Xác suất thống kê ôn tập toàn bộ

Biến cố chắc chắn Biến cố không thể có Biến cố ngẫu nhiên Mối quan hệ giữa các biến cố a Quan hệkéo theo: kí hiệu A ⊂ B hoặc A⇒B ĐN: C = A+B nếu C xảy ra khi có ít nhất một trong hai bc

ÔN CAO HỌC

ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG

TÀI LIỆU HỌC TẬP

GIÁO TRÌNH

- PGS.TS Nguyễn Cao Văn (Cb), Giáo trình Lý thuyết

xác suất và Thống kê Toán, NXB Thống kê.

- PGS.TS Nguyễn Cao Văn (Cb), Bài tập Xác suất vàthống kê Toán, NXB Thống kê

GIẢNG VIÊN: TS Vương Thị Thảo Bình

n k

=

−

k k

n n

B =

!)1) (

1()!

(

!

k k n n n k n

VD: Tung một con xúc xắc xuống đất là một phép thử

Việc lật lên một mặt nào đó gọi là biến cố

Biến cố chắc chắn Biến cố không thể có Biến cố ngẫu nhiên

Mối quan hệ giữa các biến cố

a) Quan hệkéo theo: kí hiệu A ⊂ B hoặc A⇒B

ĐN: C = A+B nếu C xảy ra khi

có ít nhất một trong hai bc A hoặc B xảy ra

e) Phép toán nhân (Giao): A.B ho ặc A∩B

C = A.B nếu C xảy ra khi và chỉ khi

cả hai biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra.

VD1: Hai thợ săn cùng bắn vào một con thú

A = "Người thứ nhất bắn trượt"

B = "Người thứ hai bắn trượt“ C = AB = ?

TQ: A1.A2…An

Ω A B

p 7

g) Hiệu của hai bc A và B: Kí hiệu A\BVD: Gieo xx cđ, đch B = "Xuất hiện mặt 3 chấm"

A = "Xuất hiện mặt có số chấm là bội của 3"

A\B = "Xuất hiện mặt 6 chấm"

h) Biến cố đối: Hiệu U\A là bc đối của bc A, kí hiệu

i) Nhóm đầy đủcác bc xung khắc từng đôi:

Nhóm A1, ,An gọi là xktđ nếu 2 bc bất kỳ trong họ xk VDNhóm A1, ,An gọi là đầy đủ nếu A1+ +An = U VD tung xxNhóm A1, ,An gọi là nhóm bc đầy đủ và xktđ nếu

A1, ,An là nhóm đầy đủ và là nhóm xktđVD1: nhóm A và

Đ ịnh nghĩa xác suất theo lối cổ điển

VD1: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất Tính xác suất xuất hiện mặt chẵn

VD2: Một lô hàng có 200 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm xấu Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm kiểm tra là tốt

Hạn chế:- đòi hỏi số kết cục đồng khả năng hữu hạn

- thực tế, nhiều khi không thể biểu diễn kếtquả của phép thử thành t/h bc duy nhất đồng kn

rayx¶

thÓcãhîptr−êngSè

AcholîithuËnhîptr−êngSè

=

=

n

m A

P( )

p 10

Đ ịnh nghĩa xác suất theo thống kê

ĐN tần suất: Thực hiện phép thử n lần

Biến cố A xuất hiện m lần

m gọi là tần số của biến cố A

f(A)=m/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A

ĐN: Cho số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất

hiện A dần về một số xác định gọi là xs của biến cố A

→∞

p 11

VD: Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào bia Có xấp xỉ

50 viên trúng bia Khi đó XS để xạ thủ bắn trúng bia là:

VD: Tiến hành tung đồng tiền nhiều lần để khả năng

xuất hiện mặt sấp và thu được kết quả

%5

100050 =

0,50690,50160,5005

2048601912012

40401200024000

ABC

Tần suấtf(A) = m/n

Số lần xh sấp(m)

Số lần tung (n)Tên

p 12

I) CT xs có đi ều kiện:

ĐN: XS của bc A được tính với đk bc B đã xảy ra gọi là

xs có đk của A, ký hiệu p(A/B)

VD: Trong bình có 5 T và 3 Đ Lấy nn lần lượt ra hai

viên bi (không hoàn lại) Tìm XS để lần 2 lấy được viên

T biết lần 1 đã lấy được viên T

p 14

CT xs có điều kiện:

VD: Một cỗ bài tây gồm 52 quân bài Rút ngẫu nhiên ra

1 con Tính xác suất để con bài rút ra là con 2 cơ trong

các trường hợp:

- Biết con bài rút ra là con màu đỏ

- Biết con bài rút ra là con 2

P(A1A2 An) = p(A1).p(A2/A1) p(A3/A2A1) p(An/A1 An-1)

VD: Một sinh viên đi thi chỉ thuộc 20 trong số 25 câu

hỏi đã quy định Cứ 2 câu hỏi thành lập được 1 đề thi

Tính xs để sv này trả lời được cả 3 câu hỏi trong đề

p 16

III) XS của tích các bc độc lập

ĐN1 về bc đl:

VD1: Trong bình có 3 T, 2 Đ Lấy nn theo phương thức

có hoàn lại lần lượt ra hai quả

A= “lần 1 lấy được cầu T”, B= “lần 2 lấy đc T”

VD2: Trong VD1, lấy nn không hoàn lại như trên

thì A, B phụ thuộc Ta có: P(A) = 3/5,

P(B) = 1/2 nếu lần 1 lấy được cầu trắng

P(B) = 3/4 nếu lần 1 lấy được cầu đen

ĐN2: Các bc A1, A2, , An được gọi là đl trong toàn bộ

nếu mỗi biến cố bất kì của hệ bc đã cho đều đl với giao mọi tổ hợp có thể có của các bc còn lại trong hệ

Vậy: P(B) = 1 - P( ) = 1 - 0,024 = 0,976.

VD2: Một người làm thí nghiệm với các thí nghiệm

được tiến hành độc lập và xác suất mỗi thí nghiệm thành công đều là 0,6 Hỏi người đó phải tiến hành bao nhiêu thí nghiệm để với xác suất không bé hơn 0,9973

có thể kết luận rằng có ít nhất một thí nghiệm thành công?

B B

B

p 22

Giải

Gọi A là biến cố " có ít nhất một thí nghiệm thành công"

Giả sử phải tiến hành n thí nghiệm

Bklà biến cố "thí nghiệm thứ k thành công", k =1,2, ,n

Suy ra

P( )= (0,4)n

Từ đó:

P(A) = 1 - (0,4)n Do P(A) ≥ 0,9973

nên 1 - (0,4)n≥ 0,9973 Giải ra ta được n ≥ 6,5

Vậy phải tiến hành 7 thí nghiệm

n B B

XS đ ể A xảy ra trong mỗi phép thử bằng p

•Công thức Bernoulli: XS đ ể biến cố A xuất

hi ện k lần trong dãy n phép thử Bernoulli:

•Pn(k) = (k = 0, 1, , n) Cn k pk( 1 − ) p n−k

p 24

VD1: Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8 Có

người nói rằng cứ 10 người đến chữa thì chắc chắn có

8 người khỏi bệnh Điều khẳng định đó có đúng không?

VD2: Bắn 5 viên đạn độc lập với nhau vào cùng một

bia, xác suất trúng đích các lần bắn như nhau và bằng

0,2 Muốn bắn hỏng bia phải có ít nhất 3 viên đạn bắn

trúng đích Tìm xác suất để bia bị hỏng

VD3: Trong phân xưởng có 5 máy hoạt động, XS để

trong ca mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1 Tìm XS để

VD3= P5(2) = C5 (0,1)2(0,9)3

108

n B k

Công th ức xác suất đầy đủ

•ĐN nhóm các biến cố đđủ xung khắc từng đôi

•ĐL: Giả sử H1, H2, , Hn là nhóm các biến cố

đầy đủ xung khắc từng đôi và A là biến cố bất kỳ

có thể xảy ra trong phép thử Khi đó ta có

•VD1: Xét một lô sp trong đó số sp do nhà máy I sx

chiếm 20%, nhà máy II sx chiếm 30%, nhà máy 3 sx chiếm 50% Xác suất phế phẩm của nhà máy I là 0,001;

nhà máy II là 0,005; nhà máy III là 0,006 Tìm xác suất

để lấy ngẫu nhiên được đúng 1 phế phẩm.

•VD2: Xn bút bi Thiên long có 3 phân xưởng sx Px 1

sản xuất 50% sf của toàn XN, px 2 sx 30% sf của toàn

XN, px 2 sx 20% sf của toàn XN Tỷ lệ PP tính trên px

1, 2, 3 tương ứng là 1%, 2%, 3% Một sv mua 1 câybút bi TL

a) Tính XS mua phải cây viết xấu?

b) Biết rằng mua phải cây viết xấu, tính XS cây viết này

do phân xưởng 1 sản xuất?

p 28

Công th ức Bayes

•ĐL: Giả sử H1, H2, , Hnlà nhóm các biến cố đầy đủ

xung khắc từng đôi và A là biến cố bất kỳ có thể xảy ra

trong phép thử Khi đó ta có

•VD1: Một hộp có 4 sản phẩm tốt trộn lẫn với 2 sản

phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên lần lượt từ hộp ra hai sản

phẩm Biết sản phẩm lấy ra ở lần hai là sản phẩm tốt

Chương 2: Biến ngẫu nhiên

2.1 K/n biến ngẫu nhiên (BNN), phân loại BNN 2.2 Quy luật phân phối của BNN

2.2.1 Bảng phân phối xác suất 2.2.2 Hàm phân bố xác suất 2.2.3 Hàm mật độ xác suất

2.1 K/n BNN, phân loại BNN

•BNN:Một biến số đuợc gọi là ngẫu nhiên nếu trong

kết qủa của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong

các giá trị có thể có của nó tuỳ thuộc vào sự tác động

của các nhân tố ngẫu nhiên

Kí hiệu: X,Y,Z,U,V,T…

VD1:Tung một con xúc sắc

Gọi X là số chấm xuất hiện

X = 1, 2, 3, 4, 5, 6 với xác suất tương ứng là 1/6

⇒ X là BNN

p 31

•Phân loại BNN:

BNN r ời rạc:là BNN mà các giá trị có thể có của nó

lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

VD2: Khảo sát số người vào siêu thị 1 ngày

Gọi X là số ng đến siêu thị trong ngày

X là bnn?

VD3: Đo chiều cao của một người.

Gọi X là chiều cao của ng đó X là bnn?

VD4: Hộp có 6 bi T, 2 bi Đ Lấy nn ra 2 bi

Gọi X là số bi trắng lấy được X là bnn?

p 33

2.2 Quy luật phân phối của BNN

ĐN: Bất kỳ quy luật thiết lập sự tương ứng của BNN

và các xs tương ứng đều gọi là qlppxs của bnn ấy

2.2.1 Bảng phân phối xác suất

1

1

i n i i

Tìm QLPP XS của số CP được lấy ra

G: Y=" số chính phẩm được lấy ra trong 2 sản phẩm"

Y là BNN rời rạc với các giá trị có thể có Y = 0,1,2

-Nếu để xs dạng phân số thì nên để cùng mẫu số

p 36

2.2.2 Hàm phân bố xác suất

Cho X là BNN (rời rạc hoặc liên tục), x là số thực bất kì

• ĐN: F(x) = p(X<x)

• T/c:

VD1:BNN rời rạc X có bảng PPXS như sau:

Hãy tìm hàm phân bố XS của X và vẽ đồ thị

1 3 4X

( )

i i

T/c4 :

Ý nghĩa: Hàm mật độ xs của bnn X tại mỗi điểm

x cho biết mức độ tập trung xs tại điểm đó

c) Khi thực hiện 2 phép thử độc lập thì xác suất để cả

hai lần ta đều có 0,5<X<2 là bao nhiêu?

( ) ( )

5 6 7 8 9 10X

Ý ngh ĩa trong kinh tế:

⇔P[(X=xi),(Y=yj)]=P[X=xi,Y=yj]=P(X=xi).P(Y=yj), ∀i,j

•Thực hành:khi thực hiện phép thử mà việc X nhận

các giá trị xikhôngảnh hưởng đến việc Y nhận các giá

trị yj, và ngược lại thì ta nói X, Y độc lập

(mở rộng cho tổng n bnn đl)

VD: Cho 2 bnn đl có bảng ppxs như sau

X 2 5 Y 1 3 4

px 0,3 0,7 pY 0,1 0,5 0,4Tìm V(X+Y), V(XY)?

GiảiV(X+Y)C1: Dùng đ/nC2: áp dụng t/c3V(XY) = E[(XY)2] – [E(XY)]2

p 48

- Bản chất phương sai: PS chính là TB số học của bình

phương các sai lệch các giá trị quan sát bnn với gttb

chúng

- Ý nghĩa:PS phản ánh mức độ phân tán của các giá trị

bnn xung quanh giá trị trung tâm là kỳ vọng toán

e Điểm tới hạn đối với bnn

• ĐN : Giá trị tới hạn mức α của BNNlt X, kí hiệu

xα, là giá trị của X thỏa mãn điều kiện:

P(X > xα) = α (0 ≤ α ≤ 1)

Ý nghĩa : Giá trị tới hạn xαlà giá trị sao cho diện tích giới hạn bởi trục hoành, đường cong hàm mật độ xs và đường thẳng x= xαbằng α.

f(x)

xα

α

p 50

Chương 3: Một số quy luật phân

phối xác suất thông dụng

Biến ngẫu nhiên rời rạc:

Luật “không – một” A(p);

Luật Nhị thức B(n,p);

Biến ngẫu nhiên liên tục:

phân phối chuẩn N(0,σ2)

phân phối chuẩn hóa N(0,1)

p 52

3.1 Luật “không – một” A(p)

X là “số lần xảy ra bc A trong 1 phép thử” với p(A)=p

ĐN: X ~ A(p) với tham số p nếu bảng ppxs của X có

0 1X

VD: Nghiên cứu giới tính của khách hàngGiới tính của khách hàng có thể nam hoặc nữ

Ta có thể đặc trưng cho giới tính bằng bnn X nhận hai giátrị như sau:

E(X) = p đặc trưng cho

tỷ lệ khách hàng nam trong tập hợp khách hàng

Quy luật 0-1 phản ánh tỷ lệ cấu thành trong tổng thể theo dấuhiệu nào đó cần nghiên cứu

1 khi khi

= ⎨

⎩ nam

3.2 Luật Nhị thức B(n,p)

VD1: Tung xx 3 lần

Gọi A là bc xuất hiện mặt 6 chấm

Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm

- Một dãy phép thử được gọi là độc lập nếu kết quả xảy

ra ở các phép thử không ảnh hưởng lẫn nhau-Thực hiện phép thử n lần Mỗi lần thực hiện phép thử

ta quan tâm bc A xuất hiện hay không

- Xác suất p(A) cố định qua các phép thửGọi X là số lần bc A xảy ra trong dãy n phép thử thì X

có phân phối nhị thức, kí hiệu: X ∼B(n,p)

XS xảy ra bc A trong phép thử thứ i là p(A)= p, ∀i

Xi= “số lần xảy ra bc A trong phép thử thứ i”, ta có:

X1~ A(p)

X2~ A(p)

…

Xn~ A(p)

KL: Tổng của n biến NN độc lập cùng tuân theo ql A(p)

sẽ là BNN tuân theo quy luật B(n,p)

1

( , )

n

i i

VD1: Lô hàng có 800 SF loại 1 và 200 SF loại 2

Lấy nn ra 5SF theo phương thức có hoàn lại

Gọi X là số SF loại 1 lấy được

VD2 : Tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất Hãy xđ số

lần được mặt sấp có KN nhiều nhất nếu số lần tunglà: a) N = 10,

VD4: Một người đi chào hàng, mỗi ngày ở 10 nơi

XS bán được hàng ở mỗi nơi là 0,2

Nếu một năm người đó chào hàng 300ng thì TB

sẽ có khoảng bao nhiêu ngày bán được hàng?

