Toán cao cấp không gian vector

Tập con U của S được gọi là một hệ đltt tối đại, hay một cơ sở của S nếu U đltt và mọi vt của S đều có thể biểu diễn qua U.. Không gian vt con: Quan trọng: Xét L là một bộ phận khác rỗn

KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

Trong sách có trình bày trường hợp tổng quát, không gian véc-tơ (vt) trong tập hợp V bất kì, nhưng chủ yếu chỉ cần quan tâm đến không gian vt

n R

, hiểu đơn giản là tập hợp tất cả các bộ số

1 2

( , , , )x x x n

với

i x

là các số thực bất kì

1.Kiến thức cơ bản

Các phép tính trong không gian vt

n R

rất đơn giản:

Tổng 2 vt:

( , , , ) ( , , , ) (x x x n + y y y n = x +y x, +y , ,x n+y n)

Tích 1 vt với 1 số

: ( , , , ) (n , , , n)

k R k x x∈ x = kx kx kx

Ví dụ: Xét 3 vt

(1, 2,3); (4,5,6); (7,8,9)

thì vt

(12,15,18)

x y z+ + =

Ngược lại, cho hệ 3 vt

, ,

x y z

đó làm 1 cơ sở và biểu diễn vt

(12,15,18)

theo hệ vt trên thì ta giải phương trình:

(12,15,18)=ax by cz+ + = +(a 4b+7 ; 2c a+5b+8 ;3c a+6b+9 )c

, tương ứng với giải hệ phương

trình 3 ẩn:

a b c

a b c

a b c



 + + =



 + + =



( giải bằng máy tính )

2 Hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính

Xét một hệ S gồm m

vt trong không gian vt

n R

: 1 2 { ,X X , ,X m}

S

là hệ độc lập tuyến tính (đltt) nếu

1

0 1, 2, ,

m

i

=

= ⇔ = ∀ =

∑

S

là hệ phụ thuộc tuyến tính (pttt) nếu

1

0 : m

i

=

Chứng minh một hệ là đltt hoặc pttt bằng cách giải phương trình trên, hay thực ra là giải một hệ phương trình với m

ẩn, nếu chỉ có 1 nghiệm

(0,0, ,0)

thì hệ S đltt, ngược lại thì S pttt

Xét hệ vt

1 2 { , , , m}

S = X X X

Tập con U của S được gọi là một hệ đltt tối đại, hay một cơ sở của S nếu U đltt và mọi vt của S đều có thể biểu diễn qua U Số vt trong U là hạng của S , kí hiệu là

( )

3 Hạng của hệ vt

Chỉ tập trung vào hệ vt trong

n R

Trong không gian vt

n R

, xét hệ m

vt

1, , ,2 m

A A A

với

1 2 { ; ; ; )

A = a a a

(

1, 2, ,

)

Ta lập ma trận

[ ]ij m n

A= a ×

nhận các vt i

A

lần lượt là các dòng hoặc

[ ]ij n m

B= a ×

nhận các vt i

A

lần lượt là các cột, các ma trận đó gọi là ma trận liên kết với hệ vt

Ví dụ: Xét hệ vt

1 (1, 2); 2 (3, 4); 3 (5, 6)

A = A = A =

thì có ma trận liên kết là

1 2 34 56

 

 

 

 

và

1 3 5

2 4 6

Hạng của hệ vt chính là hạng của ma trận liên kết với nó

Một hệ vt là cơ sở của không gian vt

n R

khi và chỉ khi hệ đó có n

vt và là hệ đltt

Áp dụng làm bài: Một hệ n vt là cơ sở của không gian vt

n R

khi và chỉ khi ma trận liên kết với hệ vt

đó có định thức khác 0, hoặc có hạng là n.

4 Không gian vt con:

Quan trọng: Xét L là một bộ phận khác rỗng của không gian vt

n R

L là không gian vt con của

n R

khi

và chỉ khi:

X Y L X Y L

X L k R kX L





Ví dụ: Xét không gian vt

{( ;1;0); }

L= x x R∈

L không là không gian vt con của

3

R

vì với ( ,1, 0); ( ,1, 0)

thì

( , 2,0)

X Y+ = +x y ∉L

Xét không gian vt

1 2 3 1 2 3

L= x x x x + + =x x

L không là không gian vt con của

3

R

vì với

1 2 3

( , , )

X x x x ∈L

thì

1 2 3

2 (2 , 2 , 2 )X x x x

có

2x +2x +2x = ≠2 1

Xét hệ vt U gồm hữu hạn các vt trong

n R

Tất cả những tổ hợp tuyến tính của U ( cộng, trừ các vt hoặc nhân 1 vt trong U với một số k R∈

) gọi là bao tuyến tính của U , kí hiệu

( )

L U

Ví dụ: Xét hệ vt

{(1, 2,3);(4,5,6);(7,8,9)}

U =

thì bao tuyến tính của U là ( ) {( 4 7 ; 2 5 8 ;3 6 9 ); , , }

L U = x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z x y z Z∈

Quan trọng: Số chiều của bao tuyến tính, kí hiệu dim L :

dimL r U= ( )

