Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (2)

PHÒNG GD-ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS CAO VIÊN Môn: Toán (Thời gian 150 phút ) Năm học 2015-2016 Bài 1: ( 5điểm )  x +1 xy + x   xy + x x +1  P= + + 1÷: 1 − − ÷  xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷     1) Cho biểu thức: a b Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa rút gọn P 1 + =6 x y Cho Tìm giá trị lớn biểu thức P 2) Cho x + = Tính giá trị biểu thức: B = x − 3x − x + x − 20 x + 2020 Bài 2: ( điểm ) 1) 2) Cho hàm số y = ( m- 1) x + m2 -1 ( m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tạo độ hai điểm A, B cho tam giác OAB tam giác cân Giải phương trình : ( x − x + ) = x3 + Bài : ( điểm ) 4n 4n 4n 4n 1) Tìm số tự nhiên n để A = 2012 + 2013 + 2014 + 2015 số phương 2) Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2015 a Chứng minh bất đẳng thức: 2015 + a + b c 2015 + b 2015 + c ≤ Bài 4: ( điểm ) Cho đường tròn ( O,R ) Đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (O).Trên đường tròn lấy E ( E khác A,B).Tiếp tuyến E cắt Ax,By C D Vẽ EF vuông góc với AB F BC cắt EF I EA cắt CF M, EB cắt DF N K trung điểm AC Chứng minh I trung điểm EF K, M, I, N thẳng hàng r < < R Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD Chứng minh Gọi r1 , r2 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE DOE Chứng minh 2 r = r1 + r2 Bài 5: ( điểm ) Cho số thực a b thay đổi thỏa mãn a3 + b3= Tìm tất giá trị nguyên (a+b ) Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (2015-2016) Câ u Bài (5đ) Đáp án Điểm x > 0; y > 0; xy ≠ Đkxđ :  x +1 xy + x   xy + x x +1  P= + + 1÷:  − − ÷  xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷      x +1 x +1   x +1 x +1  P= + : − ÷ ÷  xy + 1 − xy ÷  − xy xy + ÷     (1 − xy )(1 + xy ) 2( x + 1) P= xy + 1)(1 − xy xy ( x + 1) 1) P= xy 0,5đ 0,5 0,5 0,5đ  1  + ≥  ÷ y÷ xy  b)+ Chứng minh BĐT  x ≤9⇔ P≤9 xy + từ gt biến đổi ta : + Tìm dấu : x= y= x= y= + KL : max P= 2) x + = => x − = − ⇒ ( x − 2) = ⇒ x − x + = 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2020 B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2015 B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2015 B = 2015 Bài + HS lập luận để đồ thị hàm số đường thẳng cắt trục tọa độ 2 điểm A B cho tam giác OAB cân O đồ thị hàm số cho song (5đ) song với đường thẳng y = x ( y = - x ) m − =  m − = −1   + Từ dẫn đến m − ≠ m − ≠ giải hệ pt ta tìm 0,5đ 0,25đ 0,25 đ 1đ m = m = trả lời toán 1đ đk x ≥ −2 Biến đổi pt đưa pt ( x − x + ) − 2( x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) Nếu x= -2 không nghiệm pt x2 − x + x2 − 2x + −2 =3 x + x+2 x ≠ − Nếu Biến đổi đưa pt về: Đặt t= x2 − 2x + (t > 0) x+2 PT đưa dạng 2t – 3t – =0 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ Tìm nghiệm t = -0,5 ( loại ) ; t = ( thỏa mãn ) Từ tìm x = ± 13 0,25đ Kết hợp đk kết luận nghiệm { S = ± 13 Bài (3đ) } + Xét n= A= số phương ( thỏa mãn ) + Xét n số tự nhiên khác A = (20124)n + (20134)n + (20144)n+ (20154)n - Lập luận để tìm chữ số tận (20124)n có CSTC (20134)n có CSTC (20144)n có CSTC (20154)n có CSTC Vậy A có CSTC Từ kết luận A số phương 1) 1) + ta có 2015 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b ) ( a + c ) 0,5đ 0,25đ 1đ 0,25đ 0,25đ + Áp dụng BĐT cô si ta (a + b) + (a + c) ≥ ( a + b)( a + c) (a + b) + (a + c) ( a + b)( a + c) ≥ (a + b)(a + c) (a + b)(a + c ) 1 a 1 a a  ⇔ ≤ + ⇔ ≤  + ÷ (a + b)(a + c) a + b a + c (a + b)(a + c)  a + b a + c  ⇔ 1đ Chứng minh tương tự ta có b 1 b b  ≤  + ÷ (b + c)(b + a )  b + c b + a  c 1 c c  ≤  + ÷ (c + a)(c + b)  c + b c + a  Cộng theo vế BĐT ta a b c 1 a+b b+c c+a  + ≤  + + ÷= 2 2 a + b b + c c + a   2015 + a 2015 + b 2015 + c Bài (6đ) y x Q B D E K C A M O F I N 0,25đ 0,5đ I N O F + kéo dài BE cắt Ax Q + chứng minh ∆ CEQ cân C ∆ CAE cân Suy CA = CQ ( 1) EI BI IF EI IF = = ⇒ = + EF//CQ nên CQ BC CA CQ AC (2) ( 1) ( ) ⇒ EI = IF EF EM  = EI EM  AC MA  = ⇒ 1 AK MA IE = EF, KA = AC   2  EF / / CA ⇒ + Cm ∆ EMI đồng dạng ∆ AMK (c-g-c) Suy EMI = KMA Suy KMA + AMI =1800 Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ + đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c ) + r bán kính đường 0,5đ tròn nội tiếp ∆ COD 1 r a sCOD = r (OC + OD + CD) = r (a + b + c) = R.a ⇒ = 20.5đ R a+b+c + Trong ∆ COD có b+c > a suy a+ b +c > 2a 0,5đ ⇒ + a a r < = ⇒ < a + b + c 2a R (3) Vì a > b, a > c ⇒ a + b + c < 3a ⇒ (4) a r > ⇒ > a+b+c R Suy KMA + AMI =1800 Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Từ (3) (4) suy đpcm + gọi P nửa chu vi tam giác r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác S diện tích tam giác 0,25đ ta chứng minh S = Pr + Cm : ∆ COD đồng 0,5đ dạng với ∆ CEO ; ∆ OED CO CD OD ⇒ = = CE CO EO 0,75đ Suy KMA + AMI =1800 Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ sCEO CO PCEO r1 CO  ⇒ = ⇒ = SCOD CD PCOD r CD  r r  CO.r1 CO = ⇒ = ⇒ CD.r CD CO CD PCEO CO  =  PCOD CD  (5) Cm tương tự ta có : r1 r = OD CD (6) Từ (5) (6) r1 r2 r12 r22 r12 + r22 r12 + r22 r2 ⇒ = ⇒ = = = = ⇒ r12 + 2 2 2 CO DO CO OD CO + OD CD CD (đpcm) Bài (1đ) + Ta có a3+b3= (a+b) (a2-ab +b2) Mà a3+b3 = a2-ab 0.25 +b2 > Suy : a+ b >0 (1) + đặt a= x + 1; b = y +1 a 3+b3 = hay x3 + y3 +3(x2+ y2) +3(x+y) =0 mà 3(x2+ y2) ≥ ⇒ x3 + y3 Suy KMA + AMI =1800 Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ +3(x+y) ≤ ⇒ ( x + y)( x2- 1đ xy+y2 +3) ≤ ⇒ x+y ≤ ( x2-xy+y2 +3 >0 ) ⇒ a+ b ≤ (2) Mặt khác a+b số nguyên 0,5đ (3) Từ (1) (2) , (3) ⇒ a+ b 0,25đ =1 ; a+ b =2 + Nếu a+b =2 ta chọn cặp số a=b =1 ( thỏa mãn đầu ) + Nếu a+ b = ta có a+ b = a3+b3 = a + b =  a = − b   ⇒ −1 ⇒  1 a b = b − = >0  ÷    12  (I) Vì hpt (I) có nghiệm a,b nên tồn cặp số thực để a+b = Vậy để thỏa mãn kiện đề tồn giá trị nguyên a+ b = ; a+b =2 Người đề Tổ chuyên môn Ban giám hiệu Nguyễn Mai Phương ...Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (2015 -2016) Câ u Bài (5đ) Đáp án Điểm x > 0; y > 0; xy ≠ Đkxđ :  x +1 xy + x   xy + x x +1... 1)(1 − xy xy ( x + 1) 1) P= xy 0,5đ 0,5 0,5 0,5đ  1  + ≥  ÷ y÷ xy  b)+ Chứng minh BĐT  x 9 P 9 xy + từ gt biến đổi ta : + Tìm dấu : x= y= x= y= + KL : max P= 2) x + = => x − = − ⇒ ( x −... m − = −1   + Từ dẫn đến m − ≠ m − ≠ giải hệ pt ta tìm 0,5đ 0,25đ 0,25 đ 1đ m = m = trả lời toán 1đ đk x ≥ −2 Biến đổi pt đưa pt ( x − x + ) − 2( x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) Nếu x= -2 không