DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

Chính vì lý do này, em quyết định lựa chọn đề tài “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J J-INTEGRAL ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU” để tìm hiểu rõ hơn về cơ chế gây nê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Xuân Tiến

HÀ NỘI – 2012

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

LỜI NÓI ĐẦU

Từ xưa tới nay, sự phá hủy của các công trình, các chi tiết máy móc luôn để lạihậu quả to lớn về người và vật chất Điều này càng đúng hơn trong thời buổi côngnghệ khoa học và kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay Với các công trình lớn,hay các dây truyền hiện đại, sự phá hủy của các chi tiết sẽ gây ra hậu quả vô cùngnghiêm trọng Chính vì lý do này, Cơ học phá hủy là môn học ngày càng được pháttriển và nghiên cứu rộng rãi Nhiệm vụ của nó là tìm ra các nguyên nhân gây ra sự pháhủy của vật liêu, từ đó có thể đưa ra các biện pháp cải tiến hoặc ngăn chặn sự phá hủyxảy ra

Hiện nay, Cơ học phá hủy là môn học ít được đề cập đến trong hệ thống giảngdạy của các trường kỹ thuật của nước ta Chính vì lý do này, em quyết định lựa chọn

đề tài “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ

NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU” để tìm hiểu rõ hơn về cơ chế

gây nên sự phá hủy của vật liệu cũng như dự đoán được sự phát triển của các vết nứtcủa vật liệu

Trong đề tài cũng đề cập đến một môn học khác nữa, đó là “ Phương pháp phần

tử hữu hạn” Đây có thể nói là một phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán kỹ

thuật Với phương pháp phần tử hữu hạn, việc tính toán các bài toán cơ học như: phântích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máybay, tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu, những bài toán của lý thuyết trường như:

lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trường trởnên dễ dàng hơn Dựa trên nền tảng của phương pháp phần tử hữu hạnkết hợp với sựphát triển mạnh mẽ của ngành công nghệ phần mềm đã tạo ra các phần mềm CAE tíchhợp vào hệ thống máy tính khiến cho việc giải các bài toán kỹ thuật trở nên đơn giảnhơn rất nhiều lần

Qua quá trình hoàn thành đề tài đồ án tốt nghiệp này, bản thân em nhận thấy thuđược rất nhiều thức về cơ học phá hủy, cũng như quá trình cơ bản để giải một bài toán

cơ học Đồng thời qua đồ án này, em cũng được tìm hiểu sâu hơn về phần mêm Ansys– Một phần mềm CAE tương đối phổ biến ở nước ta cũng như trên thế giới

GVHD: Th.S Trần Thanh Hải

Trang 2

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Sau một quá trình nghiên cứu tìm hiểu, với sự cố gắng của bản thân cùng với sự chỉ

bảo, hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải, em đã hoàn thành đề tài

này Trong quá trình hoàn thành, do kiến thức bản thân còn hạn hẹp nên đề tài vẫn còntồn tại nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy, cô vàcác bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Xuân Tiến

Lớp Cơ – Điện Tử K47 ĐHGTVT

GVHD: Th.S Trần Thanh Hải

Trang 3

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP TÓM TẮT ĐỒ ÁN

Tên đề tài: “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN

KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”

Nội dung đề tài:

- Tìm hiểu về cơ học phá hủy

- Nghiên cứu về phương pháp PTHH

- Tìm hiểu về phần mềm Ansys

- Ứng dụng phần mềm Ansys để giải bài toán tính tỉ lệ giải phóng năng lượng củavết nứt của một kết cấu hai vật liệu (Bi-material)

Đề tài được bố cục như sau:

Chương 1: Tổng quan về cơ học phá hủy: Giới thiệu các vấn đề cơ bản nhất về cơ

học phá hủy ( Fracture Mechanics) Đưa ra các nguyên nhân gây ra phá hủy, cũng nhưcác nhân tố ảnh hưởng đến sự phá hủy của vật liệu

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn: Giới thiệu các nội dung cơ bản về

phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), cơ sở lý thuyết của phương pháp PTHH vàmột số phương trình đặc trưng của phương pháp PTHH

