(SKKN mới NHẤT) SKKN rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 11 có đề thi THPT Quốc gia năm Quá trình giải phương trình lượng giác thường gồm bước: biến đổi phương trình dạng bản, tìm nghiệm phương trình so sánh với điều kiện xác định (nếu có) kết luận nghiệm phương trình Việc biến đổi phương trình lượng giác địi hỏi học sinh nắm vững công thức lượng giác mà biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo cơng thức Tuy nhiên, cơng thức lượng giác học lớp 10 nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn tự củng cố kiến thức công thức lượng giác Do đó, hoạt động củng cố cơng thức lượng giác cho học sinh cần thiết Khi biến đổi phương trình lượng giác, số học sinh dù thuộc công thức lượng giác lúng túng việc lựa chọn công thức lượng giác để áp dụng lúng túng cách áp dụng công thức cho hợp lý, hiệu Những khó khăn học sinh chưa vận dụng linh hoạt, thục cơng thức lượng giác Cịn phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu thức, sau biến đổi phương trình dạng bản, nhiều học sinh thấy khó khăn việc so sánh nghiệm phương trình với điều kiện xác định phương trình Học sinh Trung tâm GDTX gặp nhiều khó khăn bước giải phương trình lượng giác Vì thế, tơi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác” để góp số kinh nghiệm cho việc dạy học phương trình lượng giác chương trình Tốn lớp 11 hiệu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: + Xây dựng hệ thống và phân loại các bài tập giải phương trình lượng giác từ dể đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 11 hiểu nắm vững có kỹ giải phương trình lượng giác + Hình thành phương pháp và các bước giải, kỹ giải các dạng bài tập đó + Rèn cho học sinh kỹ huy động, vận dụng kiến thức đã học để giải toán + Đưa hệ thống bài tập nhằm cũng cố cho học sinh kỹ vận dụng gặp dạng toán giải phương trình lượng giác III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: + Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu áp dụng thực nghiệm học sinh lớp 11 GDTX Thọ Xuân năm học 2015-2016 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết kiến thức lượng giác khối 10, giải phương trình lượng giác khối 11, công thức lượng giác bản, kỹ biến đổi lượng giác, kỹ giải phương trình lượng giác Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt là phương pháp giảng dạy bài tập toán download by : skknchat@gmail.com + Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, dự đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu sự phản hồi từ học sinh + Phương pháp thực nghiệm: thực kiểm tra đánh giá lớp 11A1, 11A2 sau trình học tập B NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: I CƠ SỞ LÝ LUẬN + Bài tập toán có tác dụng bổ sung, hồn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết thiếu thời lượng phân phối chương trình quy định + Bài tập tốn giúy học sinh hiểu sâu lý thuyết, cố rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán, kỹ vận dụng lý thuyết vào thực tiễn … + Bài tập tốn cịn giúy cho học sinh phát triển tư tích cực, tạo tiền đề nâng cao lực tự học, cố khả sử dụng ngôn ngữ, cách trình bày lời giải, khả khám phá tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu + Thơng qua tập tốn giáo viên giảng dạy có kênh thơng tin thu thập, đánh giá xác lực học tập học sinh II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN + Trước áp dụng sáng kinh nghiệm này, để giải phương trình lượng giác, nhiều học sinh phải đâu, bất đầu Học sinh cần phải trang bị kiến thức nào, kỹ để thể tiếp cận giải phương trình lượng giác + Khi gặp phương trình lượng giác học sinh thường có tâm lý sơ khó nên khơng chịu suy nghĩ để giải + Một số giáo viên trẻ giảng dạy chưa nắm mối quan hệ kiến thức lớp lớp nên việc chuẩn bị kiến thức nền, kiến thức bản, kiến thức trọng tâm kỹ tối thiểu cần đạt để học sinh tiếp cận kiến thức lớp sau bị hổng, bị thiếu III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN Để giải phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công thức nghiệm phương trình lượng giác biết cách biến đổi phương trình dạng dạng biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác; dạng bậc ; dạng bậc hai Các phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác biến đổi dạng mà không cần áp dụng cơng thức lượng giác Cịn hầu hết phương trình lượng giác khác địi hỏi học sinh phải áp dụng nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình dạng bản, dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác Chẳng hạn, học sinh áp dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc dạng bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình bậc hai dạng bậc Vì vậy, việc rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác chủ yếu rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải Ngoài ra, phương trình download by : skknchat@gmail.com lượng giác chứa ẩn mẫu thức sau biến đổi phương trình dạng bản, phải so sánh nghiệm phương trình lượng giác với điều kiện xác định để kết luận nghiệm phương trình ban đầu Học sinh cần hệ thống tập vừa củng cố kiến thức công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình (nếu có) Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác” nêu số kinh nghiệm tích lũy q trình dạy học phương trình lượng giác sau: Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức công thức lượng giác nêu ví dụ cách vận dụng linh hoạt cơng thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình (nếu có) Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức công thức lượng giác nêu ví dụ cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác biến đổi phương trình lượng giác Các cơng thức lượng giác : - Công thức - Công thức cộng - Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc - Cơng thức biến đổi tổng thành tích - Cơng thức biến đổi tích thành tổng Mỗi cơng thức lượng giác có dạng Khi vận dụng cơng thức dạng vào biến đổi phương trình lượng giác, có A đa số học sinh thường nhận biết việc thay A B, ngược lại, có B khơng học sinh thấy khó nhận việc thay B A Hoạt động ví dụ sau giúp cho học sinh củng cố vận dụng công thức lượng giác theo hai chiều Lưu ý có nhiều cơng thức lượng giác nên hướng dẫn cho học sinh tự thực hoạt động nhà kiểm tra công thức học sinh viết lớp Hoạt động Viết công thức lượng giác theo chiều ngược lại từ vế phải sang vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng theo chiều ngược lại : Ví dụ Giải phương trình sau a) (1a) b) (1b) Hướng dẫn : Áp dụng công thức cộng : (*) download by : skknchat@gmail.com - Đối với phương trình (1a), áp dụng cơng thức (*) ta có: - Đối với phương trình (1b), áp dụng cơng thức (*) theo chiều ngược lại : , ta có: Lời giải ví dụ 1: a) , b) Một công thức lượng giác áp dụng cho nhiều góc khác Đa số học sinh trung bình, yếu khơng nhận công thức lượng giác cần áp dụng áp dụng công thức cho hợp lý biến đổi phương trình lượng giác chưa viết lại cơng thức lượng giác cách thay góc cơng thức góc khác Nếu cho học sinh viết lại cơng thức lượng giác nhiều hình thức khác ứng với góc khác em khơng thấy khó khăn vận dụng cơng thức vào biến đổi phương trình lượng giác Hoạt động ví dụ sau giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng giác cần áp dụng áp dụng công thức lượng giác cho góc khác Hoạt động Viết lại công thức nhân đôi công thức hạ bậc thay góc x cơng thức góc khác 2x, góc x cơng thức nhân đơi , , …, chẳng hạn, thay góc ta Ví dụ Giải phương trình Hướng dẫn: download by : skknchat@gmail.com Áp dụng công thức nhân đơi biến đổi phương trình dạng - Thay góc x cơng thức góc - Thay góc x cơng thức , ta được: góc , ta : Lời giải ví dụ , , Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt cơng thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình (nếu có) Các tập sau giúp học sinh vừa củng cố kiến thức công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác; dạng bậc ; dạng bậc hai Lưu ý bước giải phương trình chứa ẩn mẫu thức: biến đổi phương trình dạng bản, tìm nghiệm phương trình dạng so sánh với điều kiện xác định phương trình, từ kết luận nghiệm phương trình i) Các tập áp dụng cơng thức Bài Giải phương trình : a) (1a) b) (1b) Hướng dẫn: Dùng công thức , biến đổi phương trình (1a) dạng bản, phương trình (1b) dạng tích Lời giải: a) download by : skknchat@gmail.com , k Z b) Bài Giải phương trình : Hướng dẫn: Dùng cơng thức bậc hai , với , biến đổi phương trình dạng Lời giải: , k Z Nhận xét: Nếu thay phương trình tương đương khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình Bài Giải phương trình : Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, dùng công thức , với , biến đổi phương trình dạng bậc hai , so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình Lời giải: Điều kiện xác định: Với điều kiện trên, ta có : (1) (loại) download by : skknchat@gmail.com Vậy nghiệm phương trình cho ii) Các tập áp dụng công thức cộng Bài Giải phương trình : (4) Hướng dẫn: Dùng cơng thức biến đổi phương trình dạng Lời giải: (4) , Bài Giải phương trình: (5) Hướng dẫn: Dùng cơng thức , biến đổi dạng bậc Lời giải: (5) Bài Giải phương trình: Hướng dẫn: Dùng công thức: dạng , biến đổi phương trình Lời giải: download by : skknchat@gmail.com , Chú ý: Công thức Điều kiện xác định vế trái Điều kiện xác định vế phải Khi áp dụng công thức cộng, thay thay với điều kiện là: , tồn tại, tức Bài Giải phương trình: (7) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định phương trình dùng cơng thức biến đổi phương trình dạng bậc hai Lời giải: Điều kiện xác định : Với điều kiện trên, ta có : (7) (loại) Vậy nghiệm (7) Bài Giải phương trình: (8) download by : skknchat@gmail.com Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định phương trình, dùng cơng thức biến đổi phương trình dạng Lời giải: Điều kiện xác định : Với điều kiện trên, ta có : (8) (khơng thỏa điều kiện ) Vậy phương trình (8) vơ nghiệm iii) Các tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc Bài Giải phương trình: (9) Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức nhân đơi , biến đổi phương trình dạng Lời giải: (9) Bài 10 Giải phương trình: (10) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, áp dụng cơng thức nhân đơi: biến đổi phương trình dạng bậc hai Lời giải: Điều kiện xác định : Với điều kiện trên, ta có : (10) download by : skknchat@gmail.com (loại) (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình (10) Bài 11 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức hạ bậc hai biến đổi phương trình dạng bậc Lời giải: iv) Các tập áp dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích Bài 12 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức đưa phương trình dạng Lời giải: 10 download by : skknchat@gmail.com Bài 13 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức: đưa phương trình dạng tích Lời giải: Bài 14 Giải phương trình: Hướng dẫn: Thế , áp dụng công thức : biến đổi phương trình dạng tích Lời giải: 11 download by : skknchat@gmail.com v) Các tập áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng Bài 15 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng công thức : biến đổi phương trình dạng Lời giải: , , , Bài 16 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng công thức : biến đổi phương trình dạng Lời giải: , 12 download by : skknchat@gmail.com , , vi) Các tập áp dụng nhiều công thức lượng giác Bài 17 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức cộng đưa phương trình dạng Lời giải: , , Bài 18 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức bản, công thức nhân đôi công thức hạ bậc đưa phương trình dạng bậc hai Lời giải: 13 download by : skknchat@gmail.com Bài 19 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, cơng thức nhân đơi, đưa phương trình dạng tích Lời giải: , , Bài 20 Giải phương trình: Hướng dẫn: Áp dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức nhân đơi, đưa phương trình dạng bậc hai Lời giải: 14 download by : skknchat@gmail.com , Bài 21 Giải phương trình: Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức bản, công thức nhân đôi, công thức cộng Lưu ý: Điều kiện xác định phương trình: Điều kiện không đảm bảo tồn Với điều kiện nên phải xét hai trường hợp tồn tại, Lời giải: Điều kiện xác định: Ta có: (21) * Thế , với , vào phương trình (21) ta được: Do , với * Với điều kiện , nghiệm phương trình (21) , ta có: 15 download by : skknchat@gmail.com (21) , với Vậy nghiệm phương trình cho là: , với ; , với Bài 22 Giải phương trình: (22) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, áp dụng công thức nhân đôi, công thức lượng giác đưa phương trình bậc hai , so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình Lời giải: Điều kiện xác định: Với điều kiện trên, ta có: (22) (*) Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm phương trình (22) Chú ý : Các cách so sánh họ nghiệm với điều kiện xác định phương trình (22) : - Cách 1: biểu diễn nghiệm điều kiện đường tròn lượng giác Trên đường tròn lượng giác, họ nghiệm biểu diễn bốn điểm : y B.2  X A’ -1 O 1A x X A(1;0), download by : -1 3 B’ skknchat@gmail.com 16 A’(-1;0), B(0;1) B’(0;-1) Các góc khơng thỏa điều kiện biểu diễn hai điểm A(1;0) A’(-1;0) Do đó, nghiệm phương trình (22) số đo radian góc biểu diễn hai điểm B B’ Vì hai điểm B B’ có khoảng cách điểm B điểm biểu diễn góc nên chúng biểu diễn cho góc có số đo Vậy nghiệm (22) là: - Cách 2: Tìm điều kiện số nguyên k để thỏa điều kiện xác định phương trình (22) Ta có: (với ) Vậy nghiệm phương trình (22) là: ,với , Bài 23 Giải phương trình: (23) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với , áp dụng công thức nhân đôi, công thức cộng đưa phương trình bản, so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình Lời giải: Điều kiện xác định: Với điều kiện trên, ta có: (23) , với Ta có: * * , , với , khơng thỏa điều kiện (với (với , ) nghiệm phương trình (23) khi: , , với ) , , 17 download by : skknchat@gmail.com , với , , với Vây nghiệm phương trình (23) là: , với , , IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Các hoạt động, ví dụ tập nêu đề tài giúp học sinh vừa củng cố kiến thức công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt, sáng tạo công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu Từ đó, học sinh tự tin giải phương trình lượng giác, tránh kiểu học công thức lượng giác cách máy móc, khơng đạt hiệu áp dụng vào biến đổi phương trình lượng giác Trong năm học 2015-2016 tơi áp dụng hướng dẫn học sinh lớp 11A1, 11A2 học theo hệ thống tập so với lớp 11A3 khơng áp dụng kết có tiến rõ rệt mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh có kỹ giải tốn, học tích cực xây dựng Sau kết khảo sát: Lớp Sĩ số Học sinh hiểu SL TL (%) Học sinh có kĩ SL TL (%) Học sinh tích cực SL TL (%) 11A1 45 40 88,9 25 55,6 15 33,3 11A2 44 41 93,2 28 63,6 14 31,8 11A3 45 23 51,0 11,1 8,9 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN - Giải phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình hình học lớp 11, dạng toán thường gặp đề thi THPT Quốc gia hàng năm Vì trình giảng dạy phải yêu cầu học sinh nắm kiến thức bản, trọng tâm, có kỹ thạo giải dạng toán - Trong dạy học giải tập toán việc phân dạng, loại tập bước giải vô cần thiết việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn tập dạy sát đối tượng yếu tố đảm bảo thành công Để dạy học sinh học nắm vững kiến thức giải phương trình lượng giác ta cần trang bị công thức lượng giác bản, kỹ giải phương trình lương giác thường gặp kỹ biến đổi linh hoạt phương trình dạng - Kinh nghiệm sáng kiến tư liệu bổ ích cho giáo viên tham khảo dạy cho đối tượng đại trà, khá, giỏi - Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy việc phân dạng làm rõ kỹ giải phương trình lượng giác giúy học sinh nắm vững bài, khơng cịn lúng túng, lo sợ học phần này, bước đầu em có định hướng phương pháp để giải toán Với kết thực nghiệm hai lớp dạy học sinh say mê, tích cực hiểu đạt tỷ lệ cao Đó động lực để tơi cố gắng để tiếp tục bổ sung hoàn thiện sáng kiến 18 download by : skknchat@gmail.com - Thông qua kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm quý báu trình giảng dạy mạnh dạn trao đổi với đồng nghiệp để góp ý, xây dựng cho sáng kiến hoàn chỉnh II KIẾN NGHỊ - Qua thực tế giảng dạy đối tượng học sinh đại trà Trung tâm giáo dục thường xuyên, nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức bản, vận dụng kiến thức để giải toán cần lưu ý số nội dung sau: * Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức bản, kiến thức trọng tâm, cốt lõi chương, lựa chọn phương pháp thích hợp với đối tượng * Biết phân loại, dạng tập phù hợp đối tượng lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh có, bổ sung hồn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng tiết dạy * Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thơng qua tiết tập, kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúy học sinh dể hiểu học * Trước giảng dạy phần nói riêng nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung Trên số kinh nghiệm nhỏ thân phần giúy học sinh có kỹ giải phương trình lượng giác dể ràng hơn, hướng thú học tập Đây sáng kiến thực tế, thiết thực cho trường học Học sinh khối giáo dục thường xuyên lực học tập hạn chế, đồng thời sáng kiến gợi mở cho em khá, giỏi đường, cách thức để giải tốn khó Tơi nhận thấy với hiểu biết có hạn, thời gian, khơng gian cịn nhỏ nên sáng kiến khơng trách khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp đồng nghiệp, chuyên viên Sở Giáo dục Đào tạo Tôi xin trân thành cám ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 19 download by : skknchat@gmail.com ... thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình. .. giải phương trình lượng giác chủ yếu rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác dạng dạng biết cách giải Ngồi ra, phương trình download by : skknchat@gmail.com... góc , ta : Lời giải ví dụ , , Hệ thống tập rèn kỹ giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh