DE TOAN THI THU DH 2011 (11) CO GIAI

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN (Đề gồm 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC Lần 01 – Năm học 2010-2011 MÔN: TOÁN, Khối A Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG (7,0 điểm) CâuI (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2 Tìm giá trị m để phương trình x ( x − 3) + = log (m + 37) có nghiệm phân biệt CâuII (2,0 điểm) Giải phương trình: 3(2 cos x + cos x − 2) + (3 − cos x)sin x = Giải phương trình: ln(cos x + 1) = e cos x − π CâuIII (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = ∫ π cot x sin x + sin x dx CâuIV.(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang vuông A D ; AB = AD = 2a; CD = a hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) tạo với góc 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với ( ABCD) , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a CâuV (1,0 điểm) Tìm m để phương trình x − x − x + m = m có nghiệm PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Cơ CâuVI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng (d ) : x − y − = , cạnh BC tạo với (d ) góc 450 , đường cao kẻ từ B có phương trình x + y + = ; M (1;1) trung điểm AC Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC n n    n n −1  = Cn0 ( x ) + Cn1 ( x ) + + Cnn  ÷ Tìm số hạng thứ 10 khai triển  x + ÷ ÷ ÷ ( x  x   x  x ≠ 0; n ∈ ¥ * ) Biết tổng hệ số khai triển 32768 CâuVII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: x + + x + 10 = x + x + B Theo chương trình Nâng cao CâuVI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x + y = Đường tròn (C’) tâm I (2; 2) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB Tìm hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức P = ( x + x − 1) n biết n thoả mãn (n − 5)Cn4 + 2Cn3 = An3 CâuVII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: x + x + = −4 x + + x -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh………………………………., Số báo danh…………… Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 – 2011 Nội dung ∗) Tập xác định: ¡ ∗) Sự biến thiên g) Chiều biến thiên y ' = −3 x + x = ⇔ x = 0; x = ; y ' > ⇔ < x < Hàm số đồng biến (0; 2) , nghịch biến (−∞;0) (2; +∞) g) Cực trị Hàm số đạt cực đại xCD = ; yCD = y (2) = Hàm số đạt cực tiểu xCT = 0; yCT = y (0) = −4 g) Giới hạn vô cực lim ( − x + x − 4) = +∞; lim ( − x + x − 4) = −∞ x →−∞ g) Bảng biến thiên x −∞ y’ +∞ y Điểm 0,25 0,25 x →+∞ 0 + +∞ 0,25 -4 −∞ ∗) Đồ thị −1 O 0,25 −4 y = f ( x ) = − x + 3x − = −( x + 1)( x − 2) 2 Xét g ( x) = x ( x − 3) = − x( x − 3) = f ( x − 1) Đồ thị (H) hàm số y = g ( x ) suy rừ (C) sau: Tịnh tiến (C) sang phải đơn vị dọc Ox (C1 ) , bỏ phần phía Ox (C1 ) , lấy phần giữ lại đem đối xứng qua Ox (H) hình vẽ: Số nghiệm phương trình x ( x − 3) + = log ( m + 37) số giao điểm đường thẳng y = log (m + 37) − với đồ thị (H) Qua đồ thị ta thấy log (m + 37) − = ⇔ log ( m + 37) = 11 ⇔ m = 2011 phương trinh cho có nghiệm 0,50 0,50 Vậy m = 2011 giá trị cần tìm II Giải phương trình: 3(2 cos x + cos x − 2) + (3 − cos x) sin x =  sin x = ⇔ (2sin x − 3)( sin x + cos x) = ⇔    tan x = −  π  x = + k 2π   2π ⇔ x = + k 2π (k ∈ ¢ )    x = − π + kπ  Giải phương trình: ln(cos x + 1) = e cos x − 0,50 0,50 cos x  t = e − ln(cos x + 1) = t ⇒ et + t = e cos x + cos x (1) Đặt ta  t  cos x = e − Xét hàm f (t ) = et + t có f '(t ) = et + > ∀t nên từ (1) t = cos x ta et = t + (với t = cos x ) Xét g (t ) = et − t − có g '(t ) = et − = ⇔ t = Có BBT Qua BBT thấy t g (t ) ≥ ∀t g’(t) + g (t ) = ⇔ t = g(t) Với t = ta cos x = ⇔ x = π + kπ (k ∈ ¢ ) π Tính I = ∫ III π π I =∫ π cot x sin x + cot x S Đặt t = cot x ; x = I = −∫ IV D t + t2 I sin x + sin x dt = ∫ C + t2 H 0,25 dx dx t 0,25 0,25 cot x 0,25 π π → t = 3; x = → t = A 0,25 dt = B 2+t A K = 5− I D B 0,25 0,50 H C 0,50 Hạ IH ⊥ BC , gọi K trung điểm AB 1 a2 2 Có S ABCD = ( AB + CD ) AD = 3a ; S ABI = AB AI = a ; S DCI = DC.DI = suy 2 2 3a Mặt khác BC = BK + KC = a nên S BIC = S ABCD − S ABI − S DCI = 2S 3a IH = BIC = BC Do (SBI) (SCI) vuông góc với (ABCD) nên giao tuyến SI hai mặt phẳng vuông góc với (ABCD) suy SI ⊥ IH  BC ⊥ IH 3a 15 · ⇒ BC ⊥ SH ⇒ 600 = (·SBC ; ABCD ) = SHI ⇒ SI = IH tan 600 =  BC ⊥ SI  0,50 1 3a 15 3a 15 Vậy VS ABCD = SI S ABCD = 3a = 3 5 x − x − x + m = m (*) V Đặt t = x + m (t ≥ 0) ⇒ x = t − m (1) 0,25 (*) trở thành m + (1 − 2t )m + t − 2t − t = 2 ⇒ m = t + t ; m = t − t − Từ (1) suy (*) có nghiệm m = t + t (2) có nghiệm [ 0; + ∞ )  m = t − t −1 0,25 Xét f (t ) = t + t có đồ thị ( P1 ) g (t ) = t − t − có đồ thị ( P2 ) [ 0; + ∞ ) hình vẽ: ( P1 ) ( P2 ) Số nghiệm (2) số giao điểm đường thẳng y = m với đồng thời ( P1 ) ( P2 ) hệ trục toạ độ Qua đồ thị ta thấy (2) có nghiệm [ 0; + ∞ ) m = − −1 < m < O −1 0,50 −5 / A AC qua M (1;1) vuông góc với BH : x + y + = nhận uuur uBH (1; −1) làm vtpt có phương trình x − y = AC cắt (d ) : x − y − = A có toạ độ thoả mãn hệ B 0,25 H M (1;1) C x − y =  x = −2 ⇒ ⇒ A(−2; −2)   x − y − =  y = −2 C đối xứng với A( −2; −2) qua M (1;1) nên C (4; 4) Dễ thấy đường thẳng (d ) : x − y − = không tạo với trục toạ độ góc 450 nên BC không song song với trục toạ độ (d ) có hệ số góc , gọi k hệ số góc BC k = k− 2k − =1⇔ =1⇔  ta có k k = − k+2 1+  2 17 Với k = ta có BC : y = 3( x − 4) + hay BC : 3x − y − = B( ; − ) 4 25 19 Với k = − ta có BC : x + y − 16 = B (− ; ) 2 n Khi x = (1 + 1) tổng hệ số khai triển nên 2n = 32768 ⇔ n = 15 0,25 0,25 0,25 0,50 k   Số hạng thứ k + khai triển: Tk +1 = Cnk ( x )n −k  ÷ ÷ với n = 15 số hạng x   6 thứ 10 khai triển C15 x Giải phương trình: x + + x + 10 = x + x + (*) Khi (*) ⇔  x + − ( x + 2)  +  x + 10 − ( x + 3)  = x − − x2 − x2 ⇒ + = x2 − 4x + + x + x + 10 + x + (do với x ≥ − x + + x + > x + 10 + x + > ) 1   ⇔ ( x − 1) 1 + + ÷ = ⇔ x = ± (thử lại thấy thoả mãn) 4x + + x + x + 10 + x +   Vậy x = ± nghiệm phương trình ĐK: x ≥ − VI.b 0,50 (C) tâm O (0; 0) bán kính R1 = cắt Ox A1 (1;0) A2 (−1;0) cắt Oy B1 (0;1) B2 (0; −1) Dễ thấy I (2; 2) O (0; 0) thuộc đường thẳng y = x Do A, B giao điểm (C) (C’) nên AB ⊥ OI Hay đường thẳng AB có hệ số góc k = −1  A1 B1 ⊥ IO  A2 B2 ⊥ IO Mặt khác  ; đồng thời  A1 B1 =  A2 B2 = •) AB ≡ A1 B1 có phương trình x + y − = •) AB ≡ A2 B2 có phương trình x + y + = (n − 5)Cn4 + 2Cn3 = An3 ⇔ ⇔ n =   AB ⊥ IO nên    AB = 0,25 0,25 0,50 0,5 0,5 0,50 VII.b Khi n = ta có: P = ( x + x − 1)5 = C50 ( x + x )5 − C51 ( x + x ) + C52 ( x + x )3 − C53 ( x + x ) + C54 ( x + x ) − C55 2 C5 ( x + x) C ( x + x ) có chứa x Do hệ số x khai triển C54 − C53 = −5 Giải phương trình: x + 3x + = −4 x + + x 3 ∗) Khi x > phương trình trở thành + + = + − (1) x x x x Đặt t = + + (t ≥ 0) x2 x 0,50 Từ (1) ⇒ t − t − = ⇒ t = ⇒ x − 3x − = ⇒ x = ∗) Khi x < phương trình trở thành − Đặt t = 0,50 + 37 14 3 + + = + − (2) x x x x + + (t ≥ 0) x2 x Từ (2) ⇒ t + t − = ⇒ t = ⇒ x − 3x − = ⇒ x = 0,50 − 17 14 Chú ý: - Câu hình thí sinh không vẽ hình không chấm điểm - Các câu khác, thí sinh làm cách không hướng dẫn mà cho điểm tối đa ... ln(cos x + 1) = e cos x − 0,50 0,50 cos x  t = e − ln(cos x + 1) = t ⇒ et + t = e cos x + cos x (1) Đặt ta  t  cos x = e − Xét hàm f (t ) = et + t có f '(t ) = et + > ∀t nên từ (1) t = cos... 11 ⇔ m = 2011 phương trinh cho có nghiệm 0,50 0,50 Vậy m = 2011 giá trị cần tìm II Giải phương trình: 3(2 cos x + cos x − 2) + (3 − cos x) sin x =  sin x = ⇔ (2sin x − 3)( sin x + cos x) =...Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 – 2011 Nội dung ∗) Tập xác định: ¡ ∗) Sự biến thi n g) Chiều biến thi n y ' = −3 x + x = ⇔ x = 0; x = ;