Luật bảo toàn vô hướng

Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Mở Đầu Lý chọn đề tài Có thể nói Giải tích nghành chiếm vị trí quan trọng nghành toán học đại Nó biểu cách rõ ràng hai đặc tính toán học tính trừu tợng tính thực tiễn Nói đến giải tích ngời ta không thể nhắc đến môn ’Phơng trình đạo hàm riêng’ đề cập đến vấn đề có liên quan mật thiết đến thực tiễn Chính em chọn đề tài ‘Luật bảo toàn vô hớng ‘ để trình bày vấn đề có ứng dụng thực tiễn sâu sắc, mà cụ thể toán liên quan đến số định luật bảo toàn, chẳng hạn nh định luật bảo toàn động lợng, định luật bảo toàn động năng, định luật bảo toàn lợng Mà vấn đề quan tâm kết nghiên cứu hay nghiệm toán Đề tài đề cập đến vấn đề tài nh: Xây dựng công thức nghiệm theo nghĩa để đáp ứng nhu cầu thực tế Hơn nữa, việc nghiên cứu đề tài gúp phát triển tính t độc lập sáng tạo, tính cẩn thận xác ngời học Đó nhiệm vụ chung toàn lĩnh vực toán học khác không riêng vấn đề mà đề tài đề cập Mục đích nghiên cứu Đa số loại công thức để xác đinh nghiệm toán cần nghiên cứu Tìm số điều kiện để đẩm bảo tính nghiệm toán (do nhu cầu thực tế có kết nhất) Nghiên cứu vài toán điển hình có nhiều ứng dụng thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu: Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Tìm hiểu số toán thực tế, đặc biệt toán lĩnh vực vật lý Thu thập tài liệu, số liệu có liên quan đến đề tài nghiên cứu Đa đợc kết nghiên cứu có ứng dụng thực tiễn  Đối tợng nghiên cứu Nghiên cứu phơng trình vi phân đạo hàm riêng liên quan đến luật bảo toàn vô huớng tơng ứng với toán tìm nghiệm toán Cauchy ( Những nghiệm tối thiểu chấp nhận đợc theo nghĩa đó, tuỳ theo yêu cầu toán cụ thể ) Phạm vi nghiên cứu Chỉ nghiên cứu phơng trình, toán có liên quan đến thực tế chẳng hạn nh luật bảo toàn Phơng pháp nghiên cứu Một toán phơng trình vi phân đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm, có điều nghiệm đợc hiểu theo nghĩa mà Nhiều phơng trình đạo hàm riêng mà nghiên cứu dới dạng tổng quát thờng nghiệm cổ điển Vì ta cố gắng xây dựng công thức nghiêm suy rộng nghiệm yếu chúng( nh nghiệm tích phân, công thức Lax-Olenik,nghiệm entropy) Đặc biệt, quan tâm đến tính nghiệm toán mà cần nghiên cứu (do nhu cầu thực tế tồn kết ), từ nảy sinh nhiều vấn đề nh xây dựng vài điều kiện nh điều kiện entropy hay điều kiện entropy sửa đổi Ngoài tác giả cố gắng đa xác công thức nghiệm qua ví dụ cụ thể để áp dụng vào thực tế Đề tài cấu tạo gồm chơng Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chơng1: ‘Một số kiến thức bổ trợ Bao gồm số định nghĩa, ký hiệu hay số kết cần thiết liên quan đến đề tài cần nghiên cứu ‘Luật bảo toàn vô hớng’ chơng Chơng2:‘Luật bảo toàn vô hớng ‘ Xây dựng vài loại nghiệm yếu nghiệm suy rộng nh nghiệm tích phân, côngthức Lax-Olenik, nghiệm entropy Đặc biệt xây dựng vài loại điều kiện nh điều kiện nh điều kiên entropy hay điều kiện entropy sửa đổi để đảm bảo tính nghiệm Ngoài giới thiệu thêm toán Rieman toán điển hình có nhiều ứng thực tế Tác giả cố gắng đa công thức nghiệm toán Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 10 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Hàm trơn