b Chứng minh HF ⊥BI... PT đã cho tương đương với:... Giáo viên ra đề Tổ ký duyệt Ban giám hiệu duyệt... Nguyễn Đình Tuấn.
Trang 1PHÒNG GD& ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
1.(4đ) Cho biểu thức: M a 1 a a 1 a2 a a a 1
− − với a>0;a≠1 a) Rút gọn M
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6
M
= nhận giá trị nguyên.
2.( 2đ) Tính giá trị của biểu thức E 1 xy 1 xy
+ − với
4 8 2 2 2 2 2 2
x= + + + − + ; y=3 18 2 273 8 2 12−− ++ 2045
Câu 2: (4 điểm)
1.(2đ) Giải phương trình: ( x+ − 4 2 ) ( 4 − + =x 2) 2x
2.(2đ) Với a; b là các số thực dương thỏa mãn 2 1
1 1
a+ b =
Tìm giá trị lớn nhất của P = ab2
Câu 3 : (4 điểm)
1.(2đ) Tìm các số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y)
2.(2đ) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Câu 4 : (5 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không
trùng với A và B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng
AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của ·IAM cắt nửa
đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh HF ⊥BI
c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB∆ đạt giá trị
lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?
Câu 5 (1.0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:
(2x +1 2) ( x +2 2) ( x+3 2) ( x + − =4) 5y 11879
Hết
Trang 2-PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
1
(4đ)
a
ĐKXĐ a>0;a≠1 (*)
1
1 1
a M
+
−
−
Vậy M a 2 a 1
a
= với a>0;a≠1 (*)
0,25
2,25
b
Ta có M a 2 a 1 a 1 2
Do a>0;a≠1nên ( )2 2
a
− > ⇔ + > ⇒ > + =
6 3 0
2
N M
⇒ < = < do đó N nguyên thì N = 1
2 2
2
2 3
2 3 6
a a
a
= +
Vậy N nguyên khi { ( ) (2 )2}
2 3 ; 2 3
0.25đ 0,5đ 0,5đ
0,25đ
2
(2đ)
Ta có: x= 4+ 8 2+ 2+ 2 2− 2+ 2
x= 4 2 2 4 2 + − − 2 = 2 2( + 2 2)( − 2) = 2.2 2 =
4 3 2 2 3 5
3
3 18 2 27 45 9 3 2 2 3 5
0,75 0,75
0,5
Trang 3(2đ)
ĐK: − ≤ ≤ 4 x 4 PT đã cho tương đương với:
4 2 2
4 2
x
+ +
* x = 0 là nghiệm
* Giải 4 − + =x 2 2.( x+ + 4 2)
Đặt u= x+ 4; v= 4 −x ta thu được
2
2 2
2 14
= +
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: x1 = 0, 2 96
25
x = −
0.5đ 0.25đ 0.5đ
0.25đ
2
(2đ)
Theo BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
1
Suy ra : ( ) ( )
2
.
Mà
2
2
ab
Dấu bằng xảy ra 1
2
a b
⇔ = = Vậy Pmax = 1
8 tại 1
2
a b= =
0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
1
(2đ)
PT tương đương ( ) (2 ) (2 )2
3 2 3 2 1 10
Mà 10 chỉ có thể biểu diễn dưới dạng tổng 3 bình phương :
10 = 02 + 12 + 32 và 2x – 3; 2y + 1 là số lẻ nên:
2 2
3 0
2 3 1
2 1 9
x y
+ =
− =
+ =
(*) hoặc ( )
2 2
3 0
2 3 9
2 1 1
x y
+ =
− =
+ =
(**) Xét hệ (*) từ Phương trình đầu ( ( ) )2
3 2 3 3 1
PT vô nghiệm
Xét hệ (**)
0
2 3 3
x y x
= =
− = ±
+ = ± ⇔ =
+ = = −
Đáp số: x = y = 0; x = 3, y = -1
0,5 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 4(2đ)
Đặt P =
P =
P =
P =
Do áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :
P
Vậy P (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2.
0,25 0,5 0,5
0,5 0,25
Hình vẽ x
I
F
M
H E K
A O B
a
Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên ·FMK =900
Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK 0.25
b Ta có ∆HAK cân tại A nên AH = AK (1) 0.25
K là trực tâm của ∆AFB nên ta có FK ⊥AB suy ra FK // AH (2) 0.25
Trang 5Do đó ·FAH = ·AFK mà ·FAH =FAK· (gt) cho nên ·AFK =FAK· 0.25
Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) 0.25
Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà
AK ⊥IB suy ra HF ⊥IB
0.25
c
Chu vi của ∆AMB C= ∆AMB =MA MB AB+ + lớn nhất khi chỉ khi MA +
MB lớn nhất (vì AB không đổi).
0.25
Áp dụng bất đẳng thức ( )2 ( 2 2)
2
a b+ ≤ a +b dấu "=" xảy ra ⇔ =a b,
Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi
Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì C∆AMB đạt giá trị lớn nhất Khi
đóC∆AMB =MA MB AB AB+ + = 2+ AB= +(1 2)AB=2 (1R + 2)
0.25
Đặt A=(2x +1 2) ( x +2 2) ( x+3 2) ( x +4) , ta có 2 x A là tích của 5 số tự
nhiên liên tiếp nên 2 x A chia hết cho 5 Nhưng 2 x không chia hết cho 5,
do đó A chia hết cho 5
0.25
Nếu y≥1, ta có (2x +1 2) ( x +2 2) ( x+3 2) ( x + −4) 5y chia hết cho 5 mà
11879 không chia hết cho 5 nên y≥1 không thỏa mãn, suy ra y = 0. 0.25 Khi đó , ta có (2x +1 2) ( x+2 2) ( x+3 2) ( x + − =4) 5y 11879
(2x 1 2) ( x 2 2) ( x 3 2) ( x 4) 1 11879
(2x 1 2) ( x 2 2) ( x 3 2) ( x 4) 11880
0.25
(2x 1 2) ( x 2 2) ( x 3 2) ( x 4) 9.10.11.12 x 3
Vậy x=3;y =0 là hai giá trị cần tìm. 0.25
Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Giáo viên ra đề Tổ ký duyệt Ban giám hiệu duyệt
Trang 6Nguyễn Đình Tuấn