BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Chương - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI .3 1.1 Đa tạp khả vi .3 1.1.1 Đa tạp khả vi 1.1.2 Ví dụ .4 1.1.3 Tích hai đa tạp khả vi .6 1.1.4 Đa tạp 1.2 Ánh xạ khả vi 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ .8 1.3 Không gian tiếp xúc 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Vi phân hàm số khả vi 10 1.4 Trường vectơ .12 1.4.1 Định nghĩa 12 1.4.2 Định nghĩa 13 1.5 Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc .13 1.5.1 Định nghĩa 13 1.5.2 Nhận xét .13 1.5.3 Ví dụ .14 1.6 Phân hoạch đơn vị 15 1.6.1 Định nghĩa 15 1.6.2 Đa tạp paracompact 16 1.6.3 Định lý phân hoạch đơn vị .16 1.7 Đồng luân ánh xạ .16 1.7.1 Định nghĩa 16 1.7.2 Định lý 17 1.7.3 Định lý 17 2.1 Dạng vi phân .18 SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 2.1.1 Hàm đa tuyến tính 18 2.1.2 Dạng đa tuyến tính thay dấu 18 2.1.3 Dạng vi phân đa tạp .20 2.1.4 Ánh xạ đối tiếp xúc 23 2.2 Tích phân đa tạp .26 2.2.1 Đa tạp định hướng 26 2.2.2 Đa tạp với bờ, định hướng bờ 30 2.2.3 Tích phân đa tạp 31 2.3 Dạng đóng, dạng xác không gian đối đồng điều DeRham 35 2.3.1 Các định nghĩa 35 2.3.3 Định nghĩa không gian đối đồng điều 36 2.3.4 Đồng cấu không gian đối đồng điều 38 3.1 Định lý 50 3.1.1 Định lý 50 3.1.2 Ví dụ .52 3.2 Tính chất 54 3.2.1 Định lý bất biến bậc qua ánh xạ đồng luân 54 3.2.2 Định lý 55 3.3 Bậc ánh xạ liên tục .55 3.3.1 Định nghĩa 55 3.3.2 Nhận xét .56 3.4 Một số kết áp dụng bậc ánh xạ 56 3.4.1 Trường vectơ mặt cầu 56 3.4.2 Chỉ số trường vectơ (tại không điểm cô lập) 57 3.4.3 Chỉ số trường vectơ đa tạp 60 3.4.4 Định lý 62 3.4.5 Định lý (Gauss) 62 3.4.6 Một số ứng dụng khác 64 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 1.1 Đa tạp khả vi 1.1.1 Đa tạp khả vi 1.1.1.1 Định nghĩa Cho M không gian tôpô Hausdorff, n số nguyên không âm Một atlas A (lớp C k , k > ) n chiều M họ (Uα ,α ) , Uα tập mở M , α đồng phôi từ Uα lên α (Uα ) - mở ¡ n α : Uα → α (Uα ) p a α ( p ) = ( x1 ( p ), x2 ( p ), , x2 ( p)) ( Uα : miền xác định M , (Uα ,α ) gọi đồ địa phương M ) cho: + M= U Uα α∈I + Nếu (Uα ,α ) ; (U β , β ) hai đồ địa phương thuộc atlas A mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì: βoα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) ( xi ( p)) a ( yi ( p)) vi phôi lớp C k tập mở α (Uα ∩ U β ) , β (Uα ∩ U β ) ¡ n  Atlas A gọi tối đại atlas B M (cùng lớp C k ) mà B ⊃ A B = A  Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M atlas (lớp C k ) n chiều tối đại M  Hai atlas khả vi A, B lớp C k M gọi tương đương (cùng xác định cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M ) với (Uα ,α ) ∈ A (Vβ , β ) ∈ B mà Uα ∩ Vβ ≠ ∅ βoα −1 α oβ −1 khả vi lớp C k Dĩ nhiên hợp tất atlas tương đương với atlas A atlas lớp C k , atlas tối đại mở rộng từ atlas A SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG  Một atlas bất kỳ, lớp C k , mở rộng cách thành atlas tối đại Do đó, cấu trúc đa tạp khả vi ta cần cho atlas khả vi lớp C k đủ  Không gian tôpô Hausdorff M với cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M gọi đa tạp khả vi lớp C k n chiều Và ta ký hiệu đa tạp M Một đa tạp khả vi lớp C k , với k ∈ ¥ M đựơc gọi đa tạp nhẵn (lớp C ∞ ) Rõ ràng đa tạp khả vi (lớp C k ), ta cần cho atlas khả vi lớp Ck  Để cho tiện từ sau nói chung giả thiết đa tạp xét đa tạp nhẵn 1.1.1.2 Phép đổi toạ độ địa phương Với (Uα , α ) , (U β , β ) hai đồ địa phương M mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì: βoα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) ( xi ( p)) a ( yi ( p)) gọi phép biến đổi tọa độ địa phương từ đồ (Uα ,α ) sang đồ (U β , β ) Hiển nhiên ta có phép đổi tọa độ địa phương từ đồ (U β , β ) sang đồ (Uα ,α ) 1.1.2 Ví dụ Mặt cầu n chiều S n xác định bởi:  S n =  x = ( x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ ¡  n +1 n+1  | ∑ ( xi ) = 1 i =1  Gọi N (0, ,1), S (0, , −1) , U N = S n \ {N }, U S = S n \ {S} , ta có U N , U S mở S n SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Hình 1.1 Xét ánh xạ ϕ :U N → ¡ n  x1 xn  x = ( x1 , , xn+1 ) a ϕ ( x) =  , , ÷ − xn+1   − xn+1 ϕ ( x) giao điểm (khác với x ) đường thẳng Nx với ¡ ψ :US → ¡ n n  y1 yn  y = ( y1 , , yn+1 ) a ψ ( y ) =  , , ÷ + yn +1   + yn+1 ψ ( y ) giao điểm (khác với y ) đường thẳng Sy với ¡ Ta có n ϕ (U N ∩ U S ) = ¡ n \ {0} ψ (U N ∩ U S ) = ¡ n \ {0} Xét ψ oϕ −1 : ¡ n \ {0} → ¡ n \ {0}    ÷ xn ÷ x1  ( x1 , , xn ) a , , n  n ÷  ∑ xi ∑ xi2 ÷ i =1  i =1  SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Suy ψ oϕ −1 khả vi Tương tự ϕoψ −1 khả vi 1.1.3 Tích hai đa tạp khả vi M , N hai đa tạp nhẵn với số chiều theo tứ tự m n , với atlas { } { } α ,β chúng là: A = { (Uα , α )} B = (Vβ , β ) C = (Uα × Vβ ;α × β ) atlas khả vi đa tạp nhẵn m + n chiều M × N M × N gọi đa tạp tích Trong α × β : Uα × Vβ → α (Uα ) × β (Vβ ) ⊂ ¡ m+ n 1.1.4 Đa tạp 1.1.4.1 Định nghĩa Cho X đa tạp khả vi n chiều Y ⊂ X ( Y ≠ ∅ ) Ta nói Y đa tạp m chiều X ∀y ∈ Y tồn đồ (U ,ϕ ) X y ( y ∈ U ) cho ϕ (U ∩ Y ) = ϕ (U ) ∩ ¡ m × {0} , với ∈ ¡ n −m Định lý sau nói xác định atlas (một hệ đồ) cho đa tạp 1.1.4.2 Định lý Cho X đa tạp lớp C k , Y đa tạp X Khi họ {U ∩ Y , ϕ | U ∩ Y } , (U ,ϕ ) đồ định nghĩa atlas lớp C k Y 1.1.4.3 Đa tạp ¡ Trong ¡ n n có nhiều cách để nhận biết đa tạp  Định lý Y đa tạp ¡ n , điều kiện sau tương đương i) Y đa tạp m chiều lớp C k ¡ SVTH: Lưu Thùy Thương n - Trang - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG ii) ∀y ∈ Y , tồn U mở ¡ n chứa y có ánh xạ f : U → ¡ n−m lớp C k cho ma trận ánh xạ f '( y ) có hạng n − m U ∩ Y = f −1 (0) iii) ∀y ∈ Y , tồn U mở chứa y , tồn Ω mở ¡ lớp C k : g : Ω → ¡ n n chứa có ánh xạ thỏa g (0) = y , g đồng phôi từ Ω lên U ∩ Y , g '(0) đơn cấu  Ví dụ Xét ánh xạ : f :¡ n +1 →¡ f ( x1, , xn+1 ) = x12 + + xn2+1 − f ánh xạ nhẵn, S n = f −1 (0) ∀x ∈ S n ma trận J = (2 x1 , , xn+1 ) có hạng Theo ii) (ứng với U = ¡ n +1 ) ta có S n đa tạp nhẵn, n chiều ¡ n+1 1.2 Ánh xạ khả vi 1.2.1 Định nghĩa Cho M , N hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều m , n Ánh xạ f : M → N gọi ánh xạ khả vi lớp C k f liên tục với đồ địa −1 phương (Uα ,α ) M (Vβ , β ) N mà Uα ∩ f (Vβ ) ≠ ∅ ánh xạ: ( ) βo foα −1 : α Uα ∩ f −1 (Vβ ) → β ( Vβ ∩ f (Uα ) ) α ( p) a β ( f ( p)) ánh xạ khả vi lớp C k Các ánh xạ βo foα −1 gọi biểu thức tọa độ địa phương f Ta ký hiệu hình thức α ( x) = ( x1, x2 , , xm ) β ( y ) = ( y1 , y2 , , yn ) −1 Hạng f x hạng ánh xạ βo foα |α ( x ) , tức hạng ma trận: SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG  ∂ ( βo f oα −1 ) j  ∂xi   ÷ ÷ n×m , với i = 1, m, j = 1, n Khi k = ∞ f gọi khả vi lớp C ∞ (hay nhẵn)  Định nghĩa Ánh xạ f : M → N gọi vi phôi lớp C k f song ánh f , f −1 ánh xạ khả vi lớp C k  Định nghĩa Ánh xạ f : M → ¡ nhẵn ta gọi f hàm nhẵn M Tập hàm nhẵn M ký hiệu F ( M ) 1.2.2 Ví dụ Cho M , N đa tạp k , l chiều chứa ¡ n , ¡ f : M → N Nếu tồn tập mở U , V m ánh xạ ¡ n , ¡ m mà M ⊂ U , N ⊂ V có ánh xạ khả vi F : U → V cho F |M = f f ánh xạ khả vi Thật vậy, với x ∈ M ta gọi (Uα ,α ), (Vβ , β ) đồ địa phương M , N x, f ( x) Ta có βo f oα −1 = β oFoα −1 ( β xem hạn chế Vβ = Ω ∩ N ( Ω mở ¡ ánh xạ khả vi ϕ : Ω → ¡ m l mà ϕ (Vβ ) = ϕ (Ω ∩ N ) ⊂ ¡ × {0}, ∈ ¡ m −l m ) ) Nếu F khả vi ta có βoFoα −1 khả vi, βo foα −1 khả vi 1.3 Không gian tiếp xúc 1.3.1 Định nghĩa 1.3.1.1 Đặt vấn đề SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Trong hình học vi phân cổ điển, với S mặt ¡ , U , V mở ¡ , ϕ : U → S ; ψ : V → S tham số hoá, ϕ ( p) = ψ (q) = M Khi : ϕ '( p)(¡ ) = ψ '(q)( ¡ ) r ϕ '( p )(v) = ψ '(q)( w) ξ Với ∈ TM S ⇒ ∃ v, w :  −1 (ψ oϕ )( p)(v) = w r Ta có : ξ xác định v nhờ ϕ w nhờ ψ Điều gợi mở hướng định nghĩa vectơ tiếp xúc điểm đa tạp trừu tượng 1.3.1.2 Định nghĩa Cho M đa tạp nhẵn n chiều, A = {(Uα , α )}α∈I atlas (tối đại) M τ= Đặt: U (Uα × ¡ n × {α }) α∈I Trong Uα × ¡ n × {α } = {( p, u, α ) : p ∈ U α , u ∈ ¡ n } Trên τ ta xét quan hệ R :  p = q ( p , u , α ) R ( q, v , β ) ⇔  −1 v = ( βoα )(α ( p))(u ) Trong ( βoα −1 )(α ( p)) : ¡ n →¡ n đẳng cấu tuyến tính đạo hàm −1 ánh xạ nhẵn βoα : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) điểm α ( p) Quan hệ R quan hệ tương đương Lớp tương đương chứa ( p, u , α ) ký hiệu ( p, u , α ) Mỗi lớp tương đương nói gọi vectơ tiếp xúc đa tạp M  Với (Uα ,α ) đồ địa phương M , p ∈ Uα , lớp tương đương ( p, u , α ) gọi vectơ tiếp xúc đa tạp M p Tập vectơ tiếp xúc p đa tạp M ký hiệu : Tp M  Trên Tp M xác định hai phép toán cộng nhân sau : SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG ( p , u , α ) + ( p , v , α ) = ( p , u + v, α ) k ( p, u , α ) = ( p, ku , α ) k ∈ ¡ \ {0} Các phép toán không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện  Định nghĩa Tp M với hai phép toán trở thành không gian vectơ ¡ gọi không gian (vectơ) tiếp xúc M p Với (Uα ,α ) đồ địa phương M ta ký hiệu hình thức α ( x) = ( x1, x2 , , xn ) Ta ký hiệu vectơ ( p, ei , α ) ∂ ( p) ∂xi i = 1, , n Trong đó, p ∈ Uα ei = (0,0, ,1, ,0) (thành phần thứ i 1) Khi đó, ∀v p ∈ T p M , v p = ( p, v, α ), v = (v1, v2 , , ) ∈ ¡ n n i =1 i =1 n v p = ( p, ∑ vi ei , α ) = ∑ vi ( p, ei , α ) Thì n = ∑ vi i =1 ∂ ( p) ∂xi  ∂  Từ dễ chứng minh  ( p)  sở Tp M  ∂xi i =1,n 1.3.2 Vi phân hàm số khả vi 1.3.2.1 Định nghĩa Cho f : M → ¡ hàm nhẵn M Với p ∈ M ta định nghĩa : df ( p ) : T p M → ¡ v p a df ( p)(v p ) = v p [ f ] dễ thấy df ( p ) ánh xạ tuyến tính Xét đồ địa phương (Uα ,α ), p ∈ Uα , α ( x) = ( x1, x2 , , xn ) Trên đồ SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 10 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG ξ ( x) = (− y1 , x1 , − y2 , x2 , , − yn , xn ) Ta đặt ( ξ trường vectơ nhẵn S d ) ξ ( x) = x = 〈 x, ξ ( x)〉 = Ta có: ξ ( x) ∈ Tx S d ξ ( x) ≠ Do 3.4.2 Chỉ số trường vectơ ¡ d (tại không điểm cô lập) 3.4.2.1 Định nghĩa Cho U mở ¡ d ξ ∈ C ∞ (U ; ¡ d ) Ta nói m không điểm cô lập ξ ξ (m) = tồn lân cận V ⊂ U , m ∈ V cho ξ ( x) ≠ ∀x ∈ V \ {m} Ta ký hiệu S (m, ε ) mặt cầu tâm m , bán kính ε S (m, ε ) ⊂ V 3.4.2.2 Định lý Bậc ánh xạ S d −1 → S d −1 ξ (m + ε x) xa ξ (m + ε x) không phụ thuộc vào ε cho S (m, ε ) ⊂ V Bậc ánh xạ gọi số trường vectơ ξ m ký hiệu index mξ Chứng minh : Với ε ,η > cho S (m, ε ) , S (m,η ) ⊂ V , ta xét ánh xạ F :[0,1] × S d −1 → S d −1 F (t , x) = ξ ( m + ((1 − t )ε + tη ) x ) ξ ( m + ((1 − t )ε + tη ) x ) Và ta có SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 57 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG F0 : x a ξ ( x + ε x) ξ ( x + η x) ; F1 : x a ξ ( x + ε x) ξ ( x + η x) F ánh xạ đồng luân nối F0 F1 deg( F0 ) = deg( F1 ) m + [(1 − t )ε + tη ]x    S (m, ε ) S (m,η ) V Hình 3.1 3.4.2.3 Ví dụ i) ξ = id ¡ d , ξ có không điểm cô lập ∈ ¡ d Lấy ε = ta có ánh xạ x a ξ (0 + x) = ξ ( x ) = x ánh xạ đồng S d ξ (0 + x) Vậy index 0ξ = (do bậc ánh xạ đồng S d 1) ii) ξ = −id ¡ d , lập luận tương tự ta có index 0ξ = (−1) d iii) Xét ¡ trường vectơ ξ ( x, y ) = ( − y , x) , ta thấy ξ có không điểm cô lập θ = (0;0) Chọn ε = , xét ánh xạ: S → S ( x, y ) a ξ (θ + ( x, y )) ( − y, x) = = (− y, x) ξ (θ + ( x, y )) ( − y, x) Với θ dạng thể tích tắc S Ta có (ξ *θ ) x ( a1, a2 ) = θ (ξ ( x))(ξ* ( a1, a2 )) SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 58 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG  ξ ( x)  − y = det  = ξ (a1, a2 )  −a2 x = a2 x − a1 y a1 Mặt khác  x x y θ x (a) = det   = = a2 x − a1 y  a  a1 a2 Vậy ξ * θ = θ , ∫ ξ *θ = ∫ θ = deg(ξ ) ∫ θ S1 S1 S1 ⇒ deg(ξ ) = 3.4.2.4 Định lý : Cho ξ trường vectơ nhẵn ¡ d có không điểm cô lập x1, x2 , , xn B(0,1) ( B(0,1) = {x ∈ ¡ d , x < 1}) 〈 x, ξ ( x)〉 < với ∀x ∈ S d −1 Ta có n ∑ index x ξ = (−1)d i i =1 Chứng minh : Do x1, x2 , , xn điểm phân biệt B(0,1) nên chọn cầu đóng Di = B( xi , ε i ) đôi rời nằm B(0,1) n Đặt o D = B(0,1) \ UDi i =1 Do ∀x ∈ S d −1 ta có 〈 x, ξ ( x)〉 < ⇒ ξ ( x) ≠ ∀x ∈ S d −1 Suy tồn mở U chứa B(0,1) cho ξ ( x) ≠ , ∀x ∈ U \ {x1 , x2 , , xn } Ánh xạ f : U \ {x1, x2 , , xn } → S d −1 thuộc lớp C ∞ xa ξ ( x) ξ ( x) Lấy σ dạng thể tích tắc S d −1 Áp dụng định lý Stockes ta có : SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 59 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG = ∫ d( f σ ) = * D Với i ta có ∫ S ( xi ,ε i ) ∫ S d −1 f *σ = index xi ξ S ∫ d −1 ∫ f *σ i =1 S ( xi ,ε i ) , : n f σ = ∑ index xi ξ * i =1 F (t , x) = Đặt n f σ −∑ * (1 − t )ξ ( x ) − tx (1 − t )ξ ( x ) − tx Do 〈 x, ξ ( x)〉 < nên (1 − t )ξ ( x) − tx ≠ (nếu không ξ ( x) x chiều suy điều vô lý) F đồng luân nhẵn nối F0 = f |S d −1 F1 = −id S d −1 Vậy f |S d −1 đồng luân với −id S d −1 , ∫ f *σ = (−1)d S d −1 S ∫ σ = (−1) d (đpcm) d −1 Hình 3.2 3.4.3 Chỉ số trường vectơ đa tạp 3.4.3.1 Nhận xét SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 60 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Cho U , U ' tập mở ¡ d , f : U → U ' vi phôi x0 ∈ U không điểm cô lập trường vectơ ξ U Khi ta có f ( x0 ) điểm cô lập η = f*ξ index x0 ξ = index f ( x0 )η 3.4.3.2 Định nghĩa Cho ξ trường vectơ đa tạp X x0 không điểm cô lập ξ ( ξ ( x0 ) = ξ ( x) ≠ ∀x ∈ U \ {x0 } , U lân cận x0 ) Lấy (U ,ϕ ) đồ X x0 , số trường vectơ ξ x0 ký hiệu indice x0 ξ xác định index x0 ξ = indexϕ ( x0 ) (ϕ*ξ ) Định nghĩa hợp lý nhận xét 3.4.3.1 3.4.3.3 Định lý Cho X đa tạp compact, liên thông không bờ, ξ trường vectơ X ξ có không điểm cô lập x1, x2 , , xn Ký hiệu bk ( X ) = dim H k ( X ) ( H k ( X ) không gian đối đồng điều DeRham dạng vi phân bậc k X ) Người ta chứng minh kết sau: n d i =1 k =0 ∑ index xi ξ = ∑ (−1)k bk ( X ) = χ ( X ) ( d = dim X ) Số χ ( X ) gọi đặc trưng Euler - poincare đa tạp X  Nhận xét: Đây kết hay ξ trường vectơ X , χ ( X ) phụ thuộc vào X , người ta chứng minh X Y đồng phôi χ ( X ) = χ (Y ) (và χ ( X ) ≠ χ (Y ) X , Y đồng phôi với được)  Ví dụ: Trong S : b0 ( S ) = dim H ( S ) = (do S liên thông) b1 ( S ) = dim H ( S ) = SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 61 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG b2 ( S ) = dim H ( S ) = χ ( S ) = (−1)0 + ( −1)1.0 + ( −1) = Suy ra: 3.4.4 Định lý Cho M , N , P đa tạp khả vi, định hướng được, M , P compact, liên thông, dim M = dim P = n , M = ∂N Giả sử có ánh xạ khả vi f : M → P , F : N → P cho F |M = f Khi ta có: deg f = Chứng minh : Lấy ω dạng vi phân bậc n P cho ∫ ω ≠ P Ta có ω dạng đóng ( d ω dạng vi phân bậc (n + 1) đa tạp n chiều P ⇒ dω = ) ∫ f *ω = M ∫ ∫ f *ω = ∂N Stockes F *ω = ∂N ∫ Vậy M ∫ d ( F * ω ) = ∫ F *(dω ) = N N f * ω = = ∫ ω ⇒ deg f = P  Hệ quả: Không tồn ánh xạ liên tục r : D n+1 → S n mà r ( x) = x ∀x ∈ S n ( S n = {x ∈ ¡ n+1 , x = 1}, D n+1 = {x ∈ ¡ n +1 , x ≤ 1} ) Thật vậy, giả sử có r Suy f = r |S n : S n → S n x a r ( x) ánh xạ đồng nên ta có deg f = Mặt khác S n = ∂D n+1 F |S n = f = id S n nên ta có deg f = (vô lý) 3.4.5 Định lý (Gauss) Mọi đa thức bậc n ≥ với hệ số phức có nghiệm phức Chứng minh : SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 62 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Thật vậy, xét đa thức: f ( z ) = an z n + an−1zn −1 + + a1z + a0 với n ≥ 1, a0 ≠ Ta xem f ánh xạ ¡ →¡ xác định bởi: f ( x, y ) = f ( x + iy ) = x '+ iy ' = ( x ', y ')  Nếu f ( z ) ≠ ∀z mà | z |≤ , ta xét: H : S × [0,1] → S f (u.z ) H ( z, u ) = f (u.z ) H ánh xạ đồng luân nối H ánh xạ với H1 Mà H1 ( z ) = f ( z) = g