Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM năm 2012 - 2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA T.P HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG LÊ HỒNG PHONG T.P HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2012 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: Giải phương trình: x + + 46 − 10 x = − x3 + x + x + Câu 2: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a số nguyên dương, biết: f(5) – f(4) = 2012 Chứng minh: f(7) – f(2) hợp số Câu 3: Cho ba số dương a; b c thỏa a + b + c = Tìm GTNN : ab + bc + ca A = 14 ( a + b + c ) + a b + b2c + c2a Câu 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) có AC vuông góc BD H Trên cạnh AB lấy điểm M cho: AM = 1/3 AB Trên cạnh HC lấy trung điểm N Chứng minh MH vuông góc với DN Câu 5: Cho đường tròn tâm O đường tròn tâm I cắt hai điểm A B(O I khác phía A B) IB cắt (O) E: OB cắt (I) F Qua B vẽ MN // EF( M thuộc (O) N thuộc (I) a) Chứng minh: Tứ giác OAIE nội tiếp b) Chứng minh: AE + AF = MN Câu 6: Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý cho điểm tồn điểm mà khoảng cách điểm bé Chứng minh tồn đường tròn có bán kính chứa 1007 điểm( kể biên) ………………………………… Hết ………………………………… Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 Hocmai.vn - Trang | - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA T.P HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG LÊ HỒNG PHONG T.P HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2012 HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI: TOÁN (Chuyên) x + + 46 − 10 x = − x3 + x + x + Câu 1: Giải phương trình: HDG: −1 46 ≤x≤ 10 Điều kiện : x + + 46 − 10 x = − x3 + x + x + ⇔ x + − + 46 − 10 x − = − x + x + x − ⇔ ( 8x +1 − )( 8x + + )+( 46 − 10 x − )( 46 − 10 x + 8x +1 + 46 − 10 x + −8 (1 − x ) 10 (1 − x ) ⇔ + = (1 − x ) ( x − x + ) 8x + + 46 − 10 x + ) = (1 − x ) ( x − x + 8) (1) 1 − x = ⇒  −8 10 + = x2 − 4x +  x + + 46 − 10 x + ( 2) Từ (1) suy ra: x = Từ (2), ta có : x2 – 4x + = (x – 2)2 + ≥ với x 10 10 ≤ = 46 − 10 x + 6 −8 10 10 suy : + = − < 46 − 10 x + 8x + + 46 − 10 x + 8x + + 3 46 − 10 x ≥ ⇔ 46 − 10 x + ≥ ⇔ Vậy : 10 −8 + < x − x + , với x 46 − 10 x + 8x + + Suy phương trình có nghiệm : x = Câu 2: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a số nguyên dương, biết: f(5) – f(4) = 2012 Chứng minh: f(7) – f(2) hợp số HDG: Ta có : f(5) – f(4) = 2012 (125a + 25b + 5c + d) – ( 64a + 16b + 4c + d) = 2012 61a + 9b + c = 2012 f(7) – f(2) = (343a + 49b + 7c + d) – ( 8a + 4b + 2c + d) = 335a + 45b + 5c Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 = 305a + 45b + 5c +30a = 5(61a + 9b + c) + 30a = 2012 + 30a = 2( 1006 + 15a) Vì a số nguyên nên ta : 2( 1006 + 15a) chia hết cho Vậy f(7) – f(2) hợp số Câu 3: Cho ba số dương a; b c thỏa a + b + c = Tìm GTNN : ab + bc + ca A = 14 ( a + b + c ) + a b + b2c + c2a HDG: Ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) − ( a2 + b2 + c2 ) = ab + bc + ca Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si: a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy a = b = c suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a) 2 ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) ab + bc + ca suy ra: ≥ ⇔ ≥ = a b + b 2c + c a a + b + c a b + b2c + c a a2 + b2 + c 2 ( a2 + b2 + c2 ) Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta có : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 = dấu “=” xảy a = b = c = Ta : A = 14t + , 3 − 3t 28t 3t 27t t = + − = + + − 2t 2t 2t 2t 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Mặt khác : t≥ 27t 27t + ≥2 = dấu “=” xảy : t = 2t 2t t 3 4 1 − ≥ − = −  : t ≥  2 3 3 Suy ra: A ≥ − 23 1 = dấu “=” xảy : a2 + b2 + c2 = a = b = c suy ra: a = b = c = 3 3 Vậy A đạt giá trị nhỏ 23 , a= b = c = 3 Câu 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) có AC vuông góc BD H Trên cạnh AB lấy điểm M cho: AM = 1/3 AB Trên cạnh HC lấy trung điểm N Chứng minh MH vuông góc với DN HDG: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 A + Gọi E; F trung điểm HB MB, M Suy ra: AM = MF = FB = 1/3 AB F G H B D E + Gọi K G giao điểm MH với DN AE K O + Ta có: ∆ AHB ~ ∆ DHC => AH : HB = DH : HC N => AH : (2HE) = DH : ( 2HN) AH : HE = DH : HN C => ∆ AHE ~ ∆ DHN => NDH = EAH + Ta có : EF đường trung bình tam giác HMB => HM // EF + Xét ∆ AEF : AM = MF MG // EF => AG = GE + Xét ∆ AEH: vuông H có G trung điểm AE, suy ra: AG = HG = EG => ∆ AHG cân G => AHG = EAH + Ta có : KDH + DHK = EAH + DHK = AHG + DHK = 900 , suy ∆ DHK vuông K Vậy MH vuông góc với DN.(đpcm) Câu 5: Cho đường tròn tâm O đường tròn tâm I cắt hai điểm A B(O I khác phía A B) IB cắt (O) E: OB cắt (I) F Qua B vẽ MN // EF( M thuộc (O) N thuộc (I) a) Chứng minh: Tứ giác OAIE nội tiếp b) Chứng minh: AE + AF = MN HDG: a) + ∆ BOE cân O => OBE = OEB ; + ∆ BIF cân I => IBF = IFB ; Do: OBE = IBF ⇒ OEB = IFB , suy ra: tứ giác OIFE nội tiếp A + Do: ∆ AOI = ∆ BOI ( c – c – c) => OAI = OBI I O + Ta có : N OAI + OEI = OBI + OBE = 1800 , suy tứ giác AOEI nội tiếp B M F Vậy điểm O; A; I; E; F nằm đường tròn E Vậy Tứ giác OAIE nội tiếp b) + Xét đường tròn (O) : AMB = FOI = Sd AB + Do : MN // EF ta : BEF = MBE ( slt) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 + Do điểm O; A; I; E; F nằm đường tròn, suy ra: BEF = FOI Suy ra: AMB = FOI = BEF = MBE suy ra: AM // EB Vậy tứ giác MABE hình thang nội tiếp đường tròn (O) suy ra: MABE hình thang cân => MB = AE + Chứng minh tương tự ta được: NB = AF, suy ra: AE + AF = MB + NB = MN ( đpcm) Câu 6: Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý cho điểm tồn điểm mà khoảng cách điểm bé Chứng minh tồn đường tròn có bán kính chứa 1007 điểm( kể biên) HDG: Gọi điểm : A1; A2; A3; …; Ai; Ai + ; A2012; A2013 Ta chia cặp điểm sau: (A1; A2013); ( A2; A2012); …( Ai; A2013 – i)…;(A1006; A1008) , điểm A1007 Xét điểm A1007 với cặp điểm cho, theo giả thiết cặp điểm tồn điểm Am cho đoạn thẳng A1007Am có độ dài nhỏ Không tính tổng quát giả sử điểm A1; A2; …; A1006 có khoảng cách đến điểm A1007 nhỏ 1, suy điểm A1; A2; …; A1006 nằm đường tròn tâm A1007 bán kính Vậy tồ đường tròn có bán kính chứa 1007 điểm 2013 điểm cho (đpcm) Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 Hocmai.vn - Trang | - .. .Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA T.P HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG LÊ HỒNG PHONG T.P HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2012 HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN THI: TOÁN (Chuyên)... vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 = 305a + 45b + 5c +30a = 5(61a + 9b + c) + 30a = 2012 + 30a = 2( 100 6 + 15a) Vì a số nguyên nên ta : 2( 100 6 + 15a) chia... (x – 2)2 + ≥ với x 10 10 ≤ = 46 − 10 x + 6 −8 10 10 suy : + = − < 46 − 10 x + 8x + + 46 − 10 x + 8x + + 3 46 − 10 x ≥ ⇔ 46 − 10 x + ≥ ⇔ Vậy : 10 −8 + < x − x + , với x 46 − 10 x + 8x + + Suy phương