Luận văn sư phạm Luật bảo toàn vô hướng

Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p M u Lý ch n đ tài Có th nói r ng Gi i tích m t nghành chi m v trí quan tr ng m i nghành toán h c hi n đ i Nó bi u hi n m t cách rõ ràng nh t hai đ c tính c b n c a tốn h c tính tr u t ng tính th c ti n Nói đ n gi i tích ng i ta khơng th khơng th nh c đ n mơn ’Ph ng trình đ o hàm riêng’ b i đ c p đ n nh ng v n đ có liên quan m t thi t đ n th c ti n Chính v y em ch n đ tài ‘Lu t b o tồn vơ h ng ‘ đ trình bày nh ng v n đ có ng d ng th c ti n sâu s c, mà c th nh ng toán liên quan đ n m t s đ nh lu t b o toàn, ch ng h n nh đ nh lu t b o toàn đ ng l ng, đ nh lu t b o toàn đ ng n ng, đ nh lu t b o toàn n ng l ng Mà v n đ quan tâm k t qu nghiên c u hay nghi m c a toán tài đ c p đ n v n đ tài nh: Xây d ng công th c nghi m theo m t ngh a đ đáp ng nhu c u th c t H n n a, vi c nghiên c u đ tài cịn gúp phát tri n tính t đ c l p sáng t o, tính c n th n xác c a ng i h c ó m t nhi m v chung c a tồn b l nh v c tốn h c khác ch khơng riêng v n đ mà đ tài đ c p M c đích nghiên c u a m t s lo i công th c đ xác đinh nghi m c a toán c n nghiên c u Tìm m t s u ki n đ đ m b o tính nh t nghi m c a toán (do nhu c u th c t bao gi c ng có m t k t qu nh t) Nghiên c u m t vài tốn n hình có nhi u ng d ng th c t Nhi m v nghiên c u: Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Tìm hi u m t s tốn th c t , đ c bi t toán l nh v c v t lý Thu th p tài li u, s li u có liên quan đ n đ tài nghiên c u a đ c k t qu nghiên c u có ng d ng th c ti n  i t ng nghiên c u Nghiên c u nh ng ph ng trình vi phân đ o hàm riêng liên quan đ n lu t b o tồn vơ hu ng t ng ng v i tốn tìm nghi m c a tốn Cauchy ( Nh ng nghi m t i thi u có th ch p nh n đ c theo m t ngh a đó, tu theo yêu c u c a t ng toán c th ) Ph m vi nghiên c u Ch nghiên c u nh ng ph ng trình, tốn có liên quan đ n th c t ch ng h n nh lu t b o toàn Ph ng pháp nghiên c u M t tốn ph ng trình vi phân đ o hàm riêng n u có ý ngh a th c ti n ch c ch n có nghi m, ch có u nghi m đ c hi u theo ngh a mà Nhi u ph ng trình đ o hàm riêng mà nghiên c u d i d ng t ng qt th ng khơng có nghi m c n Vì v y ta c g ng xây d ng công th c nghiêm suy r ng ho c nghi m y u c a chúng( nh nghi m tích phân, cơng th c Lax-Olenik,nghi m entropy) c bi t, quan tâm đ n tính nh t c a nghi m c a toán mà c n nghiên c u (do nhu c u c a th c t bao gi c ng t n t i nh t m t k t qu ), t n y sinh nhi u v n đ nh xây d ng m t vài u ki n nh u ki n entropy hay u ki n entropy s a đ i Ngoài tác gi c ng c g ng đa xác cơng th c nghi m qua ví d c th đ có th áp d ng vào th c t  tài c u t o g m ch ng Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Ch ng1: ‘M t s ki n th c b tr Bao g m m t s đ nh ngh a, ký hi u hay m t s k t qu c n thi t liên quan đ n đ tài c n nghiên c u c a ‘Lu t b o tồn vơ h ng’ ch ng ti p theo Ch ng2:‘Lu t b o tồn vơ h ng ‘ Xây d ng m t vài lo i nghi m y u ho c nghi m suy r ng nh nghi m tích phân, cơngth c Lax-Olenik, nghi m entropy c bi t xây d ng m t vài lo i u ki n nh u ki n nh u kiên entropy hay u ki n entropy s a đ i đ đ m b o tính nh t nghi m Ngồi cịn gi i thi u thêm v toán Rieman toán r t n hình có nhi u ng th c t Tác gi c g ng đa công th c nghi m c a toán Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Khoá lu n t t nghi p Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 10 Lu t B o Tồn Vơ h Ch ng Khố Lu n T t Nghi p ng M t s ki n th c b tr 1.1 M t s khái ni m 1.1.1 Hàm tr n Ta nói hàm u : U  R hàm tr n n u u kh vi vô h n 1.1.2 Hàm l i n M t hàm f : R  R đ c g i hàm l i n u f (rx  (1  r ) y)  rf ( x)  (1  r ) f ( y), n v i m i x, y R  r  1.1.3 Hàm liên t c Lip schitz: Hàm u : U  R đ c g i hàm liên t c Lipschitz n u u ( x)  u ( y)  C x  y , v i C  h ng s v i m i x, y U 1.1.4 Nghi m c n M t cách t nhiên ta đòi h i nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng b c k hàm s k l n kh vi liên t c Khi đó, nh t t n t i t t c đ o hàm c a nghi m xu t hi n ph ng trình đ o hàm c a đ u liên t c Nh ng nghi m có đ tr n nh th ta s g i nghi m c n 1.1.5 Nghi m y u n Ta nói r ng m t hàm s liên t c Lipschitz u : R  (0, )  R nghi m y u c a toán giá tr ban đ u : n  ut  H ( D(u ))  R  (0, )  n  u  g tren R  {t  0}, n n u: i) u ( x, 0)  g ( x), x R , n ii) ut ( x, t )  H ( D(u ( x, t ))  v i h u h t ( x, t )  R  (0, ), Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 11 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p t iii) u ( x  z)  2u ( x, t )  u ( x  z), t )  (1  ) z , v i h ng s C  v i m i x, y  R n , t  1.1.6 Bi n đ i Lagrange Gi s hàm Lagrange L : R n  R tho mãn u ki n : L(q) hàm l i theo bi n q, lim q  L(q )   th bi n đ i Lagrange c a L : q L* ( p )  sup { pq  L(q)}, ( p  R n ) n yR ng pháp đ c tr ng 1.17 Ph ng pháp bi n đ i m t ph Là ph ph ng trình vi phân th ng t ng trình đ o hàm riêng thành m t h ng ng 1.2 M t s ký hi u N u u v hai hàm, ta vi t u  v, có ngh a u đ ng nh t b ng v Ta đ t u : v đ nói r ng u đ Giá c a hàm u đ c đ nh ngh a b ng v c ký hi u là: suppu suppu  {x  R n : f ( x)  0}, hàm u có giá compak n u sup pu t p compak p  L (u)  {u : U  / u đo đ c Lebesque (  u dx)1/ p  } (1  p  ) p U L (u)  {u : R n  R / u đo đ c Lebesque ess supu u  } 1.3 M t s k t qu M t hàm f  C f l i n u ch n u D f  Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: 12 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khoá Lu n T t Nghi p  M t hàm f  C f l i đ u n u ch n u D f   I (  h ng s ) u ( x, t ) : minn  tL( Công th c Hofp-Lax : yR x y )  g ( y) t , L  H ,* H : R n  