•Quy luật ppxs của tần suất

X = “số lần x/h bc A trong lược đồ Becnullyvới 2 tham số n và p”

Tần suất x/h bc A trong n phép thử độc lập là:

+Vì X ~ B(n,p) nên f ~ B(n,p) Bảng ppxs của f có dạng

với+ Các tham số đặc trưng của f:

E(f) = p; V(f)=pq/n

P0/n 1/n … x/n … n/nf

=

p 62

Tỷ lệ f và :

Xi tuân theo quy luật A(p) thì tần suất f có dạng

Như vậy, bản thân tỷ lệ f cũng có thể coi là một bnn trung bình

đặc biệt có các bnn thành phần Xitạo nên bnn tb này phải là

những bnn đl và cùng tuân theo quy luật A(p)

X

1

1 n i i

3.3 Quy luật phân phối chuẩn – N( μ,σ2)

•ĐN: BNNlt X nhận giá trị trong khoảng (-∞,+∞) gọi là

pp theo quy luật chuẩn với các tham sốμvàσ2, nếuhàm mật độ xs có dạng:

Kí hiệu: N(μ,σ2)Nhận xét:

a) Miền xđ? Đồ thị so với trục hoành?

b) Lim f(x) khi x → ± ∞? ⇒tiệm cậnc) Cực trị? x=μlà trục đối xứng? Điểm uốn

2 2 ( ) 2

1( )2

x

μ σ

1( )

2

x x

μ σ

Phân phối chuẩn hóa:

ĐN:BNN U nhận các giá trị trong khoảng (-∞,+∞) gọi làtuân theo quy luật pp chuẩn hóa nếu hàm mật độ xs

2

1( )2

•Các tham số đặc trưng: E(U) = 0, V(U) = 1

•Phân phối chuẩn hóa kí hiệu là N(0,1)

•Giá trị tới hạn chuẩn:

f(x)

xα

α

p 70

•Giá trị tới hạn chuẩn: Giá trị tới hạn chuẩn mứcα

(bậcα) của U pp chuẩn hóa , kí hiệu uα, là giá trị của U

có pp chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện:

P(U > uα) = α

Ta có:

Cho trướcα, từ đó tính được uα, và ngược lại

2 2

•Giá trị tới hạn chuẩn:

VD1(NT2009): Cho biết bậc tới hạn của điểm 1, biếtrằng

p(U<1) = 0,8413VD2(NT08): Tính p(0 < U < 3,464)=0,4997

p 72

Điểm phân vị chuẩn của

Điểm tới hạn chuẩn của

+ ∀u>5, Φ0(u)≈ Φ0(5)=0,5

( ) 220

0

1 2

Do tính chất đối xứng của hàmΦ(u) nên các bảng cho

điểm tới hạn chuẩn Uαcũng như các giá trị của hàmΦ0

người ta chỉ thiết lập đối với những điểm u>0 Với u<0,

ta xét các điểm đối xứng để từ đó suy ra

1,645

0,5-0,05=0,450,05

1,96

0,5-0,025=0,450,025

p 75

VD1: Cho biết p(U < 2) = 0,9772

a) Hãy xác định bậc tới hạn của điểm 2 và điểm (-2)b) Hãy xác định các giá trịΦ0tại điểm 2 và điểm (-2)

Cách 2: P(a<X<b)?

VD2: X∼N(0,12; 0,0012), P(0,118<X<0,122)=? (2 cách)

2

0,0228-2

•VD1: Cần mua gioăng cao su có độ dày 0,118 cm đến

0,122 cm Có hai cửa hàng cùng bán loại gioăng này

với độ dày là các BNN phân phối chuẩn với các đặc

trưng:

Nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào?

