VỀ NHÓM SYMPLECTIC sp(4,q)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TRÍ ĐẠT VỀ NHÓM SYMPLECTIC Sp(4, q) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ THIÊN TÙNG Tp Hồ Chí Minh - 2012 Mục lục Lời nói đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bò 1.1 Nhóm 1.2 Trường không gian vectơ 12 1.3 Tác động hoán vò 14 1.4 Các nhóm tuyến tính 16 1.5 Nhóm symplectic 18 1.6 Torus phần tử semisimple 21 1.7 Khảo sát F∗qn 24 1.7.1 Ánh xạ Frobenius 24 1.7.2 Khảo sát F∗qn 25 Systems of Roots 29 1.8 Cấu trúc SL(2, q) SL(3, q) 2.1 31 Cấu trúc nhóm SL(2, q) 32 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số 2.2 Trang 2.1.1 Các lớp liên hợp 32 2.1.2 Các nhóm đặc biệt 40 Cấu trúc nhóm SL(3, q) 43 2.2.1 Các lớp liên hợp 43 2.2.2 Phần tử unipotent 48 2.2.3 Phần tử semisimple phần tử khác 49 2.2.4 Các nhóm đặc biệt 53 2.2.5 Systems of Roots 54 Cấu trúc nhóm symplectic Sp(4, q) 56 3.1 Các bổ đề 57 3.2 Các lớp liên hợp 60 3.2.1 Phần tử regular semisimple 64 3.2.2 Phần tử non-regular semisimple 65 3.2.3 Phần tử unipotent 66 3.2.4 Các phần tử khác 67 Nhóm Weyl 69 3.3 Kết luận 71 Phụ lục 72 Chỉ mục 84 Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang Bảng kí hiệu Kí hiệu Fq Fq n V GLK (V ) GL(n, q) SL(n, q) Sp(4, q) T, Ti W F diag(a, b) diag(A, B) S3 D8 Ý nghóa Trường có q phần tử Trường có q n phần tử Không gian vectơ K Tập tất K- tự đẳng cấu kgvt V Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trường Fq Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trường Fq Nhóm sympletic Các maximal torus Nhóm Weyl Ánh xạ Frobenius Ma trận chéo Ma trận chéo khối Nhóm đối xứng cấp Nhóm Dihedral cấp 8 Chương Kiến thức chuẩn bò Trong chương nhắc lại số kiến thức bản, số kết cần thiết để khảo sát chương cách thuận lợi, trước hết khái niệm, tính chất nhóm, nhóm hữu hạn Đònh nghóa trường không gian vectơ trình bày sơ lược tiếp sau 1.1 Nhóm Trong luận văn này, ta quy ước nhóm cấu trúc đại số thỏa mãn đònh nghóa sau Đònh nghóa 1.1.1 Nhóm G tập hợp không rỗng với phép nhân (.) (là phép toán hai từ G × G → G thỏa mãn điều kiện sau: i) Phép toán kết hợp, (x.y).z = x.(y.z), ∀x, y, z ∈ G ii) Có phần tử đơn vò e, e.x = x.e = x iii) Mọi phần tử x ∈ G có phần tử khả nghòch, tức tồn y ∈ G cho x.y = y.x = e Trang 10 Luận văn cao học Với phép nhân xác đònh, để tiện lợi ta quy ước viết xy = xy Đònh nghóa 1.1.2 Giả sử G nhóm Tập khác rỗng H G gọi nhóm G H ổn đònh phép toán G H H với phép toán cảm sinh nhóm Nếu H nhóm G, ta viết H ≤ G Nếu phép toán G giao hoán, nghóa xy = yx, ∀x, y ∈ G, ta gọi G nhóm giao hoán nhóm Abel Nếu tập G hữu hạn ta gọi nhóm G nhóm hữu hạn, số phần tử G gọi cấp nhóm G, kí hiệu |G| Nếu G tập vô hạn ta nói nhóm G có cấp vô hạn Giả sử G nhóm, lấy g, h ∈ G, h gọi giao hoán với g hg = gh Tập tất phần tử G giao hoán với h gọi tâm hoán tử h G kí hiệu CG (h) = {g ∈ G | hg = gh} Giả sử H ≤ G, tập tất phần tử g ∈ G, cho gh = hg với h ∈ H, gọi tâm hoán tử H G, kí hiệu CG (H) Kí hiệu [gh] = g −1 h−1 gh gọi giao hoán tử g h Kí hiệu G(1) = [G, G] = {g −1 h−1 gh | g, h ∈ G} nhóm G, gọi đạo nhóm cấp G Hơn G(m) = [G(m−1) , G(m−1) ] đạo nhóm cấp m G Nhóm G gọi nhóm giải có m ∈ N cho G(m) = Phần tử h gọi liên hợp với g G tồn t ∈ G cho: tht = g, kí hiệu ht = tht−1 Tập tất phần tử liên hợp với h G gọi lớp liên hợp h G, kí hiệu hG = {g ∈ G | ∃t ∈ G, ht = g} Và h gọi phần tử đại diện lớp liên hợp hG −1 Hai nhóm A, B G gọi liên hợp G tồn t ∈ G cho : tAt−1 = B Tập tất phần tử t G cho tAt−1 = A tập G, gọi chuẩn hóa tử A G, kí hiệu NG (A) Nếu NG (A) = G A gọi nhóm chuẩn tắc G, kí hiệu A G Nhóm G gọi nhóm đơn nhóm chuẩn tắc N cho N G Bây ta xét G nhóm hữu hạn Các bổ đề sau phát biểu, chứng minh tham khảo [3] Bổ đề 1.1.3 Cho G nhóm, H nhóm G, lấy g ∈ G, CG (g), CG (H), NG (H) nhóm G Bổ đề 1.1.4 Cho T ≤ H ≤ G, g, s ∈ G, h ∈ H, điều sau Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 10 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Trang 11 i) CG (hs ) = (CG (h))s ii) CH (h) = H ∩ CG (h) iii) NH (T ) = H ∩ NG (T ) Bổ đề 1.1.5 Các điều sau i) Với g ∈ G, |g G | = |G : CG (g)| ii) Với Υ tập tất phần tử đại diện lớp liên hợp G |g G | = |G| = g∈Υ g∈Υ |G| |CG (g)| Vì G nhóm hữu hạn cấp n nên với g ∈ G g n = e Số nguyên dương d nhỏ cho g d = e, gọi cấp g, kí hiệu ord(g) Nhóm G gọi nhóm cyclic G sinh phần tử a ∈ G, kí hiệu G = a Và a gọi phần tử sinh G Nếu G nhóm cyclic cấp hữu hạn cấp n G = {e, a, a2 , , an−1 } Đònh lý 1.1.6 Cho G nhóm hữu hạn, lấy g ∈ G có cấp pk q, với (p, q) = Khi tồn hai phần tử a, b cho ord(a) = pk , ord(b) = q, ab = ba Chứng minh Vì (pk , q) = 1, nên tồn r, s cho rpk + sq = Suy k k k g = g rp +sq = g rp g sq Đặt b = g rp , a = g sq , (rpk , s) = 1, (sq, r) = nên ord(a) = pk , ord(b) = q, ab = ba Đònh lý 1.1.7 Cho G nhóm cyclic cấp n Với ước số d n, tồn nhóm cấp d G Chứng minh Trước hết ta chứng minh nhóm G nhóm cyclic Chọn a phần tử sinh G, gọi H ≤ G, phần tử H có dạng al , l ∈ I Chọn b ∈ H cho b = ak với k số nguyên dương nhỏ tập I Lấy c = at ∈ H, viết t = kq + r, r < k Nếu r = 0, ar ∈ H (mâu thuẫn) Vậy r = Do c = bq Vậy H = b Vì d ước n nên viết n = sd, nhóm cấp d G D = as Gọi B nhóm cấp d G, với B = b Ta có b = al , bd = ald = e Vậy ld = nt , hay l = st Do b ∈ D Vậy B ≤ D Do B D có cấp d nên B = D Vậy nhóm D tồn Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 11 Trang 12 Luận văn cao học Đònh lý 1.1.8 (Đònh lý Sylow) Cho G nhóm hữu hạn, p số nguyên tố Khi i) Tồn tại: Đối với lũy thừa pn chia hết cấp nhóm G, tồn nhóm cấp pn G ii) Nhúng: Nếu pn+1 chia hết cấp G nhóm cấp pn G chứa nhóm cấp pn+1 G Nói riêng, p-nhóm tối đại G (còn gọi p-nhóm Sylow) nhóm cấp pr G, pr lũy thừa lớn p chia hết cấp nhóm G iii) Liên hợp: Tất p-nhóm tối đại liên hợp G iv) Số lượng: Số nhóm tối đại G đồng dư với (mod p) chia hết cấp G Đònh nghóa 1.1.9 Một ánh xạ f : G → G gọi đồng cấu nhóm f bảo toàn phép toán, tức f (x.y) = f (x).f (y) với x, y ∈ G Một đồng cấu f : G → G gọi tự đồng cấu G Một đồng cấu đơn ánh gọi đơn cấu Một đồng cấu toàn ánh gọi toàn cấu Một đồng cấu song ánh gọi đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu 1.2 Trường không gian vectơ Ta quy ước trường cấu trúc đại số thỏa mãn đònh nghóa Đònh nghóa 1.2.1 Trường K tập hợp xác đònh phép cộng (+) nhân (.) thỏa mãn điều kiện sau: i) Phép nhân phân phối phép cộng, tức x.(y + z) = x.y + x.z, (x + y).z = x.z + y.z, ∀x, y, z ∈ K ii) (K, +) nhóm Abel Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 12 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Trang 13 iii) K\{0} nhóm phép nhân Trong K phần tử đơn vò phép cộng kí hiệu 0, phần tử đơn vò phép nhân kí hiệu Đònh nghóa 1.2.2 Với K trường, K∗ = K\{0} , n số nguyên dương Kí hiệu µn nhóm bậc n K∗ đònh nghóa sau: µn := {ξ ∈ K∗ | ξ n = 1} Đònh nghóa 1.2.3 Mọi tập hợp V trang bò phép toán kí hiệu +, phép toán K × V → V, (a, x) → ax, gọi K-không gian vectơ thỏa tính chất sau: i) (V, +) nhóm Abel ii) ∀a, b ∈ K, ∀x ∈ V, (a + b)x = ax + bx iii) ∀a ∈ K, ∀x, y ∈ V, a(x + y) = ax + ay iv) ∀a, b ∈ K, ∀x ∈ V, a(bx) = (ab)x v) ∀x ∈ V, 1x = x Thuật ngữ "không gian vectơ" viết tắt kgvt Đònh nghóa 1.2.4 Cho V V hai K-kgvt , ánh xạ f : V → V gọi tuyến tính i) ∀x, y ∈ V, f (x + y) = f (x) + f (y) ii) ∀a ∈ K, ∀x ∈ V, f (ax) = af (x) Đònh nghóa 1.2.5 Cho V K-kgvt, f : V → V ánh xạ Khi đó: i) f tự đồng cấu V f tuyến tính ii) f tự đẳng cấu V f tuyến tính song ánh Tiếp theo khảo sát phần quan trọng tác động nhóm lên tập, mà kết đặc biệt Đònh lí Iwasawa, đònh lí mạnh áp dụng để chứng minh kết nhóm đơn Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 13 Trang 14 Luận văn cao học 1.3 Tác động hoán vò Nếu S tập hợp, ta viết P erm(S) nhóm hoán vò S, tức tập hợp chứa tất song ánh từ S đến S Nếu G nhóm ta nói G tác động lên S có đồng cấu φ : G → P erm(S) Nếu φ tương ứng − tác động gọi faithful (trung thành) Đặc biệt G nhóm phép biến đổi tuyến tính S tập hợp vectơ, x ∈ G a ∈ S diễn đạt tác động a → φ(x)a thường viết a → xa với tác động hoán vò hiểu ngầm Để thuận tiện, đònh nghóa tác động hoán vò G lên S viết thành hai điều kiện: 1a = a (xy)a = x(ya) với a ∈ S, x, y ∈ G Kí hiệu quan hệ S, a, b ∈ S tồn x ∈ G cho xa = b quan hệ tương đương Các lớp tương đương gọi quỹ đạo, ta viết OrbG (a) = Ga = {xa | x ∈ G} Vậy S hợp rời G-quỹ đạo Với a ∈ S, đònh nghóa stabilizer (nhóm ổn đònh) a StabG (a) = {x ∈ G | xa = a}, nhóm G Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.1 Nếu nhóm G tác động hoán vò lên tập S, a ∈ S |OrbG (a)| = [G : StabG (a)] Chứng minh Nếu H = StabG (a) ánh xạ xa → xH song ánh tương ứng tập quỹ đạo phần tử lớp ghép H Ta nói G tác động truyền (transitively) S tồn a ∈ S cho OrbG (a) = S (do với a ∈ S) Nếu |S| ≥ 2, nói G tác động truyền Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 14 Trang 68 Có q−3 Luận văn cao học lớp liên hợp dạng t1,J (1), t1,J (γ) G Theo Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.4 ta có CG (t1,J (x)) = c d c diag(d2 (a), N ) | a ∈ µq−1 , N ∈ | c ∈ {−1, 1}, d ∈ Fq Vậy |CG (t1,J (x))| = 2q(q − 1) Nếu xs = t1 := diag(1, 1, −1, −1) Căn vào tâm hoán tử, có lớp liên hợp unipotent xn Nên có lớp liên hợp mô tả     1 0 γ 0     , t (γ) =   t1,J (1) =   0 −1  1,J  0 −1  0 −1 0 −1     0 0     , t (−γ) =   t1,J (−1) =  1,J  0 −1 −1   0 −1 −γ  0 −1 0 −1     1 0 γ 0     , t (γ, −1) =   t1,J (1, −1) =  1,J  0 −1 −1   0 −1 −1  0 −1 0 −1     1 0 γ 0     , t (γ, −γ) =   t1,J (1, −γ) =   0 −1 −γ  1,J  0 −1 −γ  0 −1 0 −1 Với x ∈ {1, γ}, y ∈ {−1, −γ}, z ∈ {1, −1, γ, −γ}, theo Bổ đề 3.1.1, 3.1.4, ta có |CG (t1 (x, y))| = 4q |CG (t1 (z))| = 2q (q − 1) Nếu xs = t2 := G)   t2,J (1) =   0 diag((I2 ), d2 (ψ)) G có lớp liên hợp dạng (viết 1 0 0 ψ     , t (γ) =  2,J   −1 ψ 0 γ 0 0 ψ  0   Sự tồn  ψ −1 Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 68 Trang 69 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số  −1 −1  −1 phần tử −t2,J (1) =   0 0 sai khác qua tâm Z 0 ψ     , t (γ) =    2,J −1 ψ −1 0 −γ −1 0 0 ψ  0    ψ −1 Với x ∈ {1, γ}, có q−1 cách chọn cho lớp liên hợp t2,J (1), t2,J (γ), −t2,J (1), −t2,J (γ) Theo Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.4, |CG (t2,J (x))| = |CG (−t2,J (x))| = 2q(q + 1) Nếu xs = t3 := diag(d2 (ψ), d2 (ψ)) Gọi t3,J phần tử có phần semisimple t3 Tồn P ∈ GL(4, q ), cho P t3 P −1  = diag(ψ, ψ −1 , ψ, ψ −1 )  Vì CG (t3 ) ψ −1  ψ 0   Chỉ có có chứa phần tử unipotent, nên P t3,J P −1 =   0 ψ  −ψ −2 ψ −1 dạng unipotent, nên có q cách chọn phần tử unipotent Có q + cách chọn phần tử semisimple Vậy CG (t3 ) = q(q + 1) Bảng lớp liên hợp mô tả phần phụ lục 3.3 Nhóm Weyl Đặt W := N1 /T1 Viết lại W := {w = nT1 , n ∈ N1 } Kí hiệu e phần tử đơn vò W Đặt w1 = sT1 w2 = s T1 hai phần tử cấp Bổ đề 3.3.1 Các tính toán sau đúng: s2 , s , (ss )4 ∈ T1 Chứng minh Viết  −1  −1 s2 =   0 0  0  0 ss =   0 để kiểm tra   0   0   ;s =  0   −1   ; (ss )2 =    0 0 0 0  0     −1 0 0   0 −1  Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 69 Trang 70 Luận văn cao học  −1  −1 (ss )4 =   0 0 0 −1  0    −1 Mệnh đề 3.3.2 Nếu q > 5, W nhóm Dihedral cấp Chứng minh Theo Bổ đề 3.3.1 ta có (w1 )2 = (w2 )2 = (w1 w2 )4 = e Theo đònh nghóa nhóm D8 = { x, y | x2 = y = (xy)4 = 1}, W nhóm D8 Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 70 Phụ lục Phụ lục Ma trận biểu diễn Xét phần tử ψ ∈ GF (q ), thông qua tác động sở [β] ψ(1) = ψ1 = ψ ψ(ξ) = ψξ = ψξ Gọi ma trận biểu diễn ψ sở [β] ψ[β] = Khi ta có hệ phương trình ψ = a + cξ ψξ = b + dξ Suy a b c d ψ q = a + cξ q ψ q ξ q = b + dξ q Giải hệ trên, tìm ma trận biểu diễn ψ sở [β] [ψ][β] = ψ q ξ−ψξ q ξ−ξ q ξ q+1 (ψ q −ψ) ξ−ξ q ψ−ψ q ξ−ξ q ψξ−ψ q ξ q ξ−ξ q 72 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Trang 73 Phụ lục Tính toán phần tử unipotent Nhóm U dạng tam giác với dạng  song tuyến tính chọ  n Nếu 0  0   muốn ta chọn dạng song tuyến tính C =   −1 0  xác −1 0 t đònh nhóm H := {X ∈ GL(4, q) | X CX = C}, để nhóm unipotent V H  có   λ β µ        α β − λα   dạng tam giác sau V :=  | α, β, λ, µ ∈ Fq 0 −λ        0 Ở đây, thay đổi dạng song tuyến tính,  nhóm H xá c đònh tương ứng 0  0  t −1  với nhóm G sở Với M =  =  0  M = M 0   0  0  −1 t    0 , ta có M CM = A Nếu X ∈ G, tức XAX = A, hay 0 XM t CM X t = M t CM , M XM t CM X t M t = C Vậy M X t M −1 ∈ H Hay ngược lại, X ∈ H, M −1 X t M ∈ G Khi thay đổi dạng song tuyến tính, có tương ứng 1-1 G H Bổ đề 3.3.3  H có  I4 , v1 (x) =   0 0   0 y  x     0  0 dạng phầ  n tử unipotent không liên hợp  H x x 0    0   y −xy  , v3 (x, y) = , v (x, y) =  0 −x   0 Chứng minh Kiểm tra, tính toán trực tiếp Maple Bổ đề 3.3.4 Các kết luận sau i) v1 (x) phân thành hai lớp liên hợp v1 (1) v1 (γ) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 73 Trang 74 Luận văn cao học ii) v2 (x, y) phân thành hai lớp liên hợp v2 (1, 1) v1 (1, γ) iii) v3 (x, y) phân thành hai lớp liên hợp v3 (1, −1) v3 (1, −γ) Chứng minh Tính toán trực tiếp Maple i) Hai phần tử v1 (x) v1 (y) liên hợp qua ma trận t = diag(a, b, b−1 , a−1 ) Ta có tv1 (x)t−1 = v1 (a2 y) Vậy v1 (1), v1 (γ) không liên hợp H ii) Ta có tv2 (x, y)t−1 = v2 (ab−1 x, b2 y) Luôn chọn a để vò trí x thỏa mãn, nhiên vò trí y chia làm hai lớp {1, γ} Vậy v2 (1, 1) v2 (1, γ) không liên hợp H iii) Hai phần tử v3 (1, −1), v3 (1, −γ) không liên hợp H, thật vậy, tồ Tính toán đồng nhất, (1, −1) = v3 (1, −γ)Q  n Q ∈ H cho Qv γ.m −γ.n c d γmn =      e g h  −e2 + γ.n2 = , vớ i rà n g buộ c Q=  0 −e  −γ.m2 =    0 m n ge + md − cn =  n=0    −e2 = Suy e ) (mâu thuẫn γ non-square) γ = (m    ge + md − cn =   0  0   Nhận xét 3.3.5 Lấy w =   −1 0 , v3 (1, −1) liên hợp với ma trận 0     a b 0 1 0   0    G Lấy N =  −a b  v=  0 −1   0 −a b  ∈ H, với 0 0 −a −b 2ab = 1, v3 (1, −1)N w = N wv     a −a b c 0 e               a 0 f −ge −e     CH (v) =  ∪  −1 , d a−1 b  e 0            0 a−1 g −e−1 h với a, c ∈ µq−1 , b, c, d, e, g, h ∈ Fq , |CH (v)| = |CH (v3 (1, −1))| = 2q (q − 1) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 74 Trang 75 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Thông qua ma trận M , với quan hệ X ∈ H, M −1 X t M ∈ G Với dạng song tuyến tính A, xét phần tử nhóm U Theo khảo sát H, lớp liên hợp tương ứng U G xác đònh Tương ứng v1 có   u1 (1) =   0 0 Tương ứng v2 có   u3 (1) =   0      , u1 (γ) =      1  1   , u2 (γ) =    0 1  u2 (1) =   −1 Tương ứng v3 có  0 0 0   0  0   , u3 (γ) =    −1  a    b Tâm hoán tử CG (u1 ) =   e    h  f j − gi =    a =1 ràng buộc ah − di + cj =    ae − f d + cg = 0 a c f i γ 0 0 γ −1 0 1 0 0  0    0 0  γ    0 −γ  0          d  | a, b, c, d, e, f, g, h, i, j ∈ Fq , g     j Vậy |CG (u1 )| = 2q (q − 1)  a b    a Tâm hoán tử CG (u2 (1)) =   −b b − d a    0   d     b  | a, b, c, d ∈ Fq Với c     a Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 75 Trang 76 ràng buộc Luận văn cao học a2 = b2 − 2ad + ab = Vậy |CG (u2 (1))| = 2q  a −bγ    a Tâm hoán tử CG (u2 )(γ) =   b c    0 a2 = Với ràng buộc Vậy γb2 + 2ac + γab =   −bγ − c     −b  | a, b, c, d ∈ Fq  a d    a |CG (u2 (γ))| = 2q Như tính trên, |CG (u3 (1))| = 2q (q − 1)    a −cγ d        −b a −d c   Tâm hoán tử CG (u3 (γ)) =  | a, b, c, d, l, s, n, q ∈ F q l n        −s −lγ −q n  a − γc2 =    n − γl2 = Vậy |CG (u3 (γ))| = 2q (q + 1) Như Với ràng buộc la + cn =    γbl + as − dn + cq = ta có tất lớp liên hợp unipotent G Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 76 Trang 77 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Phụ lục Bảng lớp liên hợp  Lớp đại diện  0  0     0  0   −1 0  −1 0     0 −1  0 −1   0  1 0     0   0  0  γ 0     0  0   −1 0  −1 −1 0     0 −1  0 −1   −1 0  −γ −1 0     0 −1  0 −1 0  1  1     −1   0  γ γ  1     −1  0 Số lớp Cấp tâm hoán tử Kí hiệu q (q − 1)(q − 1) I4 q (q − 1)(q − 1) −I4 2q (q − 1) u1 (1) 2q (q − 1) u1 (γ) 2q (q − 1) −u1 (1) 2q (q − 1) −u1 (γ) 2q u2 (1) 2q u2 (γ) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 77 Trang 78 Lớp đại diện  −1 −1 −1  −1 −1     −1  0 −1   −1 −γ −γ  −1 −1     −1  0 −1 0  0  1 0     0  0 −1   −1 0  −1 −1 0     0 −1  −1  0 0  1 0     0  0 −γ   −1 0  −1 −1 0     0 −1  γ −1  a 0  a−1 0     0 b  0 b−1   a 0  a−1 0     0 ξ  0 ξ −1   η 0 −1  η 0     0 ξ  0 ξ −1 Luận văn cao học Số lớp Cấp tâm hoán tử Kí hiệu 2q −u2 (1) 2q −u2 (γ) 2q (q − 1) u3 (1) 2q (q − 1) −u3 (1) 2q (q + 1) u3 (γ) 2q (q + 1) −u3 (γ)  (q − 3)(q − 5) (q − 1)2 t1 (q − 1)(q − 3) q2 − t2 (q − 1)(q − 3) (q + 1)2 t3 Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 78 Trang 79 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Lớp đại diện  θ 0  θ−1 0     0 θq  0 θ−q   ψ 0  ψ −1 0    q  0 ψ  0 ψ −q  0 a 0  a−1 0     0 a  0 a−1   a −1  a 0     0 a  −2 a−1 0 −a a 0  a−1 0     0  0   a 0  a−1 0     0 −1  0 −1 0 a 0  a−1 0     0 1  0   a 0  a−1 0     0 γ  0   a 0 −1  a 0     0 −1 −1  0 −1 Số lớp Cấp tâm hoán tử Kí hiệu  (q − 1)2 q2 − t4 (q − 1)2 q2 + t5 (q − 3) q(q − 1)(q − 1) t1 (q − 3) q(q − 1) t1,J (q − 3) q(q − 1)(q − 1) t1 (q − 3) q(q − 1)(q − 1) −t1 (q − 3) 2q(q − 1) t1,J (1) (q − 3) 2q(q − 1) t1,J (γ) (q − 3) 2q(q − 1) −t1,J (1) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 79 Trang 80 Lớp đại diện  a 0  a−1 0     0 −1 −γ  0 −1 0 0  0     0 −1   0 −1  1 0  0     0 −1   0 −1  γ 0  0     0 −1   0 −1  0  0     0 −1 −1   0 −1  0  0     0 −1 −γ   0 −1  1 0  0     0 −1 −1   0 −1  γ 0  0     0 −1 −1   0 −1  1 0  0     0 −1 −γ  0 −1 Luận văn cao học Số lớp Cấp tâm hoán tử Kí hiệu 2q(q − 1) −t1,J (γ) q (q − 1)2 t1 2q (q − 1) t1,J (1) 2q (q − 1) t1,J (γ) 2q (q − 1) t1,J (−1) 2q (q − 1) t1,J (−γ) 4q t1,J (1, −1) 4q t1,J (γ, −1) 4q t1,J (1, −γ)  (q − 3) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 80 Trang 81 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Lớp đại diện  γ 0  0     0 −1 −γ   0 −1  η 0  η −1 0     0  0   η 0  η −1 0     0 1  0   η 0 −1  η 0     0 γ  0   η 0  η −1 0     0 −1  0 −1   η 0  η −1 0     0 −1 −1  0 −1   η 0  η −1 0     0 −1 −γ  0 −1  0 η 0  η −1 0     0 η  0 η −1   η −1  η 0     0 η  −η −2 η −1 Số lớp Cấp tâm hoán tử Kí hiệu 4q t1,J (γ, −γ)  (q (q − 1) q(q + 1)(q − 1) t2 (q − 1) 2q(q + 1) t2,J (1) (q − 1) 2q(q + 1) t2,J (γ) (q − 1) q(q + 1)(q − 1) −t1 (q − 1) 2q(q + 1) −t2,J (1) (q − 1) 2q(q + 1) −t2,J (γ) − 1), 12 (q − 1) q(q + 1)(q − 1) t3 q(q + 1) t3,J (q − 1) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 81 Trang 82 Luận văn cao học Phụ lục Trong Sp(4, q) có nhóm tối đại có số q + q + q + Chứng minh Vì Sp(V ) tác động truyền nguyên thủy lên P(V ) nên với a ∈ P(V ) , với H = StabSp(V ) (a) |Sp(V )| = |H|.|P(V )| Vì |P(V )| = (q − 1)/(q − 1) = q + q + q + 1, nên số H Sp(V ) q + q + q + Hơn theo Bổ đề 1.3.2 H nhóm tối đại Sp(V ) Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 82 Tài liệu tham khảo [1] Trònh Thanh Đèo, Soạn thảo chế tài liệu toán học với LATEX2ε, NXB Đại học Quốc gia TP.HCM, 2006 [2] Bùi Xuân Hải, Nhóm tuyến tính (Chuyên đề cao học), NXB Đại học Quốc gia TP.HCM, 2007 [3] Mỵ Vinh Quang, Đại số đại cương, NXB Giáo Dục-1999 [4] Cédric Bonnafé, Representations of SL2 (Fq ), Springer, NewYork, 2011 [5] Roger W Carter, Simple Group of Lie Type, John Wiley & Sons Ltd 1972, Volume XXVIII [6] Hioke Enomoto, The Character of The Finite Sympletic Group Sp(4, q), q = 2f , Osaka J Math (1972), 75-94 [7] Larry C Grove, Classical Group and Geometric Algebra, American Mathematical Society, Volume 39, 2002 [8] James E Humphrey, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer- Verlag New York, 1972 [9] Jean-Marie Monier, Algebra 2, Dunod, Paris, 1996 [10] Bhama Srinivasan, The Character of The Finite Sympletic Group Sp(4, q) Source: Transactions of the American Mathematical Society, Vol.131, No (May, 1968), pp 488-525 [11] Morris W.Hisch, Stephen Smale, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, University of California, Berkeley, 1974 83 [...]... một cơ sở symplectic của V , V gọi là symplectic space Một Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 19 Trang 20 Luận văn cao học tự đẳng cấu (phép biến đổi tuyến tính khả nghòch) τ của V được gọi là phép biến đổi symplectic nếu B(τ v, τ w) = B(v, w) với mọi v, w ∈ V Tập tất cả các phép biến đổi symplectic của V là một nhóm con của GL(V ), được gọi là nhóm symplectic. .. 1.5.5 Nhóm symplectic Sp(V ) sinh bởi các symplectic transvection Hệ quả 1.5.6 Sp(V ) ≤ SL(V ) Mệnh đề 1.5.7 Tâm Z(Sp(V )) của Sp(V ) là {−1, 1} Mệnh đề 1.5.8 Sp(V ) tác động nguyên thủy trên P(V ) Kí hiệu P Sp(V ) := Sp(V )/Z(Sp(V )) là nhóm projective -symplectic Đònh lý 1.5.9 Ngoại trừ P Sp(2, 2), P Sp(2, 3), P Sp(4, 2), tất cả các nhóm projectivesymplectic đều là nhóm đơn 2 Đònh lý 1.5.10 Cho |K| = q,... 145-146 Vì vậy từ đây về sau trong phần này, ta xét q > 3 Mệnh đề 2.1.18 Với mỗi số q − 1, q + 1, tồn tại duy nhất một nhóm con abel cấp n sai khác một liên hợp trong G Chứng minh Theo Mệnh đề 2.0.4, các nhóm có cấp lần lượt q − 1 và q + 1 đều chỉ chứa các phần tử semisimple Theo Mệnh đề 2.1.15, nhóm cấp q − 1 liên hợp với T , và nhóm cấp q + 1 liên hợp với T trong G Mệnh đề 2.1.19 B là nhóm con tối đại... mọi nhóm P SL(V ) đều là nhóm đơn, trừ các trường hợp P SL(2, 2) và P SL(2, 3) Nhận xét 1.4.6 Bằng tác động trung thành ( faithfully) của P SL(V ) trên P(V ), trường hợp P SL(2, 2) thì P(V ) có 3 phần tử, do đó P SL(2, 2) ∼ = Sym(3), còn trường hợp P SL(2, 3) thì P(V ) có 4 phần tử Vì |P SL(2, 3)| = |Alt(4)| = 12, và trong Sym(4) chỉ có một nhóm con có chỉ số 2 nên P SL(2, 3) ∼ = Alt(4) 1.5 Nhóm symplectic. .. của nhóm SL(2, q) Đặt G = SL(2, q) := a b c d Đặt G = SL(2, q 2 ) := ∈ GL(2, Fq ) | ad − bc = 1 a b c d ∈ GL(2, q 2 ) | ad − bc = 1 Theo Đònh lí 1.4.2, với n = 2, cấp của nhóm |G| = q(q − 1)(q + 1) 2.1.1 Các lớp liên hợp Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát để tìm các tất cả lớp liên hợp của nhóm SL(2, q) Fq là trường hữu hạn nên F∗q = µq−1 là nhóm cyclic Với các quy ước γ là phần tử sinh của nhóm. .. được gọi là symplectic transvection theo hướng u Đặt Γ := {τu,a | u ∈ V, a ∈ K∗ } Các kết quả sau được phát biểu, chứng minh chi tiết tham khảo [7], chương [2], trang 23 − 25 Đònh lý 1.5.3 Nếu V là không gian hai chiều thì Sp(V ) = SL(V ) Mệnh đề 1.5.4 Nếu V là symplectic thì nhóm Γ ≤ Sp(V ) tác động truyền ( transitive) trên tập S gồm toàn các hyperbolic pair trong V Đònh lý 1.5.5 Nhóm symplectic. .. sử có một nhóm con giải được K H sao cho G = ∪{K x | x ∈ G} Thế thì G là nhóm đơn Chứng minh Giả sử tồn tại 1 = N G Theo Mệnh đề 1.3.4 N truyền ( transitive) trên S, và theo Mệnh đề 1.3.5 G = HN Vì N G nên KN = N K và HN = N H là các nhóm con của G Hơn nữa KN HN = G Nếu x ∈ G x x x thì K (KN ) = KN , vì thế ∪ {K | x ∈ G} ⊆ KN , do đó KN = G Vì K giải được nên tồn tại m ∈ N sao cho đạo nhóm của K... Trang 29 Trang 30 Luận văn cao học Đònh nghóa 1.8.2 Nhóm có (B, N )-pair (Group with a (B, N )-pair) Tập hai nhóm con B, N của nhóm G được gọi là một (B, N )-pair nếu các tiên đề sau thỏa mãn: BN1 G được sinh bởi B và N BN2 B ∩ N là nhóm con chuẩn tắc của N BN3 Nhóm W := N/B ∩ N được sinh bởi các phần tử wi , i ∈ I, sao cho wi2 = 1 BN4 Nếu ni ∈ N là tạo ảnh của wi dưới đồng cấu tự nhiên... bò khá đầy đủ, bây giờ chúng ta đi vào khảo sát một nhóm cụ thể Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 Trang 30 Chương 2 Cấu trúc của SL(2, q) và SL(3, q) Trong toàn chương này p là một số nguyên tố lẻ, q là một lũy thừa của p, Fq là trường hữu hạn q phần tử Để tiếp cận nhóm symplectic Sp(4, q), ta khảo sát lần lượt các nhóm SL(2, q) và SL(3, q) Trước hết chúng ta có các... ma trận (aij ) trong nhóm GL(n, K), là nhóm các ma trận vuông cấp n khả nghòch trên trường K Đẳng cấu nhóm tương ứng dn : GL(V ) −→ GL(n, K) f → f[β] = (aij ) = dn (f ) Nhắc lại ánh xạ đònh thức det, được xây dựng trên đồng cấu det : GL(V ) → K∗ , f → det(f ) và trên ma trận det : GL(n, K) → K∗ , A → det(A) Nếu f[β] = A thì det(f ) = det(A) Kiểm tra được ánh xạ này là một đồng cấu nhóm, và là một toàn ... n ∈ N cho −1 −1 −1 −1 abcdb a d c = aca−1 c−1 n ∈ K (1) N Vậy (KN )(1) ≤ K (1) N Tương tự (KN )(2) = [(KN )(1) , (KN )(1) ] ≤ [K (1) N, K (1) N ] ≤ K (2) N Theo quy nạp ta chứng minh (KN )(m)... gh gọi giao hoán tử g h Kí hiệu G(1) = [G, G] = {g −1 h−1 gh | g, h ∈ G} nhóm G, gọi đạo nhóm cấp G Hơn G(m) = [G(m−1) , G(m−1) ] đạo nhóm cấp m G Nhóm G gọi nhóm giải có m ∈ N cho G(m) = Phần... G gọi nhóm đơn nhóm chuẩn tắc N cho N G Bây ta xét G nhóm hữu hạn Các bổ đề sau phát biểu, chứng minh tham khảo [3] Bổ đề 1.1.3 Cho G nhóm, H nhóm G, lấy g ∈ G, CG (g), CG (H), NG (H) nhóm G