Chuyên đề vectơ

Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ---------------- BÀI BÁO CÁO MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG NHÓM 03 CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ GVHD: Lại Thị Cẩm Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042 2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109 3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126 4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127 5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142 6. Lý Sel MSSV: 1070157 7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163 TÓM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I. Các định nghĩa: • Vectơ là đoạn thẳng có đònh hướng Ký hiệu : AB uuur ; hoặc CD uuur a r ; b r • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu 0 r . • Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. • Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. • Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. II. Tổng và hiệu của hai vectơ: • Đònh nghóa: Cho ABa= uuurr ; BC b= uuur r . Khi đó ACab= + uuur r r • Tính chất : * Giao hoán : ab+ r r = ba+ r r * Kết hợp ( ab+ r r ) + c r = (ab+ r r + c r ) * Tính chất vectơ –không a r + 0 r = a r • Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý. Ta có : AB uuur + BC uuur = AC uuur • Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB uuur + AD uuur = AC uuur • Quy tắc về hiệu vectơ : Cho BC , với điểm O tùy ý ta có : CBOCOB =− . • Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 0=+ MBMA . • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì 0=++ GCGBGA . • Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AMACAB 2=+ . III. Tích của vectơ với một số: • Cho k∈R , k a là 1 vectơ được xác đònh: * Nếu k ≥ 0 thì k a cùng hướng với a ; k < 0 thì k a ngược hướng với a * Độ dài vectơ k a bằng k .⎢ a ⎢ • Tính chất : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + k b d) k a = 0 ⇔ k = 0 hoặc r a = 0 r • b cùng phương ( r a r a r ≠ 0 r ) khi và chỉ khi có số k thỏa b =k . r a r • Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho AB uuur =k . AC uuur • Cho b không cùngphương r a r , ∀ x r luôn được biểu diễn x r = m a r + n b ( m, n duy nhất ). r IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ: • Trục là đường thẳng trên đó xác đònh điểm O và 1 vectơ có độ dài bằng 1. i r Ký hiệu trục (O; i r ) hoắc x’Ox • A,B nằm trên trục (O; i r ) thì AB = AB i r . Khi đó AB gọi là độ dài đại số của AB . • Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox ⊥ Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O; ; i r j r ). • Đối với hệ trục (O; i r ; j r ), nếu a r =x i r +y j r thì (x;y) là toạ độ của . Ký hiệu = (x;y). a r a r • Cho = (x;y) ; = (x’;y’) ta có : a r b r ± = (x ± x’;y ± y’) r a r b r k a =(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R cùng phương b r a r ( a r ≠ 0 r ) khi và chỉ khi có số k thỏa x’=kx và y’= ky. • Cho M(x M ; y M ) và N(x N ; y N ) ta có: P là trung điểm MN thì x p = 2 M N x x+ và y P = 2 M N yy+ MN uuuur = (x M – x N ; y M – y N ). • Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì x G = 3 A BC x xx++ và y G = 2 ABC yyy+ + . ☺ MỘT SỐ DẠNG TỐN VECTƠ 1. Chứng minh đẳng thức vectơ: • Phương pháp chung : - Quy tắc 3 điểm: BCCABA r r r += BCCABA r r r =− - Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn có: CABADA r rr =+ - Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB luôn có: BMAMIM r r r +=2 . - Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ để thực hiện biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta lựa chọn một trong các biến đổi sau: + Biến đổi một vế thành vế còn lại  Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức.  Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng. + Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh. + Tạo dựng các hình phụ. Õ Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: BCDADCBA rrrr +=+ Giải: Ta có thể trình bày theo các cách sau:  Cách 1 : Thực hiện phép biến đổI VT, ta có: BCDADBBDBCDADBBCBDDADCBA rrrrrrrrrrrr +=+++=+++=+ )( Nhận xét : Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện của các vectơ DA r và BC r . Do đó: trong lời giải ta xen điểm D vào BA r còn điểm B vào vectơ DC r Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2  Cách 2 : Thực hiện phép biến đổi VP. ta có: DCBABDDBDCBABDDCDBBABCDA rrrrrrrrrrrr +=+++=+++=+ )(  Cách 3 : Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là luôn đúng BDBDDCBCDABABCDADCBA rrrrrrrrrr =⇔−=−⇔+=+ Õ Ví dụ 2: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng: CBDADBCANM r rr r r +=+=2 Giải: Cách 1: Ta có M là trung điểm của AB , với N bất kì thì NMMNBNAN rrr r 22 −==+ (1) N là trung điểm của CD, với M bất kì thì NMDMCM rr r 2=+ (2) Lấy (2)-(1) ta được: )(2 )(24 0)(20 )( )()( )(4 DBCANM DBCANM DBCA DBCADNCNDBCABMAM BDDNACCNDBBMCAAM BNANDMCMNM r r r r r r r r rr r r r r r r r r rr rr rr rr r r r r r +=⇒ +=⇒ +++= +++−+++= +−+−+++= +−+= Chứng minh tương tự: VT = CBDA r r + Cách 2: Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có: )2(2 )1(2 DOCONO BOAOMO r r r r r r += += Lấy (2)-(1) ta được: )()()(2 BOAODOCOMONO r r r r rr +−+=− 2 NM r = )()( BODOAOCO rr rr −+− 2 NM r = DBCA r r + (1) Ta cần chứng minh: CBDADBCA r rr r +=+ VT= DCCBCDDA r rr r +++ = CBDA r r + = VP (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: CBDADBCANM r rr r r +=+=2 Õ Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR: 0 . rr r r =++ CIcBIbAIa ( a,b,c + ∈ R ) Giải: Dựng hình bình hành có // , // . Ta được: 22 ICAB 2 AB 1 CC 2 AC 1 BB (1) 22 CIBIAI r r r += Đặt: IB 2 = b, IC 2 = c và IC = IB = IA = a. BI a b BI rr −=⇒ 2 ( 2) CICI a c CB AB IC IC rr ↑↓ == 2 1 12 CI a c CI rr −=⇒ 2 (3) A C2 B C1 C B2 B1 I BIBI a b BC AC IB IB rr ↑↓ == 2 1 12 Thay (2),(3) vào (1) 0 . rr r r r r r =++⇒ −−=⇒ CIcBIbAIa CI a c BI a b AI Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ Phương pháp chung -Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho vMO r r = , trong đó điểm O và đã biết v r -Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v. Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M Õ Ví dụ : Cho tam giácABC. a) Tìm điểm I sao cho: 02 r r r =+ BIAI (1) b) Tìm điểm K sao cho: BCBKAK rr r =+ 2 (2) Giải: a) Theo quy tắc 3 điểm, ta có: ABBIAI r r r += (1) ⇒ ⇒=+ 03 rr r ABBIBAABBI r r r =−=3 BABI rr 3 1 =⇒ ⇒ 3 điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB và thoả điều kiện: BABI rr 3 1 = b)Từ kết quả câu a ta suy ra:AI=2IB BIIA rr 2=⇒ BIAI r r 2−=⇒ VT(2)= )(2)(2 BIIKAIIKBKAK rr r rr r +++=+ )2(3 BIAIIK r r r ++= BIAI r r 2−= 02 r r r =+⇒ BIAI Vậy: IKBKAK rr r 32 =+ Theo giả thiết ta được: CBKIBCIKBCIK r rrrrr 3 1 3 1 3 =⇒=⇒= Kết quả này cho ta 2 vectơ KI r và CB r là 2 vectơ cùng phương và vì I ∉ BC nên IK//BC. Vậy K là điểm thuộc miền trong tam giác, nằm trên đường thẳng qua I song song với BC sao cho : CBKI r r 3 1 = Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp chung: Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh: ACkAB .= ;(k∈R) (1) Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai hướng - Hướng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết - Hướng 2: Xác định ACAB, thông qua một tổ hợp trung gian. Ví dụ : Cho Δ ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ΔABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng. C A1 O H G B A E Giải Chọn tổ hợp 3 vectơ OCOBOA ,, Khi đó: () OCOBOAOG ++= 3 1 (1) Chọn E là trung điểm của BC và A 1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được: BH // CA 1 cùng vuông góc với AC. CH // BA 1 cùng vuông góc với AB. ⇒ Tứ giác A 1 BHC là hình bình hành. ⇒ A 1 , E, H thẳng hàng . 1 HAHCHB =+⇒ ( ) ( ) AHHAHAHAAHAA HCHBAHOAHCAHOAHBAHOAOCOBOE =+=++= =+++=+++++=+= 22 222 11 OEAH 2=⇒ Ta có: OCOBOAOEOAAHOAOH ++=+=+= 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: ⇔= OHOG 3 1 O, G , H thẳng hàng. Dạng 4: Biểu diễn vectơ : Định lý : Cho trước hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phương .Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm được một cặp số thực βα , duy nhất ,sao cho: c = α a + β b Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm tới phương pháp thực hiện được miêu tả trong bài toán sau: Bài toán: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ. PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Ta lựa chọn một trong hai hướng : Hướng1 : Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biễu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Hướng 2 : Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng ,rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Chú ý: Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian. Ví dụ : Cho Δ ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B 1 là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn vectơ 1 CB theo AB và AC Giải : Từ giả thiết suy ra AB 1 CG là hình bình hành. Ta được: 1 CB = GA = - AG = 3 2 − AM = 3 2 − . 2 1 ( AB + AC )= - 3 1 ( AB + AC ) Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Muốn chứng minh hai điểm A 1 và A 2 trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai hướng: Hướng 1 : Chứng minh 0 21 =AA Hướng 2 : Chứng minh 21 OAOA = với O là điểm tùy ý . Ví dụ 1: Cho .Lấy các điểm A ABCΔ 1 BC∈ , B B 1 AC∈ , C 1 AB∈ sao cho 0 111 =++ CCBBAA Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A 1 B B 1 C 1 có cùng trọng tâm. Giải Gọi G,G 1 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABC, A 1 B B 1 C 1 ta có : )()()(0 111111111111 CGGGCGBGGGBGAGGGAGCCBBAA ++++++++=++= = 11111111 33)()( GGGGCGBGAGGCGBGA =++++++− 0 1 =⇔ GG 1 GG ≡⇔ Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải : Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý. Ta có: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ 2 1 3 3 OGOQOMOC OGOPONOA 1 OG = 1/3 ( OPONOA ++ ) (1) và 2 OG =1/3 ( OQOMOC ++ ) (2): Do N là trung điểm của BC :  ON = 1/2 ( OCOB + ) Và P là trung điểm của CD:  OP = 1/2 ( ODOC + ) (1) => 1 OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD ( * ) Mặt khác ta lại có: M là trung điểm của AB : => OM = 1/2 ( OBOA + ) Q là trung điểm của DA : => OQ = 1/2 ( OAOD + ) ( 2) => 2 OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD (**) Từ ( * ) và ( ** ) :  1 OG = 2 OG  G 1 Trùng G 2 . Dạng 6: Quỹ tích điểm. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K. y PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng: 1. Nếu MBMA = với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. 2. ABkMC = với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB 3. Nếu BCkMA .= ,với A,B,C cho trước thì  Với điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC. Rk ∈ [...]... + OF 6 Vậy OG = OG ' ⇒ G ≡ G ' ( ) ( ( ) ) Dạng 2: Xác định một điểm thỏa mãn hệ thức vectơ Bài tập 1: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M, biết: 2 MA − 3MB = 0 (1) Giải: Ta có: 2 MA − 3MB = 0 ( ) ⇒ 2MA − 3 MA + AB = 0 ⇔ − MA − 3 AB = 0 ⇔ AM = 3 AB Vậy điểm M hoàn toàn xác định được Bài tập 2: Cho 2 điểm A, B và một vectơ v Xác định điểm M biết: MA + MB = v Giải: Gọi O là trung điểm của AB Khi đó: MA... hợp những điểm M thỏa mãn: MA + k MB − k MC = 0 (1) Giải Ta biến đổi (1) về dạng: MA = k ( MC − MB) ⇔ MA = k BC ⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC PHẦN BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh 1 đẳng thức vectơ Bài tập 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E CMR: AC + DE − DC − CE + CB = AB Giải: Cách 1: Ta có: AC + DE − DC − CE + CB = AC + CE − CE + CB = = AC + CB = AB.(dpcm) Cách 2: Ta có: CA + ED − CD − EC + BC... = CA ( ) ⇔ BA + JC = CA − JA ⇔ BA = 2CJ Vậy điểm J hoàn toàn xác định được Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với mỗi điểm M (1) a) 2MA + MB = k MI b) MA + MB + 2MC = k MJ c) MA + MB + MC + 3MD = k MK (2) (3) Giải: a) Vì (1) thỏa mãn , do đó đúng với ∀M ≡ I Khi đó: 2 IA + IB = k II = 0 Vậy . Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. • Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng. TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I. Các định nghĩa: • Vectơ là đoạn thẳng có đònh hướng Ký hiệu : AB uuur ; hoặc CD uuur a r ; b r • Vectơ – không là vectơ có điểm