( số chiều của bao tuyến tính bằng hạng của hệ vt cơ sở, hạng đó tính như phần 3 )

CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1 : Bài toán về sự phụ thuộc tuyến tính & độc lập tuyến tính

*Phương pháp:

- PP1: Hệ vectơ v1, v2,…, vk thuộc không gian vectơ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình

θ α

α

α1.v1+ 2.v2+ + k.v k =

(

v

θ

θ = )

Chỉ có nghiệm duy nhất là

0

2

1=α = =αk = α

Một hệ vectơ v1, v2,…, vk được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không phải là hệ độc lập tuyến tính

Nếu r(A)= số vectơ thì hệ đltt

Nếu r(A) < số vecto thì hệ pttt

VD1: Cho các hệ vectơ trong R3 Hãy xác định sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ này

a) u1=(2,1,-3) u2=(3,1,2) u3=(5,2,-1)

b) v1=(3,2,-2) v2=(-2,1,2) v3=(2,2,-1)

Giải

a) Xét phương trình

) 0 , 0 , 0 ( 3

3 2 2 1

1 +α +α =θ =

(1) (1)

) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 2 , 5 ( ) 2 , 1 , 3 ( ) 3 , 1 , 2

) 0 , 0 , 0 ( ) , 2 , 5 ( ) 2 , , 3 ( ) 3 , , 2

( 1 1 − 1 + 2 2 2 + 3 3 − 3 =

) 0 , 0 , 0 ( ) 2

3 , 2 ,

5 3 2

( 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 − 1+ 2 − 3 =









=

− +

−

= + +

= + +

⇔

0 2

3

0 2

0 5 3 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

α α α

α α α

α α α

⇒

Hệ vô số nghiệm

 Đây là hệ phụ thuộc tuyến tính

b) Xét phương trình

) 0 , 0 , 0 ( 3

3 2 2 1

1 +α +α =θ =

(2) (2)

) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 2 , 2 ( ) 2 , 1 , 2 ( ) 2 , 2 , 3

) 0 , 0 , 0 ( ) , 2 , 2 ( ) 2 , , 2 ( ) 2 , 2 , 3

( 1 1 − 1 + − 2 2 2 + 3 3 − 3 =

) 0 , 0 , 0 ( ) 2

2 , 2 2

, 2 2 3

( 1− 2 + 3 1+ 2+ 3 − 1+ 2 − 3 =







=

− +

−

= + +

= +

−

⇔

0 2

2

0 2 2

0 2 2

3

3 2 1

3 2

1

3 2

1

α α

α

α α

α

α α

α









=

=

=

⇔

0 0 0

3 2 1

α α α

 Hệ đltt

Cách 2 : sử dụng ma trận liên kết

a, A=

=>r(A) =r(U) = 2 => hệ pttt

b, A=

 r(A)= r(U)= 3 => hệ đltt

lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

d u x u x u x u x x u

Hướng dẫn:

a) Xét tổ hợp tuyến tính 1 2

0

u u

ta có

0

α

α β

=









Vậy hệ vector trên độc lập tuyến tính

d) Ta có 4 2 3

u = +u u

nên hệ vector này phụ thuộc tuyến tính

Dạng 2: Xác định tọa độ của vectơ đổi với 1 cơ sở, biểu diễn tuyến tính 1 vecto qua hệ vecto đã cho

Để vector x biểu thị tuyến tính qua các vector 1 2

, , , n

u u u

nếu tồn tại các số 1 2

, , , n

không đồng thời bằng 0 sao cho: 1 1

n n

x=αu + +α u

VD3: Trong không gian R3 cho hệ cơ sở

u1=(1,-1,1) u2=(-1,1,0) u3=(1,0,0)

Hãy xác định tọa độ của vectơ u=(1,1,0) đối với cơ sở đã cho

Giải

Tọa độ (α1,α2,α3) của u đối với cơ sở đã cho chính là nghiệm của phương trình

U= α1.u1 + α2.u2 + α3.u3 (1)

(1)  α1 (1,-1,1) + α2 (-1,1,0) + α3 (1,0,0)=(1,1,0)

(α1,-α1,α1) + (-α2,α2,0) + (α3,0,0)=(1,1,0)

(α1-α2+α3,-α1+α2,α1)=(1,1,0)









=

= +

−

= +

−

⇔

0 1 1

1

2 1

3 2 1

α

α α

α α α









=

=

=

⇔

2 1 0

3 2 1 α α α

 Tọa độ của u đối với cơ sở đã cho là (0,1,2)

Chú ý : 1 vecto biểu diễn dc qua các vecto khác thì vecto đó dc gọi là tổ hợp tuyến tính của các vecto

đó Bài toán chứng minh hay xét xem 1 vecto có phải là tổ hợp tuyến tính k, ta chỉ cần xem nó có biểu diễn tuyến tính qua hệ vecto đã cho dc k

VD4: Trong R3 cho hai vectơ

1 (1, 2,3); 2 (0,1, 3)

u = − u = −

a) Vectơ u = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính được qua

1 2 ( , )u u

không?

