Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, cĩ hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh c
Trang 1DẠNG 10 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÃ ĐỀ THI
Bài 97 Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, cĩ hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đĩ để xác định câu hỏi thi của mình Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn cĩ ít nhất 1 câu hỏi giống nhau
Lời giải
Khơng gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp
là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn
● Thí sinh A cĩ 3
10
C cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi
● Thí sinh B cĩ 3
10
C cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là 3 3
10 10
C C
Gọi X là biến cố ''3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn cĩ ít nhất 1 câu hỏi giống nhau'' Để tìm số phần tử của X , ta đi tìm số phần tử của X như sau
● Giả sử A chọn trước nên cĩ 3
10
C cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi
● Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi cịn lại từ bộ 10 câu hỏi nên cĩ 3
7
C cách chọn
Suy ra số phần tử của biến cố X là 3 3
10 7
Ω = Vậy xác suất cần tính ( )
10 10 10 10
3 3
10 10
24
P X
Ω − Ω
Bài tập tương tự Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và
3 câu hỏi B chọn cĩ đúng 1 câu hỏi giống nhau Đ/S:
10 3 7
3 3
10 10
.C 21
40
P
Bài 98 An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngồi thi ba mơn Văn, Tốn,
Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 mơn tự chọn khác trong 3 mơn: Hĩa Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm cĩ 6 mã
đề thi khác nhau và mã đề thi của các mơn khác nhau thì khác nhau Tính xác suất để An
và Bình chỉ cĩ chung đúng một mơn thi tự chọn và một mã đề thi
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn mơn tự chọn và số mã đề thi cĩ thể nhận được của
An và Bình
● An cĩ 2
3
C cách chọn mơn tự chọn, cĩ 1 1
6 6
C C mã đề thi cĩ thể nhận cho 2 mơn
tự chọn của An
● Bình cĩ 2
3
C cách chọn mơn tự chọn, cĩ 1 1
6 6
C C mã đề thi cĩ thể nhận cho 2 mơn tự chọn của Bình
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là ( 2 1 1)2
3 6 6
C C C
Gọi A là biến cố '' An và Bình chỉ cĩ chung đúng một mơn thi tự chọn và một mã đề thi '' Để tính số kết quả thuận lợi cho A , ta mơ tả cách chọn 2 mơn tự chọn của An và
Bình và cách nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu bài tốn
● Cách chọn mơn Giả sử An chọn trước 2 mơn tự chọn trong 3 mơn nên cĩ 2
3
C
cách Để Bình chọn 2 trong 3 mơn tự chọn nhưng chỉ cĩ đúng 1 mơn trùng với An nên Bình phải chọn 1 trong 2 mơn An đã chọn và 1 mơn cịn lại An khơng chọn, suy ra Bình cĩ 1 1
2 1
C C cách Do đĩ cĩ 2 1 1
3 2 1
C C C cách chọn mơn thỏa yêu cầu bài tốn
Trang 2● Cách chọn mã đề Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là 1 1
6 6
C C
Để Bình có chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 môn Bình chọn, môn trùng với An phải chọn mã đề giống như An nên có 1 cách, môn không trùng với An thì được chọn tùy ý nên có 1
6
C cách, suy ra số cách chọn mã đề của Bình là 1
6
1.C Do đó có 1 1 1
6 6.1 6
C C C cách chọn mã đề thỏa yêu cầu bài toán Suy ra số phần tử của biến cố A là ( 2 1 1) ( 1 1 1)
3 2 1 6 6.1 6
Vậy xác suất cần tính ( ) ( ) ( )
2
2 1 1
3 6 6
.1 1
9
P A
C C C
Ω
Bài 99 An và Bình tham gia một kỳ thi THPT, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật
lí và Hóa học Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi
Lời giải
Trường hợp 1 An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí
● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của An là 6
● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của Bình là 6
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 6.6=36
Gọi A là biến cố ''An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí''
● Số cách nhận mã đề môn Vật Lí của An là 6
● Để trùng mã đề với An nên số cách nhận mã đề môn Vật Lí của Bình là 1
Suy ra số phần tử của biến cố A là 6.1= 6
Xác suất để An và Bình chung một mã đề thi môn Vật Lí là 6 1
36=6 Xác suất để An và Bình không cùng mã đề thi môn Hóa là 1 1 5
6 6
− =
Vậy xác suất của biến cố A là ( ) 1 5 5
6 6 36
Trường hợp 2 An và Bình chung một mã đề thi môn Hóa học
Tương tự như trường hợp 1, xác suất để trong 2 môn thi An và Bình có chung đúng một mã đề môn Hóa học là 1 5 5
6 6=36 Vậy xác suất cần tính 5 5 5
36 36 18
Bài 10 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi phòng thi gồm 16 học sinh được xếp vào 4
dãy bàn, mỗi dãy 4 bàn Môn Hóa có 4 mã đề thi, giám thị phát đề thi cho học sinh thỏa
mãn yêu cầu mỗi dãy ngang và dọc phải có đủ 4 mã đề Hai thí sinh A và B thi chung phòng, tính xác suất để A và B chung mã đề thi
Lời giải
● Xác suất về chỗ ngồi
Không gian mẫu là số cách chọn chổ ngồi của A và số cách chọn chổ ngồi của B Giả sử A chọn chổ ngồi trước nên có 16 cách, B còn lại 15 chỗ ngồi để chọn nên có 15
cách Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 16.15=240
Không gian biến cố: Do A chọn chổ ngồi trước nên có 16 cách Để B ngồi ở vị trí thỏa mãn cùng chung mã đề với A thì B không được ngồi cùng hàng và cùng dãy với
A nên B có 9 cách chọn chỗ ngồi Suy ra số phần tử của biến cố là 16.9=144
Xác suất về chọn chỗ ngồi là 144 3
240=5
Trang 3● Xác suất về cùng mã đề thi
Không gian mẫu là cách chọn tùy ý mã đề thi của A và cách chọn tùy ý mã đề thi của B Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 4.4=16
Không gian biến cố: Giả sử A chọn đề thi trước nên có 4 cách chọn mã đề Để B
trùng mã đề thi với A thì B phải chọn mã đề giống như A đã chọn nên B chỉ có 1cách chọn Suy ra số phần tử của biến cố là 4.1=4
Xác suất về cùng mã đề thi là 4 1
16=4 Vậy xác suất cần tính là 3 1 3
5 4 20