Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (5)

PHềNG GD&T THANH OAI TRNG THCS DN HềA THI CHN HC SINH GII LP NM HC 2015 - 2016 Mụn: Toỏn Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) thi gm cú: 01 trang Cõu 1: (6 im) x+ y 1.Cho P = xy + x y : + x + y + xy xy + xy a Rỳt gn P b Tớnh P x = 23 + ( 1) + 2 + 12 + 18 128 2.Chng minh rng A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia ht cho B = + + + + 100 Cõu 2: (4 im) a Giai phng trinh: x + x = x 12 x + 14 b Cho x;y;z số thỏa mãn điều kiện: 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = Tính giá trị biểu thức A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) Cõu 3: (3 im) a) Tim nghim nguyờn ca phng trinh: x2 + 2y2 + 2xy + 3y = b) Cho a, b, c la cac sụ ln hn Tim gia tr nh nht ca biu thc: a 2b 3c P= + + a b1 c Cõu 4: (6 im) Cho AB la ng kớnh ca (O; R), C la mt im thay i trờn ng trũn (C khac A va B), k CH vụng gúc vi AB ti H Gi I la trung im ca AC, OI ct tip tuyn ti A ca ng trũn (O;R) ti M, MB ct CH ti K a, Chng minh im C, H, O, I cựng thuc mt ng trũn b, Chng minh MC la tip tuyn ca (O,R) c, Chng minh K la trung im CH d, Xac nh v trớ ca C chu vi tam giac ACB t gia tr ln nht? Tim gia tr ln nht ú theo R Cõu 5: (1 im) Tim tt ca cac sụ nguyờn dng x , y , z thoa x + y + z > 11 x + y + 10 z = 100 - Ht Lu ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! PHềNG GD&T THANH OAI TRNG THCS DN HềA Bi Bi ( 6) HD CHM THI CHN HSG LP MễN: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt Ni dung a) iu kin P cú ngha la : x ; y ; xy x+ y P= = = ( + x y x + y + xy : + xy + xy xy x + y + xy + )( (1 ) ( x y )(1 xy )(1 + xy ) xy ) : xy + x + y + xy xy x + y + x y + y x + x y x y + y x x + y + xy + : xy xy = x + 2y x xy (1 + x )( y + 1) xy x (1 + y ) x = = (1 + x )(1 + y ) + x 0,5 0,5 + 12 + 18 128 18 128 = 18 = (4 2) + 12 + 18 128 = = ( + 1) + 2 ( + 1) = = + A = ( 1)( + 1) = = 0,5 0,5 0,5 x = 23 + = 25 Thay x = 25 vao P ta cú: 25 10 = = + 25 26 13 0,5 Ta cú: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 chng minh A chia ht cho B ta chng minh A chia ht cho 50 va 101 Ta cú: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51) (502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia ht cho 101 0,5 0,5 b) t A = ( 1) + 2 Ta cú: P= im (1) 0,5 Li cú: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mi sụ hng ngoc u chia ht cho 50 nờn A chia ht cho 50 0,5 (2) T (1) va (2) suy A chia ht cho 101 va 50 nờn A chia ht cho B 0,5 0,5 a) Bi ( 4) x + x = x 12 x + 14 (1) KX: x 2 p dng bt ng thc Bunhiacopxki, ta cú: VT= x + x 2(2 x + x) = Du = xay x = 2x ú x= Ta li cú: VP = x 12 x + 14 = 3( x 2) + Du = xay x = Do ú VT = VP ú x = ( TMKX) vy S = { 2} 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + + z - 10z +25 = ( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0,5 0,5 x y z = x = y = y = z = z = 0,5 Vậy ( 4- 4) + ( - 4) + ( - 4) = Bi (3) 0,5 a) x2 + 2y2 + 2xy + 3y = (1) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y 4) = (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) Vi - (x + y)2 vi mi x, y nờn: (y - 1)(y + 4) - y Vi y nguyờn nờn y { 4; 3; 2; 1; 0; 1} 0,5 0,5 Thay cac gia tr nguyờn ca y vao (2) ta tim c cac cp nghim nguyờn 0,5 (x; y) ca PT ó cho la: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1) b) P = P= 0,5 P= 0,5 P= Do p dng bt ng thc Cụ-si cho sụ dng ta cú : 0,5 P Vy P Du ng thc xay a = b = c = Bi ( 6) V hinh ỳng 0,5 M C I A K O H B a) Chng minh OI AC OIC vuụng ti I I thuc ng trũn ng kớnh OC Li cú CH AB (gt) nờn CHO vuụng ti H H thuc ng trũn ng kớnh OC Do ú I, H cựng thuc ng trũn ng kớnh OC Hay im C, I, O, H cựng thuc mt ng trũn b) Ta cú: gúc ACB = 900 AC CB Ma AC OM CB // OM gúc AOM = gúc OBC (1) Li cú: gúc CBO = gúc OCB ( vi OCB cõn ti O) Gúc OCB = gúc COM ( so le trong) (2) T (1) va (2) gúc AOM = gúc COM AOM = COM (c.g.c) gúc MCO = gúc MAO = 900 MC CO MC la tip tuyn ca (O;R) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c) MAB cú KH//MA (cựng vuụng gúc vi AB) 0,5 KH HB AM HB AM HB = KH = = (1) AM AB AB 2R CM: MAO ng dng vi CHB MA AO AM HB AM HB = CH = = (2) CH HB AO R T (1) va (2) suy ra: CH=2KH CK=KH K la trung im ca CH 0,5 0,5 c) Chu vi ACB la PACB =AB+AC+CB=2R+AC+CB Ta cú: ( AC CB )2 AC + CB AC.CB 0,5 AC + 2CB AC + CB + AC.CB 2.( AC + CB ) ( AC + CB ) AC + CB 2.( AC + CB ) AC + CB AB AC + CB 2.4 R AC + CB R PACB R + R = R (1 + ) Du bng xay va ch AC = CB C la im chớnh gia cung AB Vy chu vi ACB t gia tr ln nht la 2R(1+ ) C la im chớnh gia cung AB 0,5 0,5 Ta cú : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z) x+ y+z < Theo gia thit Bi ( 25 x+y+z > 11, ( x+y+z ) nguyờn nờn x+y+z =12 0,5 x + y + z = 12 x + y + z = 12 x + y + 10 z = 100 y + 2z = Vy ta cú h T y + 2z =4 suy z =1 (do y,z > 0) Khi z=1 thi y=2 va x=9 Thay x=9; y=2; z=1 thy thoa yờu cu bai toan * Chỳ ý: Hs gii cỏch khỏc ỳng cho im ti a DUYT CA BAN GIM HIU Nguyn Th Ha GIO VIấN RA Nguyn Th Thy 0,5 ... +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99 )(22 + 99 + 99 2) + + (50 + 51) (502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 99 2 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 0,5đ 0,5đ b)... + 99 ) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 99 3) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99 )(22...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS DÂN HÒA Bài Bài ( 6đ) HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung a) Điều kiện để P có nghĩa là : x ≥ ; y ≥