BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Dĩ nhiên hợp của k tất cả atlas tương đương với atlas A cũng là một atlas lớp C , đó chính là atlas tối k đại mở rộng từ atlas A... Do đó, để cho một cấu trúc đa tạp khả vi ta chỉ cần ch

MỤC LỤC

Trang LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC 1

Chương 1 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI 3

1.1 Đa tạp khả vi 3

1.1.1 Đa tạp khả vi 3

1.1.2 Ví dụ 4

1.1.3 Tích của hai đa tạp khả vi 6

1.1.4 Đa tạp con 6

1.2 Ánh xạ khả vi 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Ví dụ 8

1.3 Không gian tiếp xúc 8

1.3.1 Định nghĩa 8

1.3.2 Vi phân của một hàm số khả vi 10

1.4 Trường vectơ 12

1.4.1 Định nghĩa 12

1.4.2 Định nghĩa 13

1.5 Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc 13

1.5.1 Định nghĩa 13

1.5.2 Nhận xét 13

1.5.3 Ví dụ 14

1.6 Phân hoạch đơn vị 15

1.6.1 Định nghĩa 15

1.6.2 Đa tạp paracompact 16

1.6.3 Định lý về phân hoạch đơn vị 16

1.7 Đồng luân giữa các ánh xạ 16

1.7.1 Định nghĩa 16

1.7.2 Định lý 17

1.7.3 Định lý 17

2.1 Dạng vi phân 18

2.1.1 Hàm đa tuyến tính 18

2.1.2 Dạng đa tuyến tính thay dấu 18

2.1.3 Dạng vi phân trên đa tạp 20

2.1.4 Ánh xạ đối tiếp xúc 23

2.2 Tích phân trên đa tạp 26

2.2.1 Đa tạp định hướng 26

2.2.2 Đa tạp với bờ, định hướng của bờ 30

2.2.3 Tích phân trên đa tạp 31

2.3 Dạng đóng, dạng chính xác và không gian đối đồng điều DeRham 35

2.3.1 Các định nghĩa 35

2.3.3 Định nghĩa không gian đối đồng điều 36

2.3.4 Đồng cấu giữa các không gian đối đồng điều 38

3.1 Định lý cơ bản 50

3.1.1 Định lý 50

3.1.2 Ví dụ 52

3.2 Tính chất 54

3.2.1 Định lý bất biến của bậc qua ánh xạ đồng luân 54

3.2.2 Định lý 55

3.3 Bậc của ánh xạ liên tục 55

3.3.1 Định nghĩa 55

3.3.2 Nhận xét 56

3.4 Một số kết quả được áp dụng bậc của ánh xạ 56

3.4.1 Trường vectơ trên mặt cầu 56

3.4.2 Chỉ số của trường vectơ trên (tại một không điểm cô lập) 57

3.4.3 Chỉ số của trường vectơ trên đa tạp 60

3.4.4 Định lý 62

3.4.5 Định lý (Gauss) 62

3.4.6 Một số ứng dụng khác 64

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI

1.1 Đa tạp khả vi

1.1.1 Đa tạp khả vi

1.1.1.1 Định nghĩa

Cho M là không gian tôpô Hausdorff, n là số nguyên không âm Một atlas A

(lớp C k, k >0) n chiều trên M là họ những ( Uα, )α , Uα là một tập mở trong M ,

α là một đồng phôi từ Uα lên (α Uα)- mở trong ¡ n

là một vi phôi lớp C giữa các tập mở ( k α Uα ∩Uβ), (β Uα ∩Uβ) trong ¡ n

 Atlas A được gọi là tối đại nếu mọi atlas B của M (cùng lớp C ) mà B k ⊃ A

thì B = A

 Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C ) n chiều trên M là một atlas (lớp k C ) n k

chiều tối đại trên M

 Hai atlas khả vi , A B lớp C trên M gọi là tương đương (cùng xác định một k

cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C ) n chiều trên M ) nếu với mọi ( k Uα, )α ∈A và( , )Vβ β ∈B mà Uα ∩Vβ ≠ ∅ thì β α− 1

o và α β−1

o khả vi lớp C Dĩ nhiên hợp của k

tất cả atlas tương đương với atlas A cũng là một atlas lớp C , đó chính là atlas tối k

