Ứng dụng của ước chung và bội chung

Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa : Toán  Nguyễn thị mùi ứng dụng ƣớc chung bội chung Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Hà nội - 2009 Nguyễn Thị Mùi Khoá luận tốt nghiệp Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa : Toán  Nguyễn thị mùi ứng dụng ƣớc chung bội chung tóm tắt Khố luận tốt nghiệp đại học Chun ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Nguyễn thị Bình Hà nội - 2009 Lời cảm ơn Để hồn thành khố luận em đƣợc giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô tổ Đại Số, thầy khoa Tốn thầy cô giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đăc biệt em bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Nguyễn Thị Bình Ngƣời tận tình hƣớng dẫn em q trình hồn thành khoá luận! Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Mùi Lời cam đoan Khoá luận kết học tập nghiên cứu riêng em khoá học 31 trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội Khoá luận đƣợc làm dƣới hƣớng dẫn giáo Nguyễn Thị Bình Em xin cam đoan khoá luận đề tài “ứng Dụng Của Ƣớc Chung Bội Chung “ khơng trùng với khoá luận khác Hà Nội, ngày Tháng Sinh viên Nguyên Thị Mùi năm 2009 Muc lục Trang Lời mở đầu Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Đ1 Ƣớc chung Đ2 Bội chung Chƣơng 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào toán chia hết ứng dụng 2: ứng dụng vào xét số 19 toán liên quan đến chia hết ứng dụng 3: ứng dụng vào giải phƣơng 29 trình nghiệm nguyên Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lí chọn đề tài Lời Mở Đầu Ƣớc chung bội chung nội dung quan trọng tốn học Trong chƣơng trình tốn phố thông Ƣớc Chung Bội Chung đƣơc giới thiệu sớm có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán Tuy nhiên đến tài liệu chƣa đƣợc nhiều Các dạng tập ứng dụng ƣớc chung bội chung chƣa đƣơc hệ thống hoá Vì lí em chọn đề tài “ứng dụng ƣớc chung bội chung “ Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tƣ logíc đặc thù mơn Khắc sâu tìm hiểu kiến thức ứng dụng ƣớc chung bội chung Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng ƣớc chung bội chung 4.Đối tƣợng nghiên cứu Một số ứng dụng ƣớc chung bội chung Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận phân tích đánh giá tổng hợp Cấu trúc khố luận Ngồi phần mở đầu ,kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1:Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: ứng dụng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Đ Ƣớc chung Định nghĩa: a Một số nguyên đƣợc gọi ƣớc chung nhiều số nguyên a1, a2, a3,…, an ƣớc cuả số b Một ƣớc chung d số nguyên a1, a2, a3,…, an cho ƣớc chung a1, a2, a3,…, an ƣớc d đƣợc gọi ƣớc chung lớn (ƢCLN) a1, a2, a3,…, an c Nếu ƣớc chung lớn số nguyên a1, a2, a3,…, an số a1, a2, a3,…, an gọi nguyên tố Nếu ta có ƣớc chung lớn cặp số ai, aj (i,j = 1, 2,…,n i j) số a1, a2, a3,…, an đƣợc gọi nguyên tố đôi hay ngun tố sánh đơi Cách tìm ƢCLN.Thuật tốn Ơclit Chú ý: Với a, b  tồn cặp q, r cho: a bq r số với rb ta có (a,b) (b, r) a Cho a, b  Nếu hai số ƣớc số kia, chẳng hạn b a ta có (a,b) b b hiển nhiên Nếu trƣờng hợp khơng sảy ta có hệ thức sau biểu thị dãy phép chia có dƣ a bq0 r1 r1 b b r1q1 r r2 r1 rn2 rn1qn1  rn rn1 rn qn rn rn1 Dãy phép chia có dƣ liên tiếp gọi thuật toán Ơclit thực hai số a, b Dãy phải hữu hạn thuật toán Ơclit phải kết thúc với số dƣ rn1 0 Theo ý mở đầu ta có : (a, b) (b, r1 )  (rn1 , rn ) Nhƣ vậy, ƢCLNcủa hai số a b số dƣ cuối khác thuật tốn Ơclit thực a b Tìm số lƣợng ƣớc số Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A x y Z a b c …thì số lƣợng ƣớc A (x + 1)(y + 1)( z+ 1)… Thật vậy: Các ƣớc A có dạng mnp…trong m có x+ cách chọn x (là 1;a;a ;…; a ) y n có y+1 cách chọn (là 1;b;b ;…; b ) Z p có Z + cách chọn (là 1;c;c ;…; c ) Do số lƣợng ƣớc A (x + 1)(y + 1)( Z + 1)… Đ Bội chung Định nghĩa: a Một số nguyên đƣợc gọi bội chung số a1, a2, a3,…, an bội số b Một bội chung m số a1, a2, a3,…, an cho bội chung số a1, a2, a3,…, an bội m đƣợc gọi bội chung nhỏ (BCNN) số Cách tìm BCNN nhiều số Bội chung nhỏ hai số a b a, b ab (a, b) Chứng minh: Đặt m ab  Ta có m a b b a b Giả sử Vậy m bội chung a (a, b) (a, b) (a, b) m bội chung a b.ta sễ chứng minh m bội , , m Thật , ƣớc m m bội a nên phải có k  m ak Vì b cho , b nên có b ak , a b k , nhƣng (a, b) (a, b) b nghĩa phải có t k  t (a,k b) b ta (a, đƣợc b) ,  , a nên  1    (a, b) (a, b) , ab mt m (a,  t b) tức m, bội m b Bội chung nhỏ nhiều số Cho số a1, a2 , a3 , an Đặt Ta đƣợc Hệ 1: m2 a1 , m3 m2 , a2 , , mn mn1, a2  , an  m mn a1, a2 , a3 , an  Bội chung nhỏ nhiều số nguyên tố đôi tích chúng Hệ Nếu số số a1, a2 , a3 , nguyên tố an đôi mà chia hết số m tích chúng chia hết số m Chƣơng 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào toán chia hết Cơ sở lý luận Dựa vào định nghĩa số tính chất quan hệ chia hết, cụ thể là: Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b, với b 0 Nếu có số nguyên q cho a=bq ta nói b chia hết cho a hay b ƣớc a kí hiệu ba Vậy nghiệm tổng quát 2 t 0 m 26 là: k 5656 225m  t 1014m n 22626 900m, m 26 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ chia hết cho chia cho ,3 , , , ln có số dƣ Giải: Gọi n số tự nhiên cần tìm n  n 1 2, 3, 4, 5, 6.y 7x BCNN 2, 3, 4, 5, 660 Khi đó: Theo thuật chi Euclid cho 60 7: 60 7.8 4 ; 7 4.13 m 8  x 17, Thử trực tiếp ta thấy y 2 nguyên tổng quát là: Khi 7x 60 y1 3.11 17 1 1 nghiệm riêng nên 1có nghiệm 1  x 17 60t   y 2 7t n 7x 119 420t ; n 7x  n 1 60 y t   t   Với t 1 n 301 số tự nhiên nhỏ chia hết cho chia cho ,3 ,4, , có dƣ Dạng 2: Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình nghiệm ngun khác Các ví dụ minh hoạ Phƣơng pháp 1: Sử dụng phép chia hết chia có dƣ Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình x 2 y : Giải: Rõ ràng x = y = nghiệm phƣơng trình (1) Nếu x0 , y0 0 Suy x0 , y0 nghiệm (1) gọi d x0 , y0   x0 y0  , 1   d d 1 Có x0 2 y0 2 x0 2 y0 2   d  d      y0  x  2 2 4   d  d y0  x 2 y 2 0  ,     d d d  Từ 1 2  suy phƣơng trình khơng có nghiệm khác Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình: Giải: Nếu Nếu Suy x5 x  x 2 y 5 2 từ y x 55 y5 vô lý 2 x 2 y 25 y 5 Ta có x 1mod y2 1mod 5 5 x2 2 y2 1, 3mod 5 Vậy phƣơng trình khơng có nghiệm ngun Phƣơng pháp2: Phƣơng pháp phân tích Ví dụ1: Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình 2.x y 16 3.x.y Giải: Ta có 2.x y 16 3.x.y 3.x.y 2x 2 y 16 y.3x 2   3x 216  3 3x 2  3y 252 Giả sử x y 3x 2 52 1.52 2.26 4.13  3y 2 Ta có hệ sau 3x 2 1  ; 3y 2  52 3x 2 2  3 y 2 26 3x 2 4 ;  3 y 2 13 Giải ta đƣợc nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình là: 1,18 , 18,1 ,  2, 55,  Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình:  2x 5 y 1   x y x2 x 105 Giải: mà 1052 2x 5y 12 y2 Vì x2 x x x 12 x 2 nên x 0 Với x Do ta có phƣơng trình:  5y 1y 121.5  y 1, y 11 nên 5 y 1 21   y 1 5 + + 5 y 1 21   y 1 5 5 y 1 21 5 y 20 y 4     y 4 y 1 5 y y 4 4     5y 1 21   5 y 22 22 y     y 1 5 Vậy : y  6 vô nghiệm  y 6 y 4 Thử lại với x 0 y  nghiệm nguyên phƣơng trình Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình sau a b Giải: x y xy a Ta có: p x y  x y xy xy x y 1 1 x xy Với p 1 y 1 1 số nguyên tố  x 1 1  x 2   y 1 1 y 2     x 1 1   x 0    y 1 1  y 0    Vậy phƣơng trình có hai nghiệm 0, 2, 2 0 Ta giả sử x y c Ta có : x y xy xy px py p2 p2 p x p y p p2 Mà p2 p p  p   p 1 p  p  1  x p p   y p p x p p x p  1  y p y p p p x p 1 y p p hoặc Từ phƣơng trình cho có nghiệm nguyên x, là: y  0, ;  p, p  ; 1, p p p 1, p p  ; p p, p 1; p p, p 1; p 2  Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phƣơng x 3y 9z 0 3 trình: Giải: Giả sử x0 , y0 , z0  nghiệm nguyên phƣơng trình x 3 3y 9z0 0 3 x 3 , đặt 3x Thay x x 0 vào (1) ta đƣợc  3x 1 9x1 y 3z 0 y 3 0 3 3 3 Đặt y0 3y1 đó: 9x1 27 y1 3z0 0 3x1 9 y1 z0 0 z 3 3 Đặt z0 3z1 , đó: x1 3y1 9z1 0 Vậy:  x0 y0 z0 , ,   3  nghiệm trình phƣơng Quá z  trình tiếp tục đƣợc x0 y0 , , nghiệm nguyên (1) với  k , điều sảy phƣơng trình cho  3k 3k 3k   x0 y0 z0 0 Vậy 0, 0, 0là nghiệm Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình: Giải: 2 x y z t 2xyzt 1 Giả sử x0 , y0 , z0 , nghiệm nguyên 1, t0  Khi x y z t 2x y z t 2 Do 2x0 y0 z0t0 2 2 0 0  số số i phải có chẵn số lẻ x0 , y0 , z0 , t0 Nếu x0 , y0 , z0 , lẻ x2 1mod y2 1mod 4, t0 40, z 1mod 4, t 1mod 4 2   x0 y0 z0 t0 0 mod 2x0 y0 z0t0 Trong 4 ii Nếu số x , y , z , có số lẻ x2 y z 02 t0 2 mod 4 0 t0 nhƣn 2x0 y0 z0t0 4 g Nên x0 , y0 , z0 , phải số chẵn, đặt: x0 y0 2 y1 , 2x1 t0 , z0  2z1 Phƣơng trình trở x1 y z yzt 1 t 1 8x thành Lý luận tƣơng x2 y z yzt 2 t 32x 2 2 2 2 2 tự ta có: Với: Tiếp tục ta có: t x  , y  x1 y1 2 2 y z t    ,z ,t 2 x x  ,y n 2n , z  , t  z1 n Là số nguyên với n, suy 2n n 2n n 2n x0 y0 z0 t0 0 Vậy phƣơng trình có nghiệm 0, 0, 0, 0 , t0 2t1 Bài tập tự luyện Dạng 1: Tìm số nguyên n cho 3n – chia hết cho 7n – chia hết cho Tìm ngiệm nguyên dƣơng phƣơng trình sau: a 4x 11y  47 ; b 3x 2 y 555 ; c 12x 7 y 45 Dạng 2: Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình sau: 19x 28y 729 Giải phƣơng trình sau tập số nguyên 4 x x  x 2008 Chứng minh phƣơng trình sau khơng có nghiệm ngun a x4 y4 z4 t 165 b x4 x4  1599 ; x Tìm tất tam giác vng có cạnh số ngun có số đo diện tích chu vi Giải phƣơng trình tập số nguyên: x x 6 y Giải phƣơng trình tập số nguyên a x3 2 y3 4z 0 c x 2 y 4z 3 b 8x4 4 y4 2z u4 2 d x y z 2xyz Kết luận Ƣớc chung bội chung có ứng dụng quan trọng đại số sơ cấp ứng dụng hay đƣợc sử dụng để giải toán kỳ, thi đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi phổ thơng, thi Olympic tốn học Trong khố luận có trình bày số tốn thƣờng gặp có sử dụng ứng dụng ƣớc chung bội chung.Tuy nhiên nhỏ so với kiến thức ứng dụng ƣớc chung bội chung Khoá luận đƣợc thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập tốn Từ đề tài giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng ứng dụng ƣớc chung bội chung Do lần làm quen với công tác nghiên cứu thời gian lực thân em nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu xót Em mong đƣợc đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo Nâng cao phát triển toán tập Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Giáo trình số học Lại Đức Thịnh Nhà xuất giáo dục 1977 Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi trung học sở số học Vũ Thanh Nhà xuất giáo dục Bài tập số học Nguyễn Tiến Quang Nhà xuất giáo dục ... bị Đ1 Ƣớc chung Đ2 Bội chung Chƣơng 2: ứng dụng ứng dụng 1: ứng dụng vào toán chia hết ứng dụng 2: ứng dụng vào xét số 19 toán liên quan đến chia hết ứng dụng 3: ứng dụng vào giải phƣơng 29 trình... sâu tìm hiểu kiến thức ứng dụng ƣớc chung bội chung 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng ƣớc chung bội chung 4.Đối tƣợng nghiên cứu Một số ứng dụng ƣớc chung bội chung Phƣơng pháp nghiên... + 1)… Đ Bội chung Định nghĩa: a Một số nguyên đƣợc gọi bội chung số a1, a2, a3,…, an bội số b Một bội chung m số a1, a2, a3,…, an cho bội chung số a1, a2, a3,…, an bội m đƣợc gọi bội chung nhỏ