Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di ========== Bài (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau : 1 1 a)A = + + + 1+ 5+ 9 + 13 2001 + b) B = x3 - 3x + 2000 với x = 3+2 + 2005 + 2005 + 2009 32 Bi (2,0 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 14 x b) 4 x x 16 + x + + x + y y = y c) x4 - 2y4 x2y2 4x2 -7y2 - = 0; (vi x ; y nguyờn) Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh với hai số thực a, b ta có: a + b ữ ab Dấu đẳng thức xảy ? b) Cho ba số thực a, b, c không âm cho a + b + c = Chứng minh: b + c 16abc Dấu đẳng thức xảy ? c) Với giá trị góc nhọn biểu thức P = sin + cos có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 ngời thừa ngời Nếu bớt ô tô phân phối tất học sinh lên ô tô lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 ngời Bài ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1 a) Chứng minh : + = R r a R 3r b) Chứng minh : S ABCD = 2 ; ( Kí hiệu S ABCD diện tích tứ giác ABCD ) (R + r ) BC ã 2) Cho tam giác ABC cân A có BAC số vô tỉ = 1080 Chứng minh : AC =============================================== Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di Bài Bài 1.b (1,5 đ) a Sơ lợc lời giải áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a= 3 + 2 , b= 3 2 biến đổi => x3 = + 3x Suy B = 2006 13 2005 2001 2009 2005 Có A = + + + + + 95 13 2005 2001 2009 2005 Rút gọn, đợc A = Bài 2a (2,0đ) c Bài 3a (2,0đ) 0,75 2 ;x 2 x + x + + x 2 x + = Gii, xỏc nh ỳng iu kin: x < ( x + 2) + ( x 7) = x = x + = x = x = (Tha món) x = x = x (1) (2) x 16 iu kin : (3) x + 2 x + y y (4) 2 T (2) (x 4)(x + 4) x kt hp vi (1) v (3) suy x = Thay vo (4): y2 2y + ; ỳng vi mi giỏ tr ca y Thay x = vo phng trỡnh v gii ỳng, tỡm c y = 1,5 Vy nghim ca phng trỡnh: (x = 2; y = 1,5) Bin i a c pt v dng: (x2 2y2 5)(x2 + y2 +1) = x2 2y = x2 = 2y2 + x l t x = 2k + ; ( k Z ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 2y2 = 4k2 + 4k y2 = 2(k2 + k 1) y chn t y = 2n; (n Z ) 4n2 = 2(k2 + k 1) 2n2 + = k(k + 1) (*) Nhỡn vo (*) ta cú nhn xột: V trỏi nhn giỏ tr l, v phi nhn giỏ tr chn (Vỡ k v k + l hai s nguyờn liờn tip) (*) vụ nghim pt ó cho vụ nghim Ta có: 0,25 0,25 0,25 0.5 0,25 0,25 0,25 a + 2ab + b a 2ab + b a+b ab = ữ ab = 4 ( a b) = 0, a, b R b 0,75 2009 b Cho điểm Vậy: a + b ữ ab, a, b R ( a + b ) 4ab, a, b R Dấu đẳng thức xảy a = b Theo kết câu 3.a, ta có: 2 ( a + b + c ) = a + ( b + c ) 4a ( b + c ) 0,25 0,25 0,25 mà a + b + c = (giả thiết) nên: 4a ( b + c ) b + c 4a ( b + c ) (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) c Nhng: ( b + c ) 4bc (không âm) Suy ra: b + c 16abc a = b + c 1 Dấu đẳng thức xảy khi: b=c= , a= b=c Ta có: P = sin + cos = ( sin ) + ( co s ) 0,25 0,25 P = ( sin + cos ) sin sin cos + cos P = ( sin + cos ) 3sin cos = 3sin cos áp dụng kết câu 3.1, ta có: 0,25 ( sin + cos ) 4sin cos 4sin cos sin cos Suy ra: P = 3sin cos = 0,25 4 Do đó: Pmin = khi: sin = cos sin = cos (vì góc nhọn) sin 0,25 = tg = = 450 cos + Gọi số ô tô lúc đầu x ( x nguyên x 2) Số học sinh cắm trại là: 22x + 0,25 + Theo giả thiết: Nếu số xe x số học sinh phân phối cho tất xe, 0,25 xe chở số học sinh y (y số nguyên < y 30) 22 x + 23 + Do ta có phơng trình: ( x 1) y = 22 x + y = = 22 + 0,25 x x + Vì x y số nguyên dơng, nên x phải ớc số 23 Mà 23 nguyên tố, nên: x = x = x = 23 x = 24 0,25 Nếu x = y = 22 + 23 = 45 > 30 (trái giả thiết) Nếu x = 24 y = 22 + = 23 < 30 (thỏa điều kiện toán) 0,25 + Vậy số ô tô là: 24 tổng số học sinh cắm trại là: 22 ì 24 + = 23 ì 23 = 529 học sinh 0,25 Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đ0,25 ờng trung trực đoạn thẳng BD,BD B E đờng trung trực AC.Do gọi M,I,K giao điểm đờng trung trực M đoạn thẳng AB với AB,AC,BD ta O có I,K tâm đờng tròn ngoại tiếp tam C A I giác ADB,ABC Từ ta có KB = r IB = R.Lấy K điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI hình thoi ( có hai đờng chéo EI D AB vuông góc với cắt trung điểm đờng ) 0,25 ã ã ã ã ã Ta có BAI = EBA mà BAI + ABO = 90 EBA + ãABO = 900 0,25 ã Xét EBK có EBK = 900 ,đờng cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta có Bài (1,5đ) Bài (3,0đ) 1a 2 2 2 1 + = 2 BE BK BM Mà BK = r , BE = BI = R; BM = a 1 Nên + = (Đpcm) R r a 0,25 1b Xét AOB AMI có ãAOB = ãAMI = 900 àA chung AOB : AMI AO AM AM AB AB = AO = = AB AI AI 2R Chứng minh tơng tự ta đợc BO = BM AB = AB BK 2r Ta có S ABCD = AO.OB = AB Rr Mà theo định lí Pi ta go tam giác vuông AOB ta có 1 4R r AB = OA2 + OB = AB + ữ AB = 2 r R R +r 3 8R r Từ ta có : S ABCD = 2 (R + r ) B 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A x C D ã Kẻ tia Cx cho CA tia phân giác BCx , tia Cx cắt đờng thẳng AB D.Khi ã Ta có DCA = ãACB = 360 DCA cân C , BCD cân B AB = AC = DC Theo tính chất đờng phân giác tam giác BCD ta có 0,25 CB AB BC CA = = ; BC = BD CD AD CA BD CA BC CA = BC ( BC CA) = CA2 BC BC.CA CA2 = CA BC CA 0,25 2 BC BC BC ữ = ữ ữ1 = CA CA CA BC BC + ( Vì BC số vô tỉ > 0) Vậy = CA AC CA 0,25