b) Tìm m để v = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính được qua 1 2

( , )u u

Hướng dẫn:

a) Làm giống ví dụ 3

1 2 2

u= u +u

, suy ra u biểu thị tuyến tính được qua

1 2 ( , )u u

b) Xét hệ pt

1 1 2 2

x u +x u =v

, ta có:

2

1 2

x

     

 − +    = ⇔ − + = ⇔ = −

Vd5: Trong R4cho các vectơ

1 (1, 4,1,0); 2 (2,3, 1,0); 3 ( 1, 1,1,1); 4 (1, 2,1, 1)

Tìm điều kiện để vectơ

1 2 3 4 ( , , , )

v= x x x x

là tổ hợp tuyến tính của a) 1 2 3

( , , )u u u

b)

1 2 3 4

( , , , ).u u u u

Hướng dẫn:

Để v là tổ hợp tuyến tính của

1, ,2 3

u u u

thì tồn tại các số

1, ,2 3

a a a

sao cho

1 1 2 2 3 3

v a u= +a u +a u

Khi đó, hệ phương trình sau có nghiệm:

2 2 1

3 3 2

4

1 3 3

2

d d d

d d d

x x

→ −

→ −

−

1

3 1 2

4

d d d

x

x x x

x x

x x x

x

→ −

Suy ra,

7x −3x +5x +5x =0

c) làm tương tự

DẠNG 3: tìm hệ con đltt tối đại

Vd6: Tìm hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của hệ vector sau:

1(1, 1, 0); 2 (2, 1, 1); 3 (0,1, 1); 4 (2,0, 2)

u − u = − − u = − u = −

Hướng dẫn

Xét ma trận A có các dòng là các tọa độ vector

1, , ,2 3 4

u u u u

Khi đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta được



3 3 2

2 2 1

2 2

d d d

d d d

 r(A)= 2 => hệ con đltt tối đại có 2 vecto

Vậy hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ này là:

1 (1, 1, 0); 2 (0,1, 1)

u = − u = −

DẠNG 4: BÀI TOÁN CƠ SỞ CỦA 1 KG R n

1 h vecto là c s c a kg Rn  h ó có n vecto và h là l tt

VD7: Trong R3 chứng minh 1 2 3

( , , )

B= u u u

là cơ sở

) (1,1,1); (1,1, 2); (1, 0,3); (6,9,14);

) (2,1, 3); (3, 2, 5); (1, 1,1); (6, 2, 7);

) (1, 1,0); (1,0, 1); (2, 0, 0); ( 3,1, 2);

a) hệ này có 3 vecto

Chứng minh 1 2 3

, ,

u u u

độc lập tuyến tính

Xét ma trận

2 2 1

d d d

A

→ −

Hệ 1 2 3

, ,

u u u

độc lập tuyến tính

Suy ra, 1 2 3

( , , )

B= u u u

là một cơ sở của R3

Vd8: Trong R3 cho hai hệ vectơ

{(1,1,1);(1,1, 2);(1, 2,3)}

B=

và

B’ = {(2,1,-1); (3,2,-5);(1,-1,m)}.

a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3.

b) Tìm m để B’ là một cơ sở của R3

a) Kiểm tra đượcB là cơ sở của b) Để m là cơ sở của thì hệ 3 vector của B’ là hệ độc lập tuyến tính tối đại

giải:

a) Kiểm tra đượcB là cơ sở của

3

¡

b) Để m là cơ sở của R3 thì hệ 3 vector của B’ là hệ độc lập tuyến tính tối đại

Hay hệ 3 vecto đó phải đltt

DẠNG 5: CM KG CON, TÌM CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU

1 KG W là kg con của Rn 

Tìm cơ sở và số chiều:

Tìm cở sở: phần tích vecto nghiệm tổng quát => cơ sở

VD: (x,y,z)=(x,x+3z, z) = (x,x,0)+ (0, 3z, z) = x( 1,1,0) + z(0,3,1)

 Cở sở gồm 2 vecto là (1,1,0) và (0,3,1)

 Dim= số vecto của co sở = 2

DẠNG 6: KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTO

Trong không gian R3, cho W là một không gian con sinh bởi hệ vectơ sau:

{ (1,2, 1); ( 3,1, 2); (4,1,1); (2,4, 2)}

Tìm một cơ sở và số chiều W.

Lưu ý: KG con sinh bởi hệ vecto là tập hợp các vecto u biểu diễn tuyến tính dc qua hệ u1, u2, u3,

…, un Vì thế để kiểm tra xem 1 vecto u nào đó có thuộc KG con sinh bởi hệ vecto thfi ta kiểm tra xem nó có biểu diễn tuyến tính dc qua u1,u2,u3, ,un không

Còn tìm cơ sở và số chiều :

Tìm cơ sở giống hệt như tìm hệ còn đltt tối đại

- Lập MT lien kết

- r(A) = số vecto của hệ con đltt tối đại = số vecto của cơ sở= số chiều W(=dimW)

 cơ sở