Ta nói hàm u : U  R hàm trơn u khả vi vô hạn 1.1.2 Hàm lồi n Một hàm f : R  R gọi hàm lồi f (rx  (1  r ) y )  rf ( x)  (1  r ) f ( y ), n với x, y  R  r  1.1.3 Hàm liên tục Lip schitz: Hàm u : U  R gọi hàm liên tục Lipschitz u ( x)  u ( y )  C x  y , với C  số với x, y U 1.1.4 Nghiệm cổ điển Một cách tự nhiên ta đòi hỏi nghiệm phương trình đạo hàm riêng bậc k hàm số k lần khả vi liên tục Khi đó, tồn tất đạo hàm nghiệm xuất phương trình đạo hàm liên tục Những nghiệm có độ trơn ta gọi nghiệm cổ điển 1.1.5 Nghiệm yếu n Ta nói hàm số liên tục Lipschitz u : R  (0, )  R nghiệm yếu toán giá trị ban đầu : n  ut  H ( D(u ))  R  (0, )  n  u  g tren R  {t  0}, n nếu: i) u ( x, 0)  g ( x), x  R , n ii) ut ( x, t )  H ( D(u ( x, t ))  với hầu hết ( x, t )  R  (0, ), Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 11 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp t iii) u ( x  z )  2u ( x, t )  u ( x  z ), t )  (1  ) z , với số C  với x, y  R n , t  1.1.6 Biến đổi Lagrange Giả sử hàm Lagrange L : R n  R thoả mãn điều kiện : L(q) hàm lồi theo biến q, lim q  L(q )   biến đổi Lagrange L : q L* ( p )  sup { pq  L(q)}, ( p  R n ) n yR 1.17 Phương pháp đặc trưng Là phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành hệ phương trình vi phân thường tương ứng 1.2 Một số ký hiệu Nếu u v hai hàm, ta viết u  v, có nghĩa u đồng v Ta đặt u : v để nói u định nghĩa v Giá hàm u ký hiệu là: suppu suppu  {x  R n : f ( x)  0}, hàm u có giá compak sup pu tập compak p  L (u)  {u : U  / u đo Lebesque (  u dx)1/ p  } (1  p  ) p U L (u)  {u : R n  R / u đo Lebesque ess supu u  } 1.3 Một số kết Một hàm f  C f lồi D f  Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 12 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp  Một hàm f  C f lồi D f   I (  số ) Công thức Hofp-Lax : u ( x, t ) : minn  tL( yR x y )  g ( y) t , L  H ,* H : R n  R hàm Hamilton, g : R n  R hàm ban đầu  Bổ đề (Tính liên tục Lipschit) Một hàm u xác định công thức Hopf –Lax u ( x, t ) : minn  tL( yR x y )  g ( y) t  n n liên tục Lipschit miền R  {0, } u  g miền R  {t  0}  Định lý ( Công thức nghiệm) Một hàm u xác định công thức công thức Hopf –Lax liên tục Lipschit khả vi hầu khắp nơi miền R n  {0, } thoả mãn toán giá trị ban đầu ut  H ( D(u ))  hkn R n  (0, )  trê R n  {t  0} ug  n  Nếu U  C dọc theo U xác định trường véc tơ pháp tuyến n đơn vị hướng   (  ) Pháp tuyến đơn vị hướng điểm x  U  ( x0 )  (1 n ) Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 13 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chương Luật bảo toàn vô hướng 2.1 Mở đầu 2.1.1 Y nghĩa vật lý Ta xét hàm véc tơ u  u( x, t )  (u1( x, t ) u m ( x, t)), ( x  R n, t  0), mà thành phần mật độ hàm đại lượng bảo toàn hệ vật lý  Cho miền trơn, bị chặn U R n , ta thấy tích phân  u ( x, t )dx, U biểu diễn tổng khối lượng đại lượng U , thời điểm t  Định luật bảo toàn khẳng định tốc độ thay đổi đai lượng miền U , đựơc khống chế hàm thông lượng F : R n  R m , hàm số điều khiển tốc độ tăng giảm hàm u qua U Mặt khác ta giả thiết thời điểm t , ta có : d udx    F (u ) dS , dt U  đó,  véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng dọc U  u dx    F (u ) dS    divF (u)dx t U  U Do miền U R n , miền tuỳ ý, ta có toán giá trị ban đầu hệ luật bảo toàn tổng quát: ut  divF (u )  R n  (0, )  u  g trê R n  {t  0},  n Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 14 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp đây, hàm cho trước g  ( g , , g ) biểu diễn ban đầu u  (u1, , u m ) m  Cho đến thời điểm này, lý thuyết toán chưa phát triển đầy đủ Từ trở đi, ta xét toán giá trị ban đầu cho hệ luật bảo toàn không gian chiều (n  1), ut  F (u ) x  R n  (0, )  u  g trê R n  {t  0}  n 2.1.2 Bài toán Cauchy ( Bài toán giá trị ban đầu ) Định nghĩa: Là toán tìm hàm u : R n  (0, )  R ( x, t )  u ( x, t ) ut  F (u ) x  R  (0, ) thoả mãn:  (2.1) u  g trê R  {t  0},  n hàm F : R  R g : R  R hàm cho trước Hàm F gọi hàm thông lượng vô hướng, hàm g hàm phân bố ban đầu Ta gọi x biến không gian t gọi biến thời gian Ví dụ 1: Giả sử hàm F : R  R g : R  R hàm cho trước, u  u  2u x  x2 ta phải tìm hàm u : R n  (0, )  R thoả mãn: ( x, t )  u ( x, t ) ut  (2u  2)u x  R  (0, )  u  x trê R  {t  0}  n Ví dụ 2: Giả sử hàm F : R  R g : R  R Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 15 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp u2 u   x  1  x   x 0  x 1 x 1 Ta phải tìm hàm u : R  (0, )  R thoả mãn:  u2 ut  ( ) x    ug  R  (0, ) trê R {t  0} n Chú ý : Nói chung ta tìm nghiệm trơn toán (2.1) thời điểm t  phương pháp đặc trưng Do buộc ta phải tìm loại ngiệm suy rộng toán xét 2.2 Phương trình chuyển dịch tuyến tính 2.2.1 Dạng đơn giản phương trình chuyển dịch tuyến tính  Định nghĩa : Là phương trình có dạng: ut  au·u  ( a số ) Ví dụ : ut  3u· x  Bài toán cauchy: Ta phải tìm hàm u : R  (0, )  R thoả mãn ( x, t )  u ( x, t ) ut  au x    u ( x,0)  u0 ( x) F : R  R u  au g : R  R R  (0, ) trê R {t  0}, n x  g ( x)  u0 ( x) Ví dụ: Ta phải tìm hàm u : R  (0, )  R thoả mãn: ( x, t )  u ( x, t )  ut  3u x  R  (0, )    u ( x,0)  x trê R {t  0} n Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 16 Luật Bảo Toàn Vô hướng với  r : Khoá Luận Tốt Nghiệp y1  y  x2  x1  y1  y Vì L ''  0, ta có L( L( x2  y1 x y x  y) )  rL( 1 )  (1  r ) L( ), t t t x1  y x y x  y) )  (1  r ) L( 1 )  rL( ), t t t L( x2  y1 x y x y x y )  L( 1 )  L( 1 )  L( ) t t t t Từ ta có tL( x2  y1 x y )  h( y1 )  tL( )  h( y ) ( y  y1 ) (đpcm) t t Nhân (2.30) với t , thêm ( (h( y1 )  h( y ) vào vế, cộng biểu thức vừa thu với bất đẳng thức ta nhận khẳng định Theo (2.28), việc tính giá trị nhỏ tL( x2  y )  h( y) , t ta cần xét giá trị y thoả mãn y  y1 Bây với x  R, t  0, xác định điểm y ( x, t ) giá trị nhỏ y cho giá trị nhỏ tL( x2  y )  h( y ) t Khi ánh xạ x  y ( x, t ) không giảm liên tục với tất trừ tập đếm giá trị x Tại điểm x mà y ( x, t ) liên tục giá trị y cho giá trị nhỏ tL( x y )  h( y ) t Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 29 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Ta biết với t  cố định, ánh xạ x  w( x, t ) : min{ tL( yR := tL( x1  y )  h( y )} t x  y( x, t ) )  h( y( x, t ) ) t khả vi hầu khắp nơi Hơn ánh xạ x  y ( x, t ) đơn điệu nên khả vi hầu khắp nơi Vì với t  cho trước với hầu hết x, ánh xạ x  L( x  y ( x, t ) ) t ánh xạ x  h( y ( x, t )) khả vi, từ công thức (2.24) trở thành u( x, t )  x  y( x, t )  [ tL( )  h( y( x, t ) ) ] x t = L' ( x  y( x, t )  )(1  yx ( x, t ))  h( y( x, t )) t x Nhưng y  tL( ánh xạ z  tL( x y )  h( y ) đạt cực tiểu y  y ( x, t ), t x  y( z, t ) )  h( y( z, t ) ) đạt cực tiểu z  x t Do  L' ( x  y( x, t )  ) yx ( x, t )  h( y( x, t ) )  , t x từ (2.1 ), ta có u( x, t )  L' ( x  y( x, t ) x  y( x, t ) )  G( ) (đpcm) t t Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 30 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Bây ta công thức (2.26) cho ta nghiệm tích phân toán giá trị ban đầu 2.4.3 Định lý 2.2(Công thức Lax-Oleinik nghiệm tích phân) - Phát biểu: Vẫn giả thiết định lý 2.1, hàm u xác định công thức (2.26) nghiệm tích phân toán giá trị ban đầu - Chứng minh Như ta đặt : w( x, t ) : min{ tL( yR x y )  h( y )} , ( x  R , t  0) t Ta biết hàm w liên tục Lipschitz, khả vi hầu khắp nơi thoả mãn  wt  F ( wx )  hkn R  (0, )  wh trê R {t  0}  n Chọn hàm thử v trơn với giá compak Nhân phương trình đạo hàm riêng wt  F ( wx )  với vx lấy tích phân R  (0, ), ta nhận    [ wt  F ( wx ) ]vx dx dt   Chú ý     w v dx dt   wv dx dt   wv dx / t x tx      x t 0    w v dx dt   w vdx / x t x t 0  Cách lấy tích phân hợp pháp ánh xạ x  w( x, t ) liên tục Lipschitz, liên tục tuyệt t  Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 31 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Tương tự, t  w( x, t ) liên tục tuyệt x  R Bây x w( x, 0)  h( x )   g ( y )dy, wx ( x, 0)  g ( x) với hầu hết x   Vì     w v dx dt    t x   wx vt dx dt    gv dx / t 0  Thế đồng thức vào (2.32) ý u  wx hầu khắp nơi ta có đồng thức tích phân (2.6) Vậy hàm u xác đinh công thức Lax-0leinik nghiệm tích phân toán giá trị ban đầu (đpcm) 2.5 Nghiệm entropy 2.5.1 Điều kiện entropy sửa đổi - Đặt vấn đề : Ta biết nghiệm tích phân toán (2.1) không Để có nghiệm đắn ta phải đòi hỏi thoả mãn dạng thích hợp cuả điều kiện entropy Điều dễ nói chung xảy trường hợp mà hàm u xác định công thức Lax-Olienik trơn trí trơn khúc Bây ta tìm loại đánh giá đạo hàm’ phía ‘ hàm w xác định công thức Lax-Olienik, từ đánh giá ta tìm đựợc tiêu chuẩn -Bổ đề (2.1) ( Đánh giá bước nhảy phía ) Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 32 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Phát biểu : Vẫn giả thiết định lý (2.1), tồn số C, cho hàm u xác định công thức Lax-Olienik (2.26) thoả mãn bất đẳng thức u ( x  z , t )  u ( x, t )  C z (2.33), t với t  0, x, z  R , z  Từ ta có định nghĩa: Ta gọi bất đẳng thức (2.33) điều kiện entropy sửa đổi Nhận xét : Từ (2.33) ta thấy với t  hàm số x  u ( x, t )  C x không tăng t có giới hạn trái, giới hạn phải điểm Vì x  u ( x, t ) có giớ hạn trái, giới hạn phải điểm với ul ( x, t )  u r ( x, t ) Như vây, điều kiện entropy điểm không liên tục Chứng minh: Ta biết viêc tính giá trị nhỏ hàm u xác định công thức (2.26) ta cần xét y cho : x y  C (Với C số ) t Do giả thiết hàm G liên tục lipschitz, cần ta xét hàm G khoảng đóng R Vì G= ( F ' )1 y ( x, t ) không giảm nên ta có : u ( x, t )  G( x  y( x, t ) x  y( x  z, t ) )  G( ), ( z  0) t t Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 33 Luật Bảo Toàn Vô hướng  G( x  y ( x  z ) Lip (G ) ) t t hay u ( x  z, t )  u ( x, t )  Khoá Luận Tốt Nghiệp = u ( x, t )  Lip(G) ( z  ), t Lip( g ) z C  z (C  0) (đpcm), t t đây, Lip(G)  sup { xx,yyR G ( x)  G ( y ) } x y 2.5.2 Nghiệm entropy  2.5.2.1 Định nghĩa: Ta nói hàm u  L (R  (0, )) nghiệm entropy toán giá trị ban đầu : ut  F (u ) x  R  (0, )  (2.34) u  h trê R  {t  0}  n nếu: i) u nghiệm tích phân (2.34) ii) u ( x  z, t )  u ( x, t )  C (1  ) z , t hầu khắp nơi theo ( x, t )  R t , x  với số C  2.5.2.2 Tính -Ta chứng tỏ nghiệm tích phân thoả mãn điều kiện entropy - Định lý 2.3 (Tính nghiệm entropy) Phát biểu : Giả sử f hàm lồi trơn Khi tồn không nghiệm entropy toán (2.34) Chứng minh Giả thiết u u nghiệm entropy toán cho Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 34 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Ta đặt w : u  u , với điểm ( x, t ) ta có d F (( ru ( x, t )  (1  r )u ( x, t )) dr dr F (u ( x, t ))  F (u ( x, t ))   =  F ' (ru ( x, t )  (1  r )u ( x, t ))dr (u ( x, t )  u ( x, t )) :  b( x, t ) w( x, t ), v hàm thử trên,   0=   (u  u )vt [ F (u )  F (u )]vx dx dt    =   w[v  bv t x ]dx dt (2.35)    Bây cho   xác định u  n * u, u  n * u, n hàm trơn chuẩn với biến x t Khi ta có u  L  u  L , u L  u L u   u, u   u hầu khắp nơi   Hơn nữa, từ điều kiện entropy ii) ta có ux ( x, t ), ux ( x, t )  C (1  ) (2.36), t với số C thích hợp với   0, x  R, t  Đặt b ( x, t ) :  F ' (ru ( x, t )  (1  r )u ( x, t )) dr Khi (2.35) trở thành Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 35 Luật Bảo Toàn Vô hướng     0=   w[v  bv t  Khoá Luận Tốt Nghiệp x ]dx dt +   w[b  b ]v dx dt x  Chọn T > hàm trơn  : R [0, t ]  R với giá compak Ta tìm hàm v  nghiệm toán giá trị thời điểm cuối sau    vt  b vx   v    R  (0, T ) (2.38) trê R {t  0} n Ta giải (2.35) phương pháp đặc trưng Để làm rõ điều ta cố định x  R,  t  T ký hiệu x (.) nghiệm hệ phương trình vi phân thường  x ( s)  b ( x (s), s) (s  t )   x (t )  x (2.39), T đặt v ( x, t ) :   ( x ( s), s)ds ( x  R,  t  T )  t  Khi v trơn nghiệm (2.38).Vì b bị chặn có giá  compak, v có giá compak R  [0, T ) Bây ta chứng tỏ với s  0, tồn số C cho vx  Cs R  ( s, T ) (2.40), để chứng minh điều này, ý rằng,  s  t  T , từ (2.36) tính lồi F ta có: b , x ( x, t )   F ''(ru   (1  r ) )(ru   (1  r )u  )dr  C C  t s Tiếp theo lấy đạo hàm phương trinh (2.38) theo x, ta có: Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 36 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp vt , x   b vxx  b , x vx   x Bây đặt a( x, t ) : et vx ( x, t ) (  C  1) (2.41), s t  đó, at  b a x  a  e [vxt  b vxx ]   a  et [b , x vx  x ]  [  b , x ]a  et (2.42) x  Vì v có giá compak a đạt giá trị cực đại khắp R  [ s, T ] điểm ( x0 , t0 ) Nếu t0  T , vx  Nếu  t0  T , a( x0 , t0 )  0, a x( x0 , t0 )  Cho nên phương trình (2.41) cho ta đánh sau: [  b , x ]a  et0 x  (2.43),  số cho trứơc cho (2.41), từ (2.43)  a( x0 , t0 )  e t0  x  eT  x L Lập luận tương tự ta có a( x1 , t1 )  eT  x L , điểm ( x1 , t1 ) mà a đạt cực tiểu không dương Hai đánh giá định nghĩa a cho ta (2.40)  Ta cần bất đẳng thức sau  vx ( x, t ) dx  D (2.44)  với  t  r số D đó, miễn r đủ nhỏ Để chứng minh (2.44) ta chọn r  đủ nhỏ để   R  (0, r ) Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 37 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Khi  t  r ta thấy từ v số dọc theo đường cong đặc trưng x (.) ( t  s  r ), chọn phân hoạch x0  x1   xN Khi y0  y1  yN , yi : xi ( s) (i  1, , N ) thoả mãn :  x ( s )  b ( x ( s ), s ) (t  s  r )   x (t )  xi  Do v số dọc theo đặc trưng xi (.) , ta có N N  v (x ,t)  v (x   i i 1 i 1 , t )   v ( yi , r )  v ( yi1 , r )  va rv (., r ) i 1 ‘var’ biến phân theo x Lấy supremum phân hoạch trên, ta tìm  v  x   ( x, t ) dx  va rv (., r )   v  x ( x, r ) dx  C  Cuối ta kết thúc định lý bàng cách đặt v  v (2.37) sử dụng (2.38), ta có       w dx dt    w[b  b ]v   x dx dt  T  T      w [b  b ]vx dx dt    w [b  b ]vx dx dt  r   Khi theo (2.40) theo định lý hội tụ trội, ta có IT     với r  Mặt khác,  r  T từ (2.44) ta có   J T  rC ma x v 0t  r  Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán  x dx  rC Trang: 38 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp   Vì   w dxdt  0,  với tất hàm trơn  trên, w : u  u  hầu khắp nơi (đpcm) 2.6 Bài toán Riemann 2.6.1 Định nghĩa : Bài toán tìm hàm u ( x, t ) xác định R  [0, ) thoả ut  F (u ) x  R  (0, )  nế x0 ul mãn :  u ( x ,0)  g ( x )  u   nế u x0 r   (2.45) u đựơc gọi toán Riamann Trong ul , ur gọi trạng thái ban đầu bên trái, bên phải tương ứng, ( ul  ur ) Nhận xét: Như hàm giá trị ban đầu không đổi khoảng Ví dụ : Xét phương trình Buger ut  uu x  với kiện (2.45) Dạng nghiệm phương trình phụ thuộc vào quan hệ ul u r u2 đây, F : R  R , u  -Trong trường hợp ul  ur có nghiệm tích phân toán : ul nế u ( x, t )   u ur nế u Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán x  t x  t Trang: 39 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp -Trong trường hợp ul  ur , toán có vô số nghiệm tích phân Một chúng có dạng trên, tốc độ lan truyền không liên tục  Một nghiệm tích phân khác toán sóng tạo chân không nế x  ul t u nế ul t  x  ur t u x  ur nế u Thực tế nghiệm nghiêm entropy toán ul x  u ( x, t )   t ur Bây ta xét trường hợp tổng quát, với gỉa thiết hàm F lồi  C 2.6.2 Định lý (2.4) ( Nghiệm toán Riemann ) Phát biểu i) Nếu ul  ur nghiệm entopy toán Riemann là:  ul u ( x, t )   u  r :  : nế u nế u x  t x  t (t  0, x  R ) (2.46), F (ul )  F (ur ) (2.47), ul  ur ii) Nếu ul  ur nghiệm entopy toán Riemann là:   ul   x u ( x, t )  G ( )  t   ur  nế u nế u nế u x  F ' (ul ) t x F ' (u )l   F (' ur ) (2.47) t x  F ' (ur ) t , t  0, x R Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 40 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chú ý : - Trong trường hợp thứ nhất, trạng thái ul , ur tách sóng sốc với vận tốc không đổi  - Trong trường hợp thứ hai, trạng thái ul , ur tách sóng tạo chân không - Ta kiểm tra xem hàm (2.46), (2.47) có thực nghiệm entropy toán hay không Do tính chất nghiệm, chúng trùng với công thức Lax-oleinik Đây minh hoạ đẹp sức mạnh định lý nghiệm Chứng minh Giả sử ul  ur , rõ ràng hàm u xác định công thức (2.46), (2.47) nghiệm tích phân phương trình đạo hàm riêng (2.1) Đặc biệt,  : [[ F (u)]] nên điều kiện Rankine-Hugoniot thoả mãn [[u]] F (ul )  F (ur ) l ' Hơn , F (ur )      F (r )dr  F ' (ul ) ul  ur ur u ' Theo điều kiện entropy (2.16) ul  ur nên điều kiện entropy thoả mãn Tính nghiệm suy từ định lý (2.3) Bây giờ, giả sử ul  ur , trứơc hết ta kiểm tra hàm u xác định (2.47) nghiệm hệ luật bảo toàn miền F ' (u r )  x  F ' (ul ) t Để trả lời câu hỏi này, ta trả lời câu hỏi Khi hàm u có dạng Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 41 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp x u ( x, t )  v( ) thoả mãn (2.1) t x x x  F '( v ) v '( ) t t2 t t Ta tính toán , ut  F '(u )u x  v( ) x x [ F '(v)  ] t t t = v '( ) x t Như giả thiết v ’ không triệt tiêu, ta thấy F '(v( ))  x t x x x  F '(v)v '( ) t t t t Do ut  F '(u )u x  v( ) nghiệm hệ luật bảo toàn x t x  F '(u l ) t x t x  F '(u r ) t Bây , v( )  ul Tương tự, v( )  ur Từ ta thấy sóng tạo chân không xác định (2.31) liên tục miền R  (0, ) nghiệm phương trình đạo hàm riêng ut  F (u ) x =0 miền xác định Hơn hàm u nghiệm toán Riemann Ta giả thiết hàm G liên tục Lipschitz, ta có : u ( x  z, t )  u ( x, t )  G( xz x Lip(G ) z )  G( )  t t t F '(ul )t  x  x  z  F '(ur )t Bất đẳng thức cho thấy u thoả mãn điều kiện entropy Tính nghiệm suy từ hệ định lý (2.3) Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 42 Luật Bảo Toàn Vô hướng Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Khoá Luận Tốt Nghiệp Trang: 43 [...]... x0 Trang: 23 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Hàm u 2 , gọi là sóng tạo chân không, cũng là nghiệm tích phân liên tục của bài toán trên u=x /t u=1 u=0 Hình 3 Sóng tạo chân không Ta biết rằng nghiệm tích phân nói chung là không duy nhất Vậy ta có thể tìm đựơc một tiêu chuẩn nào đó để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm tích phân hay không ?  Điều kiện entropy Với luật bảo toàn vô hướng : u t... cácgiả thiết hàm thông lượng vô hướng F là lồi Không giảm tính tổng quát, giả sử : F (0)  0 (2.19) x Bây giờ, giả sử g  L ( R), ta đặt : h( x) :  g ( y )dy ( x  R ) (2.20)  0 Đặt w( x, t ) : min y  tL ( x y )  g (y) t  (t  0, x  R ) (2.21), ở đây L  F * (2.22) Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 26 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Như vậy w là nghiệm toàn cục lipschitz duy nhất... từ định lý (2.3) Bây giờ, giả sử ul  ur , trứơc hết ta kiểm tra rằng hàm u xác định bởi (2.47) là nghiệm đúng hệ luật bảo toàn trong miền F ' (u r )  x  F ' (ul ) t Để trả lời câu hỏi này, ta hãy trả lời câu hỏi Khi nào hàm u có dạng Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 41 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp x u ( x, t )  v( ) là thoả mãn (2.1) t x x x 1  F '( v ) v '( ) t t2 t t Ta tính toán... 2t Trang: 25 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Ta có s(2)=2 và giải phương trình vi phân trên ta được S (t )  (2t )1/ 2 (t  2) Từ đó, ta có với t  2 0 x  u(x,t) =  t 0 nế u nế u nế u x< 0 0 < x < (2t)1/2 x > (2t)1/2 - Nếu  E  0 : a  0, t  0 và x R n , ta có: u ( x  a, t )  u ( x, t ) E  a t (2.18)  Dạng tổng quát của điều kiện entropy Nếu F là hàm thông lượng vô hương không... K29H-Toán  [uv t  F (u )v x ]vdx dt (2.10) Vr Trang: 20 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Vì v có giá compak trong V , từ (2.8) ta có :  [uv t  F (u )v x ]dx dt    [u t Vl Vl  F (u ) x ]vdx dt   (ul 2  F (ul ) 1 )vdl C 2 1 =  (ul  F (ul ) )vdl (2.11), C 1 2 ở đây   ( , ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị của đường cong C hướng từ V l sang Vr Chỉ số ' l ' ký hiệu cho giới hạn... trường hợp ul  ur có duy nhất một nghiệm tích phân của bài toán trên là : ul nế u ( x, t )   u ur nế u Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán x  t x  t Trang: 39 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp -Trong trường hợp ul  ur , thì bài toán có vô số nghiệm tích phân Một trong chúng vẫn có dạng trên, trong đó tốc độ lan truyền không liên tục là  Một nghiệm tích phân khác của bài toán là sóng tạo chân.. .Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp  Nghiệm của bài toán Cauchy Cho một điểm ( x, t )  R  (0, ) Đường thẳng đi qua điểm ( x, t ) theo hướng (a,1) được tham số hoá là ( x  a s, t  s), ( s R ) Đường thẳng này cắt mặt phẳng R n  {t  0} khi s  t , tại điểm (... giả thiết u là một hàm trơn Ta nhân phương trình đạo hàm riêng ut  F (u ) x  0 với hàm v và lấy tích phân từng phần ta thu được, (u t  F (u ) x )v  0 , Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 18 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp   và 0 =   [(u t  F (u ) x )v]dxdt 0    = -  0     0 uvt dxdt   uvdx / t 0   F (u )v x dxdt (2.5) Từ điều kiện u  g trên R n  {t  0} ta có... : Một đường cong mà trên đó u không liên tục được gọi là một sốc nếu như cả đẳng thức Rankine-Hugoniot và các bất đẳng thức entropy (2.16) đều được thoả mãn Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 24 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp  Dạng khác của điều kiện entopy '' -Bổ sung giả thiết hàm F lồi đều, tức là F    0 (  là một hằng số nào đó ) (2.17) Như thế hàm F là hàm tăng thật sự Khi đó (2.16)... ) là một tập mở, u là một hàm trơn dọc theo đường cong C nằm trong V Vl là phần của V nằm bên trái đường cong C Vr là phần của V nằm bên trái đường cong C Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 19 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Giả thiết u là nghiệm tích phân của (2.1) Hơn nữa u cùng đạo hàm bậc nhất của nó liên tục đều trên Vl , Vr - Chọn hàm thử v có giá compak nằm trong Vl , nhưng nó không ... đơn vị hướng   (  ) Pháp tuyến đơn vị hướng điểm x  U  ( x0 )  (1 n ) Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 13 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chương Luật bảo toàn vô hướng 2.1... Trang: Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận Tốt Nghiệp Chơng1: ‘Một số kiến thức bổ trợ Bao gồm số định nghĩa, ký hiệu hay số kết cần thiết liên quan đến đề tài cần nghiên cứu Luật bảo toàn vô hớng’... (2.47) nghiệm hệ luật bảo toàn miền F ' (u r )  x  F ' (ul ) t Để trả lời câu hỏi này, ta trả lời câu hỏi Khi hàm u có dạng Nguyễn Văn Diễn K29H-Toán Trang: 41 Luật Bảo Toàn Vô hướng Khoá Luận