PHÒNG GD &ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút.( không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) M = (1 − x x +1 ):( x +3 x −2 + x +2 3− x + x +2 x−5 x +6 ) a Cho 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b Tính giá trị biểu thức P P = 3x 2013 + x 2011 + 2006 với x = + 2 − + + 18 − − Bài 2: (4 điểm) a - Giải phương trình: (1 + x ) − x = − 3x b - Tìm tất số nguyên n cho n + 2014 số phương Bài 3: (4 điểm) a) Cho đường thẳng: (m − 2) x + (m − 1) y = (m tham số) (1) 3 Chứng minh đường thẳng (1) qua điểm cố định với giá trị m b) Chứng minh : a, b ,c ba số thỏa mãn 1 1 + + a +b +c = 2013 a b c = 2013 ba số phải có số 2013 Bài 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vuông góc với Mlà điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB · · · · a) Tính sin MBA + sin MAB + sin MCD + sin MDC b) Chứng minh: OK = AH (2 R − AH ) c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 4a 9b 16c + + b+c−a a+c−b a+b−c (Trong a, b, c độ dài cạnh tam giác) - Hết 1 PHÒNG GD &ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Bài 1: a) (4,5đ) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (*) 1)Rút gọn M : Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Vậy M = x −2 x + (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ) (*) (2,5đ) 2) x −2 M = x +1 = x +1− x +1 = x +1 x +1 − x +1 = 1− x +1 (0,75đ) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x + ⇔ x + ∈ U (3) Ư(3)∈ { ± 1;±3 } Vì x ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ x + ≥ Nên x + 1∈ {1;3 } Xảy trường hợp sau: (0,5đ) x + = ⇔ x = ⇔ x = (TMĐK (*) ) x +1 = ⇔ x = ⇔ x = (không TMĐK (*) loại ) (0,25đ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b_ x = + 2 − Có + + 18 − − 18 − = ( − ) = − = − (0,5đ) 2 + + − = + = ( + 1) = +1 (0,25đ) x = + 2 − + = + 2 − = + − − x = + ( − 1) − = + − − = + − x = ( + 1) − = +1 − = +1− = (0,75đ) 2013 2011 Với x = 1.Ta có P = 3.1 + 5.1 + 2006 = + + 2006 = 2014 Vậy với x = P = 2014 Bài 2: a_(2,5đ) ( 1+ x ) − x = − 3x Ta có: (1) ( ) x + − x = −3 x + x + x − x + = + x − x x − x + (2) Thay (2) vào (1) ta có: (1) ⇔ ( + x ) − ( + x ) = − x ( 3x 2 ) − 4x +1 (3) ( 0,5đ) 2 Đặt y = + x , với y ≥ Suy x = y −1 Thay vào (3): y − y = ( − y ) ( x − x + 1) (0,5đ) 2 ⇔ y ( y − 1) − ( − y ) ( x − x + 1) = ⇔ ( y −1 = ⇔ y − 1) y + ( y + 1) ( x − x + 1) = y + ( y + 1) ( 3x − x + 1) = * Với y = x = thỏa mãn phương trình * Với y ≠ y ≥ 1, ta có: (1đ) y + ( y + 1) ( x − x + 1) = (4) 2 1 3x − x + = x − ÷ − ≥ − 3 3 y > thay vào vế trái (4) Vì y − ( y + 1) 2 13 13 =y− ÷ − > 1 − ÷ − = 36 36 lớnhơn Do (4) vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x = (0,25đ) (0,25đ) n + 2014 = k (k ∈ N ) 2 b_ (1,5đ) Giả sử ⇔ 2014 = k − n ⇔ 2014 = (k + n)( k − n) (1) (0,5đ) Suy (k + n) (k – n) = 2k số chẵn nên (k + n) (k – n) tính chẵn lẻ Do 2014 số chẵn nên (k + n) (k – n) số chẵn (0,5đ) ⇒ ( k + n)( k − n) 4 Khi từ (1) suy ta lại có 20144 (điều vô lí) Vậy số nguyên n để n + 2014 số phương (0,5đ) Bài 3: a) (2đ) Điều kiện cần đủ để đường thẳng (m − 2) x + (m − 1) y = qua điểm cố định N ( x0 ; y ) với m : (0,5đ) (m − 2) x + (m − 1) y = với m ⇔ mx0 − x + my0 − y − = với m ⇔ ( x + y )m − ( x0 + y + 1) = với m (0,75đ) x0 + y = x = −1 ⇔ ⇔ 2 x + y + = y0 = (0,5đ) Vậy đường thẳng (1) qua điểm cố định N(-1; 1) (0,25đ) b) Điều kiện a,b,c ≠ 1 1 + + = Từ a b c a + b + c Suy ( bc +ac +ab ) ( a+b+c ) – abc = (0,25đ) ⇔ ( a+b ) ( b+c ) ( c+a ) = ⇔ a+b =0 b+c=0 c+a=0 (0,5đ) Nếu a+b =0 mà a+b+c =2013 nên c=2013 Nếu b+ c =0 mà a+b+c =2013nên a=2013 Nếu a+c=0 mà a+b+c =2013 nên b=2013 (0,5đ) Vậy số a , c ,b 2013 (0,25đ) Bài 4: (0,5đ) C K B O M H A D a_ Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA CMD vuông M nên: 5 · · · · sin MBA + sin MAB + sin MCD + sin MDC = · · · · (sin MBA + cos2 MBA ) + (sin MCD + cos MCD ) =1+1=2 (1,5đ) b_ Chứng minh: OK = AH (2 R − AH ) Thật vậy: KOHM hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vuông MAB có MH đường cao) (1đ) BH = AB – AH = 2R – AH Suyra:OK2=MH2=AH(2R-AH) (1đ) c_ P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R 2.OH.MH(Vì MK = OH) (0,25đ) OH + MH OM R = = 2 (Pitago) MàOH.MH ≤ (0,25đ) Vậy P ≤ 4R2 R2 = 2R4 đẳng thức xẩy ⇔ MH = OH (0,25đ) R ⇔ OH= (0,25đ) Bài 5: Đặt x = b + c – a, y = a + c – b, z=a + b – c x, y, z > ` 6 z+ y a = b + c − a = x x+z a + c − b = y ⇒ b = a + b − c = z x+ y c = Ta có (0,25đ) Vậy P= y + z z +9 x 8x +8 y + + x 2y z y x z 8x z y = + + + ÷+ ÷≥ + 16 + 36 = 26 ÷+ 2y x z 2y z x (0,25đ) Dấu đẳng thức xảy y 9x = x= z x 2y z 8x y = 9x ⇒ y = x = x z ⇔ 2 z = x 9z y = z= y z = y 2y z z y= x z= y (0,25đ) x= Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 26 Duyệt của BGH Xác nhận của tổ (0,25đ) Người đề Ngô Thị Liên 7 ... z +9 x 8x +8 y + + x 2y z y x z 8x z y = + + + ÷+ ÷≥ + 16 + 36 = 26 ÷+ 2y x z 2y z x (0,25đ) Dấu đẳng thức xảy y 9x = x= z x 2y z 8x y = 9x... − x + = + x − x x − x + (2) Thay (2) vào (1) ta có: (1) ⇔ ( + x ) − ( + x ) = − x ( 3x 2 ) − 4x +1 (3) ( 0,5đ) 2 Đặt y = + x , với y ≥ Suy x = y −1 Thay vào (3): y − y = ( − y ) ( x − x + 1)...PHÒNG GD &ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Bài 1: a) (4,5đ) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (*) 1)Rút gọn M : Với x ≥ 0; x