R hàm Hamilton, g : R n  R hàm ban đ u  B đ (Tính liên t c Lipschit) M t hàm u đ c xác đ nh b i công th c Hopf –Lax u ( x, t ) : minn  tL( yR x y )  g ( y) t  n n liên t c Lipschit mi n R  {0, } u  g mi n R  {t  0}  nh lý ( Công th c nghi m) M t hàm u xác đ nh b i công th c công th c Hopf –Lax liên t c Lipschit kh vi h u kh p n i mi n R n  {0, } tho mãn toán giá tr ban đ u ut  H ( D(u ))  hkn R n  (0, )  trê R n  {t  0} ug  n  N u U  C d c theo U xác đ nh m t tr ng véc t pháp n đ nv h n ng   (  ) Pháp n đ n v h ng t i m t m b t k x  U  ( x0 )  (1 n ) Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: 13 Lu t B o Tồn Vơ h Ch ng Khố Lu n T t Nghi p ng Lu t b o tồn vơ h ng 2.1 M đ u 2.1.1 Y ngh a v t lý Ta xét m t hàm véc t u  u( x, t )  (u1( x, t ) u m( x, t)), ( x  R n, t  0), mà thành ph n c a m t đ c a hàm đ i l ng đ c b o toàn c a m t h v t lý  Cho mi n tr n, b ch n U R n , ta th y r ng tích phân  u ( x, t )dx, U bi u di n t ng kh i l  ng c a đ i l ng U , t i th i m t nh lu t b o toàn kh ng đ nh r ng t c đ thay đ i c a đai l mi n U , đ c kh ng ch b i m t hàm thông l ng ng F : R n  R m , hàm s u n t c đ t ng ho c gi m c a hàm u qua U M t khác n u ta gi thi t t i m i th i m t , ta có : d udx    F (u ) dS, dt U  đó,  véc t pháp n đ n v h ng d c U  u dx    F (u ) dS    divF (u)dx t U  U Do mi n U R n , mi n tu ý, ta có tốn giá tr ban đ u đ i v i h lu t b o toàn t ng quát: ut  divF (u )  R n  (0, )  u  g trê R n  {t  0},  n Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 14 Lu t B o Tồn Vơ h đây, hàm cho tr ng Khoá Lu n T t Nghi p c g  ( g , , g ) bi u di n ban đ u c a u  (u1, , u m ) m  Cho đ n th i m này, lý thuy t c a toán ch a đ c phát tri n đ y đ T gi tr đi, ta xét toán giá tr ban đ u cho h lu t b o tồn khơng gian m t chi u (n  1), ut  F (u ) x  R n  (0, )  u  g trê R n  {t  0}  n 2.1.2 Bài toán Cauchy ( Bài toán giá tr ban đ u ) nh ngh a: Là toán tìm hàm u : R n  (0, )  R ( x, t )  u ( x, t ) ut  F (u ) x  R  (0, ) tho mãn:  (2.1) u  g trê R  {t  0},  n hàm F : R  R g : R  R hàm cho tr Hàm F g i hàm thông l c ng, hàm g hàm phân b ban đ u ng vô h Ta g i x bi n không gian t g i bi n th i gian Ví d 1: Gi s hàm F : R  R g : R  R hàm cho tr u  u  2u c, x  x2 ta ph i tìm hàm u : R n  (0, )  R tho mãn: ( x, t )  u ( x, t ) ut  (2u  2)u x  R  (0, )  u  x2 trê R  {t  0}  n Ví d 2: Gi s hàm F : R  R g : R  R n u Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 15 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p u2 u   x  1  x n u  n u  x 0  x 1 x 1 Ta ph i tìm hàm u : R  (0, )  R tho mãn:  u2 ut  ( ) x    ug  R  (0, ) trê R {t  0} n Chú ý : Nói chung ta khơng th tìm đ c nghi m tr n c a toán (2.1) t i m i th i m t  b ng ph ng pháp đ c tr ng Do bu c ta ph i tìm m t lo i ngi m suy r ng c a tốn xét 2.2 Ph ng trình chuy n d ch n tính 2.2.1 D ng đ n gi n c a ph  nh ngh a : Là ph ng trình chuy n d ch n tính ng trình có d ng: ut  au·u  ( a h ng s ) Ví d : ut  3u· x  Bài tốn cauchy: Ta ph i tìm hàm u : R  (0, )  R tho mãn ( x, t )  u ( x, t ) ut  au x    u ( x,0)  u0 ( x) F : R  R u  au g : R  R R  (0, ) trê R {t  0}, n x  g ( x)  u0 ( x) Ví d : Ta ph i tìm hàm u : R  (0, )  R tho mãn: ( x, t )  u ( x, t )  ut  3u x  R  (0, )    u ( x,0)  x trê R {t  0} n Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: 16 Lu t B o Tồn Vơ h v i  r : ng Khoá Lu n T t Nghi p y1  y  x2  x1  y1  y Vì L ''  0, ta có L( L( x2  y1 x y x  y) )  rL( 1 )  (1  r ) L( ), t t t x1  y x y x  y) )  (1  r ) L( 1 )  rL( ), t t t v y L( x2  y1 x y x y x y )  L( 1 )  L( 1 )  L( ) t t t t T ta có tL( x2  y1 x y )  h( y1 )  tL( )  h( y ) ( y  y1 ) (đpcm) t t Nhân (2.30) v i t , thêm ( (h( y1 )  h( y) vào c v , c ng bi u th c v a thu đ c v i b t đ ng th c ta nh n đ c kh ng đ nh Theo (2.28), vi c tính giá tr nh nh t c a tL( x2  y )  h( y) , t ta ch c n xét nh ng giá tr c a y tho mãn y  y1 Bây gi v i m i x  R, t  0, xác đ nh m y( x, t ) b ng giá tr nh nh t c a y cho giá tr nh nh t c a tL( x2  y )  h( y ) t Khi ánh x x  y( x, t ) không gi m liên t c v i t t c ch tr t p đ mđ c nh ng giá tr c a x T i m x mà y( x, t ) liên t c giá tr nh t c a y cho giá tr nh nh t c a tL( x y )  h( y ) t Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 29 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Ta bi t r ng v i m i t  c đ nh, ánh x x  w( x, t ) : min{ tL( yR := tL( x1  y )  h( y )} t x  y( x, t ) )  h( y( x, t ) ) t kh vi h u kh p n i H n n a ánh x x  y( x, t ) đ n u nên c ng kh vi h u kh p n i Vì th v i t  cho tr x  L( c v i h u h t x, ánh x x  y( x, t ) ) t ánh x x  h( y( x, t )) đ u kh vi, t công th c (2.24) tr thành u( x, t )  x  y( x, t )  [ tL( )  h( y( x, t ) ) ] t x = L' ( x  y( x, t )  )(1  yx ( x, t ))  h( y( x, t )) t x Nh ng y  tL( ánh x z  tL( x y )  h( y) đ t c c ti u t i y  y( x, t ), t x  y( z, t ) )  h( y( z, t ) ) đ t c c ti u t i z  x t Do  L' ( x  y( x, t )  ) yx ( x, t )  h( y( x, t ) )  , t x th t (2.1 ), ta có u( x, t )  L' ( x  y( x, t ) x  y( x, t ) )  G( ) (đpcm) t t Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 30 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Bây gi ta s ch r ng công th c (2.26) cho ta m t nghi m tích phân c a tốn giá tr ban đ u 2.4.3 nh lý 2.2(Công th c Lax-Oleinik nh m t nghi m tích phân) - Phát bi u: V n gi thi t nh đ nh lý 2.1, hàm u đ c xác đ nh b i công th c (2.26) m t nghi m tích phân c a tốn giá tr ban đ u - Ch ng minh Nh ta đ t : w( x, t ) : min{ tL( yR x y )  h( y )} , ( x  R , t  0) t Ta bi t hàm w liên t c Lipschitz, v y kh vi h u kh p n i tho mãn  wt  F ( wx )  hkn R  (0, )  w h trê R {t  0}  n Ch n m t hàm th v tr n v i giá compak Nhân ph ng trình đ o hàm riêng wt  F ( wx )  v i vx l y tích phân R (0, ), ta nh n đ c    [ wt  F ( wx ) ]vxdxdt   Chú ý r ng     w v dxdt   wv dxdt   wv dx / t x tx      x t 0    w v dxdt   w vdx / x t x t 0  Cách l y tích phân nh h p pháp ánh x x  w( x, t ) liên t c Lipschitz, liên t c t đ i v i m i t  Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 31 Lu t B o Tồn Vơ h T ng Khố Lu n T t Nghi p ng t , t  w( x, t ) liên t c t đ i v i m i x R Bây gi x w( x, 0)  h( x)   g ( y)dy, wx ( x, 0)  g ( x) v i h u h t x   Vì v y     wv dxdt    t x   wxvt dxdt    gv dx / t 0  Th đ ng nh t th c vào (2.32) ý r ng u  wx h u kh p n i ta có đ ng nh t th c tích phân (2.6) V y hàm u đ c xác đinh b i công th c Lax-0leinik m t nghi m tích phân c a tốn giá tr ban đ u (đpcm) 2.5 Nghi m entropy 2.5.1 i u ki n entropy s a đ i - tv nđ : Ta bi t r ng nghi m tích phân c a tốn (2.1) khơng nh t có nghi m đ n ta cịn ph i địi h i tho mãn m t d ng thích h p cu u ki n entropy tr i u không ph i d nói chung x y ng h p mà hàm u xác đ nh b i công th c Lax-Olienik tr n ho c th m trí tr n t ng khúc Bây gi ta s tìm m t lo i đánh giá đ i v i đ o hàm’ m t phía ‘ c a hàm w xác đ nh b i công th c Lax-Olienik, t đánh giá ta s tìm đ c tiêu chu n nh t -B đ (2.1) ( ánh giá b Nguy n V n Di n K29H-Tốn c nh y m t phía ) Trang: 32 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Phát bi u : V n gi thi t nh đ nh lý (2.1), t n t i m t h ng s C, cho hàm u xác đ nh b i công th c Lax-Olienik (2.26) tho mãn b t đ ng th c u ( x  z, t )  u ( x, t )  C z (2.33), t v i t  0, x, z  R , z  T ta có đ nh ngh a: Ta g i b t đ ng th c (2.33) u ki n entropy s a đ i Nh n xét : T (2.33) ta th y v i t  hàm s x  u ( x, t )  C x khơng t ng t có gi i h n trái, gi i h n ph i t i m i m Vì th x  u ( x, t ) c ng có gi h n trái, gi i h n ph i t i m i m v i ul ( x, t )  u r ( x, t ) Nh vây, u ki n entropy t i m i m không liên t c b t k Ch ng minh: Ta bi t r ng viêc tính giá tr nh nh t c a hàm u xác đ nh b i công th c (2.26) ta ch c n xét nh ng y cho : x y  C (V i C m t h ng s ) t Do v y có th gi thi t r ng hàm G liên t c lipschitz, b i n u c n ta có th xét hàm G m t kho ng đóng c a R Vì G= ( F ' )1 y( x, t ) khơng gi m nên ta có : u ( x, t )  G( x  y( x, t ) x  y( x  z, t ) )  G( ), ( z  0) t t Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 33 Lu t B o Tồn Vơ h  G( ng x  y( x  z) Lip (G ) ) t t hay u ( x  z, t )  u ( x, t )  Khoá Lu n T t Nghi p = u ( x, t )  Lip(G) ( z  ), t Lip( g ) z C  z (C  0) (đpcm), t t đây, Lip(G)  sup { xx,yyR G( x)  G( y) } x y 2.5.2 Nghi m entropy 2.5.2.1  nh ngh a: Ta nói r ng hàm u  L (R  (0, )) m t nghi m entropy c a toán giá tr ban đ u : ut  F (u ) x  R  (0, )  (2.34) u  h trê R  {t  0}  n n u: i) u m t nghi m tích phân c a (2.34) ii) u ( x  z, t )  u ( x, t )  C (1  ) z , t h u kh p n i theo ( x, t )  R t , x  v i m t h ng s C  2.5.2.2 Tính nh t -Ta s ch ng t nghi m tích phân n u tho mãn u ki n entropy s nh t - nh lý 2.3 (Tính nh t c a nghi m entropy) Phát bi u : Gi s f m t hàm l i tr n Khi t n t i khơng q m t nghi m entropy c a toán (2.34) Ch ng minh Gi thi t r ng u u nghi m entropy c a toán cho Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 34 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khoá Lu n T t Nghi p Ta đ t w : u  u , v i m ( x, t ) b t k ta có d F (( ru ( x, t )  (1  r )u ( x, t )) dr dr F (u ( x, t ))  F (u ( x, t ))    = F ' (ru ( x, t )  (1  r )u ( x, t ))dr (u ( x, t )  u ( x, t )) :  b( x, t ) w( x, t ), n u v m t hàm th nh trên,   0=   (u  u )vt [ F (u )  F (u )]vxdxdt    =   w[v  bv t x ]dxdt (2.35)    Bây gi cho   xác đ nh u  n * u, u  n * u, n hàm tr n chu n v i bi n x t Khi ta có u  L  u  L , u L  u L u   u, u   u h u kh p n i   H n n a, t u ki n entropy ii) ta có ux ( x, t ), ux ( x, t )  C (1  ) (2.36), t v i m t h ng s C thích h p v i m i   0, x  R, t  t b ( x, t ) :  F ' (ru ( x, t )  (1  r )u ( x, t )) dr Khi (2.35) tr thành Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 35 Lu t B o Tồn Vơ h   0=   w[v  bv t x  ng Khoá Lu n T t Nghi p   ]dxdt +   w[b  b ]v dxdt x  Ch n T > m t hàm tr n b t k  : R [0, t ]  R v i giá compak Ta tìm hàm v nghi m c a toán giá tr th i m cu i sau    vt  b vx   v    Ta s gi i (2.35) b ng ph R  (0, T) trê R {t  0} n ng pháp đ c tr ng (2.38) làm rõ u ta c đ nh x  R,  t  T ký hi u x (.) nghi m c a h ph th ng trình vi phân ng  x ( s)  b ( x (s), s) (s  t )   x (t )  x (2.39), T đ t v ( x, t ) :   ( x ( s), s)ds ( x  R,  t  T )  t  Khi v tr n nghi m nh t c a (2.38).Vì b b ch n có giá  compak, v có giá compak R  [0, T ) Bây gi ta ch ng t r ng v i m i s  0, t n t i h ng s C cho vx  Cs R  ( s, T ) (2.40), đ ch ng minh u này, ý r ng, n u  s  t  T , t (2.36) tính l i c a F ta có: b , x ( x, t )   F ''(ru   (1  r ) )(ru   (1  r )u  )dr  Ti p theo l y đ o hàm ph Nguy n V n Di n K29H-Toán C C  t s ng trinh (2.38) theo x, ta có: Trang: 36 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p vt , x   b vxx  b , xvx   x Bây gi đ t a ( x, t ) : et vx ( x, t ) (  C  1) (2.41), s t  đó, at  b a x a  e [vxt  b vxx ]   a  et [b , xvx  x ]  [  b , x ]a  et (2.42) x  Vì v có giá compak a đ t giá tr c c đ i kh p R  [ s, T ] t i m t m ( x0 , t0 ) N u t0  T , vx  N u  t0  T , a ( x0 , t0 )  0, a x( x0 , t0 )  Cho nên ph ng trình (2.41) cho ta đánh giá nh sau: [  b , x ]a  et0 x (2.43),  m t s cho tr c cho b i (2.41), t (2.43)  a ( x0 , t0 )  