BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh MỤC LỤC SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 1- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Đa tạp khả vi 1.1 Đa tạp khả vi Định nghĩa: Cho M không gian tôpô Hausdorff, n số nguyên không âm Một atlas A (lớp C k , k  ) n chiều M họ (U , ) , U tập mở M ,  đồng phôi từ U lên  (U ) - mở n  : U   (U ) p  ( p)  ( x1 ( p), x ( p), , x n ( p)) ( U : miền xác định M , (U , ) gọi đồ địa phương M ) cho: M I U + Nếu (U , ) ; (U ,  ) hai đồ địa phương thuộc atlas A mà U  U    thì:   1 :  (U  U  )   (U  U  ) ( xi ( p)) ( y i ( p)) vi phôi lớp C k tập mở  (U  U  ) ,  (U  U  ) n Atlas A gọi tối đại atlas B M (cùng lớp C k ) mà B  A B= A Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M atlas (lớp C k ) n chiều tối đại M Hai atlas khả vi A, B lớp C k M gọi tương đương (cùng xác định cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M ) với (U , )  A (V ,  )  B mà SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 2- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh U  V     1   1 khả vi lớp C k Dĩ nhiên hợp tất atlas tương đương với atlas A atlas lớp C k , atlas tối đại mở rộng từ atlas A Một atlas bất kỳ, lớp C k , mở rộng cách thành atlas tối đại Do đó, cấu trúc đa tạp khả vi ta cần cho atlas khả vi lớp C k đủ Không gian tôpô Hausdorff M với cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều M gọi đa tạp khả vi lớp C k n chiều Và ta ký hiệu đa tạp M Một đa tạp khả vi lớp C k , với k  M đựơc gọi đa tạp nhẵn (lớp C  ) Rõ ràng đa tạp khả vi (lớp C k ), ta cần cho atlas khả vi lớp C k  Để cho tiện từ sau nói chung giả thiết đa tạp xét đa tạp nhẵn Phép đổi toạ độ địa phương: U U    (U  U  )  (U )  (U  U  )   (U  ) 1 Với (U , ) , (U  ,  ) hai đồ địa phương M mà U  U    thì:   1 :  (U  U  )   (U  U  ) ( xi ( p)) SVTH: Lưu Thùy Thương ( y i ( p)) -Trang 3- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh gọi phép biến đổi tọa độ địa phương từ đồ (U , ) sang đồ (U  ,  ) Hiển nhiên ta có phép đổi tọa độ địa phương từ đồ (U  ,  ) sang đồ (U , ) 1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Mặt cầu n chiều S n xác định bởi:  S n   x  ( x1, x , , x n1 )   n 1 n1  |  ( x1 )  1 i 1  Xét atlas A  (U , ),(V , ) , U  S n \ (0,0, ,0,1); V  S n \ (0,0, ,0, 1) và: : U ( x1, x , , x n1 ) : V ( x1, x , , x n1 )  1 : n ( x1 , x , , x n )  1 : n ( x1 , x , , x n ) n  x1 2x2 2xn  , , ,   n 1  x n1  x n1  1 x n  x1 x2 2xn  , , ,   n 1  x n1  x n1  1 x U n   ( xi )     n 4x 4x   , , , i 1 n n n   i   ( xi )   ( xi )     (x ) i 1 i 1 i 1   V n    ( xi )    n 4x 4x i 1   , , , n n n  i i i 2   (x )  (x )     (x ) i 1 i 1 i 1   Ta dễ thấy  1   1 ánh xạ nhẵn Do đó, S n đa tạp khả vi nhẵn Ví dụ 2: Ánh xạ Gauss SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 4- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 1.3 Tích hai đa tạp khả vi M , N hai đa tạp nhẵn với số chiều theo tứ tự m n, với atlas chúng lần     , lượt là: A  (U , ) B  (V ,  ) C  (U  V ;   ) atlas khả vi đa tạp nhẵn m+n chiều M  N M  N gọi đa tạp tích m n Torng đó:    : U  V   (U )   (V )  1.4 Đa tạp Ánh xạ khả vi 2.1 Định nghĩa Cho M , N hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều m, n Ánh xạ f : M  N gọi ánh xạ khả vi lớp C k f liên tục với đồ địa phương (U , ) M (V ,  ) N mà U  f 1 (V )   ánh xạ:    f  1 :  U  f 1 (V )   V  f (U )   ( p)  ( f ( p)) ánh xạ khả vi lớp C k Các ánh xạ  f  1 gọi biểu thức tọa độ địa phương f Ta ký hiệu hình thức  ( x)  ( x1, x , , x m )  ( y )  ( y1, y , , y n ) Hạng f x hạng ánh xạ  f  1 | ( x ) , tức hạng ma trận:   (  f  1 ) j    xi  nm , với i  1, m j  1, n Khi k   f gọi khả vi lớp C  (hay nhẵn) SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 5- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Định nghĩa: Ánh xạ f : M  N gọi vi phôi lớp C k f song ánh f , f 1 ánh xạ khả vi lớp C k Định nghĩa: Ánh xạ f : M  nhẵn ta gọi f hàm nhẵn M Tập hàm nhẵn M ký hiệu 2.2 Ví dụ Ví dụ M đa tạp khả vi m chiều U - mở k N đa tạp khả vi n chiều V - mở s F : U  V khả vi F (M )  N f  F : M  N khả vi M  f  1   F  1 khả vi Ví dụ (Ánh xạ Gauss) Không gian tiếp xúc 3.1 Định nghĩa Đặt vấn đề Định nghĩa 3.2 Đạo hàm hàm số theo hướng SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 6- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 3.3 Vi phân hàm số khả vi Trường vectơ 4.1 Định nghĩa Nhận xét Định nghĩa 4.2 Tính chất Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc 5.1 Định nghĩa 5.2 Nhận xét Phân hoạch đơn vị 6.1 Định nghĩa Định nghĩa: Một họ tập (U i )iI không gian tôpô M gọi hữu hạn địa phương với x  M có lân cận U giao khác rỗng với sốhữu hạn tập mở họ (U i )iI Nếu (U i )iI (V j ) jJ phủ mở tập phủ (U i )iI gọi mịn phủ (V j ) jJ phần tử họ (U i )iI tập phần tử họ (V j ) jJ SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 7- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Không gian tôpô M gọi compact địa phương điểm có lân cận mà bao đóng compact Không gian tôpô M gọi có sở mở đếm có họ đếm tập mở U i mà tập mở M hợp U i Định nghĩa: Nếu f hàm thực giá f là: Support ( f )  x | f ( x)  0 Ký hiệu: Supp( f ) 6.2 Đa tạp paracompact Không gian tôpô Hausdorff M gọi paracompact phủ mở M tồn phủ mở hữu hạn địa phương mịn Nếu M đa tạp khả vi lớp C k tôpô M paracompact M đa tạp paracompact lớp C k Người ta chứng minh rằng, đa tạp C k với sở mở đếm paracompact 6.3 Định lý phân hoạch đơn vị Nếu (U i )iI phủ mở M , họ hàm số khả vi (lớp C k ) i iI M thỏa mãn: 1) i  0, i  I 2) Supp i  U i 3) Họ Supp i iI hữu hạn địa phương, tức với x  M có lân cận giao với số hữu hạn tập Supp i 4) i ( x)  1, x  M iI Định nghĩa: Họ i iI nói gọi phân hoạch đơn vị ứng với phủ (U i )iI đa tạp M SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 8- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG SVTH: Lưu Thùy Thương GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh -Trang 9- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chương DẠNG VI PHÂN VÀ KHÔNG GIAN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU Dạng vi phân 1.1.Dạng đa tuyến tính thay dấu Định nghĩa: Gọi Sq tập phép (1,2, , q) Thì với phép   Sq , :{1,2, , q}  {1,2, , q} ta xây dựng ánh xạ (vẫn ký hiệu  )  : T q (V * )  T q (V * ) f ( f ) mà  ( f )(v1, v2 , , vq )  f (v (1) , v (2) , , v ( q) ) , với v1, v2 , , vq V Nếu  ( f )   f f gọi dạng đa tuyến tính thay dấu (ở   dấu phép  Đặt  q (V * ) tập ánh xạ đa tuyến tính thay dấu Ta quy ước: 0 (V * )  1 (V * )  V * Nhận xét: Với q  n  q (V * )  , với    q (V * ) tính thay dấu  ta suy  0 Mệnh đề: Tập ánh xạ đa tuyến tính thay dấu (  q (V * ) ) không gian vectơ SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 10- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chú ý: Dạng đa tuyến tính thay dấu gọi dạng đa tuyến tính phản đối xứng Định nghĩa (tích ngoài) Nếu   q (V * ),    s (V * ) , tích   phần tử ký hiệu    xác định bởi:        v (1) , v (2) , , v ( q)    v (1) , v (2) , , v ( q)  q !s !  Sq  s Mệnh đề Với , 1, 2  q (V * ) ;  ,1,2   s (V * ) ;    k (V * ) a  ta có: i )     (1) qs   ii ) (1  2 )    1    2   iii )   (1  2 )    1     iv) (a )      (a )  a(   ) v) (   )      (   )       Nhận xét: Ngoài tính chất kết hợp tích dạng song tuyến tính Định lý: Giả sử e1, e2 , , en sở V e1, e2 , , en sở không gian liên hợp V * : ei (e j )   ij Nếu  q  n , tập hợp phần tử ei1  ei2   e q i với (  i1   iq  n ) làm thành sở  q (V * ) ta có dim q (V * )  Cnq Nếu q  n  q (V * )  {0} Hệ dim  (V ) q *  Cnq , dim n (V * )  Hệ   q (V * ) q lẻ     Định lý Giả sử v1, v , , sở không gian V    n (V * ) Đối với n vectơ bất n kỳ i   aij v j thuộc V Ta có  1, 2 , , n   det(aij ).  v1, v2 , ,  j 1 SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 11- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 1.2 Dạng vi phân đa tạp 1.3 Ánh xạ đối tiếp xúc Cho f : M  N ánh xạ nhẵn đa tạp Khi ta định nghĩa ánh xạ f * : f * :  qr ( N )   rq ( M )  f * Trong đó: f * dạng vi phân bậc q M Và x  M ; v1, v2 , , vq  Tx M ( f * ) x (v1, v2 , , vq )   f ( x) (Tx f (v1), , Tx f (vq )) f * gọi ánh xạ đối tiếp xúc Lưu ý: Với g hàm thực nhẵn (khả vi lớp C  ) ta đặt f * g  g f Tích phân đa tạp 2.1 Đa tạp định hướng 2.2 Đa tạp với bờ, định hướng bờ 2.3 Tích phân đa tạp 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Định lý Stock Dạng đóng, dạng xác không gian đối đồng điều Dehram SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 12- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 3.1 Dạng đóng 3.2 Dạnh xác Định nghĩa Nhận xét 3.3 Định nghĩa không gian đối đồng điều 3.4 Ánh xạ f * ( H( f ) ) SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 13- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chương BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ CÁC ỨNG DỤNG Định lý 1.1 Định lý 1.2 Ví dụ Tính chất 2.1 Định nghĩa 2.2 Định lý, hệ Một số áp dụng SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 14- [...]... chính xác Định nghĩa Nhận xét 3.3 Định nghĩa không gian đối đồng điều 3.4 Ánh xạ f * ( H( f ) ) SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 13- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chương 3 BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ CÁC ỨNG DỤNG 1 Định lý cơ bản 1.1 Định lý 1.2 Ví dụ 2 Tính chất 2.1 Định nghĩa 2.2 Định lý, hệ quả 3 Một số áp dụng SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 14- ... BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 1.2 Dạng vi phân trên đa tạp 1.3 Ánh xạ đối tiếp xúc Cho f : M  N là ánh xạ nhẵn giữa các đa tạp Khi đó ta định nghĩa ánh xạ f * : f * :  qr ( N )   rq ( M )  f * Trong đó: f * là dạng vi phân bậc q trên M Và x  M ; v1, v2 , , vq  Tx M ( f * ) x (v1, v2 , , vq )   f ( x) (Tx f (v1), , Tx f (vq )) thì f * được gọi là ánh xạ đối... xạ đối tiếp xúc Lưu ý: Với g là hàm thực nhẵn (khả vi lớp C  ) ta đặt f * g  g f 2 Tích phân trên đa tạp 2.1 Đa tạp định hướng 2.2 Đa tạp với bờ, định hướng của bờ 2.3 Tích phân trên đa tạp 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Định lý Stock 3 Dạng đóng, dạng chính xác và không gian đối đồng điều Dehram SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 12- BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh 3.1 Dạng đóng...BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG GVHD: Th.S Nguyễn Duy Thanh Chú ý: Dạng đa tuyến tính thay dấu còn được gọi là dạng đa tuyến tính phản đối xứng Định nghĩa (tích ngoài) Nếu   q (V * ),    s (V * ) , tích ngoài của  và  là một phần tử được ký hiệu là    xác định bởi: 1        v (1) , v (2)... sở của  q (V * ) và ta có dim q (V * )  Cnq Nếu q  n thì  q (V * )  {0} Hệ quả 1 dim  (V ) q *  Cnq , dim n (V * )  1 Hệ quả 2   q (V * ) và q lẻ thì     0 Định lý Giả sử v1, v 2 , , vn là một cơ sở của không gian V và    n (V * ) Đối với n vectơ bất n kỳ i   aij v j thuộc V Ta có  1, 2 , , n   det(aij ).  v1, v2 , , vn  j 1 SVTH: Lưu Thùy Thương -Trang 11- BẬC CỦA... (V * ) ;    k (V * ) và a  thì ta có: i )     (1) qs   ii ) (1  2 )    1    2   iii )   (1  2 )    1     2 iv) (a )      (a )  a(   ) v) (   )      (   )       Nhận xét: Ngoài tính chất kết hợp thì tích ngoài còn là dạng song tuyến tính Định lý: Giả sử e1, e2 , , en là một cơ sở của V và e1, e2 , , en là cơ sở của không gian liên hợp