Ứng dụng của ước chung và bội chung

Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa : Toán  Nguyễn thị mùi ứng dụng ƣớc chung bội chung Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Hà nội - 2009 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa : Toán  Nguyễn thị mùi ứng dụng ƣớc chung bội chung tóm tắt Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Nguyễn thị Bình Hà nội - 2009 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận em đƣợc giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô tổ Đại Số, thầy cô khoa Toán thầy cô giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đăc biệt em bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Bình Ngƣời tận tình hƣớng dẫn em trình hoàn thành khoá luận! Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Mùi Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận kết học tập nghiên cứu riêng em khoá học 31 trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội Khoá luận đƣợc làm dƣới hƣớng dẫn cô giáo Nguyễn Thị Bình Em xin cam đoan khoá luận đề tài “ứng Dụng Của Ƣớc Chung Bội Chung “ không trùng với khoá luận khác Hà Nội, ngày Tháng năm 2009 Sinh viên Nguyên Thị Mùi Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Muc lục Trang Lời mở đầu Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Đ1 Ƣớc chung Đ2 Bội chung Chƣơng 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào toán chia hết ứng dụng 2: ứng dụng vào xét số 19 toán liên quan đến chia hết ứng dụng 3: ứng dụng vào giải phƣơng 29 trình nghiệm nguyên Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Lời Mở Đầu Lí chọn đề tài Ƣớc chung bội chung nội dung quan trọng toán học Trong chƣơng trình toán phố thông Ƣớc Chung Bội Chung đƣơc giới thiệu sớm có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán Tuy nhiên đến tài liệu chƣa đƣợc nhiều Các dạng tập ứng dụng ƣớc chung bội chung chƣa đƣơc hệ thống hoá Vì lí em chọn đề tài “ứng dụng ƣớc chung bội chung “ Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tƣ logíc đặc thù môn Khắc sâu tìm hiểu kiến thức ứng dụng ƣớc chung bội chung Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng ƣớc chung bội chung 4.Đối tƣợng nghiên cứu Một số ứng dụng ƣớc chung bội chung Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận phân tích đánh giá tổng hợp Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu ,kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: ứng dụng Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Đ Ƣớc chung Định nghĩa: Một số nguyên đƣợc gọi ƣớc chung nhiều số nguyên a1, a2, a a3,…, an ƣớc cuả số Một ƣớc chung d số nguyên a1, a2, a3,…, an cho ƣớc b chung a1, a2, a3,…, an ƣớc d đƣợc gọi ƣớc chung lớn (ƢCLN) a1, a2, a3,…, an Nếu ƣớc chung lớn số nguyên a1, a2, a3,…, an c số a1, a2, a3,…, an gọi nguyên tố Nếu ta có ƣớc chung lớn cặp số ai, aj (i,j = 1, 2,…,n i  j) số a1, a2, a3,…, an đƣợc gọi nguyên tố đôi hay nguyên tố sánh đôi Cách tìm ƢCLN.Thuật toán Ơclit Chú ý: Với a, b  tồn cặp số q, r cho: a  bq  r với  r b ta có (a, b)  (b, r ) a Cho a, b  Nếu hai số ƣớc số kia, chẳng hạn b a ta có (a, b)  b hiển nhiên b Nếu trƣờng hợp không sảy ta có hệ thức sau biểu thị dãy phép chia có dƣ a  bq0  r1  r1 b b  r1q1  r  r2  r1 rn   rn 1qn 1  rn rn 1  rn qn  rn  rn 1 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Dãy phép chia có dƣ liên tiếp gọi thuật toán Ơclit thực hai số a, b Dãy phải hữu hạn thuật toán Ơclit phải kết thúc với số dƣ rn 1  Theo ý mở đầu ta có : (a, b)  (b, r1 )   (rn 1 , rn ) Nhƣ vậy, ƢCLNcủa hai số a b số dƣ cuối khác thuật toán Ơclit thực a b Tìm số lƣợng ƣớc số Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A axbycZ…thì số lƣợng ƣớc A (x + 1)(y + 1)( z+ 1)… Thật vậy: Các ƣớc A có dạng mnp…trong m có x+ cách chọn (là 1;a;a2;…; ax) n có y+1 cách chọn (là 1;b;b2;…; by) p có Z + cách chọn (là 1;c;c2;…; cZ) Do số lƣợng ƣớc A (x + 1)(y + 1)( Z + 1)… Đ Bội chung Định nghĩa: a Một số nguyên đƣợc gọi bội chung số a1, a2, a3,…, an bội số b Một bội chung m số a1, a2, a3,…, an cho bội chung số a1, a2, a3,…, an bội m đƣợc gọi bội chung nhỏ (BCNN) số Cách tìm BCNN nhiều số Bội chung nhỏ hai số a b  a, b   ab ( a, b) Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh: Đặt m  ab b a Ta có m  a Vậy m bội chung  b ( a, b) ( a, b) ( a, b) a b Giả sử m , bội chung a b.ta sễ chứng minh m , bội m Thật m , bội a nên phải có k   cho m,  ak Vì b ƣớc m , nên có b ak ,  b b a a  k , nhƣng  ,   nên ( a, b) ( a, b)  ( a, b) ( a, b)  b b ab ta đƣợc m,  k nghĩa phải có t k  t .t  mt ( a, b) ( a , b) ( a , b) tức m , bội m Bội chung nhỏ nhiều số b Cho số a1 , a2 , a3 , an Đặt m2   a1 , a2  , m3   m2 , a2  , , mn   mn1 , an  m  mn   a1 , a2 , a3 , an  Ta đƣợc Hệ 1: Bội chung nhỏ nhiều số nguyên tố đôi tích chúng Hệ Nếu số số a1 , a2 , a3 , an nguyên tố đôi mà chia hết số m tích chúng chia hết số m Chƣơng 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào toán chia hết Cơ sở lý luận Dựa vào định nghĩa số tính chất quan hệ chia hết, cụ thể là: Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b, với b  Nếu có số nguyên q cho a=bq ta nói b chia hết cho a hay b ƣớc a kí hiệu ba Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Ta nói a chia hết cho b hay a bội b kí hiệu a  b - 1 a với a   ,ngoài 1 không số nguyên có tính chất - 0 a với a   , a  ,ngoài số không só có tính chất - a a với a   , a  - a b b a kéo theo a  b - b a c b kéo theo c a n - b , i  0,1, , n kéo theo b  xi , i  0,1, , n với x0 , x1 , x2 , xn  i 0 - Trong n(n  1) số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n Giả sử có n số tự nhiên liên tiếp a1 , a2 , , an Ta chứng minh phép chia cho n số dƣ n số đôi khác Giả sử ngƣợc lại, có i  j cho:  nqi  r ,  r n a j  nq j  r ai  a j  nk    a j  n   a j  Trái giả thiết  a j Do n số dƣ khác nhận giá trị n giá trị 0,1, 2, , n  nên có số dƣ - Một số đẳng thức Với (n    ) ta có a n  bn  (a  b)(a n 1  a n 2b   ab n 2  b n 1 ) Với n lẻ ta có: a n  bn  (a  b)(a n 1  a n 2b   ab n 2  b n 1 ) Suy : 10 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp a n4  số nguyên tố ; b n2003  n2002  số nguyên tố Giải: a Ta có   n   n  4n   n    n2    2n     n  2n  n  2n  Nếu n4  số nguyên tố  n  