Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2015 - 2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn) Thêi gian lµm bµi :120 Câu 1: 1) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a  3a  b  3b  a) Chứng minh a  b  3 b) Chứng minh a  b3  45 2 x  y  xy 2) Giải hệ phương trình  2 4 x  y  xy Câu 1) Tìm số nguyên x, y không nhỏ cho xy  chia hết cho  x  1 y  1 2) Với x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x y  y   Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức xy P 3y 1 Câu Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi E,F điểm đối xứng D qua IC,IB 1) Chứng minh EF song song với BC 2) Gọi M,N,J trung điểm đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M,N,P,J nằm đường tròn 3) Chứng minh ba điểm A,J,P thẳng hàng Câu 1) Cho bảng ô vuông 2015  2015 Kí hiệu ô  i, j  ô hàng thứ i , cột thứ j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau: i) Số viết vào ô (1,1) 10 … ii) Nếu số k viết vào ô  i, j  ,  i  1 số k+1 … … viết vào ô  i  1, j  1 … iii) Nếu số k viết vào ô 1, j  số k+1 viết … vào ô  j  1,1 (Xem hình 1.) Hình Khi số 2015 viết vào ô  m, n. Hãy xác định m n 2) Giả sử a,b,c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ac  abc  Chứng minh a  b  c  a  b  c   ab  bc  ac  Hướng dẫn: Câu a) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a  3b  a)  b  3a   a2  b2   a  b     a  b  a  b    a  b     a  b  a  b  3   a  b   loai    a  b  3  a  b   27 3 b)  a  b  3ab  a  b   27  a  b3  9ab  27 a  3a  b  3b    a  b   2ab   a  b    ab  2 a  b3  45 2 x  y  xy b) Giải hệ phương trình  2 4 x  y  xy Ta thấy x-y =0 nghiệm phương trình Nếu y  nhân hai vế phương trình với y 2 2 xy  y  xy  2 4 x  y  xy 2 x  y  xy 2 x  y  xy 2 x  y  xy 2 x  y  xy         2 2 2  x  y  x  y   4 x  y  xy 2 x  xy  y  4 x  y  xy  2 x  y  xy  x  y 1  x  y    2 x  y  xy     x  y x  y      2 x  y  xy  x  , y     x  y   5  Câu a) Tìm số nguyên x, y không nhỏ cho xy  chia hết cho  x  1 y  1 Ta có xy –   x  1 y  1 suy xy -  xy +1- x –y Mà xy +1- x –y  xy +1- x –y Suy : (x-1) + (y -1)   x  1 y  1 suy x-1  y -1 y-1  x -1 Suy x = y x2 –  (x - 1)2 ta có x +  x - suy  x - suy x = x = 3) Với x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x y  y   Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x3 y  y    y   x y   y  P xy 3y 1  x2 y 1 xy xy  2   x y  1   3x y  1  px y  xy  p     12 p Phương trình có nghiêm   suy – 12p2   p   p    1 14 27 Vây max P = xy   suy y  27  x 27 3 3 14 Câu 3: A E F J M B a) Ta có: AD phân giác  P N D BD AB mà BED, CDF tam giác cân,  DC AC BE AB   BC FE CF AC b) Ta có : BC FE  FED  EDB  BED  mà APM  180  AEM  BED  APM  DEF Tương tự : DFE  APN  APN  APM  DFE  FED  MPN mà MJN  MDN  EDF  MJN  MPN  180  MPNJ nội tiếp C c) Ta có : APM  DEF JPM  JNM  JEM  JPM  APM  A, PJ thẳng hàng Câu 4: 1) Theo đề bài, số nguyên dương xếp theo hàng chéo bảng: Hàng chéo thứ có số, hàng chéo thứ hai có số, Giả sử số x nằm hàng chéo thứ k ta có:  1   x  k (k  1) k (k  1) 1   x   8x x  k k  2 2    1   8.2015  Áp dụng x  2015 ta có k     63   k (k  1)   1954 Số hàng chéo thứ k  63 Như số 2015 nằm vị trí thứ 2015  1954   62 hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Tọa độ (2, 62) 2) Theo Cauchy số ta có :  abc  ab  bc  ac  4 a 3b3c   abc  a  b  c  3 abc  3 a 2b 2c BĐT tương đương : a  b  c  3 a 2b 2c   ab  bc  ac  (1) Đặt a  x, b  y , c  z  x , y , z   1  x3  y  z  3xyz  x3 y  z x3  z y Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x3  y  z  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z   x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   z  z  x  z  y   với số thực không âm x, y, z Chứng minh BĐT : Do vai trò x, y, z , giả sử x  y  z  z  z  x  z  y   Ta xét : x  x  z   y  y  z   x  xz  yz  y   x  y  x  y  z    x  x  z  x  y   y  y  z  x  y    x  x  z  x  y   y  y  z  y  x    x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   z  z  x  z  y    dpcm Ta có : x3  y  z  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z   x3 y  z x3  z y x  y  z Dấu = xảy   a  b  c 1  x  y, z  ... 1 y  1 suy xy -  xy + 1- x –y Mà xy + 1- x –y  xy + 1- x –y Suy : (x-1) + (y -1 )   x  1 y  1 suy x-1  y -1 y-1  x -1 Suy x = y x2 –  (x - 1)2 ta có x +  x - suy  x - suy x = x = 3)... 8x x  k k  2 2    1   8 .2015  Áp dụng x  2015 ta có k     63   k (k  1)   1954 Số hàng chéo thứ k  63 Như số 2015 nằm vị trí thứ 2015  1954   62 hàng chéo thứ 63 (Vị... Tương tự : DFE  APN  APN  APM  DFE  FED  MPN mà MJN  MDN  EDF  MJN  MPN  180  MPNJ nội tiếp C c) Ta có : APM  DEF JPM  JNM  JEM  JPM  APM  A, PJ thẳng hàng Câu 4: 1) Theo đề bài,