CHUYÊN ĐỀ VECTƠ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN TOÁN BÀI BÁO CÁO MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG NHÓM 03 CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ GVHD: Lại Thị Cẩm Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042 2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109 3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126 4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127 5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142 6. Lý Sel MSSV: 1070157 7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163 Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009 TÓM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I. Các định nghĩa:  Vectơ là đoạn thẳng có đònh hướng Ký hiệu : AB  ; CD  hoặc a  ; b   Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu 0  .  Giá của vectơ là đƣờng thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.  Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.  Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. II. Tổng và hiệu của hai vectơ:  Đònh nghóa: Cho AB a   ; BC b   . Khi đó AC a b     Tính chất : * Giao hoán : ab  = ba  * Kết hợp ( ab  ) + c  = (ab  + c  ) * Tính chất vectơ –không a  + 0  = a   Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý. Ta có : AB  + BC  = AC   Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  + AD  = AC   Quy tắc về hiệu vectơ : Cho BC , với điểm O tùy ý ta có : CBOCOB  .  Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 0 MBMA .  Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì 0 GCGBGA .  Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AMACAB 2 . III. Tích của vectơ với một số:  Cho kR , k a là 1 vectơ được xác đònh: * Nếu k  0 thì k a cùng hướng với a ; k < 0 thì k a ngược hướng với a * Độ dài vectơ k a bằng k . a   Tính chất : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + k b d) k a = 0   k = 0 hoặc a = 0   b  cùng phương a  ( a   0  ) khi và chỉ khi có số k thỏa b  =k a  .  Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho AB  =k AC  .  Cho b  không cùngphương a  ,  x  luôn được biểu diễn x  = m a  + n b  ( m, n duy nhất ). IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ:  Trục là đường thẳng trên đó xác đònh điểm O và 1 vectơ i  có độ dài bằng 1. Ký hiệu trục (O; i  ) hoắc x’Ox  A,B nằm trên trục (O; i  ) thì AB = AB i  . Khi đó AB gọi là độ dài đại số của AB .  Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox  Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O; i  ; j  ).  Đối với hệ trục (O; i  ; j  ), nếu a  =x i  +y j  thì (x;y) là toạ độ của a  . Ký hiệu a  = (x;y).  Cho a  = (x;y) ; b  = (x’;y’) ta có : a   b  = (x  x’;y  y’) k a  =(kx ; ky) ;  k  R b  cùng phương a  ( a   0  ) khi và chỉ khi có số k thỏa x’=kx và y’= ky.  Cho M(x M ; y M ) và N(x N ; y N ) ta có: P là trung điểm MN thì x p = 2 MN xx và y P = 2 MN yy MN  = (x M – x N ; y M – y N ).  Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì x G = 3 A B C xxx và y G = 2 A B C yyy .  MỘT SỐ DẠNG TỐN VECTƠ 1. Chứng minh đẳng thức vectơ:  Phƣơng pháp chung: - Quy tắc 3 điểm: BCCABA     BCCABA     - Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta ln có: CABADA    - Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB ln có: BMAMIM    2 . - Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ để thực hiện biến đổi tƣơng đƣơng cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta lựa chọn một trong các biến đổi sau: + Biến đổi một vế thành vế còn lại  Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức.  Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng. + Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh. + Tạo dựng các hình phụ.  Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: BCDADCBA   Giải: Ta có thể trình bày theo các cách sau:  Cách 1: Thực hiện phép biến đổI VT, ta có: BCDADBBDBCDADBBCBDDADCBA   )( Nhận xét: Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện của các vectơ DA  và BC  . Do đó: trong lời giải ta xen điểm D vào BA  còn điểm B vào vectơ DC  Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2  Cách 2: Thực hiện phép biến đổi VP. ta có: DCBABDDBDCBABDDCDBBABCDA   )(  Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là luôn đúng BDBDDCBCDABABCDADCBA    Ví dụ 2: Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng: CBDADBCANM     2 Giải: Cách 1: Ta có M là trung điểm của AB , với N bất kì thì NMMNBNAN   22  (1) N là trung điểm của CD, với M bất kì thì NMDMCM   2 (2) Lấy (2)-(1) ta đƣợc: )(2 )(24 0)(20 )( )()( )(4 DBCANM DBCANM DBCA DBCADNCNDBCABMAM BDDNACCNDBBMCAAM BNANDMCMNM                                 Chứng minh tƣơng tự: VT = CBDA    Cách 2: Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có: )2(2 )1(2 DOCONO BOAOMO         Lấy (2)-(1) ta đƣợc: )()()(2 BOAODOCOMONO       2 NM  = )()( BODOAOCO    2 NM  = DBCA    (1) Ta cần chứng minh: CBDADBCA     VT= DCCBCDDA     = CBDA    = VP (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: CBDADBCANM     2  Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC.Gọi I là tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác.CMR: 0     CIcBIbAIa ( a,b,c   R ) Giải: Dựng hình bình hành 22 ICAB có 2 AB // 1 CC , 2 AC // 1 BB . Ta đƣợc: 22 CIBIAI     (1) Đặt: IB 2 = b, IC 2 = c và IC = IB = IA = a. BI a b BI   2 ( 2) CICI a c CB AB IC IC    2 1 12 CI a c CI   2 (3) Thay (2),(3) vào (1) 0         CIcBIbAIa CI a c BI a b AI Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ Phƣơng pháp chung -Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho vMO    , trong đó điểm O và v  đã biết -Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v. Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M  Ví dụ : Cho tam giácABC. a) Tìm điểm I sao cho: 02     BIAI (1) b) Tìm điểm K sao cho: BCBKAK    2 (2) BIBI a b BC AC IB IB    2 1 12 A C2 B C1 C B2 B1 I Giải: a) Theo quy tắc 3 điểm, ta có: ABBIAI     (1)   03   ABBI BAABBI    3 BABI  3 1   3 điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB và thoả điều kiện: BABI  3 1  b)Từ kết quả câu a ta suy ra:AI=2IB BIIA  2 BIAI   2 VT(2)= )(2)(2 BIIKAIIKBKAK      )2(3 BIAIIK     BIAI   2 02     BIAI Vậy: IKBKAK   32  Theo giả thiết ta đƣợc: CBKIBCIKBCIK   3 1 3 1 3  Kết quả này cho ta 2 vectơ KI  và CB  là 2 vectơ cùng phƣơng và vì I  BC nên IK//BC. Vậy K là điểm thuộc miền trong tam giác, nằm trên đƣờng thẳng qua I song song với BC sao cho : CBKI   3 1  Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phƣơng pháp chung: Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh: ACkAB . ;(kR) (1) Để nhận đƣợc (1) ta lựa chọn một trong hai hƣớng - Hƣớng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết - Hƣớng 2: Xác định ACAB, thông qua một tổ hợp trung gian. Ví dụ: Cho  ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng. Giải Chọn tổ hợp 3 vectơ OCOBOA ,, Khi đó:   OCOBOAOG  3 1 (1) Chọn E là trung điểm của BC và A 1 là điểm đối xứng với A qua O, ta đƣợc: BH // CA 1 cùng vuông góc với AC. CH // BA 1 cùng vuông góc với AB.  Tứ giác A 1 BHC là hình bình hành.  A 1 , E, H thẳng hàng . 1 HAHCHB      AHHAHAHAAHAA HCHBAHOAHCAHOAHBAHOAOCOBOE   22 222 11 OEAH 2 Ta có: OCOBOAOEOAAHOAOH  2 (2) Từ (1) và (2) suy ra:  OHOG 3 1 O, G , H thẳng hàng. C A1 1 O H G B A E Dạng 4: Biểu diễn vectơ : Định lý: Cho trƣớc hai vectơ a và b khác 0 và không cùng phƣơng .Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm đƣợc một cặp số thực  , duy nhất ,sao cho: c =  a +  b Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm tới phƣơng pháp thực hiện đƣợc miêu tả trong bài toán sau: Bài toán: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ. PHƢƠNG PHÁP CHUNG : Ta lựa chọn một trong hai hƣớng : Hƣớng1: Từ giả thiết xác định đƣợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biễu diễn bằng phƣơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Hƣớng 2: Từ giả thiết thiết lập đƣợc mối liên hệ vectơ giữa các đối tƣợng ,rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phƣơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Chú ý: Trong một vài trƣờng hợp cần sử dụng cơ sở trung gian. Ví dụ: Cho  ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B 1 là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn vectơ 1 CB theo AB và AC Giải: Từ giả thiết suy ra AB 1 CG là hình bình hành. Ta đƣợc: 1 CB = GA = - AG = 3 2  AM = 3 2  . 2 1 ( AB + AC )= - 3 1 ( AB + AC ) Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau. PHƢƠNG PHÁP CHUNG: Muốn chứng minh hai điểm A 1 và A 2 trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai hƣớng: Hƣớng 1: Chứng minh 0 21 AA Hƣớng 2: Chứng minh 21 OAOA  với O là điểm tùy ý . Ví dụ 1: Cho ABC .Lấy các điểm A 1 BC , B 1 AC , C 1 AB sao cho 0 111  CCBBAA Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm. Giải Gọi G,G 1 theo thứ tự là trọng tâm tam giác ABC, A 1 B 1 C 1 ta có : )()()(0 111111111111 CGGGCGBGGGBGAGGGAGCCBBAA  = 11111111 33)()( GGGGCGBGAGGCGBGA  0 1  GG 1 GG  Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lƣợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải : [...]... OD  OE  OF 6     Vậy OG  OG'  G  G' Dạng 2: Xác định một điểm thỏa mãn hệ thức vectơ Bài tập 1: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M, biết: 2MA  3MB  0 (1) Giải: Ta có: 2MA  3MB  0    2MA  3 MA  AB  0   MA  3 AB  0  AM  3 AB Vậy điểm M hoàn toàn xác định đƣợc Bài tập 2: Cho 2 điểm A, B và một vectơ v Xác định điểm M biết: MA  MB  v Giải: Gọi O là trung điểm của AB Khi đó: MA... hợp những điểm M thỏa mãn: MA  k MB  k MC  0 (1) Giải Ta biến đổi (1) về dạng: MA  k ( MC  MB)  MA  k BC  M thuộc đƣờng thẳng qua A song song với BC PHẦN BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh 1 đẳng thức vectơ Bài tập 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E CMR: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải: Cách 1: AC  DE  DC  CE  CB  AC  CE  CE  CB  Ta có:  AC  CB  AB.(dpcm) Cách 2: Ta có: CA  ED  CD  EC  BC... JC  CA  BA  JC  CA  JA  BA  2CJ Vậy điểm J hoàn toàn xác định đƣợc Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý Trong mỗi trƣờng hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với mỗi điểm M a) 2MA  MB  k MI (1) b) MA  MB  2MC  k MJ (2) c) MA  MB  MC  3MD  k MK (3) Giải: a) Vì (1) thỏa mãn , do đó đúng với M  I Khi đó: 2IA  IB  k II  0 Vậy điểm . hiệu 0  .  Giá của vectơ là đƣờng thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.  Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ cùng phương thì hoặc. 2009 TÓM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I. Các định nghĩa:  Vectơ là đoạn thẳng có đònh hướng Ký hiệu : AB  ; CD  hoặc a  ; b   Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm. một đẳng thức vectơ Phƣơng pháp chung -Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho vMO    , trong đó điểm O và v  đã biết -Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v. Khi