Phương pháp giải các bài toán động lực học vật rắn khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

LOI CAM ON

én xin chéa thanh cam ou su chi bao va gitp 6 tan tinh cha thay gido FS Dao Cong Wghinh trong suébt qua trinh thue hién khoá luận này, đồng thời em xin chan thanh cam ơn thâu cô giáo trong t6 Oat lý đại cương đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khoá luận tốt ughiép eta minh

uy tuên đây tà bước đâu làm quen v6i chug tae aghiétn atu

khoa học nên đề tài của cứt không trán: khói thiếu sót (0ì ody em vat

tong được sự góp ý của thầu cơ giáo ồ các bạn siuft oiên để khóa luda caa em duge hoan thién hon

Ha noi, thang 5 nam 2007

Sinh vién

Phí Thị Trâm

Trang 2

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

LOI CAM DOAN

Khoá luận tốt nghiệp “Phương pháp giải các bài toán động luc hoc vat

rắn” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ớt Ø)ào (2ôug ((gfuứt Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác

giả khác

Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật, nếu sai tôi xin hoàn

toàn chịu trách nhiệm

Hà nội, thang 5 nam 2007 Sinh vién

Phí Thị Trâm

Trang 3

MUC LUC

Trang

PHAN A: MO DAU 4

PHAN B: NOI DUNG 6

Chuong 1: Dong luc hoc vat ran 6

1.1 Chuyển động của vật rắn 6

1.2 Động lực học vật rắn 3

1.2.1 Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh 3 một trục cố định

1.2.2 Định luật bảo toàn và biến thiên mô men động lượng ll

1.2.3 Mô men quán tính 12

1.2.4 Động năng của vật rắn chuyển động 13

1.2.4.1 Động năng của vật rắn quay 13

1.2.4.2 Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ 13

1.2.5 Ma sát trong chuyển động lăn 15

1.3 Can bằng của vật rắn Hệ lực cân bằng 18

Chương 2: Phương pháp giải một số bài toán động lực học vật rắn 20

2.1 Phương pháp động lực học 20

2.2 Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn 21 2.2.1 Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng 21

2.2.2 Bài tập áp dung định luật bảo toàn hoặc biến thiên 21 mômen xung lượng

Chương 3: Một số bài tập minh hoạ phương pháp giải bài tập động 23

lực học vật rắn

PHAN C: KET LUAN 63

TAI LIEU THAM KHAO 64

Trang 4

PHAN A: MO DAU

1 Ly do chon dé tai:

Vat ly hoc là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật

tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của

vật chất và những định luật của sự vận động vật chất

Cơ học nghiên cứu những vất đề đơn giản nhất nhưng lại là cơ bản nhất

trong hệ thống tri thức Vật lý Cơ học vật rắn là một phần của giáo trình cơ học,

nghiên cứu chuyển động của vật rắn, điều kiện cân bằng của vật rắn và một số

hiệu ứng liên quan Vậy vật rắn là gì? quy luật chuyển động của nó như thế nào và bị chi phối bởi những định luật nào?

Vật rắn là vật có hình dạng và kích thước không đổi Ta có thể xem vật rắn là hệ chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi, vật được định nghĩa

như vậy sẽ không bị biến dạng nên được gọi là vật tuyệt đối rắn Về nguyên tắc

có thể áp dụng các phương trình động lực học về chuyển động của hệ chất điểm

song vì khoảng cách giữa các chất điểm của vật rắn là không đổi nên vật rắn có

nhiều tính chất đặc biệt và ta không thể giải quyết bài toán chuyển động của vật

rắn một cách nhanh gọn triệt để bằng phương pháp động lực học hệ chất điểm

Trong thực tế rất nhiều người sẽ gặp khó khăn khi giải quyết bài toán chuyển

động của vật rắn Chính vì vậy tôi bước vào nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải

các bài toán động lực học vật rắn”

2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu chuyển động và cân bằng của vặt rắn

- Đề ra phương pháp giải các bài tập động lực học vật rắn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật rắn và một số định luật bảo toàn chi phối chuyển động của vật rắn

- Đưa ra phương pháp giải bài toán động lực học vật rắn

- Minh hoạ bằng việc giải một số bài toán động lực học vật rắn

Trang 5

4 Đối tượng nghiên cứu:

Động lực học vật rắn và các bài toán liên quan

5.Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp phân tích- tổng hợp

- Phương pháp đối chiếu- so sánh

Trang 6

PHAN B: NOI DUNG

CHƯƠNG 1: ĐỘNG LỰC HOC VAT RAN 1.1 Chuyển động của vật rắn

- Chuyển động bất kỳ của vật rắn có thể quy về hai dạng chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Trong chuyển động tịnh tiến: Tất cả các điểm của vật đều có cùng một véctơ vận tốc và véctơ gia tốc tại mỗi thời điểm bởi vì các điểm của vật đều có độ dời như nhau Do vậy để nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật thì chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của nó; người ta thường chọn điểm này là khối tâm của vật

Trong chuyển động quay tất cả các điểm của vật chuyển động theo những

đường tròn có tâm nằm trên cùng một đường thẳng gọi là trục quay Những điểm nằm trên trục quay có vận tốc bằng không Mô tả chuyển động quay của vật cần

phải biết vị trí của trục quay trong không gian và vận tốc góc của vật tại mỗi thời điểm

- Trong đề tài này ta chỉ xét chuyển động song phẳng Chuyển động song

phẳng là chuyển động trong đó mọi điểm của vật dịch chuyển trong những mặt

phẳng song song với nhau Một dịch chuyển nguyên tố ¿S của một điểm của vật

chuyển động song phẳng có thể chia thành hai dịch chuyển: dịch chuyển “tịnh tiến” Zÿ„ và dịch chuyển “quay” 4%

dS =dS,+dS,

Vận tốc của điểm đó là:

Trong đó v, là vận tốc của chuyển động tịnh tiến, vận tốc này là như nhau đối với mọi điểm của vật; »' là vận tốc gây bởi chuyển động quay, các điểm

khác nhau có vận tốc v' khác nhau

Như vậy có thể biểu diễn chuyển động song phẳng của một vật rắn như là tổng hợp của hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến với v, và chuyển động

Trang 7

quay với vận tốc góc ø quanh một trục nào đó Vận tốc v' của điểm có bán kính

vecto r so với trục quay, do su quay của vật rắn gây ra là ve b A rl

Vậy ï=ìy +|ð^7]