Chương 3: Tổng quan về phần mềm ansys: Giới thiệu về phần mềm Ansys, ứng dụng

của ansys trong việc giải các bài toán kỹ thuật

Chương 4: Tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu material):Giới thiệu các phương pháp tính toán tỉ lệ giải phóng năng lượng khi hình

(Bi-thành vết nứt và ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt Tính toán tỉ lệ giải phóng nănglượng vết nứt của một kết cấu hai vật liệu bằng phương pháp J-Integral thông qua phầnmềm ansys

GVHD: Th.S Trần Thanh Hải

Trang 4

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

TÓM TẮT ĐỒ ÁN 4

MỤC LỤC 5

DANH SÁCH HÌNH VẼ 8

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY 10

1 Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) 10 1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy .10

1.2 Phân loại cơ học phá hủy .12

1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy .13

2 Các chế độ phá hủy (Fracture modes) 15 3 Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất 16 3.1 Bài toán Westergaard .16

3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor) .17

3.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt .17

3.4Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ tải

19

3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất .22

4 Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng 22 4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt .22

4.2 Lý thuyết Griffith .23

4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G .25

4.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai 264.5 Mối quan hệ giữa K và G 26

5 Tích phân J (J-Integral) – Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến 265.1 Định nghĩa 265.2 Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến.[8] 285.3 Sự bất biến của tích phân J 315.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba 315.5 Mối quan hệ giữa J, K và G 31

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 32

1.1 Khái niệm chung 321.2 Nội dung của phương pháp 331.3 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn 341.4 Hàm xấp xỉ - Hàm dạng - Phép nội suy 37

2.1 Ma trận độ cứng phần tử , véc tơ tải phần tử 422.2 Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể 44

CHƯƠNG 3: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM ANSYS 49

1.1 Giới thiệu chung 491.2 Ứng dụng của Ansys 51

2 Giải bài toán cơ học kết bằng phần mềm ansys 57

2.1 Các bước phân tích của bài toán kết cấu bằng phần mềm Ansys 582.2 Hai phương pháp làm việc với Ansys 59

1.2Phương pháp tương quan chuyển vị (Displacement Correlation Methods)

66

1.3 Phương pháp tích phân kín nứt hiệu chỉnh (Modified Crack Closure

KẾT LUẬN 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt 11

Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu 11

Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại 13 Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt 13

Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu 14

Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt 14

Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống 15

Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống 15

Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản 15

Hình 1.10 – Bài toán Westergaard 16

Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục 19

Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục 20

Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục 20

Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục 21

Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục 21

Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều 23

Hình 1.17 – Tích phân J 27

Hình 1.18 - vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г 28

Hình 2.1 – Mô hình các phần tử đơn giản 35

Hình 2.2 – Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange 38

Hình 2.3 – Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal 41

Hình 2.4 – Tính dầm chịu uốn bằng phương pháp PTHH 46

Hình 3.1 – Màn hình khởi động Ansys 49

Hình 3.2 – Kết cấu trong trường hợp tải tĩnh 52

Hình 3.3 – Phân tích va chạm của một thí nghiệm đối với ô tô 53

Hình 3.4 – Phân bố nhiệt trong kết cấu 54

Hình 3.5 – Mật độ dòng chảy điện từ của van kiểm soát chất lỏng solenoid 55

Hình 3.6 – Trường dòng chảy trong ống dẫn và phân bố áp suất của thùng trộn 56

Hình 3.7 – Đồ thị áp suất mức áp âm 56

Hình 3.7 – Kết cấu khung giàn 59

Hình 3.8 – Mô hình của giàn khi chưa chia lưới 60

Hình 3.9 – Mô hình kết cấu khi đã được phần tử hóa 61

Hình 3.10 – Mô hình của kết cấu khi đã đặt điều kiện biên và tải trọng 62

Hình 3.11 – Bảng kết quả phản lực tại các gối 62

Hình 3.12 – Chuyển vị của kết cấu 62

Hình 3.13 – Biểu đồ chuyển vị của các nút trong kết cấu 63

Hình 3.14 Biểu đồ ứng suất của kết cấu 63

Hình 4.1 – Các mô hình thực nghiệm đo giới hạn phá hủy 64

Hình 4.2 – Mô hình thực nghiệm đo KIC 65

Hình 4.3 – Thiết bị dùng để đo KIC 66

Hình 4.4 – Phương pháp tương quan chuyển vị 66

Hình 4.5 – Phương pháp suy biến điểm phần tư 67

Hình 4.6 – Phương pháp VCCT 68

Hình 4.7 – Tích phân J 69

Hình 4.8 – Các dạng biến đổi của tích phân J 70

Hình 4.9 – Kết cấu hai vật liệu (Bimaterial) 71

Hình 4.10 – Mô hình một nửa của kết cấu 72

Hình 4.11 – Mô hình của kết cấu bằng Ansys 80

Hình 4.12 – Biểu đồ biến dạng của kết cấu 81

Hình 4.13 – Biểu đồ chuyển vị của các nút phần tử 81

Hình 4.14 – Cường độ ứng xuất vùng gần đỉnh vết nứt 82

Hình 4.15 – Bảng Giá trị của các tham số 82

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY

1 Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy

Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con người bắt đầu xây dựngnhững kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnhhưởng của phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con người ngày càng nhiều vào khoahọc kĩ thuật và máy móc

May mắn thay,sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng tagiảm thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trongcác công trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhântại sao vật liệu bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn,bảo vệ được sự phá huỷ của các kếtcấu đó

Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học nói chung, chuyên nghiên cứu sự hình thành của vết nứt trên vật liệu của kết cấu cơ học Cơ học phá hủy là một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất của vật liệu và các thành phần

cơ học của kết cấu.

Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ

bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt Cho phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt Nó sử dụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu[1]

Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các kết cấu cơ học chứa khuyết tật hình họcnhư các liên kết bằng ren, khe hở của chi tiết trục, răng của bánh răng…Kích thước vàhình dạng của chúng đóng vai trò quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấutrúc vật liệu Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa cáckhuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố: ứng suất và độ bền uốn Tuy nhiên, cách tiếpcận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có đặc trưng hình họclớn Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường hợp sau (hình1.1):

Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt

Tất cả các mẫu có cùng độ dày Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp xếptheo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2

Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến

độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu

So với phương pháp tiếp cận sức bền vật liệu, phương pháp cơ học phá hủy(Fracture mechanics) bị ảnh hưởng bởi ba yếu tố: ứng suất, kích thước phá hủy và độbền phá hủy Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốnphù hợp tính chất vật liệu nhiệm vụ của cơ học phá hủy là phải xác định giới hạn của

ba yếu tố trên

Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu

1.2 Phân loại cơ học phá hủy

Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được

chia thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics) (LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo (Elasto Plastic Fracture Mechanics

(EPFM) LEFM được áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biếndạng (đàn hồi tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chưa xảy ra biến dạng hoặc biến dạngcòn nhỏ, với các vật liệu như: thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bêtông LEFM cho kết quả tính toán có độ chính xác khá cao Tuy nhiên, đối với vật liệu

dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luônxảy ra trước phá hủy Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng.EPFM được áp dụng cho để tính toán cho các kết cấu có vật liệu có tính chất đàn hồi-dẻo EPFM là trường hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu đã có sự biến dạng (chảydẻo)

Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy được chia thành cácdạng sau:

 Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian (Linear time – independent

materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính

 Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian (Nonlinear time –

independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến

 Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian (Time – dependent materials) : Động

lực học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy nhớt dẻo

1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy

 Độ bền của tổ chức vết nứt

Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại

Phá hủy ở vật liệu thường được chia làm hai dạng:

 Phá hủy giòn (Brittle): Vật liệu bị phá hủy khi biến dạng còn rất nhỏ

 Phá hủy dẻo (Ductile): Vật liệu bị phá hủy khi có biến dạng lớn và có sự chảydẻo

Đối với một số loại vật liệu như kim loại, bên trong có tồn tại những lỗ hổng vi

mô Khi vật liệu bị biến dạng do gia tải, những lỗ trống này sẽ phát triển và đến mộtlúc nào đó chúng sẽ giao nhau và tạo thành vết nứt gây phá hủy vật liệu

Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt

 Các thông số vật lý và cấu trúc vi mô làm biến đổi độ bền của vật liệu:

 Sự nứt do chẻ thớ (Cleavage fracture): là hiện tượng phân tách vật liệu xảy ra do

sự phá vỡ các liên kết nguyên tử dọc theo những bề mặt tinh thể nhất định Sựnứt xảy ra tại những bề mặt mà sự liên kết nguyên tử tại đó yếu và khoảng cáchgiữa các mặt lớn Dạng nứt này có thể xảy ra ở tinh thể lập phương tâm khối nhưsắt hay thép carbon thấp Đối với vật liệu đa tinh thể, vết nứt sẽ chuyển hướng

khi nó gặp biên của tinh thể khác Mặt phẳng nứt tại mỗi tinh thể có sự phảnchiếu cao Khi quan sát toàn bộ mặt vết nứt sẽ thấy những vùng lấp lánh

Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu

 Sự nứt giữa các hạt (Intergranular fracture: Sự rạn nứt xảy ra dọc theo biên tinh

thể Do hiện tượng phân tách của những tinh thể giòn và sự kết tủa tại những biêncủa tinh thể dẫn đến sự liên kết yếu tại biên giữa các tinh thể

Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt

Sự nứt giữa các hạt được chia làm hai loại:

+ Sự phân tách tại biên tinh thể kèm theo sự xuất hiện của những lỗ trống Hiệntượng này xảy ra trong suốt quá trình phá hủy của một số loại thép hay hợpkim nhôm

Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống

+ Sự phân tách không có lỗ trống xuất hiện trong suốt quá trình phá hủy củathép hóa giòn ở nhiệt độ cao hay vật liệu khó nóng chảy như tungsten hayphá hủy rão

Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống

2 Các chế độ phá hủy (Fracture modes)

Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản

Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản

 Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phương Y

 Dạng trượt (mode II) các bề mặt trượt lên nhau theo phương X

 Dạng trượt xoay (mode III) các bề mặt trượt lên nhau và xé ra theo phương Z.Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên Trong đóchế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật

3 Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.

3.1 Bài toán Westergaard

Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tậptrung, để biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứtngười ta dùng hệ số K được gọi là hệ số cường độ ứng suất

Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thước lớn vô hạn (Westergaard)

Hình 1.10 – Bài toán Westergaard

(1.1)(1.2)(1.3)

3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)

Hệ số cường độ ứng suất là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung ứng suất tạivùng gần đỉnh vết nứt và được xác định bằng công thức sau:

3.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt

 Chế độ phá hủy I :

Trường ứng suất:

(1.7)(1.8)(1.9)

Trường chuyển vị:

(1.15)(1.16)

Đối với phá hủy dạng I và II:

 là modun đàn hồi trượt

 Với là hệ số Poisson

 Chế độ phá hủy III :

Trường ứng suất :

(1.19)

Trường chuyển vị:

(1.20)(1.21)

Ngoài ra, trường ứng suất và trường chuyển vị còn được biểu diễn dưới dạng tọa

độ cực Với mô hình nứt dạng hỗn hợp ta áp dụng nguyên lý chồng chập tuyến tínhtrong hệ tọa độ vuông góc hay hệ tọa độ cực để tính

3.4 Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ tải.

 Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.22)

(1.23)

 Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.24)

(1.25)

 Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.26)

(1.27)

 Tấm phẳng với vết nứt nghiêng, bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.28)

(1.29)(1.30)

 Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tựa

Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.31)

2 3/2

23

3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất

Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vô cùngnhưng trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giới hạn một ứngsuất có giá trị hữu hạn Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứng suất thực tế trongvùng chảy dẻo và so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phép lớn nhất của vật liệu đểxác định liệu rằng một vêt nứt có phát triển hay không

Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giá trị hệ

số cường độ ứng suất KC (KC là một đặc tính của vật liệu đặc trưng cho sự chống lại sựphá hủy của vật liệu) tương ứng với mỗi vật liệu KC được gọi là độ bền phá hủy củavật liệu Một vật được xác định khả năng nứt bằng cách so sánh Ki với KiC tương ứng(i=I,II,III) Sự phá hủy xảy ra khi Ki KiC.

4 Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng

4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt

Sự thay đổi khi một vật thể vết xuất hiện vết nứt là sự suất hiện thêm các bề mặt.Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ năng lượng từ các bề mặt mangnăng lượng cao hơn năng lượng của chi tiết và giải phóng ra năng lượng Sau đó quátrình nứt có tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc vào việc nó có chứa đủ nănglượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của nó Nói cách khácquá trình nứt diễn ra khi xảy ra sự mất cân bằng năng lượng giữa các bề mặt với nănglượng của bản thân kết cấu, chi tiết

Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do

tác dụng của tải trọng ( ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng đàn hồi (internal

elastic energy) ( ), năng lượng biến dạng dẻo ( ), động năng (kinetic energy) ( )

của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vết nứt cho một đơn vị thời gian ( ) Nóicách khác[1]:

(1.33)Nếu quá trình nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể ( ) Hơn nữa,

vì tất cả thay đổi đều liên quan đến thời gian được gây ra bởi những thay đổi kíchthước các vết nứt, chúng ta có:

(1.34)với A là diện tích vết nứt Do vậy phương trình (1.33) có thể được viết lại như sau:

(1.35)

Phương trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tantrong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt

4.2 Lý thuyết Griffith

Theo định luật nhiệt động lực học đầu tiên, khi một hệ chuyển từ trạng thái khôngcân bằng sang trạng thái cân bằng sẽ có sự suy giảm năng lượng Griffith áp dụng ýtưởng này để giải thích sự hình thành vết nứt Một vết nứt có thể hình thành nếu cómột quá trình nào đó làm cho tổng năng lượng suy giảm hoặc còn lại một giá trị hằng

số Do đó điều kiện cần thiết để định nghĩa một khe nứt tồn tại dưới điều kiện cân bằng

là không có sự thay đổi trong tổng năng lượng

Xét một tấm phẳng chịu ứng suất đều và có một khe nứt chiều dài 2a Giả thiếtrằng chiều rộng của tấm phẳng rất lớn so với chiều dài 2a của khe nứt và điều kiện ởđây là ứng suất phẳng

Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều

Để khe nứt có thể tăng trưởng kích thước thì thế năng có trong tấm phẳng phảivượt qua năng lượng bề mặt của vật liệu Thuyết cân bằng năng lượng của Griffith cho

sự tăng trưởng của vùng nứt dưới điều kiện cân bằng được biểu diễn như sau:

Ta có:

(1.40)(1.41)

Từ (1.41) và (1.42) ta tìm được ứng suất gây nứt :

(1.43)

Phương pháp Griffith cũng có thể dùng để áp dụng tính toán cho các mô hình nứtkhác.

4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G

Đối với các vật liệu đàn hồi tuyến tính – Linear elastic materials (vật liệu giòn lý

tưởng), năng lượng tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏqua ( =0) Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thểđược xác định:[1]

(1.44)Phương trình trạng thái cân bằng ở trên chính là thế năng trong vật thể cần phảithắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra) Gcòn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy

Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lượng trong mô hình nứt trên là:

(1.45)

Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, với một vật thể có tải trọng không đổi luôn tuântheo quy luật (theo định lý Clapeyron):

(1.46)kết hợp với (1.33) ( ), do đó phương trình (1.44) có thể được viết lại nhưsau:

(1.47)

Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó biểu thị năng lượngtrên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển Lưu ý rằng phươngtrình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính Nếu vật thể đàn hồi phi tuyến hoặc

có tính dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị

4.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai

Vết nứt sẽ phát triển khi G tiến đến hoặc vượt một giá trị cực đại Gc:

(1.48)

Gc được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng

4.5 Mối quan hệ giữa K và G

 Với mô hình phá hủy dạng I và II

(1.49)(1.50) trong trường hợp ứng suất phẳng

trong trường hợp biến dạng phẳng

 Với mô hình phá hủy dạng III

(1.51)Hay viết dưới dạng tổng quát

lớn thì khi đó các hệ số K và G không còn chính xác trong việc mô tả sự ứng xử đàndẻo của loại vật liệu này.

Để xác định được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn dẻocủa vật liệu có độ bền cao, người ta đưa ra một cách tiếp cận khác đó là tích phân J (J-Integral) Tích phân J là một loại tích phân đường được James Rice nghiên cứu và pháttriển do sự khó khăn trong việc tính toán ứng suất đối với các vết nứt kín trong vật liệu

đàn hồi phi tuyến (nonlinear elastic) hay vật liệu đàn hồi dẻo (elastic plastic)

Xét mô hình với vêt nứt bị bao quanh bởi biên dạng tùy ý có chiều ngược chiềukim đồng hồ Tích phân J được xác định như sau :[8]