3 usd/1000 chiếc2,6 usd/1000 ch

0,0010,0015

0,120,12

Cửa hàng A

Cửa hàng B

Giá bán

Độ lệchchuẩn

Độ dàytrung bình

•XS của sự sai lệch giữa BNN và kì vọng của nó

VD2: Các vòng bi do một máy tự động sản xuất ra

được coi là đạt tiêu chuẩn nếu đường kính của nó sai

lệch so với đường kính thiết kế không quá 0,7 mm Biết

rằng đường kính vòng bi là bnn phân phối chuẩn vớiσ

= 0,4 mm Tìm tỷ lệ vòng bi đạt tiêu chuẩn của máy đó

p 79

3.4 Quy luật khi bình phương - χ2(n)

•ĐN: X=χ2gọi là tuân theo quy luật khi bình phươngvới n bậc tự do nếu hàm mật độ được xác định:

Trong đó,

là hàm Gamma

1

2 2 2

1

2 2

Phụlục 7

p 80

3.5 Quy luật Student - T(n)

•ĐN: X=T gọi là tuân theo quy luật Student với n bậc tự

Phụlục 8

p 81

3.2.6 Quy luật Fisher-Snedecor – F(n1,n2)

•ĐN: X=F gọi là tuân theo quy luật Fisher-Snedecor với

n1vaf n2bậc tự do nếu hàm mật độ được xác định:

Trong đó

1 2

1 2

2 2

n n

n n

n n C

V(∑aiXi)= ∑a2

iσ2 i

•Với n khá lớn (n>30): X1, X2,, ,Xnlà n BNN độc lậplẫn nhau và cùng tuân theo 1 qlppxs nào đó (khôngnhất thiết ql chuẩn) thì X= ∑Xi sẽ tuân theo qlppchuẩn với E(Xi)= ∑E(Xi)

V(X)= ∑V(Xi)

p 84

•Giả sử n BNN: X1, X2,,,,,Xncùng tuân theo N(0,1) thì

T F n n V n

4 Một số bài toán suy diễn thống kê

p 86

1 Tổng thể, khái niệm về tổng thể

•Phương pháp mẫu

•Tổng thể (đám đông)

Các lý do không thể nghiên cứu toàn bộ tổng thể

- Giới hạn về thời gian, tài chính, …

- Phá vỡ tổng thể nghiên cứu

- Không xác định được chính xác tổng thể

● Các tham số đặc trưng của TT

p 87

2 Mẫu ngẫu nhiên

-TT được đặc trưng bởi dấu hiệu ng/c X – là một BNN

⇒khi nói về X là nói về TT-Mẫu ngẫu nhiên (cỡ mẫu n),

W =(X1,X2,…,Xn)

-Mẫu cụ thể: Thực hiện 1 phép thử đối với mỗi thànhphần mnn, giả sử Xinhận giá trị xi Khi đó ta có một tậphợp n giá trị w=(x1,x2,…,xn) là giá trị có thể có của MNN hay gọi là một mẫu cụ thể

-Ví dụ:

Là các BNN độc lập nhau và có cùng qlppxs với X

p 88

•Ví dụ:

A = “xạ thủ sẽ bắn trúng bia khi bắn mỗi viên đạn” với p(A)=p

X=“Số lần trúng bia của mỗi viên đạn”

⇒X là BNN gốc với qlppxs: X ∼ A(p)

Giả sử tham số p chưa biết, để tìm hiểu về p,

ta dự định cho người đó bắn thử 3 viên:

X1= “Số lần trúng bia của viên đạn thứ nhất”, X1 ∼ A(p)

X2= “Số lần trúng bia của viên đạn thứ hai”, X2 ∼ A(p)

X3= “Số lần trúng bia của viên đạn thứ ba”, X3 ∼ A(p)

⇒ ta đang lập 1 BNN kích thước n=3 với MNN: W=(X1,X2,X3)

Giả sử viên 1 trượt, viên 2 và viên 3 trúng thì ta có mẫu cụ thể

hay một giá trị có thể có của mẫu ngẫu nhiên W:

w=(0,1,1)

p q P(x)

1 0 X

Các phương pháp mô tả số liệu mẫu

• Bảng phân phối tần số: BNN gốc X → w=(x1,x2,…,xn)

• Bảng phân phối tần suất: BNN gