Toán cao cấp không gian vector

KHÔNG GIAN VÉC-TƠ Trong sách có trình bày trường hợp tổng quát, không gian véc-tơ (vt) tập hợp V bất kì, chủ ( x1 , x2 , , xn ) xi Rn yếu cần quan tâm đến không gian vt , hiểu đơn giản tập hợp tất số với số thực 1.Kiến thức Các phép tính không gian vt Rn đơn giản: ( x1 , x2 , , xn ) + ( y1 , y2 , , yn ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) Tổng vt: k ∈ R : k ( x1 , x2 , , xn ) = ( kx1 , kx2 , , kxn ) Tích vt với số x = (1, 2,3); y = (4,5, 6); z = (7,8,9) x + y + z = (12,15,18) Ví dụ: Xét vt vt x, y , z (12,15,18) Ngược lại, cho hệ vt làm sở biểu diễn vt theo hệ vt ta giải phương (12,15,18) = ax + by + cz = ( a + 4b + 7c; 2a + 5b + 8c;3a + 6b + 9c) trình: , tương ứng với giải hệ phương  a + 4b + 7c = 12   2a + 5b + 8c = 15 3a + 6b + 9c = 18  trình ẩn: ( giải máy tính ) Hệ độc lập tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính Xét hệ S gồm m vt không gian vt m S ∑t X hệ độc lập tuyến tính (đltt) i =1 i i Rn { X , X , , X m } : = θ ⇔ ti = 0∀i = 1, 2, , m m S ∃ti ≠ : ∑ ti X i = θ hệ phụ thuộc tuyến tính (pttt) i =1 Chứng minh hệ đltt pttt cách giải phương trình trên, hay thực giải hệ phương (0, 0, , 0) m S S trình với ẩn, có nghiệm hệ đltt, ngược lại pttt S = { X , X , , X m } U S S Xét hệ vt Tập gọi hệ đltt tối đại, hay sở r (S ) U S U U S đltt vt biểu diễn qua Số vt hạng , kí hiệu Hạng hệ vt Chỉ tập trung vào hệ vt Trong không gian vt Rn Rn , xét hệ m A1 , A2 , , Am vt A = [aij ]m×n Ai = {a1i ; a2i ; ; ani ) i = 1, 2, , m với ( ) B = [aij ]n×m Ai Ta lập ma trận nhận vt dòng cột, ma trận gọi ma trận liên kết với hệ vt nhận vt A1 = (1, 2); A2 = (3, 4); A3 = (5, 6) Ví dụ: Xét hệ vt Ai có ma trận liên kết 1  34    56  1  2 6   Hạng hệ vt hạng ma trận liên kết với Một hệ vt sở không gian vt Rn hệ có Áp dụng làm bài: Một hệ n vt sở không gian vt có định thức khác 0, có hạng n Rn n vt hệ đltt ma trận liên kết với hệ vt Không gian vt con: Quan trọng: Xét L phận khác rỗng không gian vt ∀X , Y ∈ L : X + Y ∈ L  ∀X ∈ L, ∀k ∈ R : kX ∈ L khi: L = {( x;1; 0); x ∈ R} Ví dụ: Xét không gian vt X ( x,1, 0); Y ( y,1, 0) ∈ L X + Y = ( x + y, 2, 0) ∉ L L = {( x1 , x2 , x3 ); x1 + x2 + x3 = 1} L Rn L không gian vt không không gian vt L Xét không gian vt không không gian vt X ( x1 , x2 , x3 ) ∈ L X (2 x1 , x2 , x3 ) x1 + x2 + x3 = ≠ có R3 R3 Rn với với U gồm hữu hạn vt Tất tổ hợp tuyến tính ( cộng, trừ vt L(U ) U k∈R U nhân vt với số ) gọi bao tuyến tính , kí hiệu Xét hệ vt U Rn U = {(1, 2,3); (4, 5, 6); (7,8,9)} Ví dụ: Xét hệ vt L(U ) = {( x + y + z; x + y + z;3 x + y + z ); x, y, z ∈ Z } dim L Quan trọng: Số chiều bao tuyến tính, kí hiệu hạng hệ vt sở, hạng tính phần ) bao tuyến tính U dim L = r (U ) : ( số chiều bao tuyến tính CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng : Bài toán phụ thuộc tuyến tính & độc lập tuyến tính *Phương pháp: - PP1: Hệ vectơ v1, v2,…, vk thuộc không gian vectơ V gọi độc lập tuyến tính phương trình α1.v1 + α v2 + + α k vk = θ θ = θv ( ) α1 = α = = α k = Chỉ có nghiệm Một hệ vectơ v1, v2,…, vk gọi phụ thuộc tuyến tính hệ độc lập tuyến tính - PP2: sử dụng ma trận liên kết A Nếu r(A)= số vectơ hệ đltt Nếu r(A) < số vecto hệ pttt VD1: Cho hệ vectơ R3 Hãy xác định độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính hệ a) u1=(2,1,-3) u2=(3,1,2) u3=(5,2,-1) b) v1=(3,2,-2) v2=(-2,1,2) v3=(2,2,-1) Giải a) Xét phương trình α1u1 + α 2u2 + α 3u3 = θ = (0,0,0) (1) ⇔ α1 (2,1,−3) + α (3,1,2) + α (5,2,−1) = (0,0,0) (1) ⇔ (2α1 ,α1 ,−3α1 ) + (3α , α ,2α ) + (5α ,2α ,−α ) = (0,0,0) ⇔ (2α1 + 3α + 5α ,α1 + α + 2α ,−3α1 + 2α − α ) = (0,0,0)  2α1 + 3α + 5α =  ⇔  α1 + α + 2α = − 3α + 2α − α =  ⇒ Hệ vô số nghiệm  Đây hệ phụ thuộc tuyến tính b) Xét phương trình α1u1 + α 2u2 + α 3u3 = θ = (0,0,0) (2) ⇔ α1 (3,2,−2) + α (−2,1,2) + α (2,2,−1) = (0,0,0) (2) ⇔ (3α1 ,2α1 ,−2α1 ) + ( −2α ,α ,2α ) + (2α ,2α ,−α ) = (0,0,0) ⇔ (3α1 − 2α + 2α ,2α1 + α + 2α ,−2α1 + 2α − α ) = (0,0,0)  3α1 − 2α + 2α = α1 =   ⇔  2α1 + α + 2α = ⇔ α = − 2α + 2α − α = α =    Hệ đltt Cách : sử dụng ma trận liên kết a, A= =>r(A) =r(U) = => hệ pttt b, A=  r(A)= r(U)= => hệ đltt VD2: Trong R3 (không gian đa thức hệ số thực bậc không 3), xét hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? a ) {u1 = x − x + 3; u2 = x + 1}; b) {u1 = x − x + 3; u2 = x + 1; u3 = x + x − x + 10}; c ) {u1 = x − x + 3; u2 = x + x − 1; u3 = x + x + 2}; d ) {u1 = x ; u2 = x ; u3 = 3x; u4 = x + 3x; u5 = 1} Hướng dẫn: α u1 + β u2 = a) Xét tổ hợp tuyến tính ta có 3 α ( x − x + 3) + β ( x + 1) = ⇔ α x + β x − 2α x + 3α + β = α = β = α =  ⇔ ⇔ β =  −2α = 3α + β = Vậy hệ vector độc lập tuyến tính d) Ta có u4 = u2 + u3 nên hệ vector phụ thuộc tuyến tính Dạng 2: Xác định tọa độ vectơ đổi với sở, biểu diễn tuyến tính vecto qua hệ vecto cho Để vector x biểu thị tuyến tính qua vector x = α1u1 + + α n un đồng thời cho: u1 , u2 , , un VD3: Trong không gian R3 cho hệ sở u1=(1,-1,1) u2=(-1,1,0) u3=(1,0,0) Hãy xác định tọa độ vectơ u=(1,1,0) sở cho Giải tồn số α1 , α , , α n không Tọa độ (α1,α2,α3) u sở cho nghiệm phương trình U= α1.u1 + α2.u2 + α3.u3 (1) (1)  α1 (1,-1,1) + α2 (-1,1,0) + α3 (1,0,0)=(1,1,0) (α1,-α1,α1) + (-α2,α2,0) + (α3,0,0)=(1,1,0) (α1-α2+α3,-α1+α2,α1)=(1,1,0) α1 − α + α = α1 =  ⇔  − α1 + α = ⇔ α =  α = α1 =    Tọa độ u sở cho (0,1,2) Chú ý : vecto biểu diễn dc qua vecto khác vecto dc gọi tổ hợp tuyến tính vecto Bài toán chứng minh hay xét xem vecto có phải tổ hợp tuyến tính k, ta cần xem có biểu diễn tuyến tính qua hệ vecto cho dc k u1 = (1, −2,3); u2 = (0,1, −3) VD4: Trong R3 cho hai vectơ (u1 , u2 ) a) Vectơ u = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính qua không? (u1 , u2 ) b) Tìm m để v = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính qua Hướng dẫn: a) Làm giống ví dụ u = 2u1 + u2 (u1 , u2 ) , suy u biểu thị tuyến tính qua x1u1 + x2u2 = v b) Xét hệ pt , ta có:  x1 =  x1 = 1 0           x1  −2 + x2 1  =  m  ⇔ −2 x1 + x2 = m ⇔  m = −4 3 x + x = −3  x = −2    3  −3   u1 = (1, 4,1, 0); u2 = (2,3, −1, 0); u3 = ( −1, −1,1,1); u4 = (1, 2,1, −1) Vd5: Trong R4cho vectơ Tìm điều v = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) kiện để vectơ tổ hợp tuyến tính (u1 , u2 , u3 ) a) (u1 , u2 , u3 , u4 ) b) Hướng dẫn: u1 , u2 , u3 a1 , a2 , a3 v = a1u1 + a2u2 + a3u3 Để v tổ hợp tuyến tính tồn số cho Khi đó, hệ phương trình sau có nghiệm: x1 1 −1 x1  1 −1 x1   −1    d2 →d2 − d1     d3 → d3 − d1 d → d3 − d  −1 x2  → 0 −5 x2 − x1  → 0 −1 −1 x3 + x1 − x2  1 −1 x3  0 −3 x3 − x1  0 −3  x3 − x1       x4  x4  0 x4  0 0  x1 x1 1 −1  1 −1      x3 + x1 − x2  −1 −1 x3 + x1 − x2  d4 →5 d4 − d3 0 −1 −1 d3 → d3 − d  → → 0 −5 x3 − x1 + x2  0 −5 x3 − x1 + x2      x4 0  0 0 x1 − x2 + x3 + x4  x1 − x2 + x3 + x4 = Suy ra, c) làm tương tự DẠNG 3: tìm hệ đltt tối đại Vd6: Tìm hệ vector độc lập tuyến tính tối đại hệ vector sau: u1 (1, −1, 0); u2 = (2, −1, −1); u3 = (0,1, −1); u4 = (2, 0, −2) Hướng dẫn u1 , u2 , u3 , u4 Xét ma trận A có dòng tọa độ vector Khi đó, thực phép biến đổi sơ cấp dòng ta  −1  1 −1  1  −1 −1 d2 →d2 − d1  −1 d3 →d3 −d2  d → d4 − d1 d4 →d4 −d2  →    A= →  −1  − 1 0       −2   −2  0   r(A)= => hệ đltt tối đại có vecto u1 = (1, −1, 0); u2 Vậy hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ là: −1  −1 0  0 = (0,1, −1) DẠNG 4: BÀI TOÁN CƠ SỞ CỦA KG Rn h vecto c s c a kg Rn  h VD7: Trong R3 chứng minh ó có n vecto h l t t B = (u1 , u2 , u3 ) sở a ) u1 = (1,1,1); u2 = (1,1, 2); u3 = (1, 0,3); u = (6,9,14); b) u1 = (2,1, −3); u2 = (3, 2, −5); u3 = (1, −1,1); u = (6, 2, −7); c) u1 = (1, −1, 0); u2 = (1, 0, −1); u3 = (2, 0, 0); u = ( −3,1, −2); a) hệ có vecto Chứng minh u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính Xét ma trận Hệ u1 , u2 , u3 Suy ra, 1 1  d →d − d 1 1  1 1  2 d3 → d3 − d1 d3 ↔ d     A = 1  → 0  →  −1  1  0 −1   0  độc lập tuyến tính B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 B = {(1,1,1);(1,1, 2);(1, 2,3)} Vd8: Trong R3 cho hai hệ vectơ B’ = {(2,1,-1); (3,2,-5);(1,-1,m)} a) Chứng minh B sở R3 b) Tìm m để B’ sở R3 a) Kiểm tra đượcB sở b) Để m sở hệ vector B’ hệ độc lập tuyến tính tối đại giải: a) ¡ Kiểm tra đượcB sở b) Để m sở R3 hệ vector B’ hệ độc lập tuyến tính tối đại Hay hệ vecto phải đltt DẠNG 5: CM KG CON, TÌM CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU KG W kg Rn  Tìm sở số chiều: Tìm cở sở: phần tích vecto nghiệm tổng quát => sở VD: (x,y,z)=(x,x+3z, z) = (x,x,0)+ (0, 3z, z) = x( 1,1,0) + z(0,3,1)  Cở sở gồm vecto (1,1,0) (0,3,1)  Dim= số vecto co sở = DẠNG 6: KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTO Trong không gian R3, cho W không gian sinh hệ vectơ sau: W = {u1 = (1, 2, −1); u2 = ( −3,1, −2); u3 = (4,1,1); u4 = (2, 4, −2)} Tìm sở số chiều W Lưu ý: KG sinh hệ vecto tập hợp vecto u biểu diễn tuyến tính dc qua hệ u1, u2, u3, …, un Vì để kiểm tra xem vecto u có thuộc KG sinh hệ vecto thfi ta kiểm tra xem có biểu diễn tuyến tính dc qua u1,u2,u3, ,un không Còn tìm sở số chiều : Tìm sở giống hệt tìm hệ đltt tối đại - Lập MT lien kết - r(A) = số vecto hệ đltt tối đại = số vecto sở= số chiều W(=dimW)  sở ... y, 2, 0) ∉ L L = {( x1 , x2 , x3 ); x1 + x2 + x3 = 1} L Rn L không gian vt không không gian vt L Xét không gian vt không không gian vt X ( x1 , x2 , x3 ) ∈ L X (2 x1 , x2 , x3 ) x1 + x2 + x3... kết với Một hệ vt sở không gian vt Rn hệ có Áp dụng làm bài: Một hệ n vt sở không gian vt có định thức khác 0, có hạng n Rn n vt hệ đltt ma trận liên kết với hệ vt Không gian vt con: Quan trọng:... Cở sở gồm vecto (1,1,0) (0,3,1)  Dim= số vecto co sở = DẠNG 6: KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTO Trong không gian R3, cho W không gian sinh hệ vectơ sau: W = {u1 = (1, 2, −1); u2 = ( −3,1, −2); u3