PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNGTHCS TÂN ƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm :150 phút( Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) Đề thức Bài (6,0 điểm): x +3 x +2 x +2 x − + : − ÷ ÷ x −3 x−5 x +6÷ x +1÷ x −2 Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1) Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị biểu thức A -1 x= + + + ( có vô hạn dấu căn) c) Với giá trị x 2) Cho x = + đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ A 84 84 Chứng minh x có giá trị số nguyên + 1− 9 Bài (4,0 điểm ) a) Giải phương trình + + = (x+y+z) -3000 x − yz y − xz b) Chứng minh : x − yz = y − xz ( ) ( ) Với x ≠ y, yz ≠ 1, xz ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 1 Thì x + y + z = x + y + z Bài (3,0 điểm) a , Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : y2+ 2xy -7x-12=0 a+b b, Chứng minh rằng: a 3a + b + b 3b + a ≥ ( ) ( ) với a, b số dương Bài (6 điểm) Cho AB đường kính đường tròn (O;R) C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh K trung điểm CH c) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Bài (1,0điểm) Cho x,y số dương thoả mãn: x+y = Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y + 33 xy - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Nội dung Bài Bài Biểu điểm 1) a) Với điều kiện ( *) ta có: x +3 x +2 − + x −2 x −3 A= = = = ( ( x ÷: x + − ÷ ) x +1 ÷ x − ÷ x + x +2 x −2 )( ) x −9− x + 4+ x + : ÷ x −2 x −3 x +1 ( )( x −3 x −2 )( ) : ÷ x − x +1 (0,5đ) ) 1 : = x − x +1 (0,5đ) x +1 x −2 b) ta có x= + + + ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ( vô hạn dấu căn) với x>0 x2 = 6+ + + + ( vô hạn dấu căn) x2 = +x x2- x -6 =0 ( x+2)(x-3) = x= -2( loại) x=3( nhận) Ta có : A-1= x +1 −1 = x −2 (0,5 đ) x +1− x + = x −2 x −2 (0,5đ) (0,5đ) Do vậy, giá trị biểu thức A-1 x=3 là: (0,5đ) 3( + 2) = = −3( + 2) 3− 3−2 x −2 = 1− x +1 x +1 Để có GTNN có GTLN, hay x + có x +1 A GTNN.Ta có: x + ≥ , dấu "=" xảy x = = − = −2 , xảy x = Giá trị nhỏ − +1 A c) ta có A = 2, Đặt + x +1 ⇒ = A x −2 84 84 3 = a; − = b ⇒ x = a + b; a + b = 2; ab = − 9 Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Suy ra: x3 = – x ⇔ x3 + x – = ⇔ ( x - 1) ( x + x + ) = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ⇔ x = Vì x2 + x + = x + ÷ + > Từ suy điều phải chứng 2 minh 0,5đ a) Bài ĐK: (*) 0,25đ Do ≥ 0, ≥ 0, ≥0 Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có : = ≤ 0,25đ = ≤ = ≤ 0,25đ Vậy : + + ≤ (x+y+z)-3000 Dấu "=" xảy ⇔ x-2000= y-2001= z-2002=1 x = 2001 ⇔ y = 2002 ( thoả man đk (*) ) z = 2003 0,25đ 0,25đ Vậy nghiệm phương trình là: x=2001, y=2002, z=2003 b, x − yz y − xz = x ( − yz ) y ( − xz ) 0,25đ 0,25đ ⇔ ( x − yz ) ( y − xyz ) = ( y − xz ) ( x − xyz ) ⇔ x y − x3 yz − y z + xy z − xy + xy z + x z − x yz = ⇔ ( x y − xy ) − ( x yz − xy z ) + ( x z − y z ) − ( x yz − xy z ) = ⇔ xy ( x − y ) − xyz ( x − y ) + z ( x − y ) − xyz ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz = ⇔ xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz = ⇔ xy + xz + yz = xyz ( x + y ) + xyz 2 xy + xz + yz xyz ( x + y ) + xyz = xyz xyz 1 ⇔ + + = x+ y+ z x y z ⇔ (vì x ≠ y ⇒ x − y ≠ ) (vì xyz ≠ ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài a) Ta có : y2+2xy -7x -12 =0 ⇔ 4y2+ 8xy -28 -48 = ⇔ 4y2-49 +4x(2y-7) = -1 ⇔ ( 2y -7)(2y+7+4x) =-1 Vậy ta có 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Hoặc 2 y − = x = −4 ⇔ y + + x = −1 y = y − = −1 x = −3 ⇔ 2 y + + x = y = 0,25đ 0,25đ Vậy cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện đề là: (x;y) ∈ { (−3;3);(−4; 4)} b) Ta có: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) = 2(a + b) 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b = ( 2) 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b ( 3b + a ) ≤ = ( 3) 2 4a ( 3a + b ) ≤ a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ≥ 0,25đ 0,25đ Từ (2) (3) suy ra: 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) ≤ 4a + 4b ( ) Từ (1) (4) suy ra: a+b 0,25 đ 2(a + b) = 4a + 4b Dấu xảy 0,25đ 0,25đ a = b Bài M C I A K O H B 1) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn (2đ) Chứng minh OI ⊥ AC Suy ∆ OIC vuông I suy I thuộc đường tròn đường kính OC CH ⊥ AB (gt) ∆ CHO vuông H ⇒ H thuộc đường tròn đường kính OC Suy I, H thuộc đường tròn đường kính OC, hay C, I, O, H thuộc đường tròn 2) Chứng minh K trung điểm CH (2điểm) ∆ MAB có KH//MA (cùng ⊥ AB) 0.75đ 0.25đ 0.75đ 0.25đ 0,75đ 0,25đ KH HB AM.HB AM.HB (1) = ⇒ KH = = AM AB AB 2R · · Chứng minh cho CB // MO ⇒ AOM (đồng vị) = CBH C/m ∆ MAO đồng dạng với ∆ CHB MA AO AM.HB AM.HB ⇒ = ⇒ CH = = (2) CH HB AO R Từ (1) (2) suy CH = KH ⇒ CK = KH ⇒ K trung điểm ⇒ 0.75đ 0.25đ CH 3) Chu vi tam giác ACB PACB = AB + AC + CB = 2R + AC + CB Ta lại có: ( AC − CB ) ( ≥ ⇒ AC + CB ≥ 2AC.CB ⇒ 2AC + 2CB ≥ AC + CB + 2AC.CB ) ( ) AC + CB ≥ ( AC + CB ) ⇒ AC + CB ≤ AC + CB ⇒ AC + CB ≤ 2AB 0,25đ 2 2 (theo đl pitago) AC + CB ≤ 2.4R ⇒ AC + CB ≤ 2R Đẳng thức xảy AC = CB ⇔ M điểm cung AB Suy PACB 0,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ≤ 2R + 2R = 2R + , dấu "=" xảy M điểm 0,25đ ( cung AB ( ) ) Vậy max PACB = 2R + đạt M điểm cung 0,25đ AB Bài Ta có ≤ ( x − y ) = x − xy + y ⇒ x + y ≥ xy ⇒ 2( x + y ) ≥ ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 42 = = 8(*) 2 0,25đ Cũng từ x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ xy 0,25đ ( x + y ) 42 33 33 ⇒ xy ≤ = =4⇒ ≥ (**) 4 xy 33 33 65 2 Từ ( *) Và (**) suy A = x + y + xy ≥ + = dấu " =" xảy ⇔ x = y = 65 ⇔ x= y=2 Vậy Min A = 0,25đ 0,25đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Nội dung Bài Bài Biểu điểm 1) a) Với điều kiện ( *) ta có: x +3 x +2... + x −2 x −3 A= = = = ( ( x ÷: x + − ÷ ) x +1 ÷ x − ÷ x + x +2 x −2 )( ) x 9 x + 4+ x + : ÷ x −2 x −3 x +1 ( )( x −3 x −2 )( ) : ÷ x − x +1 (0,5đ) ) 1 :... − +1 A c) ta có A = 2, Đặt + x +1 ⇒ = A x −2 84 84 3 = a; − = b ⇒ x = a + b; a + b = 2; ab = − 9 Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Suy ra: x3 = – x ⇔ x3 + x – = ⇔ ( x - 1) ( x + x +