Sự gần đúng của su(3) trong nghiên cứu hạt cơ bản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ĐẶNG THỊ ÚT TRANG SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Thị Hà Loan Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, với lòng biết ơn sâu sắc, em xin cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan – người hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp cách tốt Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền đạt cho em kiến thức quý báu suốt thời gian em học trường Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới bạn sinh viên động viên, khích lệ, giúp em hoàn thành khóa luận thời hạn Xuân Hòa, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Út Trang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài: “Sự gần SU(3) nghiên cứu hạt bản” trung thực không trùng lặp với đề tài khác Xuân Hòa, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Út Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: ĐỐI XỨNG SU(n) 1.1 Định nghĩa nhóm đối xứng SU(n) 1.2 Biểu diễn nhóm đối xứng SU(n) CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3) 2.1 Định nghĩa đối xứng SU(3) 2.2 Nhóm biến đổi SU(3) 15 2.3 Đa tuyến nhóm SU(3) 15 2.3.1 Biểu diễn sở nhóm đối xứng SU(3) 17 2.3.2 Biểu diễn quy nhóm đối xứng SU(3) 22 SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN 33 3.1 Sự gần SU(3) 33 3.2 Khắc phục gần SU(3) 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hạt thực thể vi mô tồn hạt nguyên vẹn, đồng nhất, tách thành phần nhỏ hơn; ví dụ hạt e, positron, quark,…Đó thành phần cấu tạo nên giới vật chất vô phong phú Hạt tìm hiểu thông qua tương tác mà chúng tham gia; là: -Tương tác mạnh -Tương tác yếu -Tương tác điện từ -Tương tác hấp dẫn Hằng số tương tác loại tương tác khác Chính khác đòi hỏi phải có hướng tiếp cận, nghiên cứu hạt cho phù hợp Đối với tương tác mạnh số tương tác lớn nên nghiên cứu người ta không áp dụng lý thuyết nhiễu loạn mà sử dụng phương pháp có hiệu cao – phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng Phương pháp cho kết xác số lượng tử siêu tích, bảo toàn điện tích, số lepton, số baryon,… lại không xác xét tới khối lượng hạt, đối xứng SU(3) bị vi phạm Để hiểu rõ vi phạm đối xứng SU(3) để nâng cao trình độ hiểu biết định chọn đề tài: “Sự gần SU(3) nghiên cứu hạt bản” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu gần SU(3) nghiên cứu hạt Đối tượng nghiên cứu Ứng dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) để nghiên cứu hạt Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) - Các đa tuyến SU(3) - Sự gần lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng CHƯƠNG 1: ĐỐI XỨNG SU(n) 1.1 Định nghĩa nhóm đối xứng SU(n) Tập hợp ma trận n  n, Unita, có định thức 1, thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(n) Gọi g phần tử nhóm đối xứng SU(n) thì: g  SU (n) g g   g  g  I Det g   Nhóm đối xứng SU(n) phụ thuộc vào tham số thực? Ký hiệu phần tử nhóm đối xứng SU(n) U (1 ,  , ,  m ) với 1 ,  , ,  m tham số thực U (1 ,  , ,  m )  e ii i (i  1, m) Xét trường hợp  i (i  1, m) vô bé, ta viết sau: U (1 ,  , ,  m )  e ii i  I  i i  i  Trong đó: I ma trận đơn vị  i ma trận vuông hạng n U  U  I Theo tính chất Unita, ta có : Vì U  e ii i  I  i i  i  U   e ii i  I  i i  i  Do :   U U   I  i i  i   I  i i  i   I  i i  i  i i  i   i2  i  i  Ta xét đến gần bậc   U U   I  i i  i   