PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút Bài : (5,0 điểm) x+ y x− y : 1 + x + y + xy + − xy − xy + xy Cho biểu thứcP = a)Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức P x = b) Tính giá trị P c) Tìm giá trị lớn P Bài 2: (4,0 điểm) 2+ 2x + 4x − + 2x − 4x − = Giải phương trình: Tìm số tự nhiên n ≥ cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! số phương Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x.y > x + y = a) b) ( ) x + y + ≥ xy Chứng minh rằng: b) Chứng minh bất đẳng thức sau: + + + + + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 < Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng xy không giao Từ điểm M tùy ý xy kẻ hai tiếp tuyến MP MQ với đường tròn (O), P, Q tiếp điểm Qua O kẻ OH vuông góc với xy, dây PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh: a) OI.OH = OK.OM = R2 b) PQ luôn qua điểm cố định điểm M thay đổi xy Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm -Hết - ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM Bài Bài (5điểm) Nội dung Điểm 0,5 a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ P= x+ y x− y : 1 + x + y + xy + − xy − xy + xy ( P= )( = = b) x = P= ) ( )( ) x + y + xy + x − y − xy − xy + x + y + xy : − xy − xy 1,5 x x +1 = 2+ ( ) −1 − +1 c) P = 0,5 = ( ) ( 2− = ) −1 ; x = −1 0,5 1,0 3+2 13 0,5 x x +1 ≤ =1 x +1 x +1 (Dấu ‘=’ xảy x = y ≠ 1) 0,5 Vậy Max P = x = y ≠ 1, y≥ Bài (4điểm) a) ĐKXĐ: x ≥ Nhân vế với ( 0,25 2 ta được: ) 2x + + 2x − + 2x + + 2x − + 2x + = x= (TMĐK) ( 2x + − 2x − ) =2 2x + − 2x − = 2 0,5 0,25 0,5 0,5 Bài (4điểm) b)- Với n = 1! =1= 12 số phương - Với n = 1!+2! = 1+1.2 = không số phương - Với n = 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 số phương - Với n ≥ 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33 5!; 6!; 7!;…; n! có tận Do : 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận nên không số phương Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn n = 1; n = xy > ⇒ x, y > x + y = > a) Từ giả thiết Ta có: 1 = x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ ≥ 4(1) xy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Lại có: ( ) 2 x + y = 4.(12 + 12 ).( x + y ) ≥ 4.( x + y )2 = (12 + 12 ).( x2 + y ) ≥ ( x + y ) = 1.0,5 ≥1 Suy ra: 8.(x4 + y4) (2) Từ (1) (2) suy ra: 8.( x + y ) + ≥ + = xy 0,5 Ta có đpcm b) Vì 6< => 30 < 0,5 nên 0,5 6+ 6+ 6+ 6+ < 6+ 6+ 6+ 6+3 =3 0,5 30 + 30 + 30 + 30 + 30 < 30 + 30 + 30 + 30 + = 0,5 Cộng vế ta suy điều phải chứng minh Bài (5điểm) 0,5 O P I K Q M H x y a) Δ OMH đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có: 1,0 OM OH = OI OK suy OI.OH = OM.OK (1) 1,0 Tam giác OPM vuông 0,5 P mà PK ⊥ OM nên: R2 =OP2 = OK.OM (2) Từ (1) (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2 b)Từ câu a) suy OI= 1,0 R2 OH Do R không đổi, OH không đổi nên OI 1,0 0,5 O P I K Q M H x y không đổi, điểm I cố định Vậy điểm M thay đổi xy dây cung PQ luôn qua điểm I cố định Câu (2điểm) Gọi E điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE hình thoi, ΔABE vuông B nên BE2 = ED.EA Đặt DE =x Có hai trường hợp: A H B C D E 0,5 x TH1: BAˆ C < 90 ta có:x(2x+ 14) = 302 0,75 Giải phương trình ta x =18 thỏa mãn Từ tính AD=32cm TH2: BAˆ C > 90 H B C E D x A x Ta có x(2x-14) = 302 Giải phương trình ta được: x= 25 thỏa mãn Từ tính AD = 11cm 0,75 ...ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM Bài Bài (5điểm) Nội dung Điểm 0,5 a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ P= x+ y x− y ... hai số tự nhiên thỏa mãn n = 1; n = xy > ⇒ x, y > x + y = > a) Từ giả thi t Ta có: 1 = x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ ≥ 4(1) xy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Lại có: ( ) 2 x + y = 4.(12... với Δ OIK (g-g), ta có: 1,0 OM OH = OI OK suy OI.OH = OM.OK (1) 1,0 Tam giác OPM vuông 0,5 P mà PK ⊥ OM nên: R2 =OP2 = OK.OM (2) Từ (1) (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2 b)Từ câu a) suy OI= 1,0 R2