Thông thường điểm cơ bản được chọn trùng khối tâm thì v=v, + [on r| - Vận tốc của chuyển động tịnh tiến của vật rắn phụ thuộc điểm cơ bản ta chọn còn vận tốc góc lại có giá trị như nhau đối với các trục quay tức thời được chọn khác nhau Chứng minh: + Xét chuyển động của vật rắn đối với hệ toạ độ nằm yên ở gốc Ó + Chọn A làm điểm co bản Đặt z„ = Ó4:z„ = OM;z = AM Ty Hrytr

Dao ham 2 vế biểu thức trên ta được: v„ =v,+ = v„;»„ là vận tốc của điểm /, A đối với hé O

Vật tuyệt đối rắn quay quanh trục qua A với vận tốc ø Nên 4M có độ

Trang 8

(1.1) và (1.2) citing biéu dién van téc cha diém M trong hé O nén ta c6: Vy =Yy Ẩv,+|ÐA7 =v, + fo ar

Thay z =z+R vào đẳng thức trên ta có:

v.+løAzl=v,+lgAzgAR[_ d3)

Vận tốc của A khi chọn A’ làm điểm cơ bản: v, =v,+ |e A | Thay v, vao vế phải của (1.3) ta có:

v„+|ðAr|=v, +|ø Ar|

+ |ðAz|El2^z] —> ø=ø (điểu phải chứng minh)

- Vận tốc của hình trụ lăn không trượt:

Xét vật rắn là một hình trụ quay quanh một trục không đổi với vận tốc

góc không đổi ø đối với hệ K gắn với trục quay Hệ K? chuyển động tịnh tiến đối với hệ đứng yên K với vận tốc v, theo truc ox

Hình trụ có bán kính #, nếu lăn không trượt dọc theo øx thì mỗi vòng lăn, trục hình trụ đã dịch chuyển đối với hệ K một đoạn bằng 2ï7rR Trong khoảng

thời gian đ, đoạn dịch chuyển là: ds, = WRadt Vận tốc tịnh tiến vạ của hình trụ đối với hệ K doc theo ox là: Y= 45, _ OR dt

Đối với hệ KỶ thì vận tốc v' của mỗi điểm trên mặt hình trụ đều có cùng mô đun y`= @# và có phương tiếp tuyến với quỹ đạo

Trang 9

Vv, =v) +v, =0

„„ v, hướng từC dén B, vy = oRV2 v„ =v,+v„ „v„ cùng hướng My, Vc = 2@R

vi=vty, vy hướng từ D dénC, vp = oRV2

- Nếu chọn trục tức thời qua A thì vận tốc tịnh tiến của A bằng 0 nên vận tốc của các điểm trên hình trụ chỉ là vận tốc quay quanh trục tức thời với vận tốc góc cũng là ø ye =fon ac | vị =|ð^ 48] vụ =|ø^ 4D Tính toán tương tự ta cũng thu được kết quả như trên 1.2 Động lực học vật rắn 1.2.1 Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định:

Vật rắn chuyển động xung quanh trục cố định øz mỗi điểm của nó chuyển

động trên đường tròn vuông góc trục quay, có tâm nằm trên trục quay

Tác dụng vào vật một lực bất kỳ F dat tại A có thể phân tích F ra thành hai thanh phan: F=F,+F,

F, : la thanh phan song song truc oz Thanh phan nay 1am vat chuyén dong

dọc trục Khi trục quay cố định thi F, can bang với phản lực liên kết

Trang 10

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li F là thành phần vuông góc với trục øz Ta phân tích: F=F,+F, F, có tác dụng làm lệch phương trục quay Khi trục quay cố định nó cân bằng với phản lực liên kết Chỉ có thành phần Z theo phương tiếp tuyến quỹ đạo mới làm biến đổi chuyển động quay

Mômen của lực # đối với tâm O là Mal, Fl, phương của không trùng với øz Mômen của lực # đối với trục quay øz là thành phần , của M

trên trục øzZ:

M, =rF, sin(r,F,)=rF,

- Gọi các chất điểm của vật rắn là m; Chat diém chiu tac dung ca ndi luc

và ngoại lực nhưng nội lực không làm biến đổi chuyển động của vật rắn nên ta

chỉ quan tâm tới ngoại lực

Xét chất điểm m, bất kỳ Nó chịu ngoại lực Ƒ„ theo phương tiếp tuyến với

quỹ đạo chuyển động có bán kính r,

Theo định luật LI Niutơn: F, = mai, | rf, =1ma,,} i t fa > 7F, = em? it i d,, = & Vế trái: rjF„= M,, Vậy: M, = amjrỶ

Lấy tổng theo tất cả các chất điểm ta có:

YM, = dens = M, (Zoe

Ym? =1 duge goi 1a momen quan tinh của vật đối với trục quay

Vậy M, =Ie

Do 7 > 0 nên ta có thể viết 8, =/e (1.4)

Phương trình (1.4) là phương trình định luật II Niutơn cho chuyển động quay quanh một trục cố định của vật

Trang 11

Nội dung: Tích mômen quán tính của vật với gia tốc góc của nó quay

quanh một trục bằng tổng mômen ngoại lực tác dụng lên vật đối với trục quay

1.2.2 Định luật bảo tồn và biến thiên mơmen động lượng TacÓ M,=!ze=1 do dt Khi ƒ = consr thì ta viết được 4 = “-(ø) t Lại có: M = dt : dt

Như vậy: L=T1a

Phương trình chuyển động quay của vật có thể viết dưới dạng tổng quát:

M, = 2, -ø] d5)

Phương trình (1.5) là phương trình của định luật biến thiên mômen động lượng của vật

Định luật này được phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên mômen động

lượng của vật đối với trục quay nào đó bằng hình chiếu của mômen các ngoại lực

tác dụng lên vật trên trục ấy + Nếu #„ =0 + F„ =0: (hệ kín) ot M, => Mi, =0 mac di F, #0 là lực xuyên tâm, giá của lực di qua diém tinh momen dL, | Thi =0 dt

Day là phương trình của định luật bảo tồn mơmen động lượng

Nội dung của định luật bảo tồn mơmen động lượng: Khi mômen của các

ngoại lực tác dụng lên vật đối với một trục nào đó bằng không thì mômen động

lượng của vật đối với trục đó không đổi

Trang 12

1.2.3 Mômen quán tính

Mômen quán tính của vật đối với một trục nào đó được xác định bằng công thức 7= 3m

1 phụ thuộc vào hình dạng, kích thước, sự phân bố khối lượng của vật và trục quay, 7 không phụ thuộc trạng thái chuyển động của vật

