CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG MP

Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý tính tích vô hớng của hai véc tơ Phơng pháp 1 Sử dụng định nghĩa : đa hai véc tơ a r và b r về cùng gốc để xác định góc ( a r , b r ) rồi tính a r . b r = a r . b r cos( a r , b r ) Phơng pháp 2 Sử dụng các tính chất của tích vô hớng, các hằng đẳng thức véc tơ và thờng phối hợp với phơng pháp 1. Phơng pháp 3 Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ AB uuur và CD uuur , ta có : AB uuur . CD uuur = AB uuur . ' 'C D uuuuur = .AB CD Trong đó C,D là hình chiếu của C và D trên đờng thẳng chứa véc tơ AB uuur . Phơng pháp 4 Sử dụng biểu thức tọa độ. Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a, I là tâm đờng tròn nội tiếp . a) tính AB uuur . CA uur ; AB uuur . IH uur ; b)tính AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uur + CA uur . AB uuur giải: A a) AB uuur . CA uur =a 2 cos( AB uuur , CA uur )=a 2 cos60= 1 2 a 2 BC=2BH=2ABsin60= 3a I B H C áp dụng công thức: IH= 2 sin120 2(2 3) ABC S a r p a a = = + o V = 2 3 4 (2 3) a a + Vậy AB uuur . IH uur =a. 3 4(2 3) a + cos 60 o 2 3 8(2 3) a = + b) AB uuur + BC uuur + CA uur = 0 r ( AB uuur + BC uuur + CA uur ) 2 =0 AB 2 +BC 2 +CA 2 +2( AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uur + CA uur AB uuur )=0 AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uur + CA uur . AB uuur = 2 5 2 a - Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b tính AB uuur . AC uuur theo a, b, c. suy ra AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uur + CA uur . AB uuur Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos( AG uuur , BC uuur ) Giải: Ta có BC 2 = 2 BC uuur =( AC uuur - AB uuur ) 2 =AC 2 +AB 2 -2 AC uuur . AB uuur Do đó AC uuur . AB uuur = 2 2 2 1 ( ) 2 AC AB BC+ - = 1 2 (b 2 +c 2 -a 2 ) (1) Ghi nhớ công thức (1) b) Từ (1) : CA uur . AB uuur = 1 2 (a 2 -b 2 -c 2 ) Tơng tự: AB uuur . BC uuur = 1 2 (b 2 -c 2 -a 2 ) Và BC uuur . CA uur = 1 2 (c 2 -a 2 -b 2 ) 1 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A D I B C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý AB uuur . BC uuur + AB uuur . BC uuur + BC uuur . CA uur = 1 2 (a 2 -b 2 -c 2 )+ 1 2 (b 2 -c 2 -a 2 )+ 1 2 (c 2 -a 2 -b 2 )=- 1 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) Chú ý : có thể làm theo cách nh ví dụ 1 (Câu b) c) AG uuur = 1 3 ( AB uuur + AC uuur ) ; AG 2 = AG uuur 2 = 1 9 ( AB uuur + AC uuur ) 2 = 1 9 (AB 2 +AC 2 +2 AB uuur . AC uuur )= 1 9 (c 2 +b 2 + b 2 +c 2 -a 2 ) = 1 9 (2b 2 +2c 2 -a 2 ) AG= 1 3 2 2 2 2 2b c a+ - . Cos( AG uuur , BC uuur )= . . AG BC AG BC uuur uuur uuur uuur (1) AG uuur . BC uuur = 1 3 ( AB uuur + AC uuur ).( AC uuur - AB uuur )= 1 3 (b 2 -c 2 ) (2) Thay (2) vào (1) : Cos( AG uuur , BC uuur )= 2 2 2 2 2 . 2 2 b c a b c a - + - Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đờng cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD= a. Tính các tích vô hớng AB uuur . CD uuur , BD uuur . BC uuur và AC uuur . BD uuur . Gọi I là trung điểm của CD, tính AI uur . BD uuur . Suy ra góc của AI và BD. Giải : a) BA uuur là hình chiếu của CD uuur lên đờng thẳng chứa BA uuur . Ta có AB uuur . CD uuur = AB uuur . BA uuur =- AB uuur 2 =-4a 2 BD uuur . BC uuur = BH uuur . BC uuur =a.3a=3a 2 AC uuur . BD uuur =( AB uuur + BC uuur ). BD uuur = AB uuur . BA uuur + BC uuur . BD uuur =-4a 2 +3a 2 =-a 2 b) AI uur . BD uuur = 1 2 ( AD uuur + AC uuur ).( AD uuur - AB uuur ) = 1 2 ( AD uuur 2 - AD uuur . AB uuur + AC uuur . AD uuur - AC uuur . AB uuur ) Mà 2 2 2 2 ; . 0 . . 3 . . 4 AD a AD AB AC AD AK AD a AC AB AB AB a ỡ ù ù = = ù ù ù ù = = ớ ù ù ù = = ù ù ù ợ uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vậy AI uur . BD uuur = 1 2 (a 2 +3a 2 -4a 2 )=0 AI BD Bài tập : 1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a. Tính AB uuur . AC uuur ; AC uuur . CB uuur 2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9. a) Tính BC uuur 2 rồi suy ra AB uuur . AC uuur và tính cosÂ; b) Tính CA uur . CB uuur c) Gọi I là trung điểm của AC. Tính CI uur . CB uuur 3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2. a) Tính AB uuur . AC uuur suy ra cosÂ; b) G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG uuur . BC uuur c) Tính . . .GAGA GB GC GC GA+ + uuuruuur uuur uuur uuur uuur ; d) AD là phân giác trong của góc BAC (DBC).Tính AD uuur theo AB uuur và AC uuur . suy ra : AD 4. cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, Â= 2 3 p a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC). b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi : 2 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A D C A B C A D C A B C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý 5. Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a. Hãy tính AB trong các trờng hợp sau : a) AC uuur . AB uuur =a 2 b) AC uuur . BD uuur =-a; c) .IC ID uur uur =a 2 (I là trung điểm của AB) 6. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B với AD=2a , AB=BC =a. a) Tính AC uuur . BD uuur b) Suy ra hình chiếu ' 'A C uuuuur của AC uuur lên BD uuur 7. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC . Biêt rằng : AM uuuur . BC uuur = 2 2 a . Tính AB, AC. 8. Cho các véc tơ ,a b r r biết rằng 2 3a b- = r r . Tính .a b r r ? 9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến. Biết BN uuur . CP uuur =x ; BN uuur . CA uur =y ; CP uuur . AB uuur =z (x, y, z R) . Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z. 10. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a . Lấy M, N, P lần lợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a) . a) Tính AM uuuur theo AB uuur và AC uuur . b) Tính x để AM PN Đáp số và giải : 1. đs: AB uuur . AC uuur =0; AC uuur . CB uuur =-a 2 2. đs: a) 49; 24; cosÂ= 2 3 . b) 57 c) 57 2 ; 2 0; 2IA IB J B J C+ = = uur uur uur uuur 3. đs : a) 3 2 - ; cosÂ= 1 4 - b) AG uuur . BC uuur = 5 3 c) = 2 2 2 1 29 ( ) 6 6 AB BC CA- + + = - 4. đs : a) BC= 19 ; AM= 7 2 b) IJ= 2 133 3 d) Hình chiếu ' 'A C uuuuur của AC uuur lên BD uuur ngợc hớng với BD uuur và có ' ' 2 a A C = uuuuur 5. đs : a) AB=a; b) AB= 3a ; c) AB=2a d) Đặt AB=x>0 Ta có BD= 2 2 x a+ ; AC uuur . BD uuur =( AB uuur + BC uuur )( BA uuur + AD uuur )=- AB uuur 2 + BC uuur . AD uuur =- x 2 +2a 2 Mặt khác theo định lý hình chiếu : AC uuur . BD uuur = ' 'A C uuuuur . BD uuur = ' 'A C uuuuur BD uuur cos180=- 2 a 2 2 x a+ Dẫn đến phơng trình : 2a 2 -x 2 =- 2 a 2 2 x a+ Giải phơng trình ta đợc x= 3a . Vậy AB= 3a 7. đs: AB=a, AC= 2a 3 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý 8.đs : .ab r r = 1 2 9. Hớng dẫn giải : phân tích BN uuur = BA uuur + AN uuur = - AB uuur + 1 2 AC uuur (1) ; CP uuur = CA uur + AP uuur = CA uur + 1 2 AB uuur (2) Thay (1),(2) vào BN uuur . CP uuur =x(- AB uuur + 1 2 AC uuur ).( CA uur + 1 2 AB uuur )=x5 AB uuur . AC uuur -2 AB uuur 2 -2 AC uuur 2 =4x Đặt AB uuur . AC uuur =t; AB=c; AC=b Ta đợc : 5t-2c 2 -2b 2 =4x Tơng tự : BN uuur . CA uur =y -b 2 +2t=2y ; CP uuur . AB uuur =z-c 2 +2t=2z Giải hệ 2 2 2 2 5 2 2 4 2 2 2 2 t c b x b t y c t z ỡ ù - - = ù ù ù ù - + = ớ ù ù ù - + = ù ù ợ 2 2 (4 4 4 )/ 3 (8 8 2 ) / 3 (2 8 8 ) / 3 t y x z c y x z b y x z ỡ ù = - - ù ù ù ù = - - ớ ù ù ù = - - ù ù ợ (8 8 2 )/ 3 (2 8 8 ) / 3 (2 8 2 ) / 3 AB y x z AC y x z BC y x z ỡ ù = - - ù ù ù ù = - - ớ ù ù ù = - - ù ù ợ 10.Giải : a) BM=a; BC=3a. Suy ra : 2 1 2 0 2( ) ( ) 0 2 3 3 3 MB MC AB AM AC AM AB AC AM AM AB AC+ = - + - = + = = + uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur r r b) AM PN AM uuuur . PN uuur =0 ( 2 3 AB uuur + 1 3 AC uuur ).( AN AP- uuur uuur )=0 ( 2 3 AB uuur + 1 3 AC uuur ).( 1 3 AC uuur - 3 x a AB uuur )=0 (2- x a ). 1 2 +9a 2 -18ax=0x= 4 5 a chứng minh một đẳng thức về tích vô hớng Chứng minh hai véc tơ vuông góc Thiết lập điều kiện vuông góc Phơng pháp : sử dụng 3 quy tắc nh ở vấn đề 1. Về độ dài , chú ý rằng : AB 2 = AB uuur 2 =( ( )OA OB- uuur uuur 2 với O là một điểm tùy ý Để chứng minh hai véc tơ a ur và b r vuông góc ta chứng minh a ur . b r =0 Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề : a ur b r a ur . b r =0 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng : a) MA uuur . BC uuur + MB uuur . CA uur + MC uuuur . AB uuur =0 b) MA 2 +MB 2 +MC 2 =3MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 , với M là một điểm tùy ý. Suy ra vị trí của M để MA 2 +MB 2 +MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : a) MA uuur . BC uuur = MA uuur .( MC uuuur - MB uuur )= MA uuur . MC uuuur - MA uuur . MB uuur 4 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A H B M C A B O D C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý Tơng tự: MB uuur . CA uur = MB uuur . MA uuur - MB uuur . MC uuuur ; MC uuuur . AB uuur = MC uuuur . MB uuur - MC uuuur . MA uuur Cộng từng vế ta có kết quả câu a) b) Phân tích AM 2 = MA uuur 2 =( MG uuuur + GA uuur ) 2 =MG 2 +GA 2 +2 MG uuuur . GA uuur Tơng tự MB 2 =MG 2 +GB 2 +2 MG uuuur . GB uuur ; MC 2 =MG 2 +GC 2 +2 MG uuuur . GC uuur Cộng từng vế 3 đẳng thức ta đợc: MA 2 +MB 2 +MC 2 = 3MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 Từ đó MA 2 +MB 2 +MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng : a) MH uuuur . MA uuur = 1 4 BC 2 b) MA 2 +MH 2 =AH 2 + 1 2 BC 2 Giải : a) Ta có : 4 MH uuuur . MA uuur = -4 MH uuuur . AM uuuur = -2 MH uuuur .( AB uuur + AC uuur ) =2 MH uuuur . BA uuur +2 MH uuuur . CA uur = =2( MC uuuur + CH uuur ). BA uuur +2( MB uuur + BH uuur ) CA uur =2 MC uuuur . BA uuur +2 MB uuur . CA uur =2 MC uuuur .( BA uuur - CA uur )= BC uuur . BC uuur = BC uuur 2 = BC 2 b) AH 2 =( MH uuuur - MA uuur ) 2 =MH 2 +MA 2 -2 MH uuuur . MA uuur =MH 2 +MA 2 - 1 2 BC 2 MA 2 +MH 2 =AH 2 + 1 2 BC 2 Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. M là một điểm tùy ý. Chứng minh : a) MA uuur + MC uuuur = MB uuur + MD uuur b) MA uuur . MC uuuur = MB uuur . MD uuur c) MA 2 +MC 2 =MB 2 +MD 2 Giải : a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB. Ta có : MA uuur + MC uuuur =2 MO uuur ; MB uuur + MD uuur =2 MO uuur Vậy MA uuur + MC uuuur = MB uuur + MD uuur b) MA uuur . MC uuuur =( OA uuur - OM uuur ).( OC uuur - OM uuur )=( MO uuur + OA uuur ).( MO uuur - OA uuur )=MO 2 -OA 2 MB uuur . MD uuur =( OB uuur - OM uuur ).( OD uuur - OM uuur )=( MO uuur + OB uuur ).( MO uuur - OB uuur )=MO 2 -OA 2 c) Theo câu a) : MA uuur + MC uuuur = MB uuur + MD uuur ( MA uuur + MC uuuur ) 2 =( MB uuur + MD uuur ) 2 MA 2 +MC 2 +2 MA uuur . MC uuuur =MB 2 +MD 2 +2 MB uuur . MD uuur MA 2 +MC 2 =MB 2 +MD 2 (theo câu b) 5 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A E D O B C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý Bài tập : 1. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đờng chéo. a) Chứng minh : 2 AC uuur . BD uuur =AB 2 -BC 2 +CD 2 -DA 2 b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là : AB 2 +CD 2 =BC 2 +DA 2 c) Chứng minh : AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA 2 =AC 2 +BD 2 +4EF 2 2. Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý. Chứng minh hệ thức : a) MA uuur . BC uuur + MB uuur . CA uur + MC uuuur . AB uuur =0 b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy. 3. Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp . Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng OE vuông góc với CD. 4. Cho đờng tròn (O, R) .Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến với đờng tròn tại M là: OA uuur . OM uuur =R 2 5. Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R. Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng AM và BN . a) chứng minh : AM uuuur . AI uur = AB uuur . AI uur ; BN uuur . BI uur = BA uuur . BI uur b) Tính AM uuuur . AI uur + BN uuur . BI uur theo R 6. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đờng cao AH. Chứng minh các đẳng thức sau : a). AB uuur AC uuur =AM 2 - 2 4 BC = 1 2 (AB 2 +AC 2 -BC 2 ); b) AB 2 +AC 2 = 2AM 2 + 1 2 BC 2 c) AB 2 -AC 2 =2 AB uuur . MH uuuur ; d) S ABC = 1 2 2 2 2 . ( . )AB AC AB AC- uuuruuur 7. Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b . Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: a)AC vuông góc với BD ; b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC. 8. Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN. Đặt BC=a, CA=b,AB=c. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN 9. Cho hình thang vuông ABCD , đờng cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho : a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB ); b) BD vuông góc với CI c) AC vuông góc với DI d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác BCD 10. Cho tứ giác ABCD .Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi : AB uuur . AD uuur + BA uuur . BC uuur + CB uuur . CD uuur + DC uuur . DA uuur = 0 Lời giải và đáp số : 3. Giải : Ta chứng minh OE uuur . CD uuur =0 Thật vậy : OE uuur . CD uuur =( AE uuur - AO uuur ).( AD uuur - AC uuur )= Mà AE uuur = 1 3 ( AC uuur + AD uuur ) (vì E là trọng tâm của tam giác ADC) OE uuur . CD uuur =[ 1 3 ( AC uuur + AD uuur )- AO uuur ].( AD uuur - AC uuur )= = 1 3 (AD 2 -AC 2 )- AO uuur . AD uuur + AO uuur . AC uuur (1) 6 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A a B h M D C A N M B N A B D C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý Thay AO uuur . AC uuur = AF uuur . AC uuur (định lý hình chiếu, với F là trung điểm của AC bằng 1 2 AC 2 Và AO uuur . AD uuur =AD 2 (định lý hình chiếu) Vào (1) , ta đợc OE uuur . CD uuur = 1 6 (AC 2 - 4AD 2 )= 0 4. Giải : Xét điểm M tùy ý(O, R) OA uuur OM uuur OA uuur . OM uuur =0 ( OM uuur + MA uuur ). OM uuur =0 OM 2 + MA uuur . OM uuur =0 OM uuur . AM uuuur =OM 2 OM uuur . AM uuuur =R 2 5. Giải : a) AM uuuur là hình chiếu của AB uuur trên đờng thẳng AI. Vậy AB uuur . AI uur = AM uuuur . AI uur (định lý hình chiếu) BN uuur là hình chiếu của BA uuur lên đờng thẳng BI. Vậy : BA uuur . BI uur = BN uuur . BI uur . b) AM uuuur . AI uur + BN uuur . BI uur = AB uuur . AI uur + BA uuur . BI uur = AB uuur .( AI uur - BI uur )= AB uuur 2 =4R 2 7. Giải : a) Ta chứng minh : AC uuur . BD uuur =0. AC uuur . BD uuur = AC uuur .( AD uuur - AB uuur )= AC uuur . AD uuur - AC uuur . AB uuur (1) Mà AC uuur . AD uuur = AD uuur . AD uuur =h 2 Và AC uuur . AB uuur = DC uuur . AB uuur =b.a (định lý hình chiếu). Do đó (1) trở thành : AC uuur . BD uuur =h 2 -ab Vậy AC BD h 2 -ab=0 b) BD AM BD uuur . AM uuuur =0 1 2 BD uuur .( AB uuur + AC uuur ) = 0 BD uuur . AB uuur + BD uuur . AC uuur = 0 (2) Mà BD uuur . AB uuur = BA uuur . AB uuur =-AB 2 =-a 2 Và BD uuur . AC uuur =h 2 -ab (kết quả trên) Do đó (2) trở thành : -a 2 +h 2 -ab=0 Vậy BD AM h 2 =a(a+b) . 8. Giải : BM CN BM uuur . CN uuur =0 1 2 ( BA uuur + BC uuur ). 1 2 ( CA uur + CB uuur ) =0 BA uuur . CA uur + BA uuur . CB uuur + BC uuur . CA uur + BC uuur . CB uuur = 0 AB uuur . AC uuur - BA uuur . BC uuur - CB uuur . CA uur - CB uuur 2 = 0 1 2 (AB 2 +AC 2 -BC 2 ) - 1 2 (AB 2 +BC 2 -AC 2 ) 1 2 (BC 2 +AC 2 -AB 2 ) BC 2 = 0 AC 2 +AB 2 -5BC 2 = 0 b 2 +c 2 = 5a 2 9. đs : a) ab- 1 4 h 2 = 0 b) ab- 1 2 h 2 = 0 c) 1 2 h 2 -ab = 0 d) h 2 -2b 2 +ab = 0 10. Giải : AB uuur . AD uuur + BA uuur . BC uuur + CB uuur . CD uuur + DC uuur . DA uuur = 0 ( AB uuur . AD uuur + BA uuur . BC uuur ) +( CB uuur . CD uuur + DC uuur . DA uuur ) = 0 7 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A a D I N M B b C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý AB uuur .( AD uuur - BC uuur ) - DC uuur .( AD uuur - BC uuur ) = 0 ( AD uuur - BC uuur ).( AB uuur - DC uuur ) = 0 AD BC AB DC ộ = ờ ờ ờ = ờ ở uuur uuur uuur uuur ABCD là hình bình hành tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức về tích vô hớng hoặc độ dài. Ph ơng pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau : Đa đẳng thức cho trớc về dạng MA uuur . MB uuur =k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.) Đa đẳng thức cho trớc về dạng AM uuuur v r = 0 , trong đó A là điểm cố định và v r là véctơ cố định. Đa đẳng thức cho trớc về dạng AM 2 = k , trong đó A là điểm cố định và k là một số dơng không đổi. Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa : a) MA uuur . MB uuur =k (k là giá trị cho trớc) . Biện luận. b) MA 2 + MA uuur . MB uuur = 0 c) 2MB 2 + MB uuur . MC uuuur = a 2 (với a : độ dài cạnh BC) Giải : a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Thế thì : MA uuur . MB uuur =k ( MI uuur + IA uur ).( MI uuur - IA uur ) =k IM 2 -IA 2 =k IM 2 = 2 4 AB +k Biện luận : Nếu 2 4 AB +k > 0 k >- 2 4 AB : thì tập hợp những điểm M là một đờng tròn tâm I, bán kính 2 4 AB k+ . Nếu k = - 2 4 AB : tập hợp M là điểm I Nếu 2 4 AB +k < 0 thì tập hợp M là Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đờng tròn đờng kính AB b) MA 2 + MA uuur . MB uuur =0 MA uuur .( MA uuur + MB uuur ) = 0 MA uuur . MI uuur = 0 tập hợp M là đờng tròn đờng tròn đờng kính AI. c) 2MB 2 + MB uuur . MC uuuur =a 2 MB uuur .(2 MB uuur + MC uuuur ) = a 2 (1) Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2 KB uuur + KC uuur = 0 r , thế thì 2 MB uuur + MC uuuur =2(2 MB uuur - MK uuuur ) +( MC uuuur - MK uuuur ) = 0 r (2 MB uuur + MC uuuur ) = 3 MK uuuur do đó : (1) MB uuur . MK uuuur = 2 3 a Gọi O là trung điểm của BK ,biến đổi nh câu a) ta đợc : 8 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng M A I B A M G B G H C C A I B J Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý (1) MO 2 - 2 4 BK = 2 3 a MO 2 = 2 3 a + 2 4 BK Từ : 2 KB uuur + KC uuur = 0 r KB = 3 a Nên (1) MO 2 = 2 13 36 a MO = 6 13a . Vậy tập hợp M là một đờng tròn tâm O, bán kính R= 6 13a Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa : a) AM uuuur . BC uuur = k (k :số cho trớc ) b) ( MA uuur - MB uuur ).(2 MB uuur - MC ) = 0 c) MA 2 -MB 2 +CA 2 -CB 2 = 0 d) MA uuur . MB uuur - MA uuur MC =MC 2 -MB 2 +BC 2 ; e) 3MA 2 -2MB 2 -MC 2 = 0 Giải : a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC. áp dụng định lý hình chiếu , ta có : AM uuuur . BC uuur = BCHK =k kBCHK = BC k HK = : giá trị không đổi. Mà H cố định nên K cố định . Vậy tập hợp những điểm M là một đờng thẳng vuông góc với BC tại K. b) Xét điểm cố định I thỏa : 2 ICIB = 0 r 2 MB uuur - MC = MI Vậy ( MA uuur - MB uuur ).(2 MB uuur - MC ) = 0 .BA MI =0 MI BA. Tập hợp M là một đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I. Chú ý : điểm I thỏa : 0IB ICa + b = uur uur r (với + ạ 0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó + ạ 0.( trong câu b) : =2, =-1) c) MA 2 -MB 2 +CA 2 -CB 2 =0 ( MA uuur - MB uuur ).( MA uuur + MB uuur ) +( CA uur + CB uuur ).( CA uur - CB uuur ) =0 2 .BA ( MI uuur + CI uur ) = 0 (1) Dựng véc tơ IJ CI= uur uur , thế thì (1) .BA MJ uuur = 0 .Điểm J cố định . Vậy tập hợp M là một đờng thẳng qua J Và vuông góc với AB. d) MA uuur . MB uuur - MA uuur MC =MC 2 -MB 2 +BC 2 MA uuur . MB uuur - MA uuur MC +MB 2 -MC 2 =BC 2 MA uuur .( MB uuur - MC )+( MB uuur + MC ).( MB uuur - MC )=BC 2 ( MB uuur - MC ).( MA uuur + MB uuur + MC ) = BC 2 3 CB uuur . MC =BC 2 (1) (G là trọng tâm tam giác ABC) 9 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A B C - v r Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý Gọi G và H thứ tự là hình chiếu của G và M lên BC. Thế thì : (1) 3 2 . 'BC G H BC= 'G H = 3 BC G cố định, 3 BC không đổi H cố định và tập hợp các điềm M là một đờng thẳng vuông góc với BC tại H e) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta phân tích : MA 2 =( MO uuur + OA uuur ) 2 = MO 2 +OA 2 +2 MO uuur . OA uuur MB 2 =( MO uuur + OB uuur ) 2 = MO 2 +OB 2 +2 MO uuur . OB uuur MC 2 = ( MO uuur + OC uuur ) 2 = MO 2 +OC 2 +2 MO uuur . OC uuur Do đó : 3MA 2 -2MB 2 -MC 2 =2 MO uuur .(3 OA uuur -2 OB uuur - OC uuur )+ +3OA 2 -2OB 2 +OC 2 (1) Mà OA=OB=OC=R3OA 2 -2OB 2 +OC 2 =0 Và 3 OA uuur -2 OB uuur - OC uuur =3 OA uuur -2( OA uuur + AB uuur )-( OA uuur + AC uuur )= -(2 AB uuur + AC uuur ) là một véc tơ cố định v r . Nên : 3MA 2 -2MB 2 -MC 2 = 0 2 MO uuur . v r =0 Vậy : tập hợp M là một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ v r . Bài tập : 1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho : a) MB uuur . MC uuuur - MB uuur . MG uuur =AB 2 (G là trọng tâm); b) (2 MA uuur - 3 MB uuur ).( MA uuur +2 MB uuur ) = 0 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. BC = 6a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : ( MB uuur + MC uuuur ).( MA uuur + MB uuur + MC uuuur ) = a 2 3. Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm . a) P là một điểm bất kỳ. Tính PA uuur . PB uuur theo PI và a. b) Tìm tập hợp điểm M thỏa MA uuur . MB uuur = a 2 4. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : AB uuur . AM uuuur = AB uuur . AC uuur 5.Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các hệ thức sau : a) MA uuur . MB uuur = MA uuur . MC uuuur ; b) MA uuur 2 + MA uuur . MB uuur + MA uuur . MC uuuur =0; c) MA uuur 2 = MB uuur . MC uuuur 6. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : a) 2 2 . . ( 0)MA MB ka b a b+ = + ạ ; b) 2 2 2 ( 0)MA MB MC ka b g a b g+ + = + + ạ 7. Cho ABCD là hình bình hành . Tìm tập hợp các điểm M sao cho : 10 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng [...]... 1 2(AB 2 + CD 2) 4 J (O;R= 1 2(AB 2 +CD 2) ) 10 đs : A I K 4 B C b) tập hợp M là đờng tròn (K; R= 1 JC) Với K là trung điểm của JC 2 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng 13 Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng Tổ : Toán - Lý 14 ... thể ,{}, hoặc là đờng tròn (I, R= Tùy theo k - k0 a +b +g k - k0 a +b +g ) nhỏ hơn,bằng, hay lớn hơn 0 7.Hớng dẫn giải : Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng 12 Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC 2 MA2+MC2=2MO2+ AC ; MB2+MD2=2MO2+ Sử dụng kết quả bài tập 6, vấn đề 2 : BD 2 Tổ : Toán - Lý 2 2 Từ đó dẫn đến : MO2= 1(k2 - AC 2 - BD 2) 4 1 Vậy tập hợp M có thể là ,{}, hay đờng tròn... BC 2 4 u u u ur u r uu uu ur BC 2 MB MC MA 2=MI2- B A u u uuu ur r MI 2- MA 2= 4 2 u r u u BC 2 u ur u u uuu u u uuu BC ur ur r r ( MI - MA ).( MI + MA )= AI 2 MJ = 4 4 H BC 2 4 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng B M d J I C 11 Cù Đức Hoà uru u u ur IA.J M = http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý BC 2 (1) 8 Gọi H là hình chiếu của M trên AI,thế thì : (1) IA.J H = JH= BC...Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,với kR 8 cho tam giác ABC , góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp các điểm M di động trong góc BÂC, sao cho : AB.AH AC AK =AI2 (1) Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC 9 Cho tứ giác ABCD I, J thứ tự là trung điểm của AB, CD Tìm tập hợp các điểm M u u u u u ur u u ur u r uu u r... : A K H ur u ur u ur u uu 2 (2) AI 2=2 AI AM 0 AI = 2AI AM 0 AM 0 = M B M0 I C AI M0 là trung điểm của đoạn AI 2 Vậy tập hợp M là một đoạn thẳng vuông góc với AI tại M0 là trung điểm của AI Và nằm trong tam giác ABC 9.Giải : uu uu ur u r uu u u uu u r r (1) 4 MA MB +4 MC MD =2IJ2 ur uu uu ur ur uu uu ur u r u ur u u uu u ur u u uu u r ( MA + MB )2-( MA - MB )2+( MC + MD )2-( MC - MD )2=2IJ2 . 13 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng A K H M 0 M B I C B I A O D J C A J I K B C Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý 14 Chuyên đề Vectơ. 7.H ớng dẫn giải : 12 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý Sử dụng kết quả bài tập 6, vấn đề 2 : MA 2 +MC 2 =2MO 2 + 2 2 AC ;. 2 x a+ Giải phơng trình ta đợc x= 3a . Vậy AB= 3a 7. đs: AB=a, AC= 2a 3 Chuyên đề Vectơ và các phép toán vectơ trong mặt phẳng Cù Đức Hoà http://violet.vn/DucHoaC3VC Tổ : Toán - Lý 8.đs