2n    n  Thử lại với n = n4   số nguyên tố Vậy n = n4  số nguyên tố b Ta có: n2003  n2002   n2  n2001  1  n  n2001  1  n2  n  Với n1 ta có: n2001  1 n3   n2001  1 n2  n  Do đó: n 2003  n 2002  1 n  n  n  n  11 nên n2003  n2002  hợp số Với n  số nguyên tố n 2003  n2002   Ví dụ 2: Cho a, b, c, d    thoả mãn a.b  c.d Chứng minh A  a n  bn  c n hợp số với n   Chứng minh: Giả sử  a, c   t Từ a.b  c.d  a1b  c1d  b  c1 Đặt b  kc1  c1d  a1kc1  d  ka1 Khi A  a n  bn  c n  d n a  ta1 , c  tc1 với (a1 , c1 )   t n a1n  k nc1n  t nc1n  k n a1n   kn  tn Vì  a n  c1n  k , t , a1 , c1   nên a hợp số 29 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Bài tập tự luyện Dạng 1: Chứng minh không tồn số tự nhiên a,b,c mà a.b.c + a = 333 ; a.b.c + b = 335 ; a.b.c + c = 341 Có số tự nhiên mà tổng chúng tận Tích chúng tận hay không? Dạng 2: Chứng minh tổng bình phƣơng n số nguyên liên tiếp số phƣơng với n = , , , , Chứng minh n   ta có: a n  3n  không chia hết cho b n2  3n  không chia hết cho 49 c n  3n  16 không chia hết cho 169 Dang3: Tìm tất số tự nhiên n cho  n  1! chia hết cho n Tìm tất số tự nhiên n thoả điều kiện saạnga n  11  n  1 b n  2n  6  n   c n   n  3 Dạng 4: Chứng minh : Số phƣơng có chữ số lẻ hàng chục chữ số hàng đơn vị Cho abc số nguyên tố ,chứng minh phƣơng trình ax  bx  c =0 nghiệm hữu tỉ Tìm số hữu tỉ x cho x  x  số phƣơng Dạng 5: 10 Tìm số nguyên tố p cho p + 10 p + 14 số nguyên tố 11 Tìm tất số nguyên tố p để p  p số nguyên tố 30 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp 12 Cho p, q số nguyên tố Chứng minh p  p  24 13 Cho n    , chứng minh số sau hợp số A  22 a n1 3 b B  22 ; n1 7 ; n c C  22  13 14 Chứng minh với số nguyên tố p có vô số số dạng 2n  n chia hết cho p 15 a Tìm số nguyên tố p để 2p + lập phƣơng số tự nhiên b.Tìm số nguyên tố p để 13p + lập phƣơng số tự nhiên 16 Tìm n    để n3  n2  n  số nguyên tố ứng dụng : ứng dụng vào giảI PHƢƠNG TRìNH NGHIệM NGUYÊN Cơ sở lý luận - Định lí tồn nghiêm nguyên -Phƣơng trình bậc ẩn có dạng ax  by  c(a  0, b  0; a, b, c   ) - Phƣơng trình có nghiệm nguyên  (a; b) c - Mở rộng phƣơng trình bậc nhiều ẩn : a1 x1  a2 x2   an xn  c  ak , c    Có nghiệm nguyên   a1 , a2 , , an  c Chứng minh trƣờng hợp ẩn: Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên (1) ta có ax0  by0  c Nếu d  (a; b) d ax0  by0  c Ngƣợc lại : Giả sử d  (a; b) c c  dc1 ta có hai số nguyên x1 , y1 cho d  ax1  by1  dc1  a( x1c1 )  b( y1c1 )  c Vậy (1) có nghiệm nguyên Hệ quả: 31 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Nếu (a; b)  phƣơng trình (1) có nghiệm nguyên + Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình (1) Giả sử d  (a; b) c chia vế (1) cho d ta đƣợc a b c a b x  y  với ( ; )  d d d d d Định lí 1: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên phƣơng trình ax  by  c với (a; b)  (1) có vô số nghiệm nguyên nghiệm tổng quát (1) đƣợc cho công thức:  y  xo  bt với t   ;  x0 ; yo  gọi nghiệm nghuyên (1)   y  yo  at Tìm nghiệm riêng  x0 ; yo  : Thuật chia Euclid để tìm ƢCLN (a;b) Giả sử a  bq0  r1 , b  r1q1  r2 , , rk 1  rk qk  Lấy “ thƣơng” dãy phép chia thuật toán tính : m  q0  q1  p q = q2   qk Nghiệm riêng a.x  b y  thoả mãn  x0  p   y0  q  x0  q   y0  p Thử trƣờng hợp để xác định dấu x0 , y0 - Số số nguyên tố chẵn Có thể đƣa phƣơng trình dạng f x  g x   k với f x  g x   k với f  x  , g x  đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ  f x   m   g x   n với m.n  k 32 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Phƣơng trình đối xứng với ẩn x , y , z ,… tìm nghiệm nguyên dƣơng ta giả sử  x  y  z  Không tồn số phƣơng nằm hai số phƣơng liên tiếp Một số phƣơng pháp Phƣơng pháp 1: Sử dụng phép chia hết chia có dƣ Hai vế phƣơng trình nghiệm nguyên chia cho số có số dƣ khác phƣơng trình nghiệm nguyên cụ thể vế có số dƣ vế có số dƣ khác hay vế ƣớc chung Phƣơng pháp2: Phƣơng pháp phân tích Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình a  x  y   b  c.x y với  a, b     c.x y  a.x  a y  b  y  c.x  a     c.x  a  c y  a   a  b.c Phân tích a  b.c  m.n với a a2  c.x  a    b c c (1) m, n   ta tìm ƣớc hai vế (1) sau cho ƣớc tƣơng ứng Sau lần lƣợt giải hệ c.x  a  m  c y  a  n Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp xuống thang Thuật toán Căn vào dạng ta có thuật toán cụ thể 33 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Dạng 1: Nghiệm nguyên phƣơng trình bậc Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm tất số tự nhiên cho a n n  1 25 b n 21 n  1165 c n ; n  1 25 n  2 Giải: n  n  x    25 y  x  n  1 25  n   25 y  a 25  9.2  có m  2 1 ;  7.1   2 11  2  4 ; 1  2.3   x0  11 , y0  nghiệm riêng 1  x  11  25t  y   9t nên 1 có nghiệm tổng quát :  n 21 n  21x   165 y  21x  khôngcó nghiệm  n  1165 n   165 y b nguyên 165, 21  không ƣớc Theo a ta có n  99  225t , n   101  225t  4k  4k  225t  101 c  2 Ta có: 225  4.56   m  56 Ta có: k  56, t  1 nghiệm riêng phƣơng trình 4k  225t  nên  56.101, 101 nghiệm riêng   Vậy nghiệm tổng quát   là: k  5656  225m  t  101  4m t   m  26 n  22626  900m, m  26 34 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ chia hết cho chia cho ,3 , , , có số dƣ Giải: Gọi n số tự nhiên cần tìm n  x n    2,3, 4,5, 6 y n  x  x  60 y  BCNN  2,3, 4,5,   60 Khi đó:  n   60 y Theo thuật chi Euclid cho 60 7: 60  7.8  ;  4.1   m  8 1 1  ;  3.1  17 Thử trực tiếp ta thấy x  17, y  2 nghiệm riêng 1 nên 1 có nghiệm nguyên tổng quát là: Khi  x  17  60t   y    7t t    t    n  x  119  420t Với t  n  301 số tự nhiên nhỏ chia hết cho chia cho ,3 , , , có dƣ Dạng 2: Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình nghiệm nguyên khác Các ví dụ minh hoạ Phƣơng pháp 1: Sử dụng phép chia hết chia có dƣ Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình : x2  y Giải: Rõ ràng x = y = nghiệm phƣơng trình (1) Nếu x0 , y0   x0 , y0  nghiệm (1) gọi d   x0 , y0  Suy  x0 y0   d , d  1   1 35 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp x  y  x  2y     2  d  d  Có 2 x y   2  2  4 d d   y0 x y  2   ,   d d d   2 Từ 1   suy phƣơng trình nghiệm khác Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: x  y  Giải: Nếu x5 từ y  x  55  y 5  x  y  25 y  Nếu x  vô lý Ta có x  1 mod 5 y  1 mod 5 Suy x  y  1, 3  mod 5 Vậy phƣơng trình nghiệm nguyên Phƣơng pháp2: Phƣơng pháp phân tích Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình  x  y   16  3.x y Giải: Ta có  x  y   16  3.x y  3.x y  x  y  16  y  3x    3x    16  3   3x   y    52 Giả sử x  y Ta có hệ sau  3x   y  52  1.52  2.26  4.13 3x    3 y   52 3 x   3 y   26 ;  3 x   3 y   13 ;  Giải ta đƣợc nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình là: 1,18 , 18,1 ,  2,5 5,  Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: 36 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp  x  y  1  x  y  x  x   105 Giải: Vì 105   x  y 1  y 2 mà x  x  x  x  1 x   x  nên Với x  ta có phƣơng trình:  y  1 y  1  21.5 Do  y  1, y  1  5 y   21   y 1  nên 5 y   21   y   5 + 5 y   21 5 y  20 y     y4   y 1  y  y  + 22  5 y   21 5 y  22  y      y    y       y  6 Vậy : y4 vô nghiệm Thử lại với x  y  nghiệm nguyên phƣơng trình Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình sau a x  y  xy b p  x  y   xy Với p số nguyên tố Giải: a Ta có: x  y  xy  xy  x  y     x  1 y  1   x    x     y 1  y       x   1  x      y   1   y  37 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Vậy phƣơng trình có hai nghiệm  0,   2,  Ta giả sử x  y c p  x  y   xy  xy  px  py  p  p Ta có :   x  p  y  p   p p  p p    p    p   p    p   1 Mà x  p  p  y  p  p x  p   x  p  1 x  p   p   2 y  p  p y  p  p y  p   p  Từ phƣơng trình cho có nghiệm nguyên  x, y  là:  0,  ;  p, p  ;  p  1, p     p ; p  p, p  ; p  p, p  ; p  1, p  p  Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: x  y  z  Giải: Giả sử  x0 , y0 , z0  nghiệm nguyên phƣơng trình  x03  y03  z03  x0  , đặt x0  3x1 Thay x0  3x1 vào (1) ta đƣợc x13  y03  3z03   y0 3 Đặt y0  y1 đó: x13  27 y13  3z03   3x13  y13  z03   z0 3 Đặt z0  3z1 , đó: x13  y13  z13  Vậy:  x0 y0 z0   , ,  nghiệm phƣơng trình   x y z Quá trình tiếp tục đƣợc  k0 , k0 , k0  nghiệm nguyên (1) với 3 3  k , điều sảy x0  y0  z0  Vậy  0, 0,  nghiệm phƣơng trình cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: x  y  z  t  xyzt Giải: 38 1 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Giả sử  x0 , y0 , z0 , t0  nghiệm nguyên 1 , Khi x0 y0 z0t0  Do i x02  y02  z02  t02  x0 y0 z0t0  phải có chẵn số lẻ số số x0 , y0 , z0 , t0 Nếu x0 , y0 , z0 , t0 lẻ x02  1 mod  , y02  1 mod  , z02  1 mod  , t02  1 mod   x02  y02  z02  t02   mod  Trong x0 y0 z0t0  ii Nếu số x0 , y0 , z0 , t0 có số lẻ x02  y02  z02  t02   mod  nhƣng x0 y0 z0t0  Nên x0 , y0 , z0 , t0 phải số chẵn, đặt: x0  x1 , y0  y1 , z0  z1 , t0  2t1 Phƣơng trình trở thành x12  y12  z12  t12  8x1 y1 z1t1 Lý luận tƣơng tự ta có: x22  y22  z22  t22  32x2 y2 z2t2 Với: x2  Tiếp tục ta có: x1 y z t , y2  , z  , t  2 2 xn  x0 y z t , yn  n0 , zn  0n , tn  0n n 2 2 Là số nguyên với n, suy x0  y0  z0  t0  Vậy phƣơng trình có nghiệm  0, 0, 0,  Bài tập tự luyện Dạng 1: Tìm số nguyên n cho 3n – chia hết cho 7n – chia hết cho Tìm ngiệm nguyên dƣơng phƣơng trình sau: a x  11y  47 ; b 3x  y  555 ; c 12 x  y  45 Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình sau: 19 x  28 y  729 Giải phƣơng trình sau tập số nguyên 