đại mở rộng từ atlas A

 Một atlas bất kỳ, lớp C , bao giờ cũng mở rộng một cách duy nhất thành một k

atlas tối đại như trên Do đó, để cho một cấu trúc đa tạp khả vi ta chỉ cần cho mộtatlas khả vi lớp C là đủ k

 Không gian tôpô Hausdorff M cùng với một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C ) k

n chiều trên M gọi là đa tạp khả vi lớp C n chiều Và ta vẫn ký hiệu đa tạp đó là k

1.1.1.2 Phép đổi toạ độ địa phương

Với (Uα, )α , (Uβ, )β là hai bản đồ địa phương của M mà Uα ∩Uβ ≠ ∅ thì:

n n

U

x x

ϕ là giao điểm (khác với x ) của đường thẳng Nx với ¡ n

n n

U

y y

ψ là giao điểm (khác với y ) của đường thẳng Sy với ¡ n

1.1.4.2 Định lý

Cho X là một đa tạp lớp C , Y là một đa tạp con của X Khi đó họ k

{U ∩Y, |ϕ U ∩Y}, trong đó ( , )U ϕ là các bản đồ như trong định nghĩa trên là mộtatlas lớp C của Y k

1.1.4.3 Đa tạp con của ¡ n

Trong ¡ chúng ta có nhiều cách để nhận biết một đa tạp conn

 Định lý

Y là một đa tạp con của ¡ , khi đó các điều kiện sau là tương đươngn

i) Y là một đa tạp con m chiều lớp C của k ¡ n

ii) y Y∀ ∈ , tồn tại U mở của ¡ chứa y và có ánh xạ : n f U →¡ n m− lớp C k

sao cho ma trận của ánh xạ '( )f y có hạng bằng n m− và U ∩ =Y f −1(0)

iii) y Y∀ ∈ , tồn tại U mở chứa y , tồn tại Ω mở trong ¡ chứa 0 và có ánh xạn

lớp C : : k g Ω →¡ thỏa (0)n g = y , g là một đồng phôi từ Ω lên U ∩Y , '(0)g là

Theo ii) (ứng với U =¡ n+1) ta có S là một đa tạp con nhẵn, n chiều của n ¡ n+ 1

1.2 Ánh xạ khả vi

1.2.1 Định nghĩa

Cho M N là hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều lần lượt là m , n Ánh xạ, :

f M →N gọi là ánh xạ khả vi lớp C nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa k

phương (Uα, )α của M và ( , ) Vβ β của N mà Uα ∩ f −1( )Vβ ≠ ∅ thì ánh xạ:

m n

x x x x

y y y y

αβ

=

=

Hạng của f tại x là hạng của ánh xạ β αf −1|α( )x

o o , tức là hạng của ma trận:

Trong hình học vi phân cổ điển, với S là một mặt trong ¡ , , 3 U V là các mở

trong ¡ , :2 ϕ U →S; :ψ V →S là các tham số hoá, ϕ( )p =ψ( )q =M0

Ta có : ξr được xác định bởi v nhờ ϕ hoặc w nhờ ψ Điều này gợi mở một

hướng định nghĩa vectơ tiếp xúc tại một điểm trên một đa tạp trừu tượng

Quan hệ R là quan hệ tương đương

Lớp tương đương chứa ( , , )p u α ký hiệu là ( , , )p u α

Mỗi lớp tương đương nói trên gọi là vectơ tiếp xúc của đa tạp M

 Với (Uα, )α là một bản đồ địa phương của M p U, ∈ α, lớp tương đương

( , , )p u α gọi là một vectơ tiếp xúc của đa tạp M tại p

Tập các vectơ tiếp xúc tại p của đa tạp M ký hiệu là : T M p

 Trên T M xác định hai phép toán cộng và nhân như sau : p

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) \{0}

T M với hai phép toán trên trở thành một không gian vectơ trên ¡ và được gọi

là không gian (vectơ) tiếp xúc của M tại p

Với (Uα, )α là một bản đồ địa phương của M ta ký hiệu hình thức

1 2( ) ( , , , )x x x x n

và dễ thấy df p là ánh xạ tuyến tính( )

