Phương trình lượng giác chứa tham số

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hiên Mã sáng kiến kinh nghiệm: 10.52.01 Vĩnh Phúc, năm 2020 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến sở GD&ĐT Vĩnh Phúc Tên là: Nguyễn Thị Hiên Chức vụ (nếu có): Tổ phó chun mơn Đơn vị: Trường THPT Tam Đảo Điện thoại: 0987357084 Tôi làm đơn trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến sở GD&ĐT Vĩnh Phúc xem xét công nhận sáng kiến cấp sở cho sáng kiến Hội đồng Sáng kiến sở công nhận sau đây: Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số (Có Báo cáo Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kèm theo) Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật, khơng xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ người khác hoàn toàn chịu trách nhiệm thông tin nêu đơn Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Tam Đảo, ngày 10 tháng 10 năm 2019 Người nộp đơn Nguyễn Thị Hiên Mục Lục Lời giới thiệu…… Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến 7.1 Về nội dung sáng kiến…………………………………………… Chương I: Các kiến thức Chương II: Các dạng tập……………………………………… Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn nghiệm………………………………… Dạng 2: Biện luận số nghiệm phương trình lượng giác dựa vào đường 1 2 2 10 10 16 tròn lượng giác……………………………………………………………… Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm dựa vào 22 tương giao đồ thị …………………………………………………………… Dạng 4: Biện luận nghiệm phương trình phương pháp: Sử dụng 31 tam thức bậc hai…………………………………………………………… 7.2 Khả áp dụng sáng kiến…………………………………………… Những thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 10 Đánh giá lợi ích thu 39 39 39 39 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng………………… 41 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong chương trình giải tích lớp 11 có phần quan trọng đại số trung học phổ thơng phương trình lượng giác Các dạng tốn phương trình lượng giác có tham số phong phú đa dạng, thường xuất đề thi học sinh giỏi, thi THPTQG giáo dục Chính vậy, để làm tốt tập dạng phương trình lượng giác có tham số địi hỏi học sinh phải nhận dạng cách làm loại toán thật tốt Dạng tốn học sinh thường gặp khó khăn, với học sinh lớp 11 (khi chưa học đến cơng cụ đạo hàm) nhiều học sinh ngại phần này, thường hay bỏ, nghĩ phần học mà khơng thể học nổi, phần giáo viên dạy khơng trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh Bên cạnh tập liên quan đến đường tròn lượng giác tạo cho học sinh nhiều lúng túng làm tập Do hiệu giải tốn khơng cao Với mong muốn tạo cho giáo viên em học sinh, đặc biệt học sinh lớp 11 có tài liệu tham khảo, để có nhìn tổng quan, hệ thống phương pháp suy luận giải toán tốn phương trình lượng giác có tham số Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm tơi muốn nêu số định hướng tìm lời giải tốn phương trình lượng giác chứa tham số Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Hiên - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo - Số điện thoại: 0987357084 E_mail: nguyenthihien.gvtamdao@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tác giả sáng kiến đồng thời chủ đầu tư cho q trình hồn thiện sáng kiến q trình đưa sáng kiến vào vận dụng thực tiễn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng lĩnh vực Tốn THPT giải tích lớp 11,12 nước, dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, có nguyện vọng xét tuyển Đại học, thi học sinh giỏi lớp 11,12 Qua sáng kiến mong muốn chia sẻ, học tập, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên hiệu học tập học sinh nói chung, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường, tỉnh nhà Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng thử: Tháng năm 2017 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y  sin x �Tập xác định: D  � �Tập giác trị: [  1;1] , tức 1 �sin x �1 x �� �Hàm   số đồng biến khoảng (  k 2 ;  k 2 ) , ngphịch biến  khoảng (  k 2 ; 3  k 2 ) �Hàm số y  sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng �Hàm �Đồ số y  sin x hàm số tuần hồn với chu kì T  2 thị hàm số y  sin x Hàm số y  cos x �Tập xác định: D  � �Tập giác trị: [ 1;1] , tức 1 �cos x �1 x �� �Hàm số y  cos x nghịch biến khoảng (k 2 ;  k 2 ) , đồng biến khoảng (  k 2 ; k 2 );k �� �Hàm số y  cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng số y  cos x hàm số tuần hồn với chu kì T  2 �Đồ thị hàm số y  cos x �Hàm Phương trình lượng giác chứa tham số Đồ thị hàm số y  cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x r  theo véc tơ v  ( ; 0) Hàm số y  tan x � � �Tập xác định : D  �\ �  k , k ��� �2 �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hồn với chu kì �Hàm T   �2  � � đồng biến khoảng �  k ;  k � �Đồ thị nhận đường thẳng x  �Đồ thị   k , k ��làm đường tiệm cận Hàm số y  cot x �Tập xác định : D  �\  k , k �� �Tập giá trị: � �Là � hàm số lẻ Phương trình lượng giác chứa tham số �Là hàm số tuần hồn với chu kì T  �Hàm nghịch biến khoảng  k ;  k  �Đồ thị nhận đường thẳng x  k , k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị II Cung lượng giác: Đường tròn định hướng: đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ làm chiều dương Đường tròn lượng giác: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường trịn định hướng tâm O bán kính R = Đường tròn cắt hai trục tọa độ điểm A(1;0); A’(1;0); B(0; 1); B’(0; -1) Ta lấy điểm A (1;0) làm điểm gốc đường trịn Đường tròn xác định gọi đường tròn lượng giác Phương trình lượng giác chứa tham số Với số thực  , cung lượng giác có số đo  biểu diễn điểm � M đường tròn lượng giác cho Trên đường tròn luợng giác cho cung AM có � sđ AM   : Gọi M  x; y  với tung độ M y  OK , hoành độ x  OH ta có: sin   OK ; tan   cos   OH sin  ;  cos  �0  cos  cot   cos  ;  sin  �0  sin  Các giá trị sin  , cos , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác cung  Trục tung trục sin, trục hồnh trục cosin III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Giải phương trình lượng giác: Tìm tất giá trị ẩn số thỏa mãn phương trình cho Các phương trình lượng giác bản: sin x  a;cos x  a;tan x  a;cot x  a ; a số Phương trình sin x  a Trường hợp 1: a  Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: a �1 OK a gọi  số đo rad cung lượng giác có điểm cuối M Ta có nghiệm Phương trình lượng giác chứa tham số phương trình sinx = a là: x    k 2 , k �� x      k 2 , k ��        ta viết  = arcsina (đọc ac-sin-a, cung có sin  thỏa mãn   sin  a a ) nghiệm phương trình viết là: x  arcsin a  k.2 , k �� x    arcsin a  k 2 , k �� Chú ý: a) sinx = sin  có nghiệm là: x=  +k.2 , k �� x= -  +k.2, k �� Phương trình cos x  a Trường hợp 1: a  Phương trình vô nghiệm a 1 Trường hợp 2: OH  a Ta có nghiệm phương trình cosx = a là: x    k 2 , k �� x    k 2 , k �� Chú ý: a) cosx = cos có nghiệm là: x    k 2 , k �� x    k 2 , k �� b) cos x = cos0 có nghiệm là: x = 0 +k.3600 , k �� x =- 0 +k.3600, k �� � � � ta viết  = arccosa (đọc ac-cơsin-a, cung có co s   a � c)  thỏa mãn � cosin a ) Phương trình lượng giác chứa tham số f ( t) 3 2 Vậy phương trình f ( t ) = m có nghiệm ۣۣ� 2 m Ví dụ 7: Có giá trị ngun m nhỏ 2018 để phương trình  3tan x  tan x  cot x  m có nghiệm? sin x A 2000 B 2001 C 2010 D 2011 Giải: Chọn D  3tan x  tanx  cot x  m sin x �  cot x  3tan x  tan x  cot x   m    � 3 tan x  cot x   tan x  cot x   m  Đặt t  tan x  cot x � t   tan x  cot x t �2 � �� => u cầu tốn trở thành tìm m để phương trình  t    t   m  t �  � có nghiệm t � �; 2 � 2; � � m  3t  t  có nghiệm t � �; 2 � 2; � Bảng biến thiên: => Phương trình có nghiệm ۳ m Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 sin x  2sin x cos x  � � + Với cos x  � �  1 � m   m 1 � m  cos x  2cos2 x 1  1 � 28 Phương trình lượng giác chứa tham số Bài Tập tương tự Câu Các giá trị m � a; b  để phương trình cos x  sin x  3cos x  m  có nghiệm thì: A a  b  B a  b  12 C a  b  8 D a  b  Câu Tìm m để phương trình cos2x - cosx - m = có nghiệm A  �m �2 9 B  �m �1 C m � D  �m �2 Câu Phương trình tan x mcot x  (với m tham số) có nghiệm A m 16 B m 16 C m�16 D m�16 Câu Cho phương trình 4(cos x  sin x)  sin x  m Tìm tất giá trị tham số m để phương trình vơ nghiệm A m ��1  m  B   m 1 C  m 1 D m ��4 Câu Phương trình sin x  cos6 x  3sin x.cos x  m   có nghiệm m � a; b  tích a.b bằng: A B C 75 16 D 15 Câu Cho phương trình sin x cos x  6(sin x  cos x  m) =0 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm A B.1 C D Câu Cho phương trình cos3 x sin x  m (1) Tìm tất giá trị tham số �  � m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x �� ; � �4 4� A  �m �1  B  �m �1  C  �m �1  29 D  m 1 Phương trình lượng giác chứa tham số Câu Cho phương trình 4(cos x  sin x)  sin x  m Tìm số giá trị ngun m để phương trình vơ nghiệm A B.3 C D m 6 Câu Cho phương trình sin x +cos x +3sin x cos x - +2 = Có giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm? A B C 13 D.15 Câu 10 Cho phương trình 3tan x + tan x +cot x + = m Có giá trị sin x nguyên m nhỏ 2018 để phương trình có nghiệm? A 2004 B 2008 C 2011 D 2012 � � � cos x cos x + m = Tìm tất giá trị � � Câu 11 Cho phương trình ( sin x - 1) � � � � � 0;2p� thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn � � � A �m < B - < m �0 C < m < 30 D - < m 0: Tam thức có hai nghiệm x1 ,x2 X f (x) -∞ dấu với a x1 x2 +∞ trái dấu với a dấu với a Điều kiện để tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c a Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 , x2 : x1    x2 af     b Điều kiện để tam thức bậc hai có nghiệm lớn  TH1: a = x1 �  x2 � a � � TH2:   x1  x2 � 31 Phương trình lượng giác chứa tham số c Điều kiện để tam thức có nghiệm nhỏ  TH1: a = x1   �x2 � TH2: a �0 � x1  x2   � d Điều kiện để có hai nghiệm tam thức thỏa mãn hệ thức: � �  �0 �   x1 �x2 � �af     �S �  �2 e Điều kiện để tam thức có hai nghiệm: � �  �0 � x1 �x2   � � af     �S �  �2 f Điều kiện để tam thức bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn  �0 � � af     � �   x1 �x2   � �af     � S �   � � g Điều kiện để hai nghiệm tam thức thỏa mãn � �  �0 � x1 �x2     � � af     �S �  �2 32 Phương trình lượng giác chứa tham số h Điều kiện để hai nghiệm tam thức thỏa mãn � af     �   x1    x2 � � af     � i Điều kiện để tam thức có hai nghiệm nằm khoảng � af     � x1      x2 � � af     � k Điều kiện để hai nghiệm phân biệt tam thức thỏa mãn nghiệm nằm khoảng cịn nghiệm nằm ngồi đoạn f    f     m Điều kiện để tam thức có nghiệm thuộc khoảng   ;   Ta có thường hợp sau: TH1: a  TH2: a �0 TH2.1: Có nghiệm nằm khoảng cịn nghiệm nằm ngồi đoạn f  f     TH2.2: Cả hai nghiệm nằm khoảng  �0 � � af     � �   x1 �x2   � �af     � S �   � � Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình tan x  m cot x  có nghiệm A m  16 B m  16 C m �16 Giải : Chọn D 33 D m �16 Phương trình lượng giác chứa tham số Phương trình tan x  m cot x  � tan x  m  � tan x  tan x  m  tan x �  4 m  Để phương trình cho có nghiệm � m 16 Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình �  � cos 3x    2m  cos x  m   có nghiệm thuộc khoảng � ; � �6 3� A 1 �m �1 B  m �2 C �m �2 D �m  Giải: Chọn B Đặt t  cos x  1 �t �1 Phương trình trở thành 2t    2m  t  m   � t1  Ta có    2m  5 Suy phương trình có hai nghiệm � � t2  m  � 2 Yêu cầu toán tương đươn với phương trình 2t    2m  t  m   có hai �P �0 � nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 1  t2 �0  t1  � �a f  1  �  m �2 � a f  1  � Ví dụ 3: Để phương trình sin x  cos6 x  a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: A �a  B a 8 4 C a  D a � Giải: Chọn D 2 sin x  cos x  a | sin x |� sin x  cos x  3sin x cos2 x sin x  cos2 x  a | sin x | 6    �  sin 2 x  a | sin x | � 3sin 2 x  4a | sin x | 4  0;1�  Khi ta có phương trình: 3t  4t    1 Đặt sin x  t  t �� � � 34  Phương trình lượng giác chứa tham số Phương trình cho có nghiệm phương trình  1 có nghiệm ��  4a  12  � t ��  0;1  ۳� �f   � �f  1  4a  �0 Ví dụ 4: Cho phương trình: a sin x  cos x  2m.tan x , m tham số Để cos x  sin x phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là: 8 8 2 D m �1 hay m �1 A m � hay m � B m   hay m  C m � hay m � Giải: Chọn B ĐK: cos x �0  sin x  cos2 x sin x  cos6 x  2m.tan x � 2 cos x  sin x    3sin x cos2 x sin x  cos2 x cos2 x   2m tan 2x  sin 2 x �  2m tan x �  sin 2 x  2m sin x � 3sin 2 x  8m sin x   cos2 x Đặt sin x  t  t � 1;1  Khi phương trình trở thành: 3t  8mt    * Phương trình cho có nghiệm phương trình  * có nghiệm t � 1;1 TH1:  * có nghiệm � m � t � 1;1 � f  1 f  1  �  8m  1  8m  1  � � � m � � 35 Phương trình lượng giác chứa tham số � � �  16m  12  m � � � �f  1  8m   � �  VN  TH2:  * có nghiệm t � 1;1 � �f  1  8m   � �m   � � s 4m � �3 1    1  m � � � �4 Ví dụ 5: Cho phương trình tan x cos x   m Để phương trình vơ nghiệm, giá  tan x trị tham số m phải thỏa mãn điều kiện: A  �m �0 B  m �1 Giải: Chọn D ĐK: cos x �0 C  m � D m   hay m  tan x tan x cos x   m � cos x   m � cos x  4sin x cos x  m 2  tan x 2 cos x �   1  2sin 2 x  2sin x  m � sin 2 x  2sin x  m   2 1;1�  Khi phương trình trở thành: t  2t  m   0(*) Đặt sin x  t  t �� � � Phương trình (*) vơ nghiệm: 3  m 0� m  TH1: � � m� � � �0 � � � �� m �m TH2: � � 5� � � � �� 2 �m  � �f  1 f  1  �m  � �� � � � 2� � �� m �� � Ví dụ 6: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  cos x  1  cos x  m cos x   m sin x có nghiệm A 1  m �1 B  m � C 1  m � - 36 2 x �� 0; � � � D   m �1 Phương trình lượng giác chứa tham số Giải: Chọn C Ta có  cos x  1  cos x  m cos x   m sin x �  cos x  1  cos x  m cos x   m   cos x    cos x  cos x  1 cos x  1 � � �� �� cos x  m cos x  m  m cos x � cos x  m � 2 0; � Với cos x  1 � x    k 2 : nghiệm x �� � � Với cos x  m � cos2 x  m 1 2 � �1 �  ;1� , phương trình cos x  a có nghiệm với a �� � � � �2 � � 0; Trên � � �m  1 � m 1 �1  ��� � � Do đó, yêu cầu toán ۣ � �2 �1 m 1 �1 � � �2 m  1 � � � m 1 � � � �m  1 � � m � � � m Bài tập tương tự: 2 Câu Biết m  m0 phương trình 2sin x   5m  1 sin x  2m  2m  có  � � nghiệm phân biệt thuộc khoảng � ;3 � Mệnh đề sau � � đúng? A m  3 B m  7� � �5 10 � � C m0 �� ; Câu Cho phương trình cos x  2(m  1)sin � 2� D m0 �� ;  � �5 x  3m   tìm giá trị �  �  ; � ngun m để phương trình có nghiệm x �� �3 3� 37 5� Phương trình lượng giác chứa tham số A B C D Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin4 x = m.tan x có nghiệm x �kp;k �� �1 � � � A m �-� � ;4� � � � �1 � � B m �-� � ;4� � � � � � � � ;4� � C m �� � � � � ( 1;4) D m�- Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình � 0; p � � cos4 x = cos2 3x + msin x có nghiệm thuộc khoảng � � � � 12 � � � 1� � � 0; � � A m �� � � � � 2� � � ;2� � � � B m �� � � � � � C m�( 0;1) � � 1� � � � 1; � � D m �� � � � 4� Câu Cho phương trình 2cos2 3x +( 3- 2m ) cos3x +m - = Tìm tất giá � p p� � - ; � � trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng � � � � 3� A - 1�m �1 B 1< m �2 C 1�m �2 D 1�m < Câu Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m - 1= Gọi S tập tất � 3p � � � � -� 5;5� 0; � � giá trị nguyên m thuộc đoạn � để phương trình có nghiệm thuộc � � � � � � Tổng phần tử S bằng: A -15 B -14 C D 15 Câu Cho phương trình ( cos x +1)( 4cos2 x - m cos x ) = m sin x Số giá trị � 2p � 0; � nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn � � �là � � A B C 38 D Phương trình lượng giác chứa tham số 7.2 Khả Áp dụng sáng kiến: SKKN có khả áp dụng tốt cho thầy cô giáo việc nâng cao chun mơn phần kiến thức: Phương trình