nên ta có deg g = | f (z) |  Nếu f ( z ) ≠ ∀z mà | z |≥ , ta xét ánh xạ: K : S × [0,1] → ¡  n 1  u f  u z ÷ u ≠ K ( z, u ) =     a zn u =  n n n−1 n 1  n Khi u → , ta có u f  z ÷ = u [an n z + an−1 n−1 z + + a1 z + a0 ] u u u u  = an z n + u n [an−1 1 n −1 z + + a z + a0 ] → an z n n −1 u →0 u u Do đó, K ánh xạ liên tục, K ( z , u ) ≠ ∀z mà | z |≥ Vậy ánh xạ H : S × [0,1] → S ( z, u ) a H ( z, u ) = Ta có H ( z ) = H ( z ,0) = an z n an z n = K ( z, u ) K ( z, u ) an n z , an ≠ an n (do z ∈ S nên z = ) SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 63 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG H1 ( z ) = H ( z ,1) = GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh K ( z ,1) f ( z) = =g K ( z ,1) f ( z) ⇒ deg g = deg H = n ( ví dụ tính bậc ánh xạ S1 → S1 z a zn )  Giả sử f ( z ) ≠ ∀z ∈ £ , suy ta có:  deg g = n ≠ (điều vô lý)  deg g = 3.4.6 Một số ứng dụng khác 3.4.6.1 Định lý Cho f : S m → S m ánh xạ khả vi f điểm bất động Khi f không đồng luân với ánh xạ Chứng minh : Xét ánh xạ F :[0,1] × S m → S m (1 − t ) f ( x) − tx F (t , x ) = (1 − t ) f ( x) − tx Ta thấy (1 − t ) f ( x) − tx ≠ ∀x ∈ S m Thật vậy: Giả sử (1 − t ) f ( x ) − tx = ⇔ (1 − t ) f ( x ) = tx ⇒ (1 − t ) f ( x) = tx ⇔ − t = t ⇔t= 1 tức (1 − ) f ( x) = f ( x) ⇔ f ( x) = x điều vô lý 2 Vậy ∀t ∈ [0,1] ta có (1 − t ) f ( x) − tx ≠ Ánh xạ F đồng luân nối F0 = f , F1 = −id ( F (0, x) = f ( x), F (1, x) = − x) Suy deg( f ) = deg( −id ) = ( −1) m+1 ≠ , ánh xạ S m → S m có bậc Do f đồng luân với ánh xạ (đpcm) 3.4.6.2 Định lý SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 64 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG Ánh xạ f : S n → S 2n (khả vi) Khi tồn x ∈ S 2n cho f ( x) = x f ( x) = − x Chứng minh : f ( x) ≠ ± x ∀x ∈ S 2n Giả sử Xét ánh xạ: F :[0,1] × S n → S n ( t , x ) a F (t , x ) = (1 − t ) f ( x) + tx (1 − t ) f ( x) + tx G :[0,1] × S n → S n ( t , x ) a G (t , x ) = (1 − t ) f ( x) − tx (1 − t ) f ( x) − tx Do f ( x) ≠ ± x ∀x ∈ S 2n chứng minh (như trường hợp 3.4.6.1) được: (1 − t ) f ( x) ± tx ≠ ∀x  Ánh xạ F đồng luân với F0 = f với F1 = id S n  Ánh xạ G đồng luân với G0 = f với G1 = −id S n n+1 = −1 Do deg( f ) = deg(id S n ) = deg( f ) = deg( −id S n ) = ( −1) Điều vô lý 3.4.6.3 Định lý Cũng với cách chứng minh tương tự kết hai phần ta có kết sau : Cho f : S n → S n (nhẵn) f đồng luân với ánh xạ Khi đó, tồn điểm x, y ∈ S n cho : f ( x) = x f ( y ) = − y 3.4.6.4 Định lý Jordan  Định nghĩa Cho f : S → ¡ đơn ánh khả vi ∀x ∈ S Tx f đơn cấu Khi đó, ảnh C = f ( S ) gọi đường cong đóng đơn ¡ SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 65 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG  Định nghĩa Cho f : S → ¡ khả vi m ∉ f ( S ) Xét ánh xạ: fm : S1 → S1 xa f ( x) − m f ( x) − m Bậc ánh xạ f m gọi số m đường cong đóng C = ( S , f ) ký hiệu index mC  Nhận xét: Khi f m không toàn ánh (chẳng hạn C không bao hết vòng quanh m ) deg f m = tức index mC = f f ( x) − m f ( x) − m f ( x) S1 S1 C m Hình 3.3  Sau ta đưa cách tính số đường cong đóng C điểm m = θ = (0,0) ∉ f ( S ) ¡ Xét ánh xạ fθ = ϕ có dạng ϕ : S1 → S1 f ( x) xa f ( x) Gọi p :[0, 2π ] → S 1, p(t ) = (cos t ,sin t ) đặt f (cos t ,sin t ) = ( x(t ), y (t )) Chúng ta có: SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 66 - GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG ρ (t ) = (ϕop )(t ) = ϕ (cos t ,sin t )  f (cos t ,sin t )  x(t ) y (t )  ÷ = = , f (cos t ,sin t )  x (t ) + y (t ) x (t ) + y (t ) ÷    y ( x ' y − xy ') x( xy '− x ' y )  ÷ ρ '(t ) =  ,  ( x + y )3 ( x + y )3 ÷   x = x(t ), x ' = x '(t ), Trong Lấy ω = − ydx + xdy dạng vi phân S , có ω ( ρ (t ))( ρ '(t )) = −y x2 + y2 y ( x ' y − xy ') ( x + y )3 x + x2 + y2 x( xy '− x ' y ) ( x + y )3 ( x + y ) xy '− ( x + y ) x ' y xy '− x ' y = = ( x + y )2 x + y2 Mà (ϕop) * ω (t )(1) = ω ((ϕop)(t ))((ϕop) '(t )) = ω ( ρ (t ))( ρ '(t )) = 2π ∫ ϕ *ω = ∫ Do S1 − yx′ + xy′ x2 + y2 − yx′ + xy′ dt x2 + y2 ( x = x(t ), x ' = ( x '(t ), ) ∫ ϕ * ω = deg ϕ ∫ ω = deg ϕ.2π Mà S1 S1 Chúng ta thu indexθ C = 2π ∫1 ϕ * ω = 2π S 2π ∫ xy '− x ' y dt x2 + y  Ví dụ: Ø Ví dụ 1: Cho C = ( S , f ) với f : S1 → ¡ f (cos t ,sin t ) = (cos nt ,sin nt ) Khi SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 67 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG indexθ C = 2π 2π ∫ GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh n cos nt.cos nt + n sin nt.sin nt dt (cos nt )2 + (sin nt )2 =n Ø Ví dụ 2: f : S1 → ¡ f (cos t ,sin t ) = ( a cos t , b sin t ) Cho a, b > Tính indexθ C với C = ( S 1, f ) indexθ C = 2π = = = = ab 2π 2π ∫ 2π ab cos t.cos t + ab sin t.sin t dt a cos t + b sin t dt ∫ a cos2 t + b2 sin t π ab dt ∫ 2π a cos t + b sin t π 2ab dt 2ab = ∫ 2 2 π a cos t + b sin t π b2 π ∫ dt  a   cos t  ÷ + tan t   b   2ab π =1 π 2ab  Sử dụng số của điểm đường cong đóng người ta chứng minh kết sau (định ký Jordan)  Định lý Cho C đường cong đóng đơn ¡ Khi đó, ¡ liên thông Cint Cext , mà Cint , Cext hai tập đóng ¡ \ C có hai thành phần có biên chung C Cint compact, Cext không compact m ∈ Cint ⇔ index mC = ±1 m ∈ Cext ⇔ index mC = SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 68 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh LỜI KẾT  Trên số kết thú vị lý thuyết bậc, nhiều ứng dụng khác liên quan đến bậc ánh xạ khả vi (chẳng hạn, kết topo vi phân, topo đại số) Tuy nhiên, việc trình bày cần bổ sung nhiều vấn đề sở phức tạp đồ sộ Vấn đề em quay lại nghiên cứu có dịp Em xin chân thành cảm ơn Thầy - Cô giáo đọc góp ý cho luận văn SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 69 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh BẢNG KÝ HIỆU Sau số ký hiệu dùng luận Trang F (M ) Tập hàm nhẵn M Tp M Tập vectơ tiếp xúc p đa tạp M 10 Tp f Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc f 13 supp( f ) Giá f 15 T q (V * ) Tập hợp hàm q − tuyến tính V q 18 Ω q (V * ) Tập ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 19 Λ q (M ) Tập dạng vi phân nhẵn M bậc q 21 Λ qr ( M ) Tập dạng vi phân bậc q M thuộc lớp C r 21 f* Ánh xạ đối tiếp xúc 23 H pM Không gian đối đồng điều DeRham bậc p đa tạp M 36 deg f Bậc ánh xạ f 50 sign( J x f ) Dấu ma trận Jacobi ánh xạ f x 50 index mξ Chỉ số trường vectơ ξ m 57 χ(X ) Đặc trưng Euler - poincare đa tạp X 61 index mC Chỉ số m đường cong đóng C 66 SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 70 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Marcel Berger - Géométrie différentielle - Presses Universitaires de France, 1987 [2] B.Doubrovine, S.Novikov, A.Fomenko - Géometrie contemporaine 2e partie Edition Mir Moscou, 1982 [3] Herman - Élements de topologie algebrique - Paris, 1971 [4] Đoàn Quỳnh - Hình học vi phân - NXB Giáo dục, 2001 [5] M.Spivak - Giải tích toán học đa tạp - NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1985 SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 71 - [...]... 1.7.2 và 1.7.3 ở trên tương đối dài và khó Có thể tìm thấy chứng minh của các định lý này trong [2], [3] Các kết quả trên sẽ được sử dụng trong các chương sau để chuyển khái niệm bậc của một ánh xạ khả vi sang bậc của một ánh xạ liên tục SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 17 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chương 2 DẠNG VI PHÂN VÀ KHÔNG GIAN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU 2.1 Dạng vi phân... trên được gọi là phân hoạch đơn vị ứng với phủ (U i )i∈I của đa tạp M 1.7 Đồng luân giữa các ánh xạ Cho M , N là các đa tạp khả vi có số chiều lần lượt là m, n 1.7.1 Định nghĩa Cho f , g : M → N là các ánh xạ khả vi, ta nói f đồng luân khả vi với g nếu tồn tại một ánh xạ khả vi H : M × [0,1] → N sao cho SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 16 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh... ánh xạ khả vi g : M → N và tồn tại ánh xạ liên tục H : M × [0,1] → N sao cho H ( x,0) = f ( x) và H ( x,1) = g ( x) ∀x ∈ M Như vậy, mọi ánh xạ liên tục từ M vào N luôn đồng luân (liên tục) với một ánh xạ khả vi 1.7.3 Định lý Cho f , g là các ánh xạ khả vi từ M vào N và f đồng luân (liên tục) với g Khi đó, f và g đồng luân khả vi với nhau ( M , N là các đa tạp có cơ sở mở đếm được)  Vi c chứng minh... (ánh xạ H : M × [0,1] → N gọi là khả vi nếu tồn tại khoảng mở J ⊃ [0,1] và ánh xạ khả vi H : M × J → N sao cho H |M ×[0,1] = H )  Ta nói H là một đồng luân khả vi nối f với g  Quan hệ f đồng luân khả vi với g như trên là một quan hệ tương đương trong tập các ánh xạ khả vi từ M vào N 1.7.2 Định lý Cho M , N là các đa tạp có cơ sở mở đếm được, f : M → N là một ánh xạ liên tục Khi đó, tồn tại ánh xạ. .. ⇒  −1 = id  fo f  f *o f −1 = id  Suy ra f * đẳng cấu và ( f * )−1 = ( f −1 )* SVTH: Lưu Thùy Thương - Trang 25 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 2.1.4.4 Định lý Cho M , N là các đa tạp khả vi nhẵn, và ánh xạ f : M → N khả vi lớp C ∞ và ω ∈ Λ qr ( M ) Ta có: f * (d ω ) = d ( f *ω ) Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp ω = gdxi1 ∧ ∧ dxiq là đủ * * Ta có:... nghĩa Ta nói ω là dạng vi phân bậc q trên M thuộc lớp C r nếu với mọi bản đồ (Uα ,α ) của M , ta có: ω Uα = ∑ 1≤i <