Đối với vật rắn có khối lượng phân bố liên tục thì 7 = [z?đm = [ ør?d» Trong đó r là khoảng cách từ nguyên tố khối lượng đ„z= # đến trục quay; đy là thể tích nguyên tố

Mômen quán tính là một đại lượng cộng tính

Mômen quán tính của mỗi vật chỉ thể hiện khi có mômen ngoại lực tác dụng

lên vật Với cùng một mômen lực tác dụng , vật có mômen quán tính càng bé thì

thu được gia tốc góc càng lớn và ngược lại

- Định lý Stenơ- Huyghen:

Mô men quán tính 7 của vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng mômen quán tính ?¿ của vật đó đối với trục song song với trục bất kỳ và đi qua khối tâm G của vật cộng với tích của khối lượng z của vật với bình phương khoảng cách z giữa hai trục đó T=1,+ ma AiG a PA + Chứng minh: Xét vật rắn bất kỳ

A, la trục song song øz đi qua khối tam G vat

A là trục bất kỳ song song với A,, đi qua điểm P, A cách A, một khoảng a Chọn hệ toạ độ có gốc ở khối tâm

Xét một phần tử khối lượng đi bất kỳ của vật rắn VỊ trí của đm được xác

định bởi bán kính vectơ # đối với G và z đối với P

1„, I là mômen quán tính đối với trục Ag, A

Trang 13

1= ƒr?ảm : Tac6 r=R-a Vay 1={(@-a) dm =[(R? +a*-2Ra}im 1= [| Rdm + [a° dm — 2[ Radm I=lạ,+ma? ~2a[ Rảm [ Ram Vì gốc toạ độ chọn ở khối tâm nên: &„ = ‘Jam =0-> [ Ram =0 m v »

Vậy I =I, + ma’ (dpem)

1.2.4 Động năng của vật rắn chuyển động 1.2.4.1 Dong năng của vật rắn quay:

Vật quay xung quanh trục cố định (giả sử là trục øz) Vân tốc dài của khối lượng nguyên tố m, là v, = øœK, ®, là khoảng cách từ m, đến øz 2 1H,Y; 2 = =m, R} i i Động nang của khối lượng nguyên tố thứ ¡ là: 7, = b|— Vậy động năng của vật rắn quay quanh trục cố định: T=ST,=® 2 tớ? RẺ 2S my 1 T=-L@ 2?

Trong đó: 7, là mô men quán tính của vật đối với trục øz 1.2.4.2 Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ:

Vận tốc của khối lượng nguyên tố thứ ¡ là ÿ,= ÿ,+[ø A z, ] Trong đó: v, là vận tốc của điểm cơ bản Ó ta chọn

7, là bán kính véc tơ xác định vị trí của khối lượng nguyên tố thứ ¡ đối với gốc Ó

Trang 14

Động năng cua khdi lugng nguyén t6 m, la:

Goi R,1a khoang céch tit m; dén truc quay ta cé: |[d ~ z, ]Ì= aR; Vậy:T,= - m,[vệ+2[ÿñ,A 1 ø ]? + ØR?} i 2 Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ: T= ST,= ý v23) m+ [9y ^ ð T3 mịn + 1 a> m,R? 2 Bán kính véc tơ xác định vị trí của khối tâm: mF - 7 — oo - ro => Vm, 7, =m ro m i Goi / 14 momen quan tinh cua vat d6i v6i truc quay O tacé : 1 = 5” m, Rỷ Vay: T= my +m [had] 7%, +5107 Nếu chọn điểm cơ bản trùng với khối tâm thì z„ = 0,7 = J, Do dé: T = 2m VỆ + nh he T=T,+T,

Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ bằng tổng động năng chuyển

động tịnh tiến và động năng quay quanh trục đi qua khối tâm

* Cơ năng của vật rắn trong trường lực thế:

Trang 15

h U=- JCmg)dz = mgh 0 Vật chuyển động trong trường hấp dẫn thì cơ năng của vật được bảo toàn: E=T+U =const 1 2 1 2

E=m Mm tS I,@° + mgh = const

1.2.5 Ma sát trong chuyển động lăn

Xét một hình trụ tròn đồng chất khối lượng zø bán kính # lăn trên một mặt

phẳng ngang

* Hình trụ được truyền trước một chuyển động tịnh tiến thẳng đều (hình

trụ không quay) theo phương ngang với vận tốc ÿ,

Thời điểm ¢ = 0 hình trụ được thả cho chuyển động trên mặt ngang

- Nếu hoàn tồn khơng có lực ma sát thì hình trụ tiếp tục chuyển động tịnh tiến

trên mặt ngang với vận tốc z„ và không quay

- Khi có lực ma sát Fns (ma sat truot)

Phương trình chuyển động của hình trụ: th _ Tp Tấn (1.6) 1) dt = M ys = Fy R Từ đây ta thấy vận tốc của chuyển

động tịnh tiến của hình trụ giảm dần, còn lực

ma sắt gây ra mômen quay làm hình trụ quay nhanh dần Điểm tiếp xúc A của

hình trụ và mặt ngang trượt về phía trước với vận tốc y- øR

Trang 16

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li Tir (*) va () tacé: vị = “ : @, =—®— 1+—, R+— mR mR

Thực nghiém cho thay sau thoi diém ¢, hinh tru lan khong déu va cham dần đến một lúc nào đó nó dừng lại không tịnh tiến và cũng không quay nữa

* Hình trụ được truyền trước một chuyển động quay đều quanh trục với vận tốc góc ø, (hình trụ không chuyển động tịnh tiến)

Thời điểm ¢ = 0 hình trụ được thả cho tiếp xúc với mặt ngang

- Nếu hồn tồn khơng có ma

sát thì nó tiếp tục quay tại chỗ với vận — t6c géc a - Khi có ma sát trượt Phương trình chuyển động của hình trụ là: dv =F, A Fas do (2) | > 1, =F R : - P

Từ đó ta thấy hình trụ vừa chuyển động tịnh tiến nhanh dần về phía trước,

vừa chuyển động quay quanh trục chậm dần Vậy trục hình trụ chuyển động sang phải với vận tốc v, còn điểm tiếp xúc A giữa hình trụ và mặt ngang trượt về phía sau với vận tốc øR -v

Trang 17

* Két ludn:

- Muốn duy trì chuyển động lăn đều không trượt phải đặt lên hình trụ 1 luc

Z Trong chuyển động lăn còn xuất hiện thêm lực cản mới # không đi qua tâm

O dé:

