Chuyên đề Vecto HH10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MƠN TỐN BÀI BÁO CÁO MƠN GIẢI TỐN PHỔ THƠNG NHĨM 03 CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ GVHD: Lại Thị Cẩm Các thành viên: Trần Thị Kim Luyến Nguyễn Hồng Anh Chế Ngọc Hà Lê Thúy Hằng Nguyễn Hòang Long Lý Sel Thạch Thanh Tâm MSSV: 1050042 MSSV: 1070109 MSSV: 1070126 MSSV: 1070127 MSSV: 1070142 MSSV: 1070157 MSSV: 1070163 TÓM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I Các định nghĩa: r r uuu r uuur • Vectơ đoạn thẳng có đònh hướng Ký hiệu : AB ; CD a ;r b • Vectơ – không vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Ký hiệu • Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ • Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng • Hai vectơ phương hướng ngược hướng • Hai vectơ chúng hướng độ dài II Tổng hiệu hai vectơ: uuu r r uuur r uuur r r • Đònh nghóa: Cho AB = a ; BC = b Khi r AC r =a+b r r • Tính chất : * Giao hoán : a + b = b + a r r r r r r * Kết hợp ( a + b ) + c = a + (b + c ) r r r * Tính chất vectơ –không a + = a • Quy tắc điểm : uuu r uuur uuur Cho A, B ,C tùy ý Ta có : AB + BC = AC uuu r • Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + uuur uuur AD = AC • Quy tắc hiệu vectơ : Cho BC , với điểm O tùy ý ta có : OB − OC = CB • Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = • Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = • Nếu AM trung tuyến tam giác ABC AB + AC = AM III Tích vectơ với số: • Cho k∈R , k a vectơ xác đònh: * Nếu k ≥ k a hướng với a ; k < k a ngược hướng với a * Độ dài vectơ k a • Tính chất : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a k  a  c) k( a + b ) = k a + k b r r d) k a = ⇔ k = a = r r r r r r • b phương a ( a ≠ ) có số k thỏa b =k a • Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho uuur uuu r AB =k AC r r r r r • Cho b không cùngphương a , ∀ x biểu diễn x = m a + r n b ( m, n ) IV Trục tọa độ hệ trục tọa độ: r • Trục đường thẳng xác đònh điểm O vectơ i có độ dài r Ký hiệu trục (O; i )rhoắc x’Ox r • A,B nằm trục (O; i ) AB = AB i Khi AB gọi độ dài đại số AB • Hệ trục tọa độ vuông góc gồm trục Ox ⊥ Oy Ký hiệu Oxy r r (O; i ; j ) r r r r r • Đối với hệ trục (O; i ; j ), a =x i +y j (x;y) toạ độ r r a Ký hiệu ar = (x;y) r • Cho a = (x;y) r ; rb = (x’;y’) ta có : a r± b = (x ± x’;y ± y’) rk a =(kx ; ky) ; ∀ r kr∈ Rr b phương a ( a ≠ ) có số k thỏa x’=kx y’= ky • Cho M(xM ; yM) N(xN ; yN) ta có: x + xN y + yN P trung điểm MN xp = M yP = M 2 uuuu r MN = (xM – xN ; yM – yN) • Nếu G trọng tâm tam giác ABC x + xB + xC y + yB + yC xG = A yG = A  MỘT SỐ DẠNG TỐN VECTƠ Chứng minh đẳng thức vectơ: • Phương pháp chung:    - Quy tắc điểm: AB = AC + CB   AB − AC = CB - Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta ln có:    AD + AB = AC -Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB ln có:  MI = MA + MB - Các tính chất phép cộng,trừ vecctơ phép nhân số với vectơ để thực biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh ta lựa chọn biến đổi sau: + Biến đổi vế thành vế lại  Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức  Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết + Biến đổi đẳng thức biết thành đẳng thức cần chứng minh + Tạo dựng hình phụ  Ví dụ 1:     Cho điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB Giải: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Thực phépbiến đổI VT, tacó:        AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + ( DB + BD) = AD + CB Nhận xét: Thực việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo xuất   vectơ AD CB Do đó:   lời giải ta xen điểm D vào AB điểm B vào vectơ CD Ta sử dụng lựa chọn phép biến đổi VP thành VT Cụ thể cách  Cách 2: Thực phép biến đổi VP ta có:           AD + CB = AB + BD + CD + DB = AB + CD + ( BD + DB ) = AB + CD  Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết ln           AB + CD = AD + CB ⇔ AB − AD = CB − CD ⇔ DB = DB  Ví dụ 2: Gọi M, N trung điểmcác đoạn AB, CD Chứng minh rằng:     MN = AC + BD = AD + BC Giải: Cách 1: Ta có M là trung điểm AB , với N    NA + NB = NM = −2 MN (1) N trung điểm củaCD, với M   MC + MD = 2MN (2) Lấy (2)-(1) ta được:      MN = MC + MD − ( NA + NB )         = MA + AC + MB + BD − ( NC + CA) − ( ND + DB )         = MA + MB + AC + BD − ( NC + ND) + AC + BD     = + 2( AC + BD) +    ⇒ MN = 2( AC + BD)    ⇒ MN = ( AC + BD)   Chứng minh tương tự: VT = AD + BC Cách 2: Gọi O la 1điểm tuỳ ý vectơ MN Khi theo quy tắc trung điểm, ta có:    2OM = OA + OB (1)    2ON = OC + OD(2)       Lấy (2)-(1) ta được: 2(ON − OM ) = (OC + OD) − (OA + OB)      MN = (OC − OA) + (OD − OB)    MN = AC + BD (1)     Ta cần chứng minh: AC + BD = AD + BC    VT= AD + DC + BC + CD  = AD + BC = VP (2)     Từ (1) (2) ta suy ra: 2MN = AC + BD = AD + BC  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC.Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR:   a.IA + b.IB + c.IC = ( a,b,c ∈ R + ) Giải: Dựng hình bình hành AB2 IC có AB2 // CC1 , AC // BB1 Ta được:   IA = IB2 + IC (1) Đặt: IB2 = b, IC2 = c A IC = IB = IA = a IB2 C1 A b = = IB C1 B a   IB2 ↑↓ IB IC B1 A c = = IC B1C a   IC ↑↓ IC  b  ⇒ IB2 = − IB a ( 2)  c  ⇒ IC = − IC (3) a B2 C2 B1 C I C1 B Thay (2),(3) vào (1)  b  c  ⇒ IA = − IB − IC a a     ⇒ a.IA + b.IB + c.IC = Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Phương pháp chung    -Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho OM = v , điểm O v biết -Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng vectơ vectơ v Khi điểm vectơ điểm M  Ví dụ : Cho tam giácABC    a) Tìm điểm I cho: IA + IB = (1)   b) Tìm điểm K cho: KA + KB = CB (2) Giải:    a) Theo quy tắc điểm, ta có: IA = IB + BA         (1) ⇒ 3IB + BA = ⇒ 3IB = − BA = AB ⇒ IB = AB ⇒ điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB thoả điều kiện:   IB = AB b)Từ kết câu a ta suy ra:AI=2IB   ⇒ AI = IB   ⇒ IA = −2 IB       VT(2)= KA + KB = ( KI + IA) + 2( KI + IB)    = 3KI + ( IA + IB)      IA = −2 IB ⇒ IA + IB = Vậy:    KA + KB = KI       Theo giả thiết ta được: 3KI = CB ⇒ KI = CB ⇒ IK = BC   Kết cho ta vectơ IK BC vectơ phương I ∉ BC nên IK//BC Vậy K điểm thuộc miền tam giác, nằm đường thẳng qua I song   song với BC cho : IK = BC Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp chung: Muốn chứng minh điểm A,B,C thẳng hàng, ta chứng minh: AB = k AC ;(k∈R) (1) Để nhận (1) ta lựa chọn hai hướng - Hướng 1: Sử dụng qui tắc biến đổi biết - Hướng 2: Xác định AB, AC thơng qua tổ hợp trung gian Ví dụ: Cho ∆ ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ∆ABC Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng A O B H G C E A1 Giải Chọn tổ hợp vectơ OA, OB, OC Khi đó: OG = ( OA + OB + OC ) (1) Chọn E trung điểm BC A1 điểm đối xứng với A qua O, ta được: BH // CA1 vng góc với AC CH // BA1 vng góc với AB ⇒ Tứ giác A1BHC hình bình hành ⇒ A1, E, H thẳng hàng ⇒ HB + HC = HA1 ( ) ( ) 2OE = OB + OC = OA + AH + HB + OA + AH + HC = 2OA + AH + HB + HC = = A1 A + AH + HA1 = HA + HA = AH ⇒ AH = 2OE Ta có: OH = OA + AH = OA + 2OE = OA + OB + OC (2) Từ (1) (2) suy ra: OG = OH ⇔ O, G , H thẳng hàng Dạng 4: Biểu diễn vectơ : Định lý: Cho trước hai vectơ phương Với vectơ c a b khác khơng tìm cặp số thực α , β ,sao cho: c = α a+β b Bây quan tâm tới phương pháp thực miêu tả tốn sau: Bài tốn: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Ta lựa chọn hai hướng : Hướng1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biễu diễn phương pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Hướng 2: Từ giả thiết thiết lập mối liên hệ vectơ đối tượng ,rồi từ khai triển biểu thức phương pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Chú ý: Trong vài trường hợp cần sử dụng sở trung gian Ví dụ: Cho ∆ ABC , gọi G trọng tâm tam giác B điểm đối xứng B qua G Hãy biểu diễn vectơ CB1 theo AB AC Giải: Từ giả thiết suy AB1CG hình bình hành 2 1 Ta được: CB1 = GA = - AG = − AM = − ( AB + AC )= - ( AB + AC ) 3 Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Muốn chứng minh hai điểm A A2 trùng , ta lựa chọn hai hướng: Hướng 1: Chứng minh A1 A2 = Hướng 2: Chứng minh OA1 = OA2 với O điểm tùy ý Ví dụ 1: Cho ∆ABC Lấy điểm A1 ∈ BC , B1 ∈ AC , C1∈ AB cho AA1 + BB1 + CC1 = Chứng minh hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm Giải Gọi G,G1 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 ta có : = AA1 + BB1 + CC1 = ( AG + GG1 + G1 A1 ) + ( BG + GG1 + G1 B1 ) + (CG + GG1 + G1C1 ) = − (GA + GB + GC ) + (G1 A1 + G1 B1 + G1C1 ) + 3GG1 = 3GG1 ⇔ GG1 = ⇔ G ≡ G1 Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm AB, BC, CD, DA.Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Giải : Gọi G1 ,G2 trọng tâm tam giác ANP CMQ O điểm tùy ý Ta có: OA + ON + OP = 3OG1  OC + OM + OQ = 3OG2 OG1 = 1/3 ( OA + ON + OP ) (1) OG2 =1/3 ( OC + OM + OQ ) (2): Do N trung điểm BC :  ON = 1/2 ( OB + OC ) Và P trung điểm CD:  OP = 1/2 ( OC + OD ) (1) => OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD ( * ) Mặt khác ta lại có: M trung điểm AB : => OM = 1/2 ( OA + OB ) Q trung điểm DA : OQ = 1/2 ( OD + OA ) => ( 2) => OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD (**) Từ ( * ) ( ** ) :  OG1 = OG2  G1 Trùng G2 Dạng 6: Quỹ tích điểm Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K  PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Với tốn quỹ tích ta cần nhớ rằng: Nếu MA = MB với A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB MC = k AB với A, B, C cho trước M thuộc đường tròn tâm C, bán kính k.AB Nếu MA = k BC ,với A,B,C cho trước  Với k ∈ R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC  Với k ∈ R + điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC  Với k ∈ R − điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC  Ví dụ: Cho ∆ABC tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: MA + k MB − k MC = (1) Giải Ta biến đổi (1) dạng: MA = k ( MC − MB ) ⇔ MA = k BC ⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC PHẦN BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Bài tập 1: Cho điểm A, B, C, D, E CMR: AC + DE − DC − CE + CB = AB Giải: Cách 1: Ta có: AC + DE − DC − CE + CB = AC + CE − CE + CB = = AC + CB = AB.(dpcm) Cách 2: Ta có: CA + ED − CD − EC + BC = CA − CD + ED − EC + BC = DA + CD + BC = DA + BD = BA ⇒ AC + DE − DC − CE + CB = AB Bài tập 2: Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR: a) AB −CD = AC + DB b) AD + BE + CF = AE + BF + CD Giải: AB −CD = AC + CB −CD = AC + DB a)Cách 1: Ta có: Ngồi ra: Ta chèn điẻm B vào CD Nếu xuất phát từ vế phải ta chèn diểm B vào AC C vào DB Cách 2: CB = AB − AC = DB − DC ⇒ AB − CD = DB + AC b) AD + DC + BE + EA + CF + FB = AC + BA + CB = ⇒ AD + BE + CF = AE + BF + CD  Chú ý: Ta sử dụng quy tắc chèn điểm để chứng minh Bài tập 3:Cho ∆ABC Gọi M điểm đoạn BC cho MB=2MC CMR: AM = AB + AC 3 Giải: A Cách 1:Ta có: AM = AB + BM = AB − 2CM = AB − CB = 2 = AB − CA + AB = AB + AC 3 Cách 2: Ta có: BC = AC − AB   B M N Mặt khác: MB=2MC ⇒BM = BC ( ) CB = 2 = AB + AC − AB = AB + AC 3 AM = AB + MB = AB + ( ) Cách 3: Chọn N thỏa NC=2NB Khi đó: BN=NM=MC ⇒ ∆NAC có: AM = AC + AN ∆BAM có: AN = AB + AM 1 ⇒AN = AB + AM 2 C 1 AB + AM 2 AM = AB + AC 3 ⇒ AM = AC + Bài tập 4: Cho điểm A, B, C, D Gọi E, F trung điểm AB, CD O trung điểm EF Chứng minh rằng: a) EF = ( AC +BD ) b) OA + OB + OC + OD = c) MA + MB + MC + MD = MO Giải: E A  B O D C F a) Cách 1: Ta có: 2OE = OA +OB (1) 2ỊF = OC = OD ( 2) ( ) ( ⇒ 2 ỊF − OE  = OC − OA + OD − OB   ( ⇔ ÈF = / AC + BD ) ) 1 AB + BD + DC = 2 = AC + BD Cách 2: Ta có: EF = EB + BD + DF = = ( 1 ( AC +CB ) + BD + DB + BC 2 ) ( ) b) Cách 1: Sử dụng kết câu a: (1) + (2) ⇒ OA + OB + OC + OD = Cách 2: OA + OB + OC + OD = = OE + EA + OE + EB + OF + FC + OF + FD = ( ) ( ) ( ) = OE + OF + EA + EB + FC + FD = c) Cách : Sử dung kết câu b: OA + OB + OC + OD = ⇔ OM + MA + OM + MB + OM + MC OM + MD = ⇔ MA + MB + MC + MD = MO Cách2: MA + MB + MC + MD = MO + OA + MO + OB + MO + OD = 4MO + OA + OB + OC + OD = MO Bài tập 5: Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a) G trọng tâm ∆ABC GA + GB + GC = b) G trọng tâm ∆ABC MA + MB + MC = 3MG ( Với M điểm ) Giải: A a) Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, AC, AB Ta có: GA + GB + GC = − / 3( AA' + BB' + CC ') C’ G ( tính chất đường trung tuyến) Mà: B AA' + BB ' + CC ' = AB + BA' + BA + AB ' + CA + AC ' = = BA' + CB ' + AC ' = 1 BC + CA + AB 2 =0 Do đó: GA + GB + GC = B’ A’ C b) 3MG = MA + AG + MB + BG + MC + CG = MA + MB + MC Bài tập 6: Cho ∆ABC ∆A ' B ' C ' có trọng tâm G G ' Chứng minh rằng: AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' Từ đó, suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Giải: Ta có: AA' + BB' + CC ' = AG + GG ' + G ' A' + BG + GG ' + G ' B' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG ' Vì: AG + BG + CG = A' G ' + B' G ' + C ' G ' = - ĐK cần đủ để tam giác ∆ABC ∆A ' B ' C ' có trọng tâm là: AA' + BB ' + CC ' = Bài tập 7: Cho lục giác ABCDEFGH Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, BC, CD,DE, EF, FA Chứng minh rằng: Hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải: A M B N S C F P R D E Q Cách 1: Ta có: MN + PQ + RS = / 2( AC + CE + EA) = Do đó: theo tập ∆MPR ∆NQS có trọng tâm Cách 2: Gọi G trọng tâm ∆MPR Khi đó: GM + GP + GR = ⇒ MG + PG + RG = (1) Lấy mặt phẳng, ta có: OG = OM + MG OG = OP + PG OG = OR + RG ⇒ 3OG = OM + OP + OR + MG + PG + RG (2) ( OM + OP + OR Trong ∆OAB : Có M trung điểm AB ⇒ 2OM = OA + OB Tương tự, xét ∆OCD ∆OEF ta được: 2OF = OD + OC Kết hợp (2) (1) ta suy ra: OG = ) 2OR = OE + OF ( ) OA + OB + OC + OD + OE + OF Gọi G ' trọng tâm ∆NQS Tương tự trên: OG ' = ON + OQ + OS = OA + OB + OC + OD + OE + OF Vậy OG = OG ' ⇒ G ≡ G ' Thay vào (2) ta có: OG = ( ( ) ) Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn hệ thức vectơ Bài tập 1: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M, biết: 2MA − 3MB = (1) Giải: Ta có: 2MA − 3MB = ( ) ⇒ MA − MA + AB = ⇔ − MA − AB = ⇔ AM = AB Vậy điểm M hồn tồn xác định Bài tập 2: Cho điểm A, B vectơ v Xác định điểm M biết: MA + MB = v Giải: Gọi O trung điểm AB Khi đó: MA + MB = 2MO Do đó: (1) ⇔ MO = −1 v Vậy điểm M hồn tồn xác định Bài tập 3: Cho ∆ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = NA a) Xác định điểm K cho: AB + AC − 12 AK = b) Xác định điểm D cho: AB + AC − 12 KD = Giải:  AB = AM ⇔ AB = AM a) Ta thấy:  AB ↑↑ AM   AC = AN ⇔ AC = AN   AC = AN Suy AM + AN − 12 AK = ⇔ AK = ⇔ K trung điểm MN ( AM + AN )   b) Ta có: KD = AD − AK = AD −  AB + AC  4      Suy ra: AB + AC − 12 AD −  AB + AC  = 4  ⇔ AD =  ( AB + AC 1  ) ⇔ D trung điểm BC Bài tập 4: Cho ∆ABC Dựng điểm I, J, L thỏa đẳng thức: a) IB + IC = b) 3LA − LB + LC = c) JA + JC − JB = CA Giải: a) Ta có: IB + IC = ⇔ 3IB + IC − IB = ⇔ CB = 3IB Nên điểm I hồn tồn xác định b) Có: BA + LA + LC = ⇒ BA = LM với M trung điểm AC Vậy L xác định c) Ta có JA − JB + JA + JC = CA ( ) ⇔ BA + JC = CA − JA ⇔ BA = 2CJ Vậy điểm J hồn tồn xác định Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD , M điểm tùy ý Trong trường hợp tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm M a) 2MA + MB = k MI b) MA + MB + 2MC = k MJ c) MA + MB + MC + 3MD = k MK (1) (2) (3) Giải: a) Vì (1) thỏa mãn , với ∀M ≡ I Khi đó: IA + IB = k II = Vậy điểm I ln xác định Mặt khác: 2MA + MB = 2MI + IA + MI + IB = 3MI = k MI ⇔ k = b) Vì (2) thỏa mãn ∀M , với ∀M ≡ J , tức là: JA + JB + JC = k JJ = Khi đó: JE + JC = ( Với E trung điểm AB ) ⇔ J trung điểm CE Ta xác định J Tương tự câu a: MA + MB + 2MC = 4MJ = k MJ ⇔ k = c) Vì (3) thỏa mãn ∀M , ∀M ≡ K Khi đó: KA + KB + KC + 3KD = 3KK = Gọi G trọng tâm ∆ABC ⇒ 3KG + 3KD = ⇒ K trung điểm GD Ta xác định K Mặt khác: MA + MB + MC + 3MD = 6MK = k MK ⇔ k = DẠNG 3: Chứng minh điểm thẳng hàng Bài tập 1: Cho tam giác ABC a Gọi P,Q hai điểm thỏa PB + PC = (1) 5QA + 2QB + QC = (2) CMR:P, Q, A thẳng hàng b Gọi I điểm đối xừng với B qua C, J trung điểm A, C, K điểm AB cho AB = 3AK CMR:I,J,K thẳng hàng Giải: a ta cò: PQ + 2QB + PQ + QC = 3PQ + 2QB + QC = Mà (2)  2QB + QC = −5QA => 3PQ − 5QA =  PQ = QA Vậy P,Q,A thẳng hàng b A K J B Ta có: C JC = JB + JI = JK + KB + JI = JK + AK + JI = JK + 2( AJ + JK ) + JI ⇔2(JC − AJ) = 3JK + JI = 3JK + JI JI = −3 JK Vậy điểm I,J,K thẳng hàng Bài tập 2: Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa: IA − IB = 0(1)và3JA + JC = 0(2) CMR: IJ qua trọng tâm cua tam giác ABC Giải: (1) ⇔IG + GA − IG − 2GB = ⇔−IG +GA − 2GB = 0(1' ) ( 2) ⇔3 JG +3GA + JG + 2GC = ⇔5 JG + 3GA + 2GC = 0( 2' ) (2)-(1) ⇔ JG + IG + 2(GA + GB + GC ) = ⇔ −5 JG = IG Vậy I, J,G thẳng hàng Bài tập 3: cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: IA + 3IC = 0(1)và JA + JB + 3JC = 0(2) a) CMR: M,N,J thẳng hàng, với M,N trung điểm AB BC I b) CMR: J trung điểm BI GIẢI a) Ta có JM, JN trung tuyến tam giác AJB, BJC Nên A JM = JA + JB JN = JB + JC M I J Mà: JA + JB + JC = B ⇔ JA + JB + JB + 3JC = ⇔ JM + JN = ⇔ JM = − JN N Vậy M, N, J thẳng hàng b) (1) ⇔ IJ + JA + 3IJ + JC = Mà2 JA + JB + JC = ⇒ IJ = JB ⇔ IJ = JB J trung điểm BI Bài tập 4: cho hình bình hành ABCD tâm O lấy điểm I, J cho : 3IA + IC − ID = 0(1) JA − JB + JC = 0(2) CMR: I, J, O thẳng hàng GIẢI: (1) ⇔ 3IO + 3OA + IO + 2OC − IO − 2OD = ⇔ 3IO + OA − 2OD = 0(1' ) (2) ⇔ JO + OA − JO − 2OB + JO + 2OC = ⇔ JO + OC − 2OB = 0(2' ) (1' ) + ( 2' ) ⇔ 3IO + OA − 2OD + JO + OC − 2OB = ⇔ 3IO + JO − 2(OD + OB ) = ⇔ −3IO = JO C Vậy I, J, O thẳng hang