e L p lu n t t0  x  eT  x L ng t ta có a ( x1 , t1 )  eT  t i m i m ( x1 , t1 ) mà x L , a đ t c c ti u không d ng Hai đánh giá đ nh ngh a c a a cho ta (2.40)  Ta c n b t đ ng th c sau  vx ( x, t ) dx  D (2.44)  v i m i  t  r h ng s D đó, mi n r đ nh ch ng minh (2.44) ta ch n r  đ nh đ   R  (0, r ) Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 37 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p Khi n u  t  r ta th y t v h ng s d c theo đ ng cong đ c tr ng x (.) ( t  s  r ), ch n m t phân ho ch b t k x0  x1   xN Khi y0  y1  yN , yi : xi ( s) (i  1, , N ) tho mãn :  x ( s )  b ( x ( s ), s ) (t  s  r )   x (t )  xi  Do v h ng s d c theo m i đ c tr ng xi (.) , ta có N N  v (x ,t)  v (x   i i 1 i 1 , t )   v ( yi , r )  v ( yi1 , r )  va rv (., r ) i 1 ‘var’ bi n phân theo x L y supremum m i phân ho ch nh trên, ta tìm đ c  v  x   ( x, t ) dx  va rv (., r )   v  x ( x, r ) dx  C  Cu i ta k t thúc đ nh lý bàng cách đ t v  v (2.37) s d ng (2.38), ta có       w dxdt    w[b  b ]v  x  dxdt  T  T      w [b  b ]vx dxdt    w[b  b ]vx dxdt  r   Khi theo (2.40) theo đ nh lý h i t tr i, ta có IT     v i m i r  M t khác, n u  r  T t (2.44) ta có  J T  rC ma x  vx dx  rC  0t  r  Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 38 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khố Lu n T t Nghi p   Vì v y   w dxdt  0,  v i t t c nh ng hàm tr n  nh trên, w : u  u  h u kh p n i (đpcm) 2.6 Bài toán Riemann 2.6.1 nh ngh a : Bài tốn tìm hàm u ( x, t ) xác đ nh R  [0, ) tho ut  F (u ) x  R  (0, )  nx  ul mãn :  u ( x ,0) g ( x )   u   nx  u r   (2.45) u đ c g i tốn Riamann Trong ul , ur đ c g i tr ng thái ban đ u bên trái, bên ph i t ng ng, ( ul  ur ) Nh n xét: Nh v y hàm giá tr ban đ u không đ i t ng kho ng Ví d : Xét ph ng trình Buger ut  uu x  v i d ki n (2.45) D ng nghi m c a ph ng trình ph thu c vào quan h gi a ul u r u2 đây, F : R  R , u  -Trong tr ng h p ul  ur có nh t m t nghi m tích phân c a tốn : ul n u ( x, t )   u ur n x  t x  t u Nguy n V n Di n K29H-Toán Trang: 39 Lu t B o Tồn Vơ h -Trong tr ng Khố Lu n T t Nghi p ng h p ul  ur , tốn có vơ s nghi m tích phân M t chúng v n có d ng trên, t c đ lan truy n không liên t c  M t nghi m tích phân khác c a tốn sóng t o chân khơng n x  ul t u n ul t  x  ur t u x  ur n u Th c t nghi m nghiêm entropy c a tốn ul x  u ( x, t )   t ur Bây gi ta xét tr 2.6.2 ng h p t ng quát, v i g a thi t hàm F l i đ u  C nh lý (2.4) ( Nghi m c a toán Riemann ) Phát bi u i) N u ul  ur nghi m entopy c a tốn Riemann là:  ul u ( x, t )   u  r :  : x  t x  t n u n u (t  0, x  R ) (2.46), F (ul )  F (ur ) (2.47), ul  ur ii) N u ul  ur nghi m entopy c a tốn Riemann là:   ul   x u ( x, t )  G ( )  t   ur  n u n u n u x  F ' (ul ) t x F ' (u )l   F (' ur ) (2.47) t x  F ' (ur ) t , t  0, x R Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: 40 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khoá Lu n T t Nghi p Chú ý : ng h p th nh t, tr ng thái ul , ur đ - Trong tr c tách b i sóng s c v i v n t c không đ i  ng h p th hai, tr ng thái ul , ur đ - Trong tr c tách b i sóng t o chân không - Ta s ki m tra xem hàm (2.46), (2.47) có th c s nghi m entropy c a tốn hay khơng Do tính ch t nh t nghi m, chúng s trùng v i công th c Lax-oleinik ây m t minh ho đ p v s c m nh c a đ nh lý nh t nghi m Ch ng minh Gi s ul  ur , rõ ràng hàm u đ (2.47) m t nghi m tích phân c a ph c bi t,  : c xác đ nh b i cơng th c (2.46), ng trình đ o hàm riêng (2.1) [[ F (u)]] nên u ki n Rankine-Hugoniot tho mãn [[u]] F (ul )  F (ur ) l ' H n n a , F (ur )      F (r )dr  F ' (ul ) ul  ur ur u ' Theo u ki n entropy (2.16) ul  ur nên u ki n entropy c ng đ c tho mãn Tính nh t nghi m đ Bây gi , gi s c suy t đ nh lý (2.3) ul  ur , tr c h t ta ki m tra r ng hàm u xác đ nh b i (2.47) nghi m h lu t b o toàn mi n F ' (u r )  x  F ' (ul ) t tr l i câu h i này, ta tr l i câu h i Khi hàm u có d ng Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: 41 Lu t B o Tồn Vơ h ng Khoá Lu n T t Nghi p x u ( x, t )  v( ) tho mãn (2.1) t x x x  F '( v ) v '( ) t t2 t t Ta tính toán , ut  F '(u )u x  v( ) x x [ F '(v)  ] t t t = v '( ) x t Nh v y n u gi thi t v ’ không bao gi tri t tiêu, ta th y F '(v( ))  x t x x x  F '(v)v '( ) t t t t Do ut  F '(u )u x  v( ) nghi m h lu t b o toàn x t x  F '(u l ) t x t x  F '(u r ) t Bây gi , v( )  ul n u T ng t , v( )  ur n u T ta th y sóng t o chân khơng xác đ nh b i (2.31) liên t c mi n R (0, ) nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng ut  F (u ) x =0 m i mi n xác đ nh c a H n n a hàm u m t nghi m c a toán Riemann Ta có th gi thi t hàm G liên t c Lipschitz, ta có : u ( x  z, t )  u ( x, t )  G( x z x Lip(G ) z )  G( )  t t t n u F '(ul )t  x  x  z  F '(ur )t B t đ ng th c cho th y u c ng tho mãn u ki n entropy Tính nh t c a nghi m suy t h qu c a đ nh lý (2.3) Nguy n V n Di n K29H-Tốn Trang: 42 Lu t B o Tồn Vơ h ng Nguy n V n Di n K29H-Toán Khoá Lu n T t Nghi p Trang: 43 ... l ng đ c b o toàn c a m t h v t lý  Cho mi n tr n, b ch n U R n , ta th y r ng tích phân  u ( x, t )dx, U bi u di n t ng kh i l  ng c a đ i l ng U , t i th i m t nh lu t b o toàn kh ng đ... t s ki n th c b tr 1.1 M t s khái ni m 1.1.1 Hàm tr n Ta nói hàm u : U  R hàm tr n n u u kh vi vô h n 1.1.2 Hàm l i n M t hàm f : R  R đ c g i hàm l i n u f (rx  (1  r ) y)  rf ( x)  (1... vi nghiên c u Ch nghiên c u nh ng ph ng trình, tốn có liên quan đ n th c t ch ng h n nh lu t b o toàn Ph ng pháp nghiên c u M t toán ph ng trình vi phân đ o hàm riêng n u có ý ngh a th c ti n