39 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp x14  x24   x74  2008 Chứng minh phƣơng trình sau nghiệm nguyên a x  y  z  t  165 ; b x14  x24   x144  1599 Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có số đo diện tích chu vi Giải phƣơng trình tập số nguyên: x  x   y Giải phƣơng trình tập số nguyên a x3  y  z  b x  y  z  u c x3  y  z d x  y  z  xyz 40 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp 41 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Ƣớc chung bội chung có ứng dụng quan trọng đại số sơ cấp ứng dụng hay đƣợc sử dụng để giải toán kỳ, thi đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi phổ thông, thi Olympic toán học Trong khoá luận có trình bày số toán thƣờng gặp có sử dụng ứng dụng ƣớc chung bội chung.Tuy nhiên nhỏ so với kiến thức ứng dụng ƣớc chung bội chung Khoá luận đƣợc thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập toán Từ đề tài giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng ứng dụng ƣớc chung bội chung Do lần làm quen với công tác nghiên cứu thời gian lực thân em nhiều hạn chế nên không tránh khỏi thiếu xót Em mong đƣợc đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! 42 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Nâng cao phát triển toán tập Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Giáo trình số học Lại Đức Thịnh Nhà xuất giáo dục 1977 Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi trung học sở số học Vũ Thanh Nhà xuất giáo dục Bài tập số học Nguyễn Tiến Quang Nhà xuất giáo dục 43 [...]... chia hết cho 3 b a  b  6 và 4a7  1b5 chia hết cho 9 10: Chứng minh rằng: a 1028 + 8 chia hết cho 72 a 88 + 220 chia hết cho 17 20 2 n1  3 7 c 9.10n18  27 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng 2 ứng dụng vào xét Một số bài toán liên quan đến chia hết 1 Cơ sở lý luận Dựa vào định nghĩa và một số tính chất của quan hệ chia hết, cụ thể... dƣ trong phép chia tổng các chữ số của n cho 3 hoăc 9 2 Thuật toán: * Căn cứ vào các dạng ta có các thuật toán cụ thể: Dạng 1: Sử dụng tính chất: 3 Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 ? b Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 ? c Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 ? Chứng minh: a Tích của hai số chẵn có dạng 2n.(2n  2)... nghiệp Phƣơng pháp1: Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên Phƣơng pháp 2: áp dụng định lý fermat Với p là số nguyên tố và  a, p   1 thì a p 1  1 mod p  Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp phân tích 2 Thuật toán Căn cứ vào các dạng ta có các thuật toán cụ thể Dạng 1: Sử dụng tính chẵn lẻ 3 Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Có thể chọn đƣợc 5 số trong dãy số 1,3,5,…,27,29 để tổng của chúng bằng 70 không?... mãn x2 + y2 = z2 Chứng minh rằng x.y.z  60 6 Chứng minh rằng: m.n(m4  n 4 )30 a b m, n   3n  63 72 7 Với 4 số nguyên a, b, c, d Chứng minh rằng: (a  b)(a  c)(a  d )(b  c)(b  d )(c  d )12 Dạng 4 : 8 Chứng minh rằng nếu (a,240) = 1 thì a 4  1 240 9 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có: a 22 6 n 2  319 b 22 ; Dạng 5: 10 Tìm các số a, b sao cho a a  b  4 và 7a5b1 chia hết... tổng của 5 số đƣợc chọn trong dãy số  2 không là ƣớc của A  (A,2) = 1 Mà (70,2) = 2  không tồn tại 5 số để tổng của chúng bằng 70 Ví dụ 2: Có tồn tại hay không 4 số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là số lẻ? Giải: Giả sử 4 số đó là a,b,c,d Do (a.b.c.d , 2) = 1  (a,2) = (b,2) = (c,2) = ( d , 2 ) = 1  (a + b + c + d , 2) = 2 Trái với giả thiết (a + b + c + d , 2) = 1 Dạng 2: CáC BàI TOáN CHứNG... Khoá luận tốt nghiệp Ta chứng minh ( x  y, 2 x  2 y  1)  1 Thật vậy gọi d  ( x  y, 2 x  2 y  1) thì d x  y và d 2 x  2 y  1 suy ra d 2 x  2 y và d 2 x  2 y  1 suy ra d 2 x  2 y  1   2 x  2 y   4 y  1 (2) Mặt khác, từ (1) suy ra d 2 y 2  d y  d 4y (3) Từ (2) và (3) suy ra d 1 hay d  1 Vậy  x  y, 2 x  2 y  1  1 Ta chứng minh x  y và 2 x  2 y  1 là số chính phƣơng... Phƣơng pháp 2: áp dụng định lý fermat Ví dụ 1: Giả sử p là số nguyên tố lẻ và m  9 p 1 Chứng minh rằng m là hợp 8 số lẻ không chia hết cho 3 và 3m1  1 mod m  Giải: 3p 1 3p 1  a.b 2 4 Ta có: m Với : 3p 1 3p 1 a ,b  2 4 a, b đều là các số nguyên lớn hơn 1 nên m là hợp số Mà:   p 1 p 2 9 p  1  9  1 9  9   9  1 m   9 p 1  9 p 2   9  1 8 8 Và p lẻ nên m lẻ và m  1 mod... nghiệp 4 Bài tập tự luyện Dạng 1: 1 Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a,b,c nào mà a.b.c + a = 333 ; a.b.c + b = 335 ; a.b.c + c = 341 2 Có 3 số tự nhiên nào mà tổng của chúng tận cùng bằng 4 Tích của chúng tận cùng bằng 1 hay không? Dạng 2: 3 Chứng minh rằng tổng bình phƣơng của n số nguyên liên tiếp không thể là số chính phƣơng với n = 3 , 4 , 5 , 6 , 7 4 Chứng minh rằng n   ta có: a n 2... là số nguyên tố ứng dụng 3 : ứng dụng vào giảI PHƢƠNG TRìNH NGHIệM NGUYÊN 1 Cơ sở lý luận - Định lí về sự tồn tại nghiêm nguyên -Phƣơng trình bậc nhất một ẩn có dạng ax  by  c(a  0, b  0; a, b, c   ) - Phƣơng trình có nghiệm nguyên  (a; b) c - Mở rộng đối với phƣơng trình bậc nhất nhiều ẩn : a1 x1  a2 x2   an xn  c  ak , c    Có nghiệm nguyên   a1 , a2 , , an  c Chứng minh đối với... dƣ 1 Dạng 2: Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình nghiệm nguyên khác 3 Các ví dụ minh hoạ Phƣơng pháp 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dƣ Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình : x2  2 y 2 Giải: Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của phƣơng trình (1) Nếu x0 , y0  0 và  x0 , y0  là nghiệm của (1) gọi d   x0 , y0  Suy ra  x0 y0   d , d  1   1 35 Nguyễn Thị Mùi ... chuẩn bị Đ1 Ƣớc chung Đ2 Bội chung Chƣơng 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào toán chia hết ứng dụng 2: ứng dụng vào xét số 19 toán liên quan đến chia hết ứng dụng 3: ứng dụng vào giải phƣơng... Khắc sâu tìm hiểu kiến thức ứng dụng ƣớc chung bội chung Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng ƣớc chung bội chung 4.Đối tƣợng nghiên cứu Một số ứng dụng ƣớc chung bội chung Phƣơng pháp nghiên... + 1)… Đ Bội chung Định nghĩa: a Một số nguyên đƣợc gọi bội chung số a1, a2, a3,…, an bội số b Một bội chung m số a1, a2, a3,…, an cho bội chung số a1, a2, a3,…, an bội m đƣợc gọi bội chung nhỏ