+ Cần lại chuyển động tịnh tiến + Cần lại chuyển động quay E=N+T, Thành phân pháp tuyến X,M=P có điểm đặt ở lệch về phía trước theo FON phương thẳng đứng so với O O ì „ Thành phần tiếp tuyến #, gọi là lực ' ma sát lăn 4l aT Thực nghiệm cho thấy lực cản tạo ra Ỷ F, P

momen can M =|oBAF |, M.=R.F, =6N

trong đó ổ= 4B có thứ nguyên độ dài và được gọi là hệ số ma sát lăn

- Hình trụ lăn có trượt thì có cả lực ma sát lăn và lực ma sát trượt tác dụng

nhưng thực tế có thể bỏ qua ma sát lăn vì nó rất nhỏ so với ma sát trượt

- Hình trụ lăn không trượt và có một lực (hay một ngẫu lực) nội lực hoặc ngoại lực có xu hướng làm tăng hay giảm tốc độ tịnh tiến hoặc quay của hình trụ, thì ngoại lực ma sát lăn còn xuất hiện cả lực ma sát nghỉ

* Để thấy rõ tác dụng của ma sát trong chuyển động lăn ta hãy phân tích chuyển động của các bánh xe ô tô

- Bánh xe phát động: Do chuyển vận của động cơ bánh xe có một ngẫu lực phát động tác dụng Ngẫu lực này chỉ có thể làm quay bánh xe chứ không gây

chuyển động tịnh tiến của xe Nhưng do ma sát nghỉ xuất hiện giữ cho điểm tiếp

xúc của bánh xe với mặt đường không trượt về phía sau Lực ma sát nghỉ này tạo nên mômen cản chuyển động lăn của bánh xe, mặt khác nó gây ra gia tốc tịnh

tiến cho bánh xe, đẩy bánh xe chuyển động về phía trước

- Bánh xe thụ động thì tự nó không quay mà tịnh tiến do tác dụng đẩy của

bánh xe phát động Khi nó lăn không trượt thì chỉ lực ma sát lăn tác dụng mà

thôi Ma sát tác dụng vào bánh xe thụ động chỉ có vai trò tiêu cực cần trở chuyển

động tịnh tiến

Trang 18

1.3 Can bằng của vật rắn Hệ lực cân bằng

Chuyển động bất kỳ của vật rắn được xác định bởi 2 phương trình:

E=XYE =mã

p< ak

M= F |=

xỉ A? dt

Nếu thay thế hệ lực tác dụng bằng một lực mà trạng thái chuyển động của

vật không thay đổi thì lực đó gọi là hợp lực “ , điểm đặt của Fˆ có bán kính

vectơ xác định vị trí của nó là z ta có:

FF

-[ƑAF|=W[EAF] — ®

- Hợp lực của hệ lực đồng qui:

Dịch chuyển các lực dọc theo giá của chúng thì không làm thay đổi mômen của lực đó đối với một điểm bất kỳ

Nếu các lực là các lực đồng qui thì z =z Hợp lực của hệ là “ thì

F = a „ hợp lực này có mômen lực là tổng các mômen lực đo các lực FE gay ra

w= Shak Hr SF |-boF

- Hợp lực của hệ lực song song:

Gọi e là vectơ đơn vị trên một trục song song với giá của các lực F :

FaDF =D Fee,

Diém dat cua F duoc xac định từ biểu thức (1.8): [- A FÌ- > E A F|

Trang 19

+ Vận dụng kết quả trên vào trường hợp: F, 1a trong luc tac dung lén phan tỬ m, của vật rắn F, =mu8, mg — Ymg, r Điểm đặt của trong luc F, = » E; là mút của z gọi là trọng tâm của vật rắn i + Đối với trọng trường đều g = const: Yn Dm, peo = > m, m Vậy trong trọng trường đều thì trọng tâm của vật trùng với khối tâm - Hệ lực cân bằng:

Vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều (trạng thái cân bằng) ngoài tổng các lực tác dụng bằng 0 thì phải có tổng mômen lực đối với một điểm bất kỳ bằng 0 F=WF=0 w=>w,=>[ xF]=0 Hệ lực mà có tổng các lực bằng 0 và tổng mômen lực bằng 0 gọi là hệ lực cân bằng

Trang 20

CHUONG 2: PHUGNG PHAP GIAI MOT SO BAI TOAN DONG HOC VAT RAN

Bài toán động lực học vật rắn cũng có 2 phương pháp khảo sát đó là phương pháp động lực học và phương pháp các định luật bảo tồn như các bài tốn cơ học khác Tuy nhiên trong từng phương pháp có sự khác biệt mà ta sẽ

thấy được sau đây

2.1 Phương pháp động lực học

Bước l1: + Chọn hệ qui chiếu sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất Thông thường hệ qui chiếu được chọn là hệ qui chiếu quán tính

+ Chọn chiêu dương của mômen lực Bước 2: + Xác định những lực tác dụng lên hệ

+ Chọn trục quay và xác định mômen của lực đối với trục quay đó Bước 3: Viết 2 phương trình mô tả chuyển động của vật rắn

F=%F.=ma (1)

M-YM.=Y|jAF|F!2 @

Trong đó: Z là ngoại lực thứ ¿ tác dụng lên vật

a la gia tốc khối tâm của vat

Bước 4: Chiếu (1) lên hệ qui chiếu đã chọn

Chiếu (2) lên chiều dương của mômen lực đã chọn

Bước 5: Giải hệ phương trình hình chiếu để tìm ẩn số

Khi ẩn số ít hơn số phương trình thì phải viết thêm các phương trình liên quan: Lực: biểu thức định luật IIT Niutơn, biểu thức độ lớn của các loại lực

Gia tốc: Các công thức động học tương ứng

Điều kiện bài toán: Vật lăn không trượt: /„ < ƒ„ „z=eR

Vật lăn có trượt: Fone = #„„.a # eR

* Nếu hệ qui chiếu ta chọn là hệ qui chiếu không quán tính thì các phương

trình mô tả chuyển động của vật là: SE+E, =ma (W

Trang 21

M=XM,+M,= SỈ? ^F|*Ì,^F,|F12 ey hay Yaa, = ”

Do lực quán tính đặt tại khối tâm nên nếu xét hệ không quán tính gắn với

khối tâm thì 8, =0 do vậy khi lập phương trình (2)’ không cần tính tới mômen

của lực quán tính

2.2 Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn

Các định luật bảo toàn là công cụ rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu chuyển động của cơ hệ Trong trường hợp chưa biết các lực tác dụng (khi va chạm) thì các định luật bảo toàn là phương tiện duy nhất để chúng ta khảo sát hệ cơ học Ngay cả khi biết các lực tác dụng người ta vẫn sử dụng phương pháp này

để tránh các phép tính phức tạp không cần thiết Trong việc giải các bài toán

động lực học vật rắn chúng ta sử dụng hai định luật chủ yếu: Định luật bảo toàn cơ năng và định luật bảo tồn mơmen xung lượng

2.2.1 Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng Bước I1: Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu

Bước 2: + Xác định các lực tác dụng lên hệ

+ Chọn mốc thế năng sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất

Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên cơ năng + Hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì áp dụng định luật bảo

toàn cơ năng : Z, = Ƒ,

+ Ngoài lực thế, hệ còn chịu tác dụng của lực không thế thì áp

dụng định luật biến thiên cơ năng: dE=dA,, © E,-E, = Aggy Bước 4: Giải phương trình trên tìm ẩn số

2.2.2 Bài tập áp dụng định luật bảo toàn hoặc biến thiên mômen xung lượng Bước 1: Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu

Bước 2: + Chọn hệ trục toạ độ sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất + Xác định mômen động lượng của các vật trước, sau tương tác Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên mômen xung lượng:

Trang 22

+M=0 Hệ kín # =0

M=>M,=0 mac di F #0

F la luc xuyén tam, giá của lực đi qua điểm tính mô men Áp dụng định luật bảo tồn mơmen xung lượng: = =0 © ,-L, + Nếu một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì áp dụng định luật

cà TA ^ — dL —_—

biến thiên mômen xung lượng: 4⁄; =_ S© dL, =M,dt

Bước 4: Giải phương trình tìm ẩn số

Trang 23

CHƯƠNG III: MOT SO BAI TAP MINH HOA

PHUONG PHAP GIAI BAI TAP DONG LUC HOC VAT RAN Bài 0: Bài toán bổ sung

Dựa vào các kiến thức đã tìm hiểu thì ta có thể làm rõ một số điều kiện tương đương với các dữ kiện cho trong bài tập Đó là bỏ qua khối lượng ròng rọc,

bỏ qua khối lượng sợi dây, dây không giãn Ở các bài sau có sợi dây và ròng rọc

khi không nói gì thêm ta hiểu là luôn có 3 điều kiện trên * Xét đối với ròng rỌc: Rong roc I nấc Rồng rọc 2 nấc Sợi dây vắt qua ròng rọc tác dụng 2 lực TT lên ròng rọc Mô men lực do 2 lực TT, gay nén: M = AT [+ |;^7]= lé

Mô men quán tính: 7= 3m? = [ pdvr?

Bỏ qua khối lượng ròng rọc nên 7 =0 Vậy ta có: l: AT r, AT | 0 Chiếu phương trình trên lên phương trục của ròng rọc:

- Đối với ròng rọc l nấc: Ta có RŒ; -7,)=0

- Đối với ròng rọc 2 nấc: Phương trình hình chiếu là:

RT.-R,T,=0 => rT,

= Vậy khi bỏ qua khối lượng ròng rọc thì ròng rọc 1 nấc chỉ có tác dụng

làm thay đổi chiều của lực tác dụng, còn ròng rọc nhiều nấc có tác dụng biến đổi chiêu và độ lớn của lực tác dụng

* Bỏ qua khối lượng sợi dây:

Giả sử trên sợi dây ta chia ra các đoạn nhỏ khối lượng Am cé thé coi 1a 1 chất điểm

Trang 24

Tác dụng lén Am cé6 trong luc AP va 2 lực căng 7,7, đặt vào 2 đầu của Am

Theo định luật II Niuton ta c6: 7 +7, + AP = Ama Bỏ qua khối lượng sợi dây nên:

Am =0VÀAP=0—=T,+T, =0—=T, =1, 1

Như vậy khi bỏ qua khối lượng sợi dây thì sức căng dây

T tại mọi điểm là như nhau Am

* Khi dây không giãn: 2 vật nối vào 2 đầu dây dịch P chuyển được quãng đường bằng nhau trong cùng khoảng thời 7

1

gian — 2 vat d6 c6 cing van téc và gia tốc tại mỗi thời điểm

Bai 1: Cho qua cau có khối lượng m, bán kính z, thả từ nghỉ ở độ cao ø a Xác định gia tốc, vận tốc khối tâm của quả cầu khi nó ở chân mặt phẳng nghiêng, cho biết quả cầu lăn không trượt

b Giả sử quả cầu lăn không trượt trên toàn bộ quĩ đạo chuyển động Tính

¡„ để quả cầu không rời khỏi chỗ cao nhất của đường vòng, cho R))z

c Nếu quả cầu được thả từ độ cao #=6# thì thành phần nằm ngang của

lực tác dụng vào quả cầu tại Ở là bao nhiêu? Giải: a Tìm gia tốc của khối tâm quả cầu ta có thể sử dụng 2 cách Cách 1: Phương pháp động lực học

- Chọn hệ qui chiếu quán tính øxyz gốc O tring với khối tâm quả cầu ở

thời điểm ban đầu

Cac truc ox,oy,oz có hướng như hình vẽ

Chiều øz là chiều dương của mô men lực

Trang 25

- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P, phản lực pháp tuyến của mặt

phẳng nghiêng X, lực ma sát7„ Vì quả cầu lăn không trượt nên ma sát ở điểm

tiếp xúc Z„ là lực ma sát nghỉ

Trục quay là trục qua khối tâm và song song øz

- Phương trình chuyển động của quả cầu: P+N+F,=ma () Mẹ =[R^F, |=l,ẽ (2) Chiéu (1) lén ox: Psina-F,.=ma_ ms (3) oy 1

Chiếu (2) lên øz: RE, =l£ ¬ 1 #

Hình trụ lăn không trượt nên: a=eR

> 4 J i

Thay F,, vao (3) tacé: Psina — 08 =ma > = mgsine

mực R*

Quả cầu đặc: 7, =e mk > a=2gsina

+ Hình trụ lăn đến cuối dốc, nó di được quãng đường /= tO Trong

sin@

chuyển động nhanh dần đều không vận tốc ban đầu v? = v2as

Vận tốc khối tâm hình trụ ở cuối chân dốc: v? =4J2ai = 7 gh

> h„= ms = “ma = “mộ sina=2m sina 5 78 7 6

Điều kiện để quả cầu lăn không trượt: F„ <#„„ = HN ms

2 : :

oS 7 mgsin oS mg sin ở S

So tgas3,5u Cách 2: Phương pháp năng lượng:

- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P, phản lực pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng N, lực ma sát nghỉ F, Như vậy vật chuyển động trong trường thế và lực ma sát nghỉ, phản lực pháp tuyến không sinh công nên cơ năng của nó

bảo toàn

E=T+U =const

Trang 26

- Chon géc thé nang 6 mat ngang

Ở độ cao ¡ : Cơ năng quả cầu chính là thế năng #, =„gh

Khi quả cầu đã lăn trên mặt nghiêng một đoạn x thi co nang cua vat: 1, 1 2 E,=T+U= 2m tho +mg(h-xsin@) 1 4, 1 : E, =E, > am +21) + mg(h — xsin đ) = mgh S Lita ty @ =mgxsina 2 2° 7 , ;2 Quả cầu lăn không trượt ø =F nén: am" +h „ = mgxsin ø > x Ngộ ⁄ to độ + - Dao ham 2 vế theo thời gian ta có: mwvv+ RY =mg xsina yey = ma+/\q=mgsina - R vy=a 1= SmR` > a=>gsina

* Trong bài toán này ta đã bỏ qua ma sát lăn Giải bằng phương pháp năng

lượng đơn giản hơn cách thứ nhất rất nhiều

b Tác dụng vào quả cầu khi nó chuyển động trên đường vòng gồm có trong luc P, phản lực pháp tuyến của mặt cong X, lực ma sát nghỉ Z„_ ms *

Phương trình định luật II Niutơn: P+ +F,, =ma ms Chiéu phuong trinh nay lén phương bán kính của vòng tròn: 2 mv N+ Pcosa@=ma,, =—— Tai diém cao nhat 2 cosa=0 => N+P="

Để hòn bị không rời khỏi đường tron thi NV >0

N+P="™ 2p > wv = PR _ or

Trang 27

Ap dung định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí C, A: E,=E, 1, 1, , 2 0,77 -© mgh = my Mu +2mgR<> hg=0,7v+2gR<> h= +2R 8 = hy, = Oem 4 9R=0,7R+2R =2,7R g c Ap dụng định luat bao toan co nang cho 2 vi tri C va Q: E.=E, 00 1, 1 2 -© mgh=mgk+—mvy +51 4ÿ © mgh=mgR+0,7v¿ e(h-R) 5 > 2=——— = p7 07

Quả cầu chuyển động trên đường tròn vì vậy thành phần nằm ngang của lực tác dụng vào quả cầu tại @ đóng vai trò lực hướng tâm

mv, m.5gR 50

FP=—®#“=—®“ =—

oR ROT 78

Bai 2: Co hé g6n con lan ban kinh R, khoi lugng m dat trén mat ban nằm

ngang và vật có khối lượng ø nối với nhau bởi sợi dây vòng qua một ròng rọc cố định gần ở mép bàn Cơ hệ chuyển động từ nghỉ Biết con lăn lăn không trượt và

Trang 28

* Giải bằng phương pháp động lực học:

Chọn hệ qui chiếu quán tính oxyz như hình vẽ:

- Các lực tác dụng lên vật z là: Trọng lực 7; Lực căng dây 7;

Các lực tác dụng lên con lăn: Trọng lực P,, phản lực pháp tuyến X,, lực

căng dây 7,, lực ma sát nghỉ Ƒ„

Trục quay là trục đi qua khối tâm con lăn và song song oz Chon chiều

dương trục øz là chiều momen luc

- Phương trình chuyển động của các vật: Vật m: P.+Tị = ma, (1) Con lăn: P+N:+T,+F,=Ma, ms (2) Mo = a Fm |l=1,¢ @) - Chiéu (1) lén truc ox: =P -T, =ma, = Ma, ms (2) lén truc oy: = 7, -F, (3) lên trục oz: RF, = 1,é + Day khong gian nén a, =a, =a

Trang 29

2m 3Mm Từ (4) > T =mg -ma = mg(1-a) = mg(1- ——_) = —— @ 8 8 )= mạt 3M +2m 3M +2mŠ LÁT 2 1 Điều kiện để con lăn không trượt: Z„ =“!“ = + Ma= _Mm_, R 2 3M +2m Khi con lăn lăn không trượt: F,, < F,,, cue agi “ " 3M +2m 3M +2m

* Giải bằng phương pháp định luật bảo toàn: - Xét cơ hệ gồm con lăn và vật z

- Tác dụng lên cơ hệ có trọng lực, phản lực của mặt bàn, lực ma sat nghỉ (hai lực này không sinh công), các lực căng dây có tổng công mỗi cặp lực bằng 0 Do vậy cơ năng của hệ được bảo toàn

Chọn gốc thế năng là mặt phẳng song song mặt bàn và đi qua khối tâm con lăn Ban đầu vật z cách mặt phẳng gốc thế năng một đoạn h

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: Cơ năng của hệ ở thời điểm ¿ là: E=T+U 1; 1 2» li» E=—Mvˆ +—l,œˆ +—mvˆ +mg(—h— x) = const 2 219 +7 s( ) Vi day không giãn nên: w'=y 1, , 11 2 1 E =—My? +—.—MR?| & +—mv’ +mg(-h-x) = const 2 R 2 E -l§w +m) + mg(_—h— x)= const Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta có: (3m + mye mg x =0 mg _— 2m g 3M +2m Vi x=v nén giản ước 2 vế ta suyra: a=v= 3 —=M+m 2 - Tính T: Tác dụng lên vật m có trọng lực 7;, lực căng dây 7: Ta có: P-T,=ma => T=hB-ma 3Mm T =T, =m(g -—a) = ———_- M8) ome

* Ở đây áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta tránh được việc giải hệ nhưng

do yêu cầu tính lực căng nên ta vẫn phải kết hợp phương pháp động lực học

Trang 30

Bài 3: Hình trụ đặc đồng nhất khối lượng M, bán kinh R dat trén mat ban nằm ngang Một sợi dây quấn quanh hình trụ và vòng qua ròng rọc cố định, đầu

kia của dây treo vật nặng có khối lượng m Bo qua khối lượng rong roc và sợi

dây, dây không giãn, hình trụ chuyển động song phẳng Tìm gia tốc khối tâm hình trụ trong trường hợp lăn không trượt và lăn có trượt * Giải bằng phương pháp động lực học: - Chọn hệ qui chiếu quán tính øxyz (như hình vẽ) Chiểu øz là chiều của mômen lực - Tác dụng vào vật z có trọng lực P và lực căng dâyT, Tác dụng vào vật ⁄ có trọng lực P,, phản lực pháp tuyến do mặt bàn tác dụng X, lực căng dây 7,, lực ma sát Ƒ„

Ở đây lực căng dây 7, làm cho hình trụ quay quanh trục qua khối tâm, điểm

tiếp xúc có xu hướng trượt về phía sau Vì vậy xuất hiện lực ma sát chống lại xu hướng trượt này, lực Z„ hướng về phía trước

- Phương trình chuyển động của các vật:

Vậtm: P, + T, = ma, (1)

Hình trụ: P,+ N47, + Fn: =Ma, (2)

M =Mr,+Mns = 1,6 (3)

- Chiếu các phương trình lên các trục toa độ:

Chiếu (1) lên øx ta có: =P -T,=ma

Chiếu (2) lén oy tacó: 7,+F, ms = Ma, Chiếu (3) lén oz tacó: R(T -F,,)=1,¢ ms

Trang 31

Bỏ qua khối lượng rong roc va roi day nén: 7, =7, =T Dây không gian nén:a,=a,+eéR

a Hình trụ lăn không trượt: = => a, =2a,=2eR

Lực ma sát là ma sát nghỉ

mg —T =2ma, (4)

Hệ phương trình hình chiếu là: J 7+F,, = Ma, (5)

Trang 32

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li Thay giá trị của 7 vào (5”) ta có: y5 — +2kg 2m l+—— M + kMg = Ma, a _ m+ 4km + kM ? 3m +M

Bài 4: Cơ hệ hình vẽ Vật A có khối lượng m Rong roc B, con lan C 1a

những hình trụ đặc đồng nhất khối lượng #, bán kính # Trên rịng rọc Ư có

mơmen cản M, tác dụng Hệ số ma sát lăn giữa con lăn C và mặt phẳng nghiêng ø là ƒ Sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể Lúc đầu cơ hệ đứng yên

sau đó vật bắt đầu chuyển động xuống dưới Tìm vận tốc vật A sau khi nó đi

được quãng đường j Con lăn C chuyển động song phẳng * Phương pháp động lực học:

- Chọn hệ qui chiếu quán tính

Đối với từng vật thì xét chuyển động theo các phương khác nhau và chọn

chiều dương trục toạ độ theo chiều chuyển động của vật

Trang 33

- Phương trình chuyển động của các vật: A: P+T =ma, C: P+T,+F„+N=Ma, M„+M,„ ms msl =I, Ở đây ta bỏ qua độ lớn F„„ so với Z„„ tuy nhiên mômen cản của ma sát lăn vẫn đáng kể - Chiếu các phương trình lên các chiều chuyển động của các vật và chiều dương mômen lực đã chọn ta có: F-T,=ma, R(T, -T,)-Me = 1h é, T, —-P,sina-F,, = Ma, ms RF — Mg = Ly Soi day khong gifn: a,=a,=a > 6 =6,= xịa

Dây có khối lượng không đáng kể: 7=7, 7;=7,

Hệ số ma sát lăn là ƒ> Mô men ma sát lăn M„„ = /N = ƒP, cosơ - Vậy hệ phương trình hình chiếu có dạng: h-T =ma () R(T, -T,)-M, =he (2) 1; —P,sinø-— F„.= Ma (3) FF, — fP, cosa =1,€ (4) (4) = het ews ms R =F, = Tư, SP, cosa 1 a 2 Do IJ=—MR, e= 2 R Tu (3) suy ra 7, = P,sina+F, + Ma=P,sina + Ma + ng Tw (1) suy ra 7, = BP —ma

Thay giá trị 7;, T; vào (2) ta có:

A|(=me)- [Asner Mas Free) Mẹ, =lạe

2 R

Trang 34

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li mg ~ ma — Mgsin — Š Ma - “M8 995 — Me _ lẽ hé 1g R R R 2 ‘Mg c M a(2M +m) = mg —Mgsin a — “7989958 _ Me R R TT ưng: a= R R 2M +m Vận tốc của vật m khi đi được quãng đường h 1a: M 2ñ| g m-—Msina 24 £82 ——£ R R v=12ah = 2M+m

* Giải bằng phương pháp định luật bảo toàn: - Xét cơ hệ gồm vat m, con lan C, rdng roc B

- Trong các lực tác dụng lên vật thi luc ma sét nghi F, khong sinh công vì

điểm đặt luôn thay đổi, phản lực N vuông góc với chuyển động nên không sinh

công Tổng công của các cặp lực 7 và 7„, 7; và 7, gây ra bằng 0

Khi vật A đi được quãng đường h thì khối tâm con lăn Œ cũng di chuyển một đoạn ở (do dây không giãn) Con lăn và ròng rọc cùng quay được một góc ø=—

Trang 35

Ap dụng định lý động năng: Độ biến thiên động năng bằng công các lực tác dụng lên vật T- 0=A= 4đ, + A,; + A„„+ A c 1 Mehc ( mm)» = mgh~ Mghsin a 2/8 2552 — ụ 2 msl 2h| g| m— ad M sin œ— y= Mocs) Me R m+2M

Bai 5: Một dây có khối lượng không đáng kể vắt qua một ròng rọc cố định Ó có khối lượng không đáng kể Một đầu dây mang vat A có khối lượng đầu

kia cuốn vào hình trụ khối lượng z, bán kính R

Tìm gia tốc vật A, gia tốc khối tâm hình trụ và lực căng dây

- Chon truc toa d6 ox hướng thẳng đứng xuống

dưới mômen lực có phương vuông góc mặt phẳng hình vẽ, chiều dương được chọn hướng vào trong

- Phương trình chuyển động của các vật: Vậtm: P+P, =mai Trụ: P + P, = mac Mẹ =|š^T|=1,s Chiếu các phương trình lên trục toạ độ và chiều dương mômen lực đã chọn: -T,+h =ma, —T, +, =ma„ RT =1T,£ Day, ròng rọc có khối lượng không đáng kể nên T, = T; = T lạ có P,=P; => a¡=aạg= 4

Gọi B là tiếp điểm giữa dây và trụ:

áp =ay xay =|E^flka, | => =8,=|EARlka,

Lai c6: a, =-a, =-a,

Trang 36

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li Chiéu lén truc ox tacé: -a=a- 6R => & = 2a => e= 4 -T+P=ma P-T=ma Vay hé phuong trinh hinh chiéu: RT =e =1, = = T=2a fo 2 Cộng 2 phương trình trên lại ta có: om + 2) =P P 8 a= = 21, 21, m+— 1 > ‘ mR = A 1, I Luc cang day: 7 =2a— =2-2 —& _ _™8 R Rˆ 21, mR* 1+— > + mR” 21 0 Lực tác dụng lên điểm treo bằng 27 nhỏ hơn trọng lượng của vật và trụ khi đứng yên

Bài 6: Cơ hệ hình vẽ Vật A có khối lượng mm, buộc vào dây không giãn, nhẹ vắt qua ròng rọc cố định Ó khối lượng 7; quấn vào một con lắc hình trụ khối

lượng 7; Ròng rọc và con lăn là những hình trụ đồng chất có cùng bán kính Bỏ

qua ma sát lăn, ròng rọc quay và con lăn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng Tính gia tốc chuyển động của vật A

* Phương pháp động lực học: - Chọn hệ qui chiếu quán tính

Các vật chuyển động theo các phương khác nhau nên trục toạ độ được lấy

theo phương chuyển động của các vật, chiều dương là chiều chuyển động Chiều dương mômen lực hướng vào trong mặt phẳng hình vẽ

Trang 37

- Các lực tác dụng vào vat A, O, B la:

A: Trọng lực P., phản lực của mặt phẳng nghiêng Ø là N,, lực căng đây 7

Rồng rọc Ó: Xét lực gây ra mômen quay đối với trục là TT

Con lăn Ö: Trọng lực ?,, phản lực của mat phaing nghiéng a 1a N,, lực căng dây 7, , lực ma sát nghỉ Ƒ„_ - Phương trình chuyển động của các vật: A: P + N, + Hi =m, a, O: My +M, =i,£, B: P.+N,+T,+F, =ma, ms M,, + My =l,£, Chiếu các phương trình lên các trục tọa độ và chiều dương mômen lực đã chọn ta có: P sin B-T, =m,a, R(T'-T,') = In €, T,-Psina+F,, =m,a ms 343 R(T, — F,.) = Lys€5

Dây không giãn: ø, =a, +£,R } a,=2a; =2e,Ñ Con lăn không trượt: e,R =a,

0 2Ñ : ly = mR Dây có khối luong ~0 nén 7; =7;;7; =T,

Vậy hệ phương trình hình chiếu là:

Trang 38

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li Cộng (1) với (2) và thay giá trị 7; vào ta có: 3 m,gsing m F sin B— oma, x““ +m) m,g sing a m+ 1 1 2 43m 8 3 =m,gsin B- i& 2 a= m, ++ 3 m,; 8 * Phương pháp năng lượng:

- Xét cơ hệ gồm vat A, rong roc O, con 1an B

Các cặp lực căng T và T7 ; T7 và 7 sinh ra tổng công bằng 0 Phản lực pháp tuyến vuông góc chuyển động không sinh công

Lực ma sát nghỉ không sinh công do điểm đặt luôn thay đổi

- Ap dụng định lý động năng cho hệ:

Ở thời điểm ban đầu động năng cơ hệ bằng 0

Ở thời điểm ¢, vat A dịch chuyển được một đoạn x, nó có vận tốc v

Rong roc Ó có vận tốc góc: ø, =

Van téc kh6i tam con lan B 1a v, thi v,+@,R=v |> v, =5

Con lăn không trượt: o,R=v,

Trang 39

=vˆ= ———_+—— (5) m,+—+=m, 8 Vật A chuyển động nhanh dần từ nghỉ với gia tốc đ: v? =2ax (6) 1 em sin B-—m, sin +) 3 So sánh (5) và (6) ta suy ra: =ø= m, +t gm

Bai 7: Trên mặt phẳng nghiêng góc øz =30°, người ta đặt một hình trụ đặc có khối lượng zn, = 8kg, đường kính ® = /0cm Người ta xuyên dọc theo trục hình trụ một thanh nhỏ không có trọng lượng tỳ vào các ổ bi Dùng dây nối một vật có khối lượng zn; = 4 kg vào thanh (hình vẽ) Bỏ qua ma sát lăn, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là „= 0,2 Sợi dây không giãn và không có khối lượng, hình trụ lăn không trượt Tính gia tốc của vật, trụ Từ đó suy ra điều kiện

để dây căng

* Phương pháp động lực học:

- Chọn hệ qui chiếu quán tính øxyz Các trục toạ độ như hình vẽ Chiều

dương øz là chiều dương của mômen lực

- Các lực tác dụng vào vật và hình trụ với các giả thiết là dây nối luôn căng

Vật: Trọng lực ?,, phản lực của mặt phẳng nghiêng A,, lực căng dây 7,

luc ma sat truot F „ m2 *

Tru: Trong luc P , phản lực của mặt phẳng nghiêng AN,, lực căng dây 7 ;

lực ma sát nghỉ F msl *

Trang 40

Khi dây không giãn và luôn căng thì gia tốc của 2 vat bang nhau va bang a - Phương trình chuyển động của các vật:

Vat my: P.+N,+T+F„ =ma (1) Vật m;: PB+N.+T+E, =ma (2) Mz„=l£ @) Chiếu các phương trình lên các trục toạ độ øox,oy,øz ta được: P,sinz+T —F„„ =m,a (1.x) P,cosa—N, =0 (1.y) Psina-T -F,,, =ma (2.x) Ra = 1£ (3.2) ` 1 Từ (3.z) > F,, ì = ĐỂ R Ac mR? ma Hình trụ đặc: I,= 2 > Fra = -7

Hình trụ lăn khong truot: ¢ =

Từ (ly) +N,=P,cosa > F,.,=puN, = uP, cosa

Dây không có khối lượng nên: 7” = 7

Cộng (7.x) và (2.x) sau đó thay các giá trị F„.; F„; vào ta được:

me = a(m, +m,)

(P+ P,)sina— uP, cosa —

dâm sen) =(m, +m,)gsina—pm,g cosa a= g(m, sin @ +m, sina — pm, cosa)

3m + my,

* Điều kiện để dây căng:

Cáchl: Riêng vật trượt trên mặt phẳng nghiêng m,= 0 thì gia tốc là g(sina— cosa)

Riêng trụ lăn không trượt thì m,= 0, gia t6c cua tru la Fesina

Để dây căng thì gia tốc của trụ lớn hơn gia tốc của vật bởi vì khi đó trụ

mới có thể kéo vật

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	7,09 MB