lượng giác chứa tham số Học sinh ôn thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi SKKN có khả áp dụng tốt Vì nội dung sáng kiến trình bày rõ ràng phương pháp phần, có nhiều ví dụ từ dễ đến khó, giải chi tiết nhấn mạnh đặc điểm dạng để người đọc nhận rõ hướng cho dạng tập tránh lỗi gặp phải giải tốn Những thơng tin cần bảo mật: Như tơi nói sáng kiến muốn đưa để chia sẻ với đồng nghiệp học sinh Nên không bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh với đối tượng, đặc biệt tốt với học sinh khá, giỏi lớp 11, 12 Với giáo viên dạy lớp trường THPT 39 Phương trình lượng giác chứa tham số 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả 10.1.1 Về phía giáo viên: Có chủ động kiến thức, gặp lúng túng vướng mắc trước Kiến thức củng cố, mở rộng mấu chốt toán biết thực theo hướng mà yêu cầu tốn hỏi Giáo viên có cách nhìn nhận tốn trở nên dễ hơn, phát triển tốn khác theo cách tương tự, từ đổi phương pháp theo hướng chủ động, dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh Như thấy tất tốn phương trình lượng giác tham số lớp 11, đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi bắt nguồn từ tập sách giáo khoa phát triển nên yêu cầu người dạy người học phải sáng tạo phát triển từ tốn gốc 10.1.2 Về phía học sinh: - Việc sử dụng SSKN giúp học sinh có cách nhận dạng tương đối xác đa số dạng tập phương trình lượng giác chứa tham số đưa cách giải nhanh nhất, xác mà khơng cịn phải học thuộc lịng cách giải tốn cách máy móc trước - Qua phần học học sinh củng cố lại phần kiến thức Parabon, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, đường tròn đượng giác… thấy tầm quan trọng với mơn học, thấy quan trọng liên quan với phần học khác 40 Phương trình lượng giác chứa tham số 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Trước sử dụng phương pháp tơi có bảng số liệu sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 11A1 39 5,1 10 25,6 22 56,4 12,8 11A8 38 5,3 23,7 21 55,1 15,9 - Sau áp dụng phương pháp cho học sinh kiểm tra khảo sát thu kết sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB SL % SL % SL % 11A1 39 12 33,3 15 43,8 12 22,9 11A8 38 23,7 15 39,5 14 36,8 Như số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều so với ban đầu chưa sử dụng phương pháp 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ chức/cá nhân Địa TT Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Nguyễn Thị Khánh Hịa THPT Tam Đảo Ơn Thi THPTQG- Ơn thi HSG 11,12 Vũ Văn Thiết THPT Tam Đảo 41 Ôn Thi THPTQG- Ôn thi Phương trình lượng giác chứa tham số HSG 11,12 Lưu Văn Yên , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị THPT Tam Đảo , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ ÔN THI THPTQG , ngày tháng năm 2020 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Hiên Tài liệu tham khảo 1) Toán nâng cao cho học sinh đại số THPT (Phan Huy Khải) 2) Phân loại phương pháp giải toán đại số lớp 11 (NXB GD) 3) Tuyển tập đề thi olympic tháng 4, lần XII 4) Trang Web: Đề thi.violet 5) Rèn luyện kỹ giải tập đại số giải tích 11 (NXB GD) 6) 500 toán nâng cao 11 (PGS.TS Nguyễn Văn Lộc) 7) Đề thi thử THPTQG trường đề thi học sinh giỏi tỉnh 8) Phương pháp giải tốn giải tích 11(NXB Hà Nội) 42 ... giá trị 2p tham số m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 - x2 = A.0 B C 14 D Vơ số Phương trình lượng giác chứa tham số Dạng 2: Biện luận số nghiệm phương trình lượng giác dựa vào... định gọi đường trịn lượng giác Phương trình lượng giác chứa tham số Với số thực  , cung lượng giác có số đo  biểu diễn điểm � M đường tròn lượng giác cho Trên đường trịn luợng giác cho cung AM... trị lượng giác cung  Trục tung trục sin, trục hoành trục cosin III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Giải phương trình lượng giác: Tìm tất giá trị ẩn số thỏa mãn phương trình cho Các phương trình