Xét bản đồ địa phương (Uα, ),α p U∈ α, α( ) ( , , , )x = x x1 2 x n

Trên bản đồ này

df p v v f f t

dt ρ

1.3.2.2 Ví dụ

Xét bản đồ (Uα, )α của M , với ký hiệu α( ) ( , , , )x = x x1 2 x n , p U∈ α

Trong đó, :x U i α →¡ (i=1, 2, , )n là các hàm số được xác định bởi:

1 2

( ) ( , , , )

j j

 ∂ = ∂ =

∂ ÷ ∂

1.3.2.3 Đạo hàm của một hàm số khả vi theo một hướng

Cho M là đa tạp nhẵn n chiều Với p M v∈ , p∈T M p thì với mỗi hàm nhẵn

trên M :ϕ∈F ( M ) ta có đạo hàm của ϕ theo vectơ v , ký hiệu [ ] p v p ϕ xác định

như sau :

1 2( ) ( , , , ), p x x x n v p ( , )p v α

α = = , với v=( , , , )v v1 2 v n ∈¡ n

Ta định nghĩa :

j k

i i

∂

∂o o là nhẵn , nên nếu các hàm X thuộc lớp i C trên U k α ∩Uβthì

các hàm Y cũng vậy j

1.4.2 Định nghĩa

Trường vectơ X gọi là khả vi lớp C , nếu với mọi ( k Uα, )α là bản đồ địa

phương của M , ta ký hiệu hình thức α( ) ( , , , )x = x x1 2 x n , mà trên Uα:

1

n i i i

Khi X là nhẵn thì ta nói X là trường vectơ nhẵn trên M i

Tương tự ta cũng có định nghĩa một trường vectơ lớp C trên một mở của M k

và khi đó với (Uα, )α là một bản đồ địa phương của M thì các trường vectơ

T f T M →T N được xác định như sau:

Với mọi (Uα, )α là bản đồ địa phương của M và p U∈ α

( , )Vβ β là bản đồ địa phương của N và q= f p( )∈Vβ

Khi đó, T f là ánh xạ tuyến tính và ta gọi đó là ánh xạ tuyến tính tiếp xúc của f p

 Lưu ý: Ta có thể chứng minh được định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc

chọn bản đồ

1.5.2 Nhận xét

Ánh xạ khả vi : Jρ →M gọi là một đường cong khả vi trên M

Giả sử p= ρ( )t0 , (Uα1, )α1 là một bản đồ địa phương của M và p U∈ α1 Ta

Cho M N lần lượt là các đa tạp , , k l chiều chứa trong ¡ n, ¡ và :m f M → N

là một ánh xạ khả vi Giả sử tồn tại các tập mở , U V lần lượt trong ¡ n, ¡ saomcho M ⊂U N, ⊂V và có ánh xạ khả vi :F U →V mà |F M= f Khi đó, p M∀ ∈

( )'( )

t p t

 Một họ tập con ( )U i i I∈ của không gian tôpô M được gọi là hữu hạn địa

phương nếu với mỗi x M∈ có một lân cận U giao khác rỗng chỉ với một số hữu

hạn tập mở của họ ( )U i i I∈

Nếu ( )U i i I∈ và ( )V j j J∈ là các phủ mở của một tập thì phủ ( )U i i I∈ gọi là mịn

hơn phủ ( )V j j J∈ nếu mỗi phần tử của họ ( )U i i I∈ là tập con của một phần tử nào đó

của họ ( )V j j J∈

Không gian tôpô M được gọi là compact địa phương nếu mỗi điểm của nó có

một lân cận mà bao đóng là compact

Không gian tôpô M gọi là có cơ sở mở đếm được nếu có họ đếm được tập mở

i

U mà mọi tập mở của M là hợp của những U đó i

 Nếu f là hàm thực thì giá của f là tập {x f x| ( ) 0≠ }

Ký hiệu: Supp f( )

1.6.2 Đa tạp paracompact

Không gian tôpô Hausdorff M gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của M đều

tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn

Nếu M là đa tạp khả vi lớp C và tôpô của M là paracompact thì M là đa tạp k

paracompact lớp C k

Người ta chứng minh được rằng, một đa tạp C với cơ sở mở đếm được thì bao k

giờ cũng là paracompact

1.6.3 Định lý về phân hoạch đơn vị

Cho ( )U i i I∈ là một phủ mở của M (lớp C ), khi đó tồn tại họ các hàm số khả vi k