(1.53)Với :  – mật độ năng lượng biến dạng

ở đây, và là các tensor ứng suất và biến dạng

 Các thành phần vector lực tác dụng đều được tính như sau

(1.55)Với là các thành phần vector pháp tuyến của biên dạng

5.2 Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến [8]

Xét một vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г Bên trong là vùng diện tíchΩ.Bỏ qua sự tác dụng của lực thể tích, thế năng được cho bởi công thức sau:

(1.56)

Hình 1.18 - vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г

Khi vết nứt phát triển, sự thay đổi của thế năng như sau :

(1.57)

(1.58)

Do trên miền chuyển vị bị ràng buộc và trên miền chịu tácdụng của áp lực nên công thức (1.58) được viết lại như sau :

Do khi vết nứt phát triển một đoạn a thì :

Thế phương trình (1.61) vào phương trình (1.60), dẫn đến :

(1.62)Mặt khác, từ công thức tính mật độ năng lượng biến dạng (1.54) ta có :

(1.63)Mặt khác ta cũng có :

(1.64)Các thành phần biến dạng được cho bởi công thức :

(1.65)Thay (1.65) vào (1.64) ta được :

(1.70)Thế phương trình (1.70) vào phương trình (1.62), phương trình (1.62) trở thành:

(1.71)

Áp dụng công thức Green và nhân 2 vế cho (-1) ta được:

(1.72)

(1.73)Với

Như vậy từ phương trình (1.73) ta có :

(1.74)

Do đó tích phân J được xem như là tỷ lệ giải phóng năng lượng phi tuyến

5.3 Sự bất biến của tích phân J

Tích phân J được xem là một đường độc lập khi :

 Không có lực thể tích bên trong miền lấy tích phân

 Không có áp lực lên mặt vết nứt

 Ứng xử của vật liệu là đàn hồi (tuyến tính hoặc phi tuyến)

 Trong trường hợp có lực thể tích hoặc có áp lực lên mặt vêt nứt thì một vài thông

số khác phải được thêm vào tích phân

Tích phân J =0 đối bất kỳ đường biên kín, đối với tích phân đường biên bao quanhvết nứt,lúc này tích phân J sẽ khác 0 và trở thành tích phân đường độc lập

5.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba

Cũng giống như hai tiêu chuẩn phá hủy trên, khi giá trị của tích phân J vượt quámột giá trị cực đại Jc Jc cũng được coi như độ bền phá hủy theo tiêu chuẩnnăng lượng đối với vật liệu đàn hồi dẻo

5.5 Mối quan hệ giữa J, K và G

Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, tích phân J cũng giống như tỷ lệ năng lượnggiải phóng G, cả hai đều có mối liên hệ với hệ số cường độ ứng suất như sau :

(1.75)

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Khái niệm chung

Trong cơ học vật rắn, với các kết cấu phức tạp việc giải các bài toán cơ học chúng

ta thường gặp các bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượngnào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong một miền xác định Khi xây dựng môhình toán học cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay một hệ phương trình viphân Với miền xác định, điều kiện biên và các ngoại lực phức tạp thì việc giải quyếtbài toán bằng phương pháp giải tích là không khả thi mà cần phải sử dụng các phương

pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bàitoán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử) Các miền nàyđược liên kết với nhau bởi các điểm nút Trên miền con này, dạng biến phân tươngđương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoảmãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử

Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạohàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần

tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Ưu điểm của phương pháp PTHH là có thể dùng nó để giải các bài toán kĩ thuậtphức tạp, dễ dàng công thức hóa và số hóa bài toán kỹ thuật, có thể ứng dụng để giảicác bài toán phi tuyến Đồng thời Phương pháp PTHH có các bước giải được hệthống hóa rõ ràng nên được ứng dụng rộng rãi Tuy nhiên nhược điểm của phương

pháp PTHH là kết quả tìm được chỉ mang tính xấp xỉ và phụ thuộc vào các dạng phần

tử và mật độ các phần tử được chọn Để khắc phục những nhược điểm này ta có thể ápdụng các phương pháp kiểm tra như tính toán lại bằng tay hay dùng thí nghiệm kiểmchứng lại

1.2 Nội dung của phương pháp

Để giải một bài toán biên trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miềncon (e = 1, , n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chungnhau đỉnh hoặc các cạnh Mỗi miền con được gọi là một phần tử hữu hạn

Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữuhạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V Có thểchọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trị trong một sốhữu hạn phần tử ở gần nhau Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu được tìm dướidạng:

c1ψ1(x) + + cnψn(x)Trong đó các ck là các số cần tìm

Thông thường, việc tìm các hệ số ck người ta đưa về việc giải một phương trìnhđại số với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một sốđường song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải Có thể lấycạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các miền códạng hình học phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúngcác bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình

Thông thường với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật

lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo 3 dạng mô hình sau:

 Trong mô hình tương thích: Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước

và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử Các

ẩn số được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ sở nguyên lý thếnăng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange.

 Theo mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ được biểu diễn dạng gần đúng phân bố của

ứng suất hay nội lự trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trìnhthiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biếnphân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano)

 Theo mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị ứng suất là 2 yếu tố độc

lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứngsuất trong phân tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ

sở nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một phương trình đại số vừa nhận đượcthì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả cácphần tử Và từ đó cũng tìm ra được các đại lượng còn lại

1.3 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

Bước 1 : Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này miền khảo sát V được chia thành các miền con hay thành cácphần tử có dạng hình học thích hợp

Hình 2.1 – Mô hình các phần tử đơn giản

Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kíchthước các phần tử được xác định rõ Số điểm nút của mỗi phần tử không lấy được mộtcách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn

Bước 2 : Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho đơngiản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ vàthường chọn ở dạng đa thức

Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể cả các đạo hàm của nó tạicác nút của phần tử {qe}

Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K e ]và vectơ tải phần tử {P e }

Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc cácphương pháp biến phân…

Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phương trìnhphần tử:

Bước 4: Ghép nối các phần tử trên mô hình tương thức mà kết quả là hệ thống phương trình

(2.2)Trong đó:

: Ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)

: Vectơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là vectơchuyển vị nút tổng thể)

: Vectơ các số hạng tự do tổng thể (hay vectơ tải tổng thể )

Rồi sử dụng điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận được là hệ phương trìnhsau:

(2.3)Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải

Bước 5: Giải phương trình đại số

(2.4)Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình đại số là không khó khăn Kết quả làtìm được chuyển vị của các nút

Nhưng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bước lặp màsau mỗi bước ma trận cứng thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay vectơ lực nút thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học)

Bước 6:Hoàn thiện: Tính giá trị của các đại lượng còn lại (ứng suất, biến dạng…)

1.4 Hàm xấp xỉ - Hàm dạng - Phép nội suy

1.4.1 Hàm xấp xỉ

Ý tưởng của phương pháp này là cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên và xấp

xỉ hóa đại lượng cần tìm tại điểm bất kỳ trong miền xác định V Ứng dụng vàophương pháp PTHH, chúng ta cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên của các phần

tử tức là các hàm này cho kết quả đúng tại các nút của phần tử và xấp xỉ hóa đại lượngcần tìm tại điểm bất kỳ trong miền con Vj.Điều này cho phép ta khả năng thay thế việctìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗiphần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần nói đến

là việc chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thường chọn ở dạng đa thức vì những lý do sau:

 Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợpcác đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính

 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xâydựng các phương trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính Đặc biệt vì dễđạo hàm, tích phân

 Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt

lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác) Tuy nhiên trong thực

tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi

1.4.2 Phép nội suy

Trong phương pháp PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ được biểudiễn qua các giá trị của nó (cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút được định trướctrên mỗi phần tử

Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm)của nó tại các nút phần tử Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm làhàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả cácđạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử

Hình 2.2 – Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange

Nội suy hằng số:

(2.5)Nội suy tuyến tính :

(2.6)Nội suy bậc hai :

(Xấp xỉ bậc n) (2.11)

Viết dưới dạng ma trận: (2.12)

Hay:

(2.13)Trong đó : gọi là ma trận các đơn thức

gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số

Bài toán 2 – D (hai chiều)

là vec tơ các tham số hay vec tơ tọa độ tổng quát

1.4.4Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ

 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Do phương phápPTHH là một phương pháp số và do đó phải đảm bảo được rằngkhi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác Muốn vậy

đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

 Liên tục trong phần tử ( ) Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa thức