i  I   i   i Mặt khác : Det U 1 ,  , ,  m   Ta có : Det A  e sp ln A (1) Spur (sp) vết ma trận, tổng phần tử đường chéo U 1 ,  , ,  m   e ii i Mà : Nên : Det U  e sp ln e Vì Det U  nên i i  i  e sp ln  I ii i   e sp ii i   e ii spi e ii spi   sp i  (2) Ta thấy ma trận n  n có n phần tử ma trận phức, tức có 2n tham số thực Từ điều kiện (1) :  i   i ta thấy có n phương trình ràng buộc Ngoài ra, điều kiện (2): sp i  cho ta phương trình ràng buộc Như 2n tham số có m  (n  1) tham số thực độc lập Do nhóm SU (n) phụ thuộc vào m  (n  1) tham số thực độc lập Vậy viết : g ( )  expi a  a  ( a  1, m ) Trong  a (a  1, m) tham số thực,  a (a  1, m) ma trận n  n phải thỏa mãn :  a   a sp a  1.2 Biểu diễn nhóm đối xứng SU(n) Giả sử có p hạt mô tả hàm trường  i (i  1, p) biến đổi sau tác dụng nhóm biến đổi SU(n) :    i ( x)   i ( x)  U  i ( x).U 1  e ia M a ( x) i (*) Trong M a ma trận p  p thỏa mãn hệ thức giao hoán giống a : M a , M b   if abc M c ; M a  M a Với f abc số cấu trúc nhóm ta nói p hạt lập thành biểu diễn nhóm đối xứng SU(n)  Nếu số chiều ma trận M a số chiều nhóm p hạt lập thành biểu diễn quy SU(n)  Nếu số chiều ma trận M a số nhóm p hạt lập thành biểu diễn sở SU(n) Từ hệ thức (*) ta tìm biến đổi hàm trường sau : U  e ia  a , ( a  1, m )  I  i a  a  U 1  I  i a  a  U i ( x )U 1  I  i a  a   i ( x)I  ia  a     i ( x)  i a  a i ( x)   i ( x)i a  a    i ( x)  i a  a , i ( x)  e  ia M a   ( x) i  I  i a M a   ( x)i   i ( x)  i a M a i ( x)    U i ( x)U 1  e ia M a ( x ) i  i ( x)  ia  a , i ( x)    i ( x)  i a M a i ( x)   a , i ( x)   M a i ( x) CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3) 2.1 Định nghĩa đối xứng SU(3) Tập hợp tất ma trận  3, Unita, có định thức thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3) Bất kỳ phần tử SU(3) viết dạng: g  SU (3) : g g   I (2.1) det g  (2.2) ia a Nếu  a vô bé g  e ( a  1,8 ) Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện : a  a (2.3) spa  (2.4) spa tổng phần tử đường chéo ma trận a  Điều kiện (2.3) : a  a có xuất phát từ tính chất Unita : g g   I Ta có: g e  i a g e a ia a Xét với  a vô bé ta khai triển Furie hàm mũ đến số hạng bậc : g  I  i a  g  I  i a a a   Đối với nơtron Hàm sinh n là:    n      i   2  M ;     M ;    i     n      i  M ;    M ;           2 j i j    if j    if j 2          7 i 6   if 376    if 367 2  1 i   1    i .     i .   2  2        i     n  2 2  Vậy thành phần thứ spin đồng vị hạt n  o Tính siêu tích: ,   23 M ,   n    M8,  6  i 7   3     n    i  M ;    M ;       j i j   if j    if j7   25    7 i   if     if 876 867 3   3 i      i .    i  3          i    n  2     Vậy siêu tích n Đối với   Hàm trường mô tả trạng thái sinh   là:      i   2            Ta có:  M ;     M ;   i    2      i  M ;    M ;       2   j i    if j1    j  if j 2    2   if 321      i   1  2      i     2        i 1   if 312 i    i  1   Vậy thành phần thứ spin đồng vị hạt   o Tính siêu tích: ,   23 M ,      26    0   i  M ;    M ;       2   j i   if8 j1    j  if j2    Vậy siêu tích   Đối với  Hàm trường mô tả trạng thái sinh  là:  0   3      Ta có:  M ;    M , 3       j   if j3  Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt  o Tính siêu tích: ,   23 M ,   0   j   if j 3 0   Vậy siêu tích  Đối với   Hàm trường mô tả trạng thái sinh   là:          i   2       Ta có:  M ;     M ;   i       2     27   i  M ;    M ;       2   j i    if    j  if j j2 2      2   if 321      i   1  2      i     2   1       i 1   if 312 i    i  1  Vậy thành phần thứ spin đồng vị hạt   (-1) o Tính siêu tích: ,   23 M ,       0   i  M ;    M ;       2   j i   if8 j1    j  if j2   Vậy siêu tích   Đối với  Hàm trường mô tả trạng thái sinh  là:  0        i   2       Ta có:  M ;     M ;   i      2     28    i  M ;    M ;       2   j i    if    j  if j j7 2        i 6   if 367 i   1   i .    2   7   if 376   1    i .   2   0  Vậy thành phần thứ spin đồng vị hạt  o Tính siêu tích: ,   23 M ,   0  0  i  M ;    M ;       2   j    if  i  j  if j j7 2 7    if 876   i 6  if 867              7 3   i 6 ( i )   ( i )  2 2       6  i 7     1 0 Vậy siêu tích  (-1) Đối với   Hàm trường mô tả trạng thái sinh   là: 29           i   2       Ta có:  M ;     M ;   i      2       i  M ;    M ;       j i j    if j    if j 2          5 i 4   if 354    if 345 2   1 i  1    i .      i .  2  2 2 1   4  i 5 2         1 Vậy thành phần thứ spin đồng vị hạt       2 o Tính siêu tích: ,   23 M ,      30  i  M ;    M ;          j  if  i  j  if j4 j5 2     if854   i   if845                5 3   i  ( i )   ( i )  2 2      4  i 5    1  Vậy siêu tích   (-1) Đối với  Hàm trường mô tả trạng thái sinh  là:     8   Ta có:  M ;    M , 8       j   if j8  Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt  o Tính siêu tích: ,   23 M ,     8  j   if j 0   Vậy siêu tích  31 Đưa xuống kết tính toán liệt kê vào bảng sau: p n  0  0   2 1 1 2 - 1   1 0 1 1 S 0 1 1 1 2 2 1 I I Các kết hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm  Messon với J p   Tính toán tương tự hạt Baryon J p  1 , ta có kết hạt Messon J p   : K K0  0  ~ K0 K  2 1 1 2 - 1   1 0 1 1 S 1 0 1 1 I I Các kết hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Đối với Messon B=0 nên   S Các đa tuyến biểu diễn khác nhóm đối xứng SU(3) 32 CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN 3.1 Sự gần SU(3) Nếu đối xứng SU(3) xác khối lượng hạt đa tuyến phải Nếu gọi  toán tử khối lượng ta có: M a ,    , a  1,8 Nhưng thực tế hạt đa tuyến có khối lượng khác nhau, điều có nghĩa đối xứng SU(3) không hoàn toàn xác Đó gần SU(3) Khi toán tử khối lượng viết sau :   inv      thành phần khối lượng vi phạm đối xứng 3.2 Khắc phục gần SU(3) Ta giả thiết vi phạm đối xứng SU(3) tối thiểu đối xứng SU(3) đúng, siêu tích bảo toàn.( tức SU(3) bị vi phạm phá vỡ tối thiểu thành SU(2) bảo toàn siêu tích) SU (3)  SU (2)  U  Lúc  thỏa mãn điều kiện nhóm SU(3) tức là: M i ,    M ,    i  1,3 (3.1) Muốn  phải tỉ lệ với thành phần thứ bát tuyến  a Bát tuyến thực biểu diễn qui: M a ,  b   if abc  c a  a, b, c  1,8 spa   (*) 33 (3.2) Xét khối lượng hạt đa tuyến  Hàm trường mô tả hạt    sp  biến đổi   M , sp      if sp     M , sp   if sp  Các vô hướng sp  a biến đổi  a a a a b a abc b c abc (3.3) c M a vô hướng nên  : hàm trường phải vô hướng a   a   Đây dạng bất biến thỏa mãn (3.1) Vì  phải thỏa mãn hệ thức (3.1), (3.2), (3.3) nên  tỉ lệ với thành phần thứ bát tuyến Ta viết biểu thức toán tử khối lượng dạng:   C0 sp( )  C1sp(  )  C2 sp(8 ) (3.4)  0   0  1 0        8    0       3      0   0    0  2     k sp  8   m 8 1  km  m sp 8   m 1k 8 k  1 k  m 1  8 1k  km  sp   3 m 3m 3 (3.5) m 1 k m  m1  k  8 mk  sp   3  m3 3 (3.6)         Thay (3.5) (3.6) vào (3.4) ta được:      C0  m C1 C2  m   sp   3C1 m  3C21  m 3   Đặt: 34 m0  C0  C1 C2  3 m1   3C1 m2   3C2   m    m0 sp   m1 m 3m  m2  m3 (3.7) Áp dụng công thức (3.7) để tính khối lượng baryon  Khối lượng proton Hàm trường proton  13 1   m0 3 13  m1 1 31  m2 3 13  m0  m2  3 13 Vậy khối lượng proton m p  m0  m2  Khối lượng nơtron Hàm trường nơtron  23 2   m0 3 23  m1 2 32  m2 3 23  m0  m2  3 23 Vậy khối lượng nơtron mn  m0  m2 o Khối lượng proton nơtron xét khối lượng xét tương tác mạnh nên khối lượng chúng Khối lượng khác tương tác điện từ  Khối lượng   Hàm trường  12   m0 2 12  m    m0  Khối lượng   Hàm trường  12   m0 1 21  m  m0  Khối lượng   35 Hàm trường  31 3   m0 1 31  m1 1 31  m2 3 13  m0  m1  1 31 Vậy m   m0  m1  Khối lượng   Hàm trường  32 Tương tự ta có m   m0  m1  Khối lượng  Hàm trường: 1 1   2  0  2 1   2   0      m          m         m0 2     11   22 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1   2 22  Vậy m0  m0  Khối lượng  Hàm trường   1 2 1  2 _ 3 6   3      2  6    m0     2  11   22  2 33     36 3 2 2 m1 3 33  m2 3 33 6 6       1     2     2   2  4 3  2    2 3 2 2 3  1   m0  3   m1   m2  33 3    3 3   m0  1 11   2 22  4 3 33  m1 3 33  m2 3 33 → m  m0  2 m1  m2 3 Vậy ta có: mn  m p  m0  m2 m  m  m0  m0 m   m   m0  m1 m  m0  2 m1  m2 3 Ta có hệ thức Gell-Mann- Okubo tiếng: mn  m  3m  m  với sai số 1% 37     KẾT LUẬN Sau thời gian nghiêm túc khẩn trương, hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học bảo hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan - giảng viên khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khóa luận đạt số kết sau: -Viết tổng quan đối xứng SU(n), SU(3) -Nghiên cứu biểu diễn nhóm đối xứng SU(3) -Nghiên cứu gần lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) đưa 1 hệ thức khối lượng hạt tuyến tám Baryon J  ,… p Do thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi sơ suất Rất mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến hữu ích để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1987), Hạt bản, Nxb GD Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa (2001), Bài giảng lý thuyết hạt bản, Nxb Khoa học kỹ thuật Hoàng Ngọc Long (2003), Lý thuyết trường chuẩn mô hình thống tương tác điện yếu, Nxb ĐHQG Hà Nội Nguyễn Thị Hà Loan, Bài giảng lý thuyết hạt Đặng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lý hạt nhân hạt Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản,Nxb ĐHQG Hà Nội 39 [...]... dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(3) :    i ( x)   i ( x)  U  i U 1  e ia a ( x) i Trong đó  a là các ma trận n  n thỏa mãn hệ thức giao hoán :  a , b   if abc c a, b, c  1,8  a   a sp a  0 15 (2.9) Khi đó ta nói n hạt này lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3) Hay nói  i i  1, n là các hàm trường mô tả trạng thái của n hạt lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3) Khi... 0 Nên ta có công thức tổng quát: M i ; M 8   0 2.3.1 Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) Có bao nhiêu khả năng của  a thì sẽ có bấy nhiêu biểu diễn: M , M   i. i i Khi  a   a 2 j jk ( i, j, k  1,2,3 ; f ijk   ijk ) M k ,  là các ma trận Gell-Mann Lúc này 3 hạt lập thành biểu diễn a cơ sở của nhóm SU(3) Đó chính là 3 hạt quark: u; d ; s  M ,       a i  i  a    2  ...  8) , a  1,8 a Số chiều của ma trận bằng số chiều của nhóm đối xứng với Fa bc  if abc Khi đó 8 hạt lập thành biểu diễn chính quy của SU(3) Nếu:    M ;      j F i a j  a i  F  a bc là phần tử ma trận ở dòng b cột c  Tám hạt Baryon : 1 J  2 p ( p, n,   ,  0 ,   ,  0 ,   ,  ) Lập thành một biểu diễn chính quy của SU(3) nếu hàm trường tương ứng của chúng biến đổi như sau:... 2 3 3 Siêu tích của hạt quark s là  2 3  Tính số lạ Số lạ của hạt quark s là (-1)  Số Barion: 1 1 B    S  L    (1)  0  3 3  Điện tích:  1 2 1 Q  I   0       3 2 2 3 3 21 Từ trên ta có bảng sau: I I u 1 2 1 2 d 1 2  s 0 0 3 1 2  Q B S 1 3 2 3 1 2 0 1 3  1 3 1 3 0  1 3 1 3 1  2 3 2.3.2 Biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng SU(3) Có bao nhiêu khả năng của  a thì sẽ... 4 3 2.2 Nhóm biến đổi SU(3) Đó là nhóm các toán tử Unita phụ thuộc vào 8 thông số: U ( a )  e ia M a ( a  1,8) Trong đó M a là các vi tử của nhóm biến đổi thỏa mãn điều kiện tương tự  a : M a , M b   if abc M c M a  M a spM a  0 thì nhóm biến đổi này gọi là nhóm biến đổi SU(3) 2.3 Đa tuyến của nhóm SU(3) Nếu ta có n hạt mà hàm trường tương ứng mô tả trạng thái các hạt là  i i  1, n sẽ... Siêu tích của hạt quark d là 1 3  Tính số lạ Số lạ của hạt quark d là 0  Số Barion: 1 1 B    S  L  00  3 3  Điện tích:  1 1 1 QI     3 2 2 6 3  Hạt quark s  Tính I 3 :  M 3 , q3  q 3  3    2  j  j 3 3 3  3   3   3   2  3  q   q   q  2  2  2  1  2  3  1 20    1  q 0  q  0  q  0 2 3 2 1 0 Hình chiếu spin đồng vị của hạt quark... 1  Vậy siêu tích của   bằng (-1) 8 Đối với  Hàm trường mô tả trạng thái sinh  là:     8   Ta có:  M 3 ;    M , 8     3   j   if 3 j8  0 Vậy hình chiếu của spin đồng vị của hạt  là 0 o Tính siêu tích: ,   23 M ,     8 8  2 j   if 8 j 8 3 0   Vậy siêu tích của  bằng 0 31 Đưa xuống dưới các kết quả tính toán có thể liệt kê vào bảng sau: p n  0 ... i i j ijk M k i, j, k  1,2,3; fi jk   ijk  M 1 ; M 2 ; M 3 là các vi tử của nhóm đối xứng SU(3), vì thế M1; M 2 ; M 3 được đồng nhất với toán tử spin đồng vị 16 b) M 8 giao hoán với M 1; M 2 ; M 3 (thấy được từ giá trị của hằng số cấu trúc nhóm) , từ đó cho phép ta đồng nhất M 8 với siêu tích  ( Trong 1 đa tuyến SU(3) thì giá trị siêu tích không đổi  toán tử siêu tích giao hoán với toán tử... 1     4  i 5    p  2 2 2  Vậy thành phần thứ 3 của spin đồng vị của hạt p là 23 1 2 o Tính siêu tích: Ở trên ta đã đồng nhất M với toán tử siêu tích nên ta có thể viết 8 M  c với c là hằng số 8 Hàm trường mô tả trạng thái sinh p là:   p 1     4  i 5   2 Hệ số được suy ra từ điều kiện chuẩn hóa và siêu tích của p bằng 1, nên:  ,       1  M ,      p p p...  2        i 1   if 312 2 i    i  1 2 1   Vậy thành phần thứ 3 của spin đồng vị của hạt   là 1 o Tính siêu tích: ,   23 M ,    8   26   2 3 2  3 0  1  2 i  M ;    M ;   8 1     2 3 2  8 2  1 j 2 i   if8 j1    j  if 8 j2 2 3 2    Vậy siêu tích của   bằng 0 4 Đối với  0 Hàm trường mô tả trạng thái sinh  0 là:  0   3   ... xứng SU(3) 22 SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN 33 3.1 Sự gần SU(3) 33 3.2 Khắc phục gần SU(3) 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hạt. .. tuyến biểu diễn khác nhóm đối xứng SU(3) 32 CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN 3.1 Sự gần SU(3) Nếu đối xứng SU(3) xác khối lượng hạt đa tuyến phải Nếu gọi  toán tử... đích nghiên cứu Tìm hiểu gần SU(3) nghiên cứu hạt Đối tượng nghiên cứu Ứng dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) để nghiên cứu hạt Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) - Các