SỞ GD-ĐT KON TUM TRƯỜNG THPT NGỌC HỒI ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC SỐ 29- NĂM HỌC 2011 Khối A, MÔN TOÁN I PHẦN CHUNG Câu (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Câu (2đ) Giải hệ phương trình: tan2x - 4sin2x = 3cot2x + cos2x Giải bất phương trình: + x − < x + − x + − x Giải phương trình: 9x + ( x - 12).3x + 11 - x = Câu (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a khoảng cách cạnh bên cạnh đáy đối diện m Câu (1đ) Tính tích phân: I = ∫ [ x(2 − x ) + ln(4 + x )]dx Câu (1đ) Cho ba số x, y, z số thực dương xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + x (1 + y )(1 + z ) y (1 + z )(1 + x) z (1 + x)(1 + y ) II PHẦN RIÊNG Câu 6a (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + = đường tròn (C): x + y2 + 2x - 6y + = Tìm điểm M ∈ (C) N ∈ (d) cho MN có độ dài nhỏ Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:(P1): x - 2y + 2z - = 0, (P 2): 2x + y - 2z - = đường thẳng (d): x+2 y z−4 = = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ (d) tiếp xúc với −1 −2 hai mặt phẳng (P1), (P2) Câu 7a (1đ) Tìm mô đun số phức z biết z thỏa mãn: z − (2 − i ) = 10 z.z = 25 Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1 7 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1) + (y - 3)2 = điểm M , Tìm 5 5 (C) điểm N cho MN có độ dài lớn Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + = mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Tìm điểm M ∈ (S), N ∈ (P) cho MN có độ dài nhỏ Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: f ( x) = + 3x − + x x ≠ 0, f (0) = ; điểm x0 = x Hướng dẫn giải I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thiên: ĐIỂM y = − ∞ , lim y = + ∞ + Giới hạn: lim x → −∞ x → −∞ 0,25đ + Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) x = 0; ( y = 1) y' = ⇔ x = 1; ( y = 0) 2) 2) 0,25đ Lập BBT; nêu khoảng đơn điệu điểm cực trị * Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, xác Tìm M ∈ (C) ? Giả sử M (x0; y0) ∈ (C) ⇒ y0 = 2x03 - 3x02 + Tiếp tuyến ( ∆ ) (C) M: y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + ( ∆ ) qua điểm P(0 ; 8) ⇔ = -4x03 + 3x02 + ⇔ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = ⇔ x0 = -1 ; (4x02 - 7x0 + > 0, ∀ x0) Vậy, có điểm M (-1 ; -4) cần tìm ( ) + ( x − 12)3 Giải phương trình: x x 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ + 11 − x = 3 x = x = ⇔ x ⇔ (a + b + c = 0) x 3 = 11 − x f ( x ) = + x − 11 = 0(*) f ' ( x ) = x ln + > 0, ∀x ⇒ (*) có nghiệm x = f ( 2) = Vậy, tập nghiệm phương trình: S = {0 ; 2} Câu (1đ) S N A C O B SO ⊥ (ABC) S.ABC chóp ∆ AO ∩ BC = M ⇒ M ⇒ O tâm tam giác ABC AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM ) SO ⊥ BC 0,5đ 0,25đ 0,25đ Trong ∆ SAM kẻ đường cao MN ⇒ MN = m AO = a a 3a = ⇒ AM = AO = sin 60 2 SO = h ⇒ SA = SO + AO = h + ( ⇔h= a2 ) ⇔ 3a − 4m h = SA.MN = SO.AM 2am 3a − 4m 2 0,25đ 2 am m < a a ; S(ABC) = 0,25đ 0,25đ m < a a 3m V = S ( ABC ).h = 3a − 4m 0,25đ Câu (1đ) Tính tích phân 2 0 I = ∫ x(2 − x) dx + ∫ ln(4 + x )dx = I1 + I 2 0 I1 = ∫ x( − x) dx = ∫ − ( x − 1) dx = π (sử dụng đổi biến: x = 1+ sin t ) 0,25đ x2 dx (Từng phần) + x2 I = ∫ ln(4 + x )dx = x ln(4 +x ) |02 −2 ∫ 0,25đ = ln + π − (đổi biến x = tan t ) I = I1 + I = 0,25đ 3π − + ln 2 0,25đ Câu (1đ) a (a + c) = b (1) ∆ ABC: b(b + a ) = c (2) ⇒ sin2A + sinAsinC = sin2B (1) (Đl sin) (cos2A - cos2B) ⇒ sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) ⇒ sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) ⇒ A = B - A ; (A, B góc tam giác) ⇒ B = 2A Tương tự: (2) ⇒ C = 2B ⇒ sinAsinC = A + B + C = π , nên A = π ; B = 2π ; C = 4π 7 4π 2π 3π π sin + sin sin cos 1 7 = 7 + Ta có: = 2π 4π π π 3π sin B sin C sin sin sin cos sin 7 7 0,25đ 0,25đ 0,25đ = sin π = sin A (đpcm) 0,25đ II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chương trình Câu 6a (2đ) 1) Tìm M ∈ (C), N ∈ (d)? (d): 3x - 4y + = (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = d (I ; d) = ⇒ (d) ∩ (C) = Ø Giả sử tìm N0 ∈ (d) ⇒ N0 hình chiếu vuông góc I (d) ( ∆ ) ∋ I (−1;3) ⇒ N0 = (d) ∩ ( ∆ ) , với: ( ∆ ) ⊥ (d ) ⇒ u∆ = ( 3;−4 ) 0,25đ x = −1 + 3t 1 7 ⇒ ( ∆) : ⇒ N0 ; 5 5 y = − 4t 0,25đ 11 19 Rõ ràng ( ∆ ) ∩ (C) = {M1; M2} ; M1 − ; ; M2 − ; 5 5 M0 ∈ (C) để M0N0 nhỏ ⇒ M0 ≡ M1 M0N0 = 0,25đ Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện toán 11 M − ; ; N 5 1 7 ; 5 5 0,25đ 2) Phương trình mặt cầu (S) ? (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = x+2 y z−4 = = −1 −2 ⇒ I (-2 - t ; 2t ; + 3t) tâm mặt cầu (S) Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2)) Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) ∈ (d): ⇔ 0,25đ t = −13 1 9t + = 10t + 16 ⇔ 3 t = −1 0,25đ ⇒ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; ; 1) ⇒ R1 = 38 ; R2 = 0,25đ Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 0,25đ 0,25đ Chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1) Tìm N ∈ (C)? (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 7 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = ; M ; 5 5 6 8 IM = ;− ⇒ MI = 5 5 Giả sử tìm N ∈ (C) ⇒ MN ≤ MI + IN = Dấu “=” xảy ⇔ N giao điểm tia đối IM đường tròn (C) x = −1 + t (IM): y = − t ; 0,25đ 0,25đ ( IM ) ∩ ( C ) = { N1; N } 11 19 ⇒ N1 − ; , N − ; ; MN1 < MN2 5 5 0,25đ 19 Kết luận: Thoả mãn điều kiện toán: N − ; 5 2) Tìm M ∈ (S) , N ∈ (P) ? 0,25đ (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = (P): x - 2y + 2z - = ⇒ d ( I; ( P ) ) = ⇒ ( P ) ∩ ( S ) = Ø Giả sử tìm N0 ∈ (P) ⇒ N0 hình chiếu vuông góc I (P) 0,25đ ( d ) ∋ I (−1;2;1) ⇒ N = ( d ) ∩ ( P ) , với: (d ) ⊥ ( P ) ⇒ ud = (1;−2;2) x = −1 + t 7 ⇒ ( d ) : y = − 2t ⇒ N − ; ; 3 3 z = + 2t 0,25đ (d ) ∩ ( S ) = {M1 ; M2} 5 1 ⇒ M1 − ; ; M − ; ; 3 3 , 3 3 0,25đ M1M0 = < M2M0 = M0 ∈ (S) để M0N0 nhỏ ⇒ M0 ≡ M1 Vậy, điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu toán 5 7 M − ; ; , N− ; ; 3 3 3 3 0,25đ Câu 7b (1đ) Đạo hàm định nghĩa: lim x→0 f ( x) − f (0) + 3x − + x = lim x→0 x x2 0,25đ + x − (1 + x) + (1 + x) − + x x2 0,25đ = lim x →0 − = lim x→0 3+ x (1 + x) + (1 + x ) + 3x + (1 + x ) x → (1 + x ) + + x + lim 0,25đ = -1 + 1 = - Vậy, f '( ) = − 2 0,25đ ... 2x3 - 3x2 + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thi n: ĐIỂM y = − ∞ , lim y = + ∞ + Giới hạn: lim x → −∞ x → −∞ 0,25đ + Bảng biến thi n: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) x = 0; ( y = 1) y'... (1đ) a (a + c) = b (1) ∆ ABC: b(b + a ) = c (2) ⇒ sin2A + sinAsinC = sin2B (1) (Đl sin) (cos2A - cos2B) ⇒ sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) ⇒ sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) ⇒... + C = π , nên A = π ; B = 2π ; C = 4π 7 4π 2π 3π π sin + sin sin cos 1 7 = 7 + Ta có: = 2π 4π π π 3π sin B sin C sin sin sin cos sin 7 7 0,25đ 0,25đ 0,25đ = sin π = sin A (đpcm) 0,25đ II PHẦN