Cho , :f g M → N là các ánh xạ khả vi, ta nói f đồng luân khả vi với g nếu tồn

tại một ánh xạ khả vi H M: ×[0,1]→N sao cho

( ,0) ( ), ( ,1) ( )

H x = f x H x =g x ∀ ∈x M

(ánh xạ H M: ×[0,1]→N gọi là khả vi nếu tồn tại khoảng mở J ⊃[0,1] và ánh xạkhả vi H M J: × → N sao cho H |M×[0,1]=H )

 Ta nói H là một đồng luân khả vi nối f với g

 Quan hệ f đồng luân khả vi với g như trên là một quan hệ tương đương trong tập các ánh xạ khả vi từ M vào N

Cho , f g là các ánh xạ khả vi từ M vào N và f đồng luân (liên tục) với g

Khi đó, f và g đồng luân khả vi với nhau ( M N là các đa tạp có cơ sở mở,

đếm được)

 Việc chứng minh các định lý 1.7.2 và 1.7.3 ở trên tương đối dài và khó Có

thể tìm thấy chứng minh của các định lý này trong [2], [3] Các kết quả trên sẽ được

sử dụng trong các chương sau để chuyển khái niệm bậc của một ánh xạ khả vi

sang bậc của một ánh xạ liên tục

Chương 2

DẠNG VI PHÂN VÀ KHÔNG GIAN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

2.1 Dạng vi phân

2.1.1 Hàm đa tuyến tính

2.1.1.1 Định nghĩa:

Cho một không gian vectơ V và một ánh xạ :ω V q →¡ gọi là hàm đa tuyến

tính (rõ hơn q−tuyến tính) nếu nó tuyến tính theo tứng biến, nghĩa là với mọi chỉ

Tập hợp các hàm q−tuyến tính trên V là một không gian vectơ với phép cộng q

hai ánh xạ và phép nhân với số thực được định nghĩa tự nhiên

Ký hiệu: T V với q( )* V là không gian đối ngẫu của V*

Đặt Ωq( )V* là tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu

Ta quy ước

( )( )

Tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu (Ωq( )V* ) là một không gian vectơ

 Chú ý: Dạng đa tuyến tính thay dấu còn được gọi là dạng đa tuyến tính phản

Giả sử e e1, , ,2 e là một cơ sở của V và n e e1, , ,2 e là cơ sở của không gian n

liên hợp V : ( )* e e i j =δij Nếu 1 q n≤ ≤ , tập hợp các phần tử i1 i2 i q

e ∧e ∧ ∧e với (1

1≤ < < ≤i i q n) làm thành một cơ sở của Ωq( )V* và ta có dimΩq( )V* =C n q

i ij j

Nếu ω∈ Λq r( ), M η∈ Λs r( )M , tích ngoài ω η∧ là dạng vi phân lớp C bậc r

q s+ trên M xác định bởi: ∀ ∈x M : (ω η∧ )( )x =ω( )x ∧η( )x , trong đó( )x ( )x

ω ∧η là tích ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu (phản đối xứng)

Xét trên hai bản đồ (Uα, ), (α Uβ, )β có tọa độ địa phương mà ta ký hiệu hình

2.1.3.4 Đạo hàm ngoài của các dạng vi phân

Cho M là đa tạp khả vi lớp nhẵn, có duy nhất một ánh xạ

1 1: q r( ) q r ( )

*

(f ω) ( , , , )x v v v q =ωf x (T f v x ( ), ,T f v x ( ))qthì f được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc*

*( ) ( )

f dϕ =d ϕof

Chứng minh:

p M

∀ ∈ , lấy (Uα, )α là bản đồ địa phương tại p , α( ) ( , , , )x = x x1 2 x n

( , )Vβ β là bản đồ địa phương tại q= f p( ), β( ) ( , , ,y = y y1 2 y n)

i k

2.1.4.4 Định lý

Cho M N là các đa tạp khả vi nhẵn, và ánh xạ :, f M → N khả vi lớp C∞ và( )

M là một đa tạp nhẵn n chiều, ta nói rằng M định hướng được nếu trên M

tồn tại một dạng vi phân ω bậc n (nhẵn) sao cho x M∀ ∈ ta có ( ) 0ω x ≠ Dạng viphân ω như thế còn được gọi là một dạng thể tích (nhẵn) trên M

 Nếu , 'ω ω là các dạng thể tích trên M thì x M∀ ∈ ta có

*( ), '( )x x n(T M x )

ω ω ∈Ω , tức ( ), '( ) : (ω x ω x T M x )n →¡ là các ánh xạ đa tuyến tínhphản đối xứng và do dimΩn(T M x* ) 1= nên ta có: '( )ω x = f x( ) ( )ω x với( ) 0

f x ≠ ∀ ∈x M Như vậy có thể khẳng định 'ω = fω với :f M →¡ là hàmnhẵn

 Trong tập các dạng thể tích của M , ta định nghĩa quan hệ R Với , 'ω ω là

các dạng thể tích trên M , ta nói 'ω ωR nếu 'ω = fω với ( ) 0 f x > ∀ ∈x M Có

thể thấy rằng R là một quan hệ tương đương.

2.2.1.2 Định nghĩa hướng trên đa tạp

M là một đa tạp định hướng được, khi đó một hướng cho trên đa tạp M là việc

chọn một lớp tương đương các dạng thể tích

 Trường hợp M liên thông thì một hàm liên tục : f M →¡ mà ( ) 0f x ≠ thì

( ) 0

f x > ∀ ∈x M hoặc ( ) 0 f x < ∀ ∈x M Do đó, từ định nghĩa ta suy ra trên tập

các dạng thể tích của M chỉ có đúng 2 lớp tương đương, tức là trên M có đúng 2

phép định hướng

 Giả sử M đã định hướng bởi lớp chứa dạng thể tích ω, ta nói rằng cơ sở

1 2

{ , , , }v v v n ∈T M x gọi là cơ sở thuận (dương) nếu ω( )( , , , ) 0x v v1 2 v n > Như vậy,

khi M đã định hướng thì hướng thuận trên không gian tiếp xúc T M cũng được x

2.2.1.3 Định lý:

Đa tạp M là định hướng được khi và chỉ khi tồn tại một atlas {( , )U i ϕi }i I∈ của

M sao cho det [(ϕ ϕio −j1 ') ( ( ))] 0, ,ϕj x > ∀ ∈i j I mà U i ∩U j ≠ ∅ và ∀ ∈ ∩x U i U j

 Khi M là đa tạp con (nhẵn) n chiều của ¡ thì người ta chứng minh đượck

rằng: p M∀ ∈ , tồn tại mở U ⊂¡ , p U k ∈ và tập mở Ω ⊂¡ , n Ω chứa 0¡n và cóánh xạ nhẵn: :ϕ Ω →¡ sao cho:k

i) (0)ϕ = p, ϕ là một đồng phôi từ Ω lên mở U ∩M của M

ii) x∀ ∈Ω, '( )ϕ x là đơn cấu, '( ) :ϕ x ¡ n →¡ là ánh xạ tuyến tính.k

Ánh xạ ϕ như thế gọi là tham số hóa địa phương của M Người ta chứng minh

được không gian vectơ ( '(0)(ϕ ¡ n)) không phụ thuôc vào tham số hóa ϕ và

'(0)( n)

ϕ ¡ đặt tại p chính là không gian tiếp xúc Như thế T M là không gian p

vectơ con của T p¡ k

 Trường hợp M là đa tạp con (nhẵn) n chiều của ¡ n+ 1 Nếu có Ω mở trong1

+

KK

K

Rõ ràng µ là dạng vi phân bậc n trên Ω, ngoài ra ta còn có:

Khi đó, nếu X là trường vectơ nhẵn trên Ω thì: µ là n dạng nhẵn trên Ω.

Nếu ∀ ∈p M X p, ( ) 0≠ và ( )X p ⊥T M p thì với v v1, , ,2 v n∈T M p sao cho

n i i

2.2.2 Đa tạp với bờ, định hướng của bờ

Ký hiệu ¡ n− ={( , , , )x x1 2 x n ∈¡ n:x1≤0}, Ω là một mở của ¡ , ta nói rằngn−ánh xạ :f Ω →¡ là nhẵn nếu tồn tại mở 'n Ω trong ¡ , n Ω ⊂ Ω' và có ánh xạ:

F Ω →¡ khả vi nhẵn sao cho |F Ω= f

2.2.2.1 Định nghĩa đa tạp với bờ:

M là không gian tôpô Hausdorff, giả sử trên M ta đã xác định được một họ

Khi đó, ta nói các cặp (M,S) là một đa tạp nhẵn n−chiều với bờ

Để đơn giản ta chỉ nói M là đa tạp nhẵn và hiệu ngầm họ S như trên

Họ S thỏa i), ii), iii) được gọi là một atlas của M và ( , ) U i ϕi gọi là một hệ tọa

độ địa phương của M

2.2.2.2 Định nghĩa:

Cho M là đa tạp với bờ, x là một điểm của M , ta nói:0

 x là điểm trong của M nếu tồn tại hệ tọa độ địa phương ( , )0 U i ϕi ∈S, x0∈U i

sao cho ( )ϕi U i là mở trong ¡ n

 x là điểm biên của M nếu tồn tại hệ tọa độ địa phương ( , )0 U i ϕi ∈S, x0∈U i

sao cho ( )ϕi U i là mở trong ¡ và n− ϕ( ) (0, , , )x0 = x2 x n ∈ϕi( )U i ∩¡ n−1

 Ta có thể chứng minh được rằng: một điểm trong của M thì không thể là

điểm biên và ngược lại

 Ký hiệu: M∂ là tập các điểm biên của M , nếu M∂ ≠ ∅ thì ta nói M là đa tạp có bờ, còn nếu M∂ = ∅ thì ta nói M là đa tạp không bờ và đó là những đa tạp

đã nói trong định nghĩa trước đây

2.2.2.2 Định lý:

Nếu M∂ ≠ ∅ thì M∂ là một đa tạp (n−1) chiều không bờ và nếu M định hướng được thì M∂ cũng định hướng được

 M là đa tạp nhẵn n chiều, định hướng được với bờ ( M∂ ≠ ∅) như trên đã

chứng minh rằng M∂ là đa tạp (n−1) chiều không bờ định hướng được Giả sử

M được định hướng bởi lớp chứa dạng thể tích ω (về sau ta nói đơn giản là M

được định hướng bởi dạng thể tích ω) Lấy một atlas {( , )}U i ϕi i I∈ của M sao cho

ω ∩∂ = ∧ ∧ với ( ) 0g x > Hướng của M∂ được xác định như thế gọi

là hướng cảm sinh từ hướng của đa tạp M

 Ví dụ:

Cho đa tạp M ≡¡ 2− ={( , )x x1 2 ∈¡ 2|x1≤0}, atlas M là A={( , )}U id i , U là

mở của ¡ và nếu 2− ¡ định hướng bởi dạng 2− dx1∧dx2 thì 2

−

= ∂

¡ ¡ định hướng bởidạng dx2

2.2.3 Tích phân trên đa tạp

2.2.3.1 Định nghĩa

 Định nghĩa tích phân của dạng vi phân bậc n có giá compact trên một mở

của ¡ hay ¡n - n:

Gọi U là mở trong ¡ hay n ¡ , n− ω là dạng vi phân bậc n có giá compact trên

U Khi đó, trên U ta có ω = fdx ∧dx ∧ ∧ dx f x = ∀ ∉x supp( )ω

giả thiết ω là dạng vi phân thuộc lớp C thì khi đó r f ∈C U r( ) và f có giá compact chứa trong U

Với λ'( )x là ma trận Jacobi của ánh xạ tuyến tính đạo hàm của λ tại x U∈

Giả sử ω là dạng vi phân lớp C trên ( ) r λ U với giá compact, suy ra λ ω*( ) là

dạng vi phân có giá compact trong U

 Định nghĩa tích phân trên đa tạp (nhẵn) đã định hướng:

M là đa tạp (nhẵn) đã định hướng, ω là dạng vi phân lớp C trên M , bậc n có k

giá compact Gọi {(Uα, )}α α∈I là một atlas phù hợp (tương thích) với định hướng

của M Lấy một phân hoạch đơn vị { }ϕα α∈I ứng với phủ {Uα α} ∈I Khi đó, ϕ ωα là

dạng vi phân có giá compact chứa trong Uα Giả sử ω = f dxα 1∧dx2∧ ∧ dx n trên

Uα Ta định nghĩa:

1

1 2 ( )

P Q R M →¡ là các ánh xạ khả vi liên tục, ω =Pdxdy Qdydz Rdxdz+ + là

dạng vi phân bậc 2 có giá compact trên M