Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB.. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
ĐÀO TẠO NINH GIANG THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT
ĐỀ CHÍNH THỨC
1(4 điểm) Cho biếu thức
x xy y x
y y x x x
xy y
y y x x
y
y
x
A
2 2 4 2
2
2
: 2
2 2
Với x 0 ;y 0 ;x 2y;y 2 2x2
1 Rút gọn biểu thức A
2 Cho y=1 hãy tìm x để A52
2(5 điểm) a) Giải phương trình : 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 10 3 x
b)Chứng minh rằng 4n + 15n - 1 chia hết cho 9 với n là số tự nhiên
3(4 điểm)a) Chứng minh rằng , 2 5 2 4 2 6 3 0
x y xy x y y
x
b) Cho x1, x2, x3 là ba số thực thỏa x1x2x3 = 1
Tính: S =
1 3 3 3
2 2 2
1
1 1
1 1
1
x x x x
x x x
x
x
4)(5 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K
a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?
Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M
di chuyển trên nửa đường tròn tâm O
5)(2 điểm)
Chứng minh rằng trên tờ giấy kẽ các ô vuông bằng nhau, không thể dựng được một tam giác đều có 3 đỉnh là đỉnh của các ô vuông
1) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng
AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K
c) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
d) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?
Trang 2e) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O
a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy ra BEF KMF 90 0
Gọi C là trung điểm của KF ta có EC CM 1KF
2
Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một
đường tròn tâm C
b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của
tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK
EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC
1
2
HF, mà EC=12KF nên HF=KF
K là trực tâm của tam giác FAB nên FK AB, mà
AH AB do đó AH//KF suy ra KFE EAH
suy ra AH=KF
Do đó AH=AK=KF=EH và AF HK nên tứ giác
AHFK là hình thoi
c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà
AM BF nên HF BF (1)
Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung
trực của AF nên BF=AB=2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định
2) Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R) Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại các điểm D, N, M Kẻ đường kính DI của đường (O;R) Qua I kẻ tiếp tuyến của đường (O;R) nó cắt AB, AC lần lượt tại E, F
a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi của tam giác AEF
b, Chứng minh EI BD = IF.CD = R2
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP
a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi của tam giác
AEF
+ c/m cho chu vi của tam giác AEF là PAEF = 2AN
+ c/m cho 2AN = AB + AC – BC = 8 + 11 – 9 = 10 cm
+ suy ra PAEF = 2AN = 10 cm
b,Chứng minh EI BD = IF.CD = R2
+ c/m cho tam giác EOB vuông tại O
C
K
F
E
I
H
M
A
Trang 3 EN.BN = ON2 = R2 ( theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà EI = EN, BD = BN ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm) EI BD
= R2
+ Tương tự ta có: IF.DC = R2
+ Suy ra EI BD = IF.CD = R2
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là
trung điểm của AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ =
2KP
Áp dụng hệ qủa định lý Talet trong các tam giác AQC và tam giác
ABC ta có IF AF AF; FE
QC AC AC BC
(1) Theo câu b ta có: EI.BD IF.CD IF IE IE IF EF
Từ (1) và (2) suy ra IF IF QC BD
+Vì P là trung điểm của BC (gt), QC = BD ( cmt) P là trung điểm
của DQ
Mà O là trung điểm của ID suy ra OP là đường trung bình của tam giác
DIQ OP // IQ hay OP // AQ (3)
+ Vì K là trung điểm của AD, O là trung điểm của ID suy ra KO là
đường trung bình của tam giác ADI KO // AI hay KO // AQ (4)
+ Từ (3) và (4) K, O, P thẳng hàng
Do K là trung điểm của AD, P là trung điểm của DQ suy ra KP là
đường trung bình của tam giác DAQ suy ra AQ = 2KP
3) Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (H O ) Biết AH = a; CD = 2b
a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) Tính R theo a và b
c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
a, Ta cóOA OB OC nênACB vuông tại C nên
góc BCH + góc ACH = 900 (1)
Vì ABCD nên góc CAH + góc ACH = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc CAH = góc BCH
Mặt khác ABCD nên HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân giác góc A =>góc CAH = góc DAH
Trang 4Suy ra góc BCH = góc DAH => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng
H
O
A
B
M
N P
Q
L K
b, Áp dụng định lí Pitago ta có AC AH 2 HC 2 a 2 b 2
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có
R
c, Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ Đặt OK = x;
OL = y;
Đặt OH = d
Ta có x 2 y 2 OH 2 d 2 không đổi
2 2 4 2 2 2 2
8R 4.d 8 (R R d ) x y
8R 2 4(x 2 y ) 8 R 2 4 R (x 2 2 y ) x y 2 2 2
* T đạt GTLN khi T2 đạt GTLN x y 2 2 đạt GTLN xy đạt GTLN
Áp dụng BĐT Cosi ta có xy x2 y2 d2
Dấu “=” xẩy ra khi x y <=> OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây cung
* T đạt GTNN khi T2 đạt GTNN x y 2 2 đạt GTNN xy đạt GTNN
Mặt khác do x, y 0 nên xy 0 , dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở thành đường kính
4) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm của BC; J là trung điểm của AH Chứng minh: a)IJ EF
b) Nếu góc BAC bằng 600 thì tam giác IEF đều
c)Nếu OH// BC thì tanB tanC= 3
Trang 5Chứng minh DB.DC= HD.AD tanB.tanC=
2
3
5) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
a) Chứng minh IJ vuông góc với EF
- Chứng minh JE=JF=12AH
- IE=IF=12BC
IJ là trung trực của EF IJ vuông góc với EF
b)Chứng minh: Nếu góc BAC bằng 600 thì tam giác IEF đều
Tam giác BIF cân tại I góc BIF= 1800 -2.góc B
Tam giác CIE cân tại I góc CIE=1800- 2.gócC
góc BIF+góc CIE = 3600- 2( góc B+ góc C)
Do góc A= 600(gt) góc B+góc C= 1200
góc BIF+ gócCIE = 600
Mà IE=IF=12BC tam giác IEF đều
c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G thuộc AI và GA GI 12
Chứng mimh H;G;O thẳng hàng( đường thẳng Ơ Le)
3
Mà tanB.tanC= . 2
.
C
J
D
O
O
’
B
Trang 6 DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng
Ta có : IDM IMDˆ ˆ 900(vì DIM ˆ 900)
Mà IJMˆ IDMˆ (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
MJO JMO IMD(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); JMOˆ 'và IMDˆ đối đỉnh)
J là tiếp điểm
b) Ta có IA = IM
IO’ = AB2 = R (R là bán kính của (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’
2 4
R
SJIO’ = R42 khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 2
2
R
Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2
6) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC Chứng minh : 2 2 2
I E
K M
D
O
B
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD, BD là đường trung trực của AC Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi
Trang 7đường)
Ta có : = mà =900
=900
Xét EBK cã =900 đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có:
Mà BK = r , BE = BI = R; BM = 2a Nªn 2 2 2
(§pcm)
7) Cho ABC (AB = AC) Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E) Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại
M, N
a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi
b) Chứng minh hệ thức 4.BM CN BC2
c) Xác định vị trị của I trên cung nhỏ DE để diện tích tam giác AMN lớn nhất
Trang 8Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm, D nằm giữa A và E) Gọi H là giao điểm của AO và BC
1 Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn
2 Chứng minh AH.AO = AD.AE
3 Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N Biết OA = 6cm; R
= 3,6cm Tính chu vi AMN
4 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại I và K Chứng minh MI + NK IK
a) AD = AE; IM = MD; IN = NE ( tính
chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh
chu vi bằng 2AD không đổi
b) Ta có MON = (1800 - A)/2;
B = C = (1800 - A)/2
Suy ra BMO, OMN và CON đồng
dạng với nhau suy ra
2
2
4
c) Ta có SAMN lớn nhất SBMNC bé nhất Ta có:
1 2
1
2
R; BD không đổi S BMNC nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất
Mặt khác ta có BM CN 2 BM CN 2R Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BM =
CN
Hay BM + CN bé nhất bằng 2R khi BM = CN = R khi và chỉ khi MN // BC hay I là trung điểm của cung nhỏ DE
Vậy SAMN lớn nhất I là trung điểm của cung nhỏ DE
Trang 91 Chứng minh OBAB, OCAC (theo tính chất tiếp tuyến)
OBA OCA 90 0
B và C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
4 điểm A, B,O, C cùng thuộc một đường tròn
2 Chứng minh OBAB
Chứng minh OABC tại H
AB2 = AH.AO (1)
Chứng minh ABDđồng dạng với AEB
AB
AD AE
AB
AB2 = AE.AD (2)
Từ (1) và (2) AH.AO = AE.AD
3 Tính AB = 4,8cm
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra
AB = AC, MD = MB, ND = NC
Chu vi AMN là:
AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN
= AM +AN + MB + NC
= AB + AC = 2AB = 9,6cm
4 Chứng minh IK//BC
Và AB = AC AI = AK
AIK cân tại A AIK AKI và OI = OK = IK2 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra:
MNK ONK
MNO
NMI OMI
NMO
2 1 2 1
Tứ giác MNKI có
0 0 0
180
360 2
2 2
360
NKO ONK
IMO
NKO ONK
IMO
KIM NKO
MNK IMN
Đồng thời NOKcó: NOK ONK NKO 180 0
IMO NOK
MIOđồng dạng với OKN
2
IK OK OI NK MI NK
OI OK
MI
Áp dụng BĐT Cosi:
IK NK MI
IK IK
NK MI NK
MI
2 4
2
2
Trang 109) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng
Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ) Gọi M là giao điểm của AE
và DF; N là giao điểm của EB và FC Chứng minh rằng:
Tứ giác MENF là hình chữ nhật
MN AD
ME.MA = MF.MD
a) Ta có
Góc AEB = GócCFD = 900
(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:
OE EF và OF EF => OE // O/F
Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’
Do đó MA // FN, mà EB MA => EB FN Hay góc ENF = 900
Tứ giác MENF có , nên MENF là hình chữ nhật
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN
và AD
Vì MENF là hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF Mặt khác, trong đường tròn (O/):góc IFN= góc FND = ½
sđ cung FC
=>góc FDC = góc FDC Suy ra đồng dạng (g – g)
=> góc NHC= góc DFC = 900 hay MN AD
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
c)
Do MENF là hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB
=>gócMEF = EAB Suy ra đồng dạng (g – g)
=>hay ME.MA = MF.MD
0,5 đ
0,5 đ 0,5