SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Giải phương trình: KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————————— x + + x + = x + 2 x + x + − 16 Câu Tìm tất cặp số nguyên x, y thoả mãn phương trình x ( y − 1) + y ( x − 1) = Câu Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Đường thẳng vuông góc với BC C cắt đường thẳng BH D, đường thẳng vuông góc với BC B cắt đường thẳng CH E Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BE , CD Chứng minh H , M , N thẳng hàng Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL tam giác ABC P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC Câu Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a + 3c 4b 8c + − a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c Câu Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A, B tô màu mà độ dài AB = ——Hết—— (Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh SDB SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ————————————— Hướng dẫn chung -Mỗi toán có nhiều cách giải khác nhau, học sinh có lời giải khác với hướng dẫn chấm đúng, giám khảo cho điểm tối đa phần -Bài hình học (câu 3), học sinh không vẽ hình vẽ hình sai, giám khảo không cho điểm; học sinh chưa làm ý 1, sử dụng kết phần để làm phần 2, giám khảo không chấm điểm phần Câu (2,5 điểm) Nội dung trình bày Điều kiện x ≥ −1 Đặt x + + x + = u , u ≥ 0, ) ( 2 Ta có u = x + + 2 x + x + = x + 2 x + x + − 16 + 20 Phương trình trở thành : u = u + 20 ⇔ u − u − 20 = ⇔ u = (do u ≥ ) Với u = ta x + + x + = ⇔ x + + 2 x + x + = 25 2 x≤7 ⇔ 2 x + x + = 21 − x ⇔ ⇔ x=3 x − 146 x + 429 = Kết luận x = Câu (2,0 điểm): Đặt a = x − 1; b = y − , phương trình cho trở thành: (a + 1) b + (b + 1) a = (1) Ta có: (1) ⇔ ab(a + b) + 4ab + (a + b) = ⇔ ab(a + b + 4) + (a + b + 4) = ⇔ ( a + b + 4)( ab + 1) = Khi xảy trường hợp sau: a + b = a + b = −9 a + b = −3 a + b = −5 ; ; ; ab = ab = −2 ab = ab = −6 Từ tìm (a, b) = (0,1);(1, 0);( −6,1);(1, −6) (Mỗi trường hợp 0,25 điểm) Vậy có cặp số ( x, y ) cần tìm là: ( x, y ) = (1, 2);(2,1);( −5, 2);(2, −5) Câu (3,0 điểm) Điểm 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,50 1,00 0,25 Phần (2.0 điểm) Nội dung trình bày B , C Gọi 1 chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Điểm 0,25 Khi tứ giác AB1HC1 nội tiếp, nên ∠CHD = ∠CHB1 = ∠C1 AB1 = ∠BAC (1) 0 Do cách xác định điểm D nên ∠HCD = 90 − ∠HCB = 90 − ∠C1CB = ∠C1BC = ∠ABC (2) 0,50 Từ (1) (2) suy tam giác ABC , HCD đồng dạng Từ đó, AL, HN theo thứ tự trung tuyến hai tam giác đó, nên ∆ALB ~ ∆HNC 0,50 Từ đó, NC ⊥ LB, CH ⊥ BA nên HN ⊥ AL (3) 0,25 Tương tự có HM ⊥ AL (4) 0,25 Từ (3) (4) suy H , M , N thẳng hàng Hơn MN ⊥ AL 0,25 Phần (1.0 điểm) Nội dung trình bày Điểm Do ∠LPN = ∠LCN = 900 nên tứ giác LPNC nội tiếp, suy ∠CPN = ∠CLN = ∠CBD (do LN || BD ) ∠CPN = 900 − ∠BCA 0,50 Tương tự có ∠BPM = 90 − ∠ABC Từ suy ∠BPC = 1800 − ∠BPM − ∠CPN = ∠ABC + ∠BCA = 1800 − ∠CAB = ∠BHC hay P nằm đường tròn ( BHC ) (Hình vẽ) 0,25 Khi ∠CBP = ∠CHN = ∠BAL = ∠BAP Suy đường tròn ( ABP ) tiếp xúc với BC 0,25 Câu (1.5 điểm) Nội dung trình bày Điểm x = a + 2b + c Đặt y = a + b + 2c , x, y, z >0 z − y = c, x − y = b − c = b − ( z − y ) z = a + b + 3c Suy b = x + z − y a + 3c = y − x Khi P = y y − x 4( x + z − y ) 8( z − y ) x z y + − = −17 + + ÷+ + ÷ x y z y y z x ¸p dụng BĐT Cauchy ta được: P ≥ −17 + + 32 = −17 + 12 y 4x 4z y = ; = ⇔ 4x2 = y = z , x y y z b = (1 + 2) a a + b + 2c = 2(a + 2b + c) Khi , suy a + b + 3c = 2(a + 2b + c) c = (4 + 2)a 0,50 0,25 0,25 Đẳng thức xảy 0,25 b = (1 + 2)a Vậy giá trị nhỏ P −17 + 12 , đạt c = (4 + 2) a 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày - Giả sử trái lại, với cách tô, không tồn hai điểm màu mà có khoảng cách Xét hai điểm M , N : MN = tồn điểm P, Q cho tam giác MPQ, NPQ tam giác có độ dài cạnh Khi đó, hai điểm có khoảng cách tô hai màu khác nhau, nên M , N phải tô màu, chẳng hạn tô P: Đỏ, Q: Vàng M, N: phải tô màu Xanh, (Hình vẽ) - Từ đó, điểm M tô màu Xanh, điểm nằm đường tròn tâm M, bán kính tô màu Xanh Nhưng đường tròn có hai điểm mà khoảng cách chúng Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Từ suy điều phải chứng minh —Hết— Điểm 0,50 0,50 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2010- 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ————————————— Hướng dẫn chung -Mỗi toán có nhiều cách giải khác nhau,... Nội dung trình bày Điểm Do ∠LPN = ∠LCN = 90 0 nên tứ giác LPNC nội tiếp, suy ∠CPN = ∠CLN = ∠CBD (do LN || BD ) ∠CPN = 90 0 − ∠BCA 0,50 Tương tự có ∠BPM = 90 − ∠ABC Từ suy ∠BPC = 1800 − ∠BPM − ∠CPN... AB1HC1 nội tiếp, nên ∠CHD = ∠CHB1 = ∠C1 AB1 = ∠BAC (1) 0 Do cách xác định điểm D nên ∠HCD = 90 − ∠HCB = 90 − ∠C1CB = ∠C1BC = ∠ABC (2) 0,50 Từ (1) (2) suy tam giác ABC , HCD đồng dạng Từ đó, AL,