Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2015 - 2016 trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, Hà Nội

Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I.. Đường thẳng AI cắt BC tại D.. Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB.. 1 Chứng minh rằng EF song so

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIấN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYấN NĂM 2015

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Thời gian làm bài :120 phút

Cõu 1:

1) Giả sử a,b là hai số thực phõn biệt thỏa món a23ab23b2

a) Chứng minh rằng a b   3

b) Chứng minh rằng 3 3

45

a b   2) Giải hệ phương trỡnh 2 2 3 2 5 2





 Cõu 2

1) Tỡm cỏc số nguyờn ,x y khụng nhỏ hơn 2 sao cho xy  chia hết cho 1 x1y1

2) Với ,x y là những số thực thỏa món đẳng thức x y2 22y 1 0.Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

xy P y



 Cõu 3

Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I Đường thẳng AI cắt

BC tại D Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB

1) Chứng minh rằng EF song song với BC

2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trỡn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn

3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng

Cõu 4

1) Cho bảng ụ vuụng 2015 2015 Kớ hiệu ụi j là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j Ta viết cỏc số , 

nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau:

i) Số 1 được viết vào ụ (1,1)

ii) Nếu số k được viết vào ụ i j,  , i 1 thỡ số k+1

được viết vào ụ i1, j1

iii) Nếu số k được viết vào ụ 1, j thỡ số k+1 được viết 

vào ụ j 1,1 (Xem hỡnh 1.)

Khi đú số 2015 được viết vào ụ m n Hóy xỏc định m , 

và n

1 3 6 10 …

4 8 …

7 …

…

Hỡnh 1

2) Giả sử a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món ab bc acabc4.Chứng minh rằng

2

a b c    a b c ab bc ac 

Hướng dẫn:

Câu 1 a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn

a)

2

2







0

3

a b a b

a b

 



 

  



b)

3

27

a b

  

2

2

ab

vậy a3b3 45

b) Giải hệ phương trình 2 2 3 2 5 2







Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình

Nếu y  nhân hai vế của phương trình với y 0







 2 2 3 2 5 2







 2 2 3 5 2







 2 2 3 2 5 2

















1 0

,

x y

x y

  







  

 Câu 2

a) Tìm các số nguyên ,x y không nhỏ hơn 2 sao cho xy  chia hết cho 1 x1y1

Ta có xy – 1 x1y1 suy ra xy - 1 xy +1- x –y

Mà xy +1- x –y xy +1- x –y

Suy ra : (x-1) + (y -1)x1y1 suy ra x-1  y -1 và y-1  x -1

Suy ra x = y

x2 – 1  (x - 1)2

ta có x + 1  x - 1 suy ra 2  x - 1 suy ra x = 2 hoặc x = 3 3) Với ,x y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 22y 1 0.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 1

xy P y





3 3

2 1 0

x y  y 

2 2

2

x y

2 2

2

4 12

P

p

  

Phương trình có nghiêm khi  0 suy ra 4 – 12p2 0 3p2  3 p  3

Vây max P = 3 khi 1

3 3

xy   suy ra

1 1

Câu 3:

J

P

N M

D

A

a) Ta có: AD là phân giác BD AB

  mà BED,CDF là tam giác cân,

BC FE

b) Ta có : BC FEFEDEDBBED

mà APM 180 AEM BED  APM DEF

Tương tự : DFEAPN

mà MJN MDNEDF MJNMPN 180 MPNJ nội tiếp

c) Ta có : APM DEF và JPM JNM JEM JPM APM  A PJ, thẳng hàng

Câu 4:

1) Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số,

Giả sử số x nằm ở hàng chéo thứ kthì ta có:

Áp dụng x 2015ta có 1 1 8.2015 63

2

k   

Số đầu tiên ở hàng chéo thứ k 63là ( 1) 1 1954

2

k k 

  Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015 1954 1  62của hàng chéo thứ 63(Vị trí áp chót) Tọa độ của nó là (2, 62)

2) Theo Cauchy 4 số ta có : 4abcab bc ac44a b c3 3 3  1 abc

3 2 2 2 3

BĐT tương đương : 2 2 2 3 2 2 2  

a b c  a b c  ab bc ac (1)

a x b  y c z x y z

1 x y z 3xyz2 x y 2 z x 2 z y

3

x y z  xyzxy xy yz yz xz xz

          với mọi số thực không âm , ,x y z

Chứng minh BĐT :

Do vai trò , ,x y z như nhau , giả sử xy z

0

x xz y yz x xzyzy  xy xyz 

0

dpcm



x y z  xyzxy xy yz yz xz xz  x y  z x  z y

x y z

 



