3.4.3.1. Nhận xét
Cho , 'U U là các tập mở của ¡ d, :f U →U' là một vi phôi và x0∈U là một
không điểm cô lập của trường vectơ ξ trong U . Khi đó ta có f x( )0 cũng là điểm cô lập của η = f*ξ và indexx0ξ =indexf x( )0η
3.4.3.2. Định nghĩa
Cho ξ là một trường vectơ trên đa tạpX và x0 là không điểm cô lập của ξ( 0
( ) 0x
ξ = và ( ) 0ξ x ≠ ∀ ∈x U \ { }x0 , trong đó U là một lân cận của x0)
Lấy ( , )U ϕ là một bản đồ của X tại x0, chỉ số của trường vectơ ξ tại x0 được
ký hiệu indicex0ξ được xác định bởi
0 ( )0 *
indexxξ =indexϕ x (ϕ ξ) Định nghĩa này hợp lý do nhận xét 3.4.3.1.
3.4.3.3. Định lý
Cho X là một đa tạp compact, liên thông không bờ, ξ là trường vectơ trên X
và ξ chỉ có các không điểm cô lập là x x1, ,...,2 xn. Ký hiệu ( ) dim k( ) k
b X = H X ( ( )
k
H X là không gian đối đồng điều DeRham các dạng vi phân bậc k trên X ). Người ta chứng minh được kết quả sau:
1 0 index i ( 1) ( ) ( ) n d k x k i k b X X ξ χ = = = − = ∑ ∑ (d =dimX )
Số ( )χ X gọi là đặc trưng Euler - poincare của đa tạp X
Nhận xét:
Đây là một kết quả hay vì ξ là một trường vectơ nào đó trên X , còn ( )χ X chỉ phụ thuộc vào X , người ta còn chứng minh được nếu X và Y đồng phôi thì
( )X ( )Y
χ =χ (và do đó nếu ( )χ X ≠χ( )Y thì , X Y không thể đồng phôi với nhau
được)
Ví dụ:
Trong S2:
2 0 2
0( ) dim ( ) 1
2 2 2
2( ) dim ( ) 1
b S = H S = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra: χ( ) ( 1) .1 ( 1) .0 ( 1) .1 2S2 = − 0 + − 1 + − 2 =
3.4.4. Định lý
Cho M N P, , là các đa tạp khả vi, định hướng được, M P, compact, liên thông, dimM =dimP n= , M = ∂N. Giả sử có các ánh xạ khả vi :f M →P,
:
F N →P sao cho |F M= f . Khi đó ta có:
deg f =0
Chứng minh :
Lấy ω là dạng vi phân bậc n trên P sao cho 0
P
ω ≠
∫ .
Ta có ω là một dạng đóng (dω là dạng vi phân bậc (n+1) trên đa tạp n chiều
P⇒dω =0) Stockes * * * ( * ) *( ) 0 M N N N N f ω f ω F ω d F ω F dω ∂ ∂ = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy * 0 0 deg 0 M P f ω = = ω⇒ f = ∫ ∫ Hệ quả:
Không tồn tại một ánh xạ liên tục r D: n+1→Sn mà ( )r x =x ∀ ∈x Sn
(Sn = ∈{x ¡ n+1, x =1}, Dn+1= ∈{x ¡ n+1, x ≤1}) Thật vậy, giả sử có r như trên
Suy ra | : ( ) n n n S f r S S x r x = → a là ánh xạ đồng nhất nên ta có deg f =1
Mặt khác Sn = ∂Dn+1 và |F Sn= =f idSn nên ta có deg f =0 (vô lý).