Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hiên
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo
E_mail: nguyenthihien.gvtamdao@vinhphuc.edu.vn và quá trình đưa sáng kiến vào vận dụng thực tiễn.
5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến này nhằm áp dụng phương pháp dạy học trong lĩnh vực Toán học cho học sinh lớp 11 và 12 trên toàn quốc, đặc biệt hỗ trợ các em ôn thi THPT Quốc Gia và chuẩn bị cho kỳ thi đại học cũng như thi học sinh giỏi Tôi hy vọng thông qua sáng kiến này, sẽ có cơ hội chia sẻ, học hỏi và trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và hiệu quả học tập của học sinh, góp phần cải thiện chất lượng giáo dục tại trường và tỉnh nhà.
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Áp dụng thử: Tháng 9 năm 2017
7 Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung của sáng kiến:
CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tập giác trị: , tức là
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , ngphịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì Đồ thị hàm số x y
Tập giác trị: , tức là
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng , đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo véc tơ x y
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận. Đồ thị x y
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận. Đồ thị x y
Đường tròn định hướng là một đường tròn mà trên đó ta xác định một chiều chuyển động gọi là chiều dương, trong khi chiều ngược lại được gọi là chiều âm Theo quy ước, chiều dương được chọn là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm O và bán kính R = 1, được vẽ trong mặt phẳng tọa độ Oxy Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A'(-1;0), B(0;1) và B'(0;-1), trong đó điểm A(1;0) được chọn làm điểm gốc.
Với mỗi số thực , cung lượng giác có số đo được biểu diễn bởi một điểm
M trên đường tròn lượng giác sao cho Trên đường tròn luợng giác cho cung có sđ :
Gọi với tung độ của là , hoành độ là thì ta có:
Các giá trị , , , được gọi là các giá trị lượng giác của cung
Trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin
III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Giải phương trình lượng giác: Tìm tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình đã cho.
Các phương trình lượng giác cơ bản:
; trong đó a là hằng số.
Trong trường hợp 2, gọi là số đo bằng rad của một cung lượng giác với điểm cuối là M Nghiệm của phương trình sinx = a được xác định khi thỏa mãn điều kiện nhất định Khi đó, ta có thể viết = arcsina (đọc là ac-sin-a, cung có sin bằng a), và nghiệm của phương trình sẽ được biểu diễn dựa trên giá trị này.
Chú ý: a) sinx = sin có nghiệm là: x= +k.2 , và x= - +k.2,
Ta có nghiệm của phương trình cosx = a là: và
Chú ý: Đối với phương trình cosx = cosα, nghiệm sẽ là x = α + k.360°; đối với cosx = cosβ, nghiệm là x = β + k.360° và x = -β + k.360° Nếu α thỏa mãn, ta có thể viết α = arccos(a) (đọc là ac-côsin-a), khi đó nghiệm của phương trình cosx = a sẽ được biểu diễn là: x = arccos(a) + k.360°.
Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn:
Kí hiệu: x 1 = arctan a (đọc là ac-tang-a, nghĩa là cung có tang bằng a) Khi đó nghiệm của phương trình tanx = a là: x= arctan a + k,
Chú ý: a) Phương trình tanx = tan, với là số cho trước có nghiệm là: x = +k , b) Phương trình tanx = tan 0 có nghiệm là: x = 0 +k.180 0 ,
Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn:
Kí hiệu: x 1 = arccot a (đọc là ac-côtang-a, nghĩa là cung có côtang bằng a) Khi đó nghiệm của phương trình cotx = a là: x = arccot a + k,
Chú ý: a) Phương trình cotx = cot, với là số cho trước có nghiệm là: x = +k , b) Phương trình cotx = cot 0 có nghiệm là: x = 0 + k.180 0 ,
CHƯƠNG II: NỘI DUNG CHÍNH Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm:
1) Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x
Kiểm tra: - Nếu phương trình vô nghiệm
- Nếu phương trình có nghiệm
2) Phương trình đẳng cấp bậc hai: a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (1)
Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
Khi , chia hai vế phương trình (1) cho ta được:
Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Ví dụ 1: Phương trình (với là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi: A B C D .
Giải: Chọn D Điều kiện phương trình tồn tại nghiệm:
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm.
TXĐ: D Phương trình trở thành: Điều kiện phương trình tồn tại nghiệm:
Ví dụ 3: Cho m nhận một giá trị tùy ý trong tập Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có nghiệm ?
Phương trình trở thành: Điều kiện phương trình tồn tại nghiệm :
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình
Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình về dạng: Điều kiện phương trình vô nghiệm:
Ví dụ 5: Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
Giải: Chọn C ĐKXĐ: Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho , ta được: Đặt , ta được phương trình:
Do phương trình có nghiệm với mọi nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm
Ví dụ 6:Cho phương trình: Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số là
Cách 1 (Chuyển PT về dạng ) Áp dụng công thức hạ bậc cho , PT trở thành
Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác)
Ta có không là nghiệm PT Chia hai vế PT cho ta được
Ví dụ 7: Cho 3 số thực Số nghiệm của phương trình trên khoảng là A B C D thay đổi theo
Trên khoảng thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các nghiệm của phương trình được thể hiện qua hai điểm đối xứng Tuy nhiên, trong trường hợp này, đề bài chỉ xét trong góc phần tư thứ IV, do đó chỉ có một nghiệm duy nhất.
Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có nghiệm? A 1 B 2 C 3 D 4.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình
Câu 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình : sin 2 x - 2.(m -1).sinx.cosx - (m -1).cos 2 x = m có nghiệm
Câu 4: Cho phương trình: Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số là:
Câu 5: Cho phương trình Số các giá trị nguyên dương của nhỏ hơn để phương trình có nghiệm là:
Để xác định số nghiệm của phương trình, cần tìm các giá trị của tham số trong đoạn cho phép Câu 6 yêu cầu xác định các giá trị cho phương trình, trong khi câu 7 tìm số lượng giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm.
Câu 8: Để phương trình: có nghiệm, tham số phải thỏa điều kiện:
Câu 9: Phương trình tan 2 x – 2m.tanx + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn để phương trình có nghiệm?
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm
Câu 12: Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác
+ Muốn tìm số nghiệm của phương trình dựa trên đường tròn lượng giác;
Vẽ đường tròn lượng giác đưa cung của tập K lên đường tròn Ứng với phương trình:
Đường thẳng d được kẻ vuông góc với trục sin tại điểm có tung độ bằng a, và đồng thời vuông góc với trục cos tại điểm có hoành độ bằng a Số điểm mà đường thẳng d cắt cung tròn lượng giác sẽ tương ứng với số nghiệm của phương trình lượng giác.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sin
Phương trình trở thành: cos Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt sin
Phương trình trở thành: Để phương trình có 3 nghiệm:
Ví dụ 3: Cho phương trình : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có đúng hai nghiệm trong khoảng
+ vì nên phương trình vô nghiệm. cos sin
+ vậy để phương trình (*) có đúng hai nghệm thì phương trình có hai nghiệm phân biệt, khi đó:
Ví dụ 4: Biết rằng khi thì phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc khoảng Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Yêu cầu bài toán tương đương với:
TH1: Phương trình có một nghiệm (có một nghiệm ) và một nghiệm
Thay vào phương trình , ta được
TH2: Phương trình có một nghiệm (có hai nghiệm ) và một nghiệm
Thay vào phương trình , ta được
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán Do
Chú ý: Ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm theo rồi cho thỏa mãn ycbt
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng
Giải : chọn B Đặt Phương trình trở thành
Ta có Suy ra phương trình có hai nghiệm
Ta thấy ứng với một nghiệm thì cho ta hai nghiệm thuộc khoảng
Do đó yêu cầu bài toán
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình có nghiệm
-Giải (1) , các nghiệm này không thuộc
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc sin
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có đúng hai nghiệm A B C D .
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn :
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm
Câu 5: Phương trình có nghiệm trên khi tất cả các giá trị thỏa mãn:
Câu 6: Phương trình ( là tham số) có nghiệm trên khi:
Câu 7: Cho phương trình: Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn khi:
Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn của để phương trình có hai nghiệm thuộc ?
Câu 9: Phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 10: Phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 11: Để phương trình có nghiệm thì A B C D .
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 4?
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm dựa vào tương giao đồ thị
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m 0 (phương trình ẩn x tham số m)
+) Lập bảng biến thiên cho hàm số
+) Dựa vào giả thiết và bảng biến thiên từ đó suy ra m.
Chiều biến thiên của các hàm số
1 Xác định toạ độ đỉnh I ( )
Phương pháp 2: Đồ thị hàm số
+) Cô lập m hoặc đưa về hàm hằng là đường thẳng vuông góc với trục
+) Từ đồ thị hàm số tìm cực đại, cực tiểu của hàm số (nếu có)
+) Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số ta tìm được giá trị của m theo yêu cầu của bài toán.
*) Chú ý: Sử dụng PP bảng biến thiên và đồ thị hàm số khi m độc lập với x.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: có nghiệm.
Phương trình trở thành: Đặt
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của parabon có phương trình: và đường thẳng y = m; (P) có đỉnh
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có nghiệm:
Ví dụ 2: Cho phương trình: , trong đó là tham số thực Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (P): và đường thẳng có phương trình y = 2m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm:
Ví dụ 3: Cho phương trình: trong đó m là tham số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
Dùng công thức hạ bậc, phương trình trở thành: Đặt Phương trình:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (P): và đường thẳng có phương trình: y = m; (P) có đỉnh
Y 8 4 3/4 Dựa vào BBT để phương trình có nghiệm:
Ví dụ 4: Cho phương trình: ( m là tham số thực).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
Phương trình đã cho tương đương với:
Với thì Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt (3).
Xét g(t) = với ta có bảng biến thiên : t 1 g(t) 3 5
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra
Vậy giá trị m cần tìm là:
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
Cách 2: không là nghiệm của phương trình. Đặt
Phương trình có nghiệm có nghiệm
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm parabol và đường thẳng Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm
Ví dụ 6: Để phương trình: có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
Phương trình tương đương Đặt Xét hàm
Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn để phương trình có nghiệm?
=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm có nghiệm
Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018
Câu 1 Các giá trị của để phương trình có nghiệm thì: A B C D .
Câu 2 Tìm m để phương trình cos2x - cosx - m = 0 có nghiệm.
Câu 3 Phương trình (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi
Câu 4 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình vô nghiệm
Câu 5 Phương trình có nghiệm khi thì tích bằng: A B C D .
Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm
Câu 7 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 8 Cho phương trình Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình vô nghiệm
Câu 9 Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
Câu 10 Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 2018 để phương trình có nghiệm?
Câu 11 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn
Dạng 4: Biện luận nghiệm của phương trình bằng phương pháp: Sử dụng tam thức bậc hai
1 Dấu của tam thức bậc hai
*) Định lý: Cho tam thức bậc hai f (x) = ax 2 + bx + c i) Nếu < 0:
X -∞ + ∞ f (x) cùng dấu với a ii) Nếu = 0
X -∞ -b/2a + ∞ f (x) cùng dấu a 0 cùng dấu a iii) Nếu > 0: Tam thức có hai nghiệm x 1 ,x 2
2 Điều kiện để tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước
Để phương trình tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có hai nghiệm, điều kiện cần thiết là b² - 4ac > 0 Ngược lại, nếu tam thức bậc hai chỉ có một nghiệm lớn hơn, điều kiện là b² - 4ac = 0.
TH2: c Điều kiện để tam thức có đúng một nghiệm nhỏ hơn
X -∞ x 1 x 2 + ∞ f (x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
Để một tam thức bậc hai có hai nghiệm, cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định Cụ thể, điều kiện để tam thức có hai nghiệm phân biệt là khi delta (Δ) lớn hơn 0 Ngoài ra, để hai nghiệm của tam thức nằm trong một khoảng xác định, cần đảm bảo rằng cả hai nghiệm đều thuộc khoảng đó Nếu một nghiệm nằm trong khoảng còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn, thì cũng có những điều kiện riêng cần được xem xét Tóm lại, việc xác định các điều kiện này là rất quan trọng để hiểu rõ về tính chất của nghiệm của tam thức.
Ta có các thường hợp sau:
TH2.1: Có một nghiệm nằm trong khoảng còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn
TH2.2: Cả hai nghiệm nằm trong khoảng
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm.
Phương trình Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng
Giải: Chọn B Đặt Phương trình trở thành
Ta có Suy ra phương trình có hai nghiệm
Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Ví dụ 3: Để phương trình có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
Giải: Chọn D Đặt Khi đó ta có phương trình:
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình có nghiệm
Ví dụ 4: Cho phương trình: , trong đó m là tham số Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
Giải: Chọn B ĐK: Đặt Khi đó phương trình trở thành:
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình có nghiệm
Ví dụ 5: Cho phương trình Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:.
Giải: Chọn D ĐK: Đặt Khi đó phương trình trở thành:
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm
Trên , phương trình có duy nhất 1 nghiệm với
Do đó, yêu cầu bài toán
Câu 1 Biết rằng khi thì phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 2 Cho phương trình tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có 3 nghiệm
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng
Câu 5 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng
Câu 6 Cho phương trình Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên m thuộc đoạn để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc
Tổng các phần tử của S bằng:
Câu 7 Cho phương trình Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn là
7.2 Khả Áp dụng của sáng kiến:
SKKN là công cụ hữu ích cho giáo viên trong việc nâng cao chuyên môn về phương trình lượng giác chứa tham số Đặc biệt, đối với học sinh ôn thi THPT Quốc gia, đặc biệt là những em có năng lực khá giỏi, SKKN có thể được áp dụng hiệu quả để cải thiện kiến thức và kỹ năng.
Nội dung sáng kiến trình bày rõ ràng các phương pháp cho từng phần, kèm theo nhiều ví dụ từ dễ đến khó Bài viết giải thích chi tiết và nhấn mạnh những đặc điểm của các dạng bài, giúp người đọc nhận diện hướng đi cho từng dạng bài tập và tránh được những lỗi thường gặp khi giải toán.
8 Những thông tin cần được bảo mật:
Như tôi đã nói ở trên sáng kiến tôi muốn đưa ra để chia sẻ với các đồng nghiệp và học sinh Nên không bảo mật.
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh với mọi đối tượng, đặc biệt tốt với học sinh khá, giỏi lớp 11, 12.Với giáo viên dạy các lớp trong các trường THPT
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến từ việc áp dụng sáng kiến là rất quan trọng, bao gồm ý kiến của tác giả và các tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả trong trường hợp áp dụng thử Việc này giúp xác định hiệu quả và giá trị thực tế của sáng kiến, từ đó cung cấp cơ sở cho việc phát triển và cải tiến trong tương lai.
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả
Việc chủ động trong việc tiếp cận kiến thức giúp giảm thiểu tình trạng lúng túng và vướng mắc so với trước đây Kiến thức được củng cố và mở rộng, cho phép người học thực hiện các bài toán theo đúng hướng mà yêu cầu đề bài đưa ra.
Giáo viên có thể đơn giản hóa bài toán và phát triển các bài toán tương tự, từ đó đổi mới phương pháp dạy học theo hướng chủ động và phát triển năng lực học sinh Tất cả các bài toán phương trình lượng giác tham số lớp 11 trong đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi hiện nay đều xuất phát từ bài tập trong sách giáo khoa, yêu cầu cả giáo viên và học sinh phải sáng tạo và phát triển từ các bài toán gốc.
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Sáng kiến này được áp dụng trong lĩnh vực Toán học cho học sinh lớp 11 và 12 trên toàn quốc, nhằm hỗ trợ các em ôn thi THPT Quốc Gia và chuẩn bị cho việc xét tuyển Đại học, cũng như thi học sinh giỏi Tôi mong muốn chia sẻ và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên, đồng thời cải thiện hiệu quả học tập của học sinh, từ đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tại trường học và tỉnh nhà.
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu
Áp dụng thử: Tháng 9 năm 2017
Mô tả bản chất của sáng kiến
Các kiến thức cơ bản
Tập giác trị: , tức là
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , ngphịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì Đồ thị hàm số x y
Tập giác trị: , tức là
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng , đồng biến trên mỗi khoảng
Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số theo véc tơ x y
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận. Đồ thị x y
Là hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận. Đồ thị x y
Đường tròn định hướng là một đường tròn mà trong đó chúng ta xác định một chiều chuyển động được gọi là chiều dương, trong khi chiều ngược lại được gọi là chiều âm Theo quy ước, chiều dương được xác định là chiều ngược lại với chiều quay của kim đồng hồ.
Đường tròn lượng giác được vẽ trong mặt phẳng tọa độ Oxy với tâm O và bán kính R = 1, cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A'(-1;0), B(0;1) và B'(0;-1) Điểm A(1;0) được chọn làm điểm gốc cho đường tròn này Đường tròn được xác định như vậy gọi là đường tròn lượng giác.
Với mỗi số thực , cung lượng giác có số đo được biểu diễn bởi một điểm
M trên đường tròn lượng giác sao cho Trên đường tròn luợng giác cho cung có sđ :
Gọi với tung độ của là , hoành độ là thì ta có:
Các giá trị , , , được gọi là các giá trị lượng giác của cung
Trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin
III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Giải phương trình lượng giác: Tìm tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình đã cho.
Các phương trình lượng giác cơ bản:
; trong đó a là hằng số.
Trong trường hợp 2, gọi là số đo bằng rad của một cung lượng giác có điểm cuối là M Nghiệm của phương trình sinx = a được xác định khi thỏa mãn điều kiện, và ta có thể viết = arcsina (đọc là ac-sin-a, cung có sin bằng a) Khi đó, nghiệm của phương trình sẽ được biểu diễn như sau.
Chú ý: a) sinx = sin có nghiệm là: x= +k.2 , và x= - +k.2,
Ta có nghiệm của phương trình cosx = a là: và
Chú ý rằng phương trình cosx = cosα có nghiệm, và đối với phương trình cosx = cosβ, nghiệm sẽ là x = β + k.360° và x = -β + k.360° Nếu α thỏa mãn, ta có thể viết α = arccos(a) (đọc là ac-côsin-a, với cosin bằng a) Khi đó, nghiệm của phương trình cosx = a được biểu diễn như trên.
Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn:
Kí hiệu: x 1 = arctan a (đọc là ac-tang-a, nghĩa là cung có tang bằng a) Khi đó nghiệm của phương trình tanx = a là: x= arctan a + k,
Chú ý: a) Phương trình tanx = tan, với là số cho trước có nghiệm là: x = +k , b) Phương trình tanx = tan 0 có nghiệm là: x = 0 +k.180 0 ,
Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn:
Kí hiệu: x 1 = arccot a (đọc là ac-côtang-a, nghĩa là cung có côtang bằng a) Khi đó nghiệm của phương trình cotx = a là: x = arccot a + k,
Chú ý: a) Phương trình cotx = cot, với là số cho trước có nghiệm là: x = +k , b) Phương trình cotx = cot 0 có nghiệm là: x = 0 + k.180 0 ,
Các dạng bài tập
Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm
1) Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x
Kiểm tra: - Nếu phương trình vô nghiệm
- Nếu phương trình có nghiệm
2) Phương trình đẳng cấp bậc hai: a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (1)
Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
Khi , chia hai vế phương trình (1) cho ta được:
Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Ví dụ 1: Phương trình (với là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi: A B C D .
Giải: Chọn D Điều kiện phương trình tồn tại nghiệm:
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm.
TXĐ: D Phương trình trở thành: Điều kiện phương trình tồn tại nghiệm:
Ví dụ 3: Cho m nhận một giá trị tùy ý trong tập Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có nghiệm ?
Phương trình trở thành: Điều kiện phương trình tồn tại nghiệm :
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình
Dùng công thức hạ bậc đưa phương trình về dạng: Điều kiện phương trình vô nghiệm:
Ví dụ 5: Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
Giải: Chọn C ĐKXĐ: Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho , ta được: Đặt , ta được phương trình:
Do phương trình có nghiệm với mọi nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm
Ví dụ 6:Cho phương trình: Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số là
Cách 1 (Chuyển PT về dạng ) Áp dụng công thức hạ bậc cho , PT trở thành
Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác)
Ta có không là nghiệm PT Chia hai vế PT cho ta được
Ví dụ 7: Cho 3 số thực Số nghiệm của phương trình trên khoảng là A B C D thay đổi theo
Trên khoảng thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các nghiệm của phương trình được thể hiện bởi hai điểm đối xứng qua trục hoành Tuy nhiên, trong trường hợp này, đề bài chỉ yêu cầu tìm nghiệm trong góc phần tư thứ IV, do đó chỉ có một nghiệm duy nhất.
Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có nghiệm? A 1 B 2 C 3 D 4.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình
Câu 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình : sin 2 x - 2.(m -1).sinx.cosx - (m -1).cos 2 x = m có nghiệm
Câu 4: Cho phương trình: Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số là:
Câu 5: Cho phương trình Số các giá trị nguyên dương của nhỏ hơn để phương trình có nghiệm là:
Câu 6 yêu cầu xác định số giá trị của tham số trong phương trình sao cho phương trình có nghiệm Câu 7 đặt ra câu hỏi về số lượng giá trị nguyên của tham số nằm trong đoạn cho phép phương trình có nghiệm.
Câu 8: Để phương trình: có nghiệm, tham số phải thỏa điều kiện:
Câu 9: Phương trình tan 2 x – 2m.tanx + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn để phương trình có nghiệm?
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm
Câu 12: Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác……………………………………………………………… 16 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm dựa vào tương giao đồ thị …………………………………………………………… 22 Dạng 4: Biện luận nghiệm của phương trình bằng phương pháp: Sử dụng
dựa vào đường tròn lượng giác
+ Muốn tìm số nghiệm của phương trình dựa trên đường tròn lượng giác;
Vẽ đường tròn lượng giác đưa cung của tập K lên đường tròn Ứng với phương trình:
Đường thẳng d vuông góc với trục sin tại điểm có tung độ bằng a và đường thẳng d vuông góc với trục cos tại điểm có hoành độ bằng a sẽ cắt cung tròn lượng giác tại một số điểm nhất định Số điểm giao cắt này chính là số nghiệm của phương trình lượng giác.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sin
Phương trình trở thành: cos Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt sin
Phương trình trở thành: Để phương trình có 3 nghiệm:
Ví dụ 3: Cho phương trình : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có đúng hai nghiệm trong khoảng
+ vì nên phương trình vô nghiệm. cos sin
+ vậy để phương trình (*) có đúng hai nghệm thì phương trình có hai nghiệm phân biệt, khi đó:
Ví dụ 4: Biết rằng khi thì phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc khoảng Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Yêu cầu bài toán tương đương với:
TH1: Phương trình có một nghiệm (có một nghiệm ) và một nghiệm
Thay vào phương trình , ta được
TH2: Phương trình có một nghiệm (có hai nghiệm ) và một nghiệm
Thay vào phương trình , ta được
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán Do
Chú ý: Ta có thể sử dụng cách tìm nghiệm theo rồi cho thỏa mãn ycbt
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng
Giải : chọn B Đặt Phương trình trở thành
Ta có Suy ra phương trình có hai nghiệm
Ta thấy ứng với một nghiệm thì cho ta hai nghiệm thuộc khoảng
Do đó yêu cầu bài toán
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình có nghiệm
-Giải (1) , các nghiệm này không thuộc
Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc sin
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có đúng hai nghiệm A B C D .
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn :
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm
Câu 5: Phương trình có nghiệm trên khi tất cả các giá trị thỏa mãn:
Câu 6: Phương trình ( là tham số) có nghiệm trên khi:
Câu 7: Cho phương trình: Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn khi:
Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn của để phương trình có hai nghiệm thuộc ?
Câu 9: Phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 10: Phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 11: Để phương trình có nghiệm thì A B C D .
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 4?
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm dựa vào tương giao đồ thị
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m 0 (phương trình ẩn x tham số m)
+) Lập bảng biến thiên cho hàm số
+) Dựa vào giả thiết và bảng biến thiên từ đó suy ra m.
Chiều biến thiên của các hàm số
1 Xác định toạ độ đỉnh I ( )
Phương pháp 2: Đồ thị hàm số
+) Cô lập m hoặc đưa về hàm hằng là đường thẳng vuông góc với trục
+) Từ đồ thị hàm số tìm cực đại, cực tiểu của hàm số (nếu có)
+) Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số ta tìm được giá trị của m theo yêu cầu của bài toán.
*) Chú ý: Sử dụng PP bảng biến thiên và đồ thị hàm số khi m độc lập với x.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: có nghiệm.
Phương trình trở thành: Đặt
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của parabon có phương trình: và đường thẳng y = m; (P) có đỉnh
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có nghiệm:
Ví dụ 2: Cho phương trình: , trong đó là tham số thực Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (P): và đường thẳng có phương trình y = 2m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm:
Ví dụ 3: Cho phương trình: trong đó m là tham số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
Dùng công thức hạ bậc, phương trình trở thành: Đặt Phương trình:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (P): và đường thẳng có phương trình: y = m; (P) có đỉnh
Y 8 4 3/4 Dựa vào BBT để phương trình có nghiệm:
Ví dụ 4: Cho phương trình: ( m là tham số thực).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
Phương trình đã cho tương đương với:
Với thì Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt (3).
Xét g(t) = với ta có bảng biến thiên : t 1 g(t) 3 5
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra
Vậy giá trị m cần tìm là:
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
Cách 2: không là nghiệm của phương trình. Đặt
Phương trình có nghiệm có nghiệm
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm parabol và đường thẳng Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm
Ví dụ 6: Để phương trình: có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
Phương trình tương đương Đặt Xét hàm
Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn để phương trình có nghiệm?
=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm có nghiệm
Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018
Câu 1 Các giá trị của để phương trình có nghiệm thì: A B C D .
Câu 2 Tìm m để phương trình cos2x - cosx - m = 0 có nghiệm.
Câu 3 Phương trình (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi
Câu 4 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình vô nghiệm
Câu 5 Phương trình có nghiệm khi thì tích bằng: A B C D .
Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm
Câu 7 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 8 Cho phương trình Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình vô nghiệm
Câu 9 Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
Câu 10 Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 2018 để phương trình có nghiệm?
Câu 11 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn
Dạng 4: Biện luận nghiệm của phương trình bằng phương pháp: Sử dụng tam thức bậc hai
1 Dấu của tam thức bậc hai
*) Định lý: Cho tam thức bậc hai f (x) = ax 2 + bx + c i) Nếu < 0:
X -∞ + ∞ f (x) cùng dấu với a ii) Nếu = 0
X -∞ -b/2a + ∞ f (x) cùng dấu a 0 cùng dấu a iii) Nếu > 0: Tam thức có hai nghiệm x 1 ,x 2
2 Điều kiện để tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước
Để phương trình tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c có hai nghiệm thỏa mãn, cần đảm bảo điều kiện b > 0 Ngoài ra, để tam thức bậc hai này có đúng một nghiệm lớn hơn, điều kiện cần là b = 0 và a > 0.
TH2: c Điều kiện để tam thức có đúng một nghiệm nhỏ hơn
X -∞ x 1 x 2 + ∞ f (x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
Để tam thức bậc hai có hai nghiệm, cần thỏa mãn điều kiện nhất định Cụ thể, điều kiện để có hai nghiệm của tam thức là hệ thức giữa các hệ số của nó Ngoài ra, để hai nghiệm của tam thức phân biệt, một nghiệm phải nằm trong khoảng xác định trong khi nghiệm kia nằm ngoài đoạn đó Điều kiện này cũng áp dụng cho trường hợp cả hai nghiệm đều nằm trong một khoảng nhất định Việc kiểm tra các điều kiện này là cần thiết để xác định tính chất của nghiệm trong tam thức.
Ta có các thường hợp sau:
TH2.1: Có một nghiệm nằm trong khoảng còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn
TH2.2: Cả hai nghiệm nằm trong khoảng
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm.
Phương trình Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng
Giải: Chọn B Đặt Phương trình trở thành
Ta có Suy ra phương trình có hai nghiệm
Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Ví dụ 3: Để phương trình có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
Giải: Chọn D Đặt Khi đó ta có phương trình:
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình có nghiệm
Ví dụ 4: Cho phương trình: , trong đó m là tham số Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
Giải: Chọn B ĐK: Đặt Khi đó phương trình trở thành:
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình có nghiệm
Ví dụ 5: Cho phương trình Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:.
Giải: Chọn D ĐK: Đặt Khi đó phương trình trở thành:
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm
Trên , phương trình có duy nhất 1 nghiệm với
Do đó, yêu cầu bài toán
Câu 1 Biết rằng khi thì phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 2 Cho phương trình tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có 3 nghiệm
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng
Câu 5 Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng
Câu 6 Cho phương trình Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên m thuộc đoạn để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc
Tổng các phần tử của S bằng:
Câu 7 Cho phương trình Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn là
7.2 Khả Áp dụng của sáng kiến:
SKKN là công cụ hữu ích cho giáo viên trong việc nâng cao chuyên môn về phương trình lượng giác chứa tham số Đặc biệt, học sinh ôn thi THPT Quốc gia, đặc biệt là những em có trình độ khá giỏi, sẽ được hưởng lợi rất nhiều từ việc áp dụng SKKN này.
Nội dung sáng kiến cung cấp phương pháp rõ ràng cho từng phần, kèm theo nhiều ví dụ từ dễ đến khó Bài viết giải thích chi tiết và nhấn mạnh các đặc điểm của từng dạng bài, giúp người đọc nhận diện hướng đi cho các bài tập và hạn chế những lỗi thường gặp khi giải toán.
8 Những thông tin cần được bảo mật:
Như tôi đã nói ở trên sáng kiến tôi muốn đưa ra để chia sẻ với các đồng nghiệp và học sinh Nên không bảo mật.
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh với mọi đối tượng, đặc biệt tốt với học sinh khá, giỏi lớp 11, 12.Với giáo viên dạy các lớp trong các trường THPT
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả
Sự chủ động trong việc tiếp thu kiến thức giúp người học giảm thiểu tình trạng lúng túng và vướng mắc so với trước đây Kiến thức được củng cố và mở rộng, tập trung vào việc giải quyết các vấn đề theo đúng yêu cầu của đề bài.
Giáo viên có thể đơn giản hóa việc giải quyết bài toán và phát triển các bài toán tương tự, từ đó đổi mới phương pháp dạy học theo hướng chủ động và tập trung vào phát triển năng lực học sinh Các bài toán phương trình lượng giác tham số lớp 11 trong đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi hiện nay đều xuất phát từ bài tập trong sách giáo khoa, yêu cầu cả giáo viên và học sinh cần sáng tạo và phát triển từ những bài toán gốc này.
Việc áp dụng SSKN đã giúp học sinh nhận diện chính xác các dạng bài tập phương trình lượng giác chứa tham số, đồng thời cung cấp phương pháp giải nhanh và hiệu quả hơn Nhờ đó, học sinh không còn phải ghi nhớ cách giải một cách máy móc như trước đây.
Trong phần học này, học sinh sẽ củng cố kiến thức về Parabon, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, cũng như đường tròn đượng giác Điều này giúp học sinh nhận thức rõ tầm quan trọng của những khái niệm này không chỉ trong môn học hiện tại mà còn trong mối liên hệ với các phần học khác.
10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Trước khi sử dụng phương pháp tôi có bảng số liệu như sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu
- Sau khi áp dụng phương pháp trên tôi đã cho học sinh kiểm tra khảo sát và thu được kết quả như sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB
Như vậy số lượng học sinh khá giỏi đã tăng lên nhiều so với ban đầu khi chưa sử dụng phương pháp.
11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:
Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
1 Nguyễn Thị Khánh Hòa THPT Tam Đảo Ôn Thi THPTQG- Ôn thi
