0 Vậy ta có: r1T1  r2T2 0

Chiếu phương trình trên lên phương trục của ròng rọc:

- Đối với ròng rọc 1 nấc: Ta có R(T1 T2)  0

- Đối với ròng rọc 2 nấc: Phương trình hình chiếu là:

1 1

2 2 2

2 1

R

R T T

R T

Vậy khi bỏ qua khối lượng ròng rọc thì ròng rọc 1 nấc chỉ có tác dụng làm thay đổi chiều của lực tác dụng, còn ròng rọc nhiều nấc có tác dụng biến đổi chiều và độ lớn của lực tác dụng

* Bỏ qua khối lượng sợi dây:

Giả sử trên sợi dây ta chia ra các đoạn nhỏ khối lượng m có thể coi là 1 chất điểm

Tác dụng lên m có trọng lực P và 2 lực căng T1,T2 đặt vào 2 đầu của m Theo định luật II Niutơn ta có: T1T2 P m a

Bỏ qua khối lượng sợi dây nên:

0



m vàP 0 T1T2  0 T1 T2

Như vậy khi bỏ qua khối lượng sợi dây thì sức căng dây

T tại mọi điểm là như nhau

* Khi dây không giãn: 2 vật nối vào 2 đầu dây dịch

chuyển được quãng đường bằng nhau trong cùng khoảng thời

gian  2 vật đó có cùng vận tốc và gia tốc tại mỗi thời điểm

Bài 1: Cho quả cầu có khối lượng m1 bán kính r, thả từ nghỉ ở độ cao h

a Xác định gia tốc, vận tốc khối tâm của quả cầu khi nó ở chân mặt phẳng nghiêng, cho biết quả cầu lăn không trượt

b Giả sử quả cầu lăn không trượt trên toàn bộ quĩ đạo chuyển động Tính

min

h để quả cầu không rời khỏi chỗ cao nhất của đường vòng, cho R r

c Nếu quả cầu được thả từ độ cao h 6R thì thành phần nằm ngang của

lực tác dụng vào quả cầu tại Q là bao nhiêu?

- Chọn hệ qui chiếu quán tính oxyz gốc O trùng với khối tâm quả cầu ở

thời điểm ban đầu

- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P, phản lực pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng N, lực ma sátF ms Vì quả cầu lăn không trượt nên ma sát ở điểm tiếp xúc F ms là lực ma sát nghỉ

Trục quay là trục qua khối tâm và song song oz

- Phương trình chuyển động của quả cầu:

) 1 (

0 

I F R M

a m F N P

ms G

Hình trụ lăn không trượt nên: a R

Thay F ms vào (3) ta có:

2 0 2

sin

R

I m

mg a ma

R

a I P

Vận tốc khối tâm hình trụ ở cuối chân dốc: 2 10

5 5

2 5

const U

T

- Chọn gốc thế năng ở mặt ngang

ở độ cao h : Cơ năng quả cầu chính là thế năng E 1 mgh

Khi quả cầu đã lăn trên mặt nghiêng một đoạn x thì cơ năng của vật:

).

sin (

2

1 2

0 2

sin 2

1 2

1

) sin (

2

1 2

1

2 0 2

2 0 2 2

mv

mgh x

h mg I

mv E

1

2 2 0 2



mgx R

v I

I v mv

02a mgsin 

R

I ma a

PR v

P R

mv P

áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí C, A:

R R R R g

v h

R g

v h gR

v hg mgR

I mv mgh

E

7 , 2 2 7 , 0 2 7

, 0

2 7 , 0 2

7 , 0 2

2

1 2

1

2 min min

2 2

2 0 2

h g v

v mgR mgh

I mv mgR mgh

E E

Q

Q

Q Q

Q C

7 , 0

5 7

, 0

) (

7 , 0

2

1 2

1

2

2

2 0 2

Quả cầu chuyển động trên đường tròn vì vậy thành phần nằm ngang của

lực tác dụng vào quả cầu tại Q đóng vai trò lực hướng tâm

2

.0, 7 7

Q Q

Bài 2: Cơ hệ gồn con lăn bán kính R, khối lượng m đặt trên mặt bàn nằm

ngang và vật có khối lượng m nối với nhau bởi sợi dây vòng qua một ròng rọc cố

định gần ở mép bàn Cơ hệ chuyển động từ nghỉ Biết con lăn lăn không trượt và

bỏ qua ma sát lăn của nó trên mặt bàn Khối lượng ròng rọc và dây không đáng

kể, dây không giãn Xác định gia tốc a của trục con lăn và lực căng sợi dây

T

x

z

) 5 (

) 4 (

0 0 1

R

a I I RF

Ma F

T

ma T P

m g

m M

m a

2 3 2

Từ (4) g

m M

Mm m

M

m mg

a mg ma mg T

2 3

3 ) 2 3

2 1 ( ) 1 (

Mm Ma

R

a I

2 3 2

1

2 0

m k

kMg m M

Mmg

2 3 2

0 Do vậy cơ năng của hệ được bảo toàn

Chọn gốc thế năng là mặt phẳng song song mặt bàn và đi qua khối tâm

con lăn Ban đầu vật m cách mặt phẳng gốc thế năng một đoạn h

- áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

Cơ năng của hệ ở thời điểm t là:

const x

h mg mv I

Mv E

U T E

1 2

1 2

0 2

Vì dây không giãn nên: v ' v

const x

h mg mv R

v MR Mv

1 2

1 2

Vì x  v



m M

m m

M

mg v

a

2 3 2

Mm a

g m T T

2 3

3 ) (

* ở đây áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta tránh được việc giải hệ nhưng

do yêu cầu tính lực căng nên ta vẫn phải kết hợp phương pháp động lực học

Bài 3: Hình trụ đặc đồng nhất khối lượng M, bán kính R đặt trên mặt bàn

nằm ngang Một sợi dây quấn quanh hình trụ và vòng qua ròng rọc cố định, đầu

kia của dây treo vật nặng có khối lượng m Bỏ qua khối lượng ròng rọc và sợi

dây, dây không giãn, hình trụ chuyển động song phẳng Tìm gia tốc khối tâm hình trụ trong trường hợp lăn không trượt và lăn có trượt

- Tác dụng vào vật m có trọng lực P1 và lực căng dâyT1

Tác dụng vào vật M có trọng lực P2, phản lực pháp tuyến do mặt bàn tác dụng N, lực căng dây T2 , lực ma sát F ms

ở đây lực căng dây T2 làm cho hình trụ quay quanh trục qua khối tâm, điểm tiếp xúc có xu hướng trượt về phía sau Vì vậy xuất hiện lực ma sát chống lại xu hướng trượt này, lực F ms hướng về phía trước

Bỏ qua khối lượng ròng rọc và rợi dây nên: T1T2 T

1

) 5 (

) 4 ( 2

2 0

2 2

Ma R

I F T

Ma F

T

ma T mg

m M

m m

M

mg a

8 3

4 2

4 3

Mmg g

m M

m M Ma

8 3 8

3

4 4

1 4

m f

fMg m M

Mmg

8 3 8

) ' 5 (

) ' 4 ( )

(

0 2 2

R

I kMg T

Ma kMg T

R a m T mg

kMg T R

I

kMg T

2

1

2 0

T

M m

kg a g m T

2 1

Thay giá trị của T vào (5’) ta có:

g M m

kM km m a

Ma kMg M

m

kg a g m

2 1 2

2

2 2

Bài 4: Cơ hệ hình vẽ Vật A có khối lượng m Ròng rọc B, con lăn C là

những hình trụ đặc đồng nhất khối lượng M, bán kính R Trên ròng rọc B có mômen cản M c tác dụng Hệ số ma sát lăn giữa con lăn C và mặt phẳng nghiêng

 là f Sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể Lúc đầu cơ hệ đứng yên

sau đó vật bắt đầu chuyển động xuống dưới Tìm vận tốc vật A sau khi nó đi

được quãng đường h Con lăn C chuyển động song phẳng

- Chọn hệ qui chiếu quán tính

Đối với từng vật thì xét chuyển động theo các phương khác nhau và chọn chiều dương trục toạ độ theo chiều chuyển động của vật

Chọn chiều dương mômen lực là: Chiều từ ngoài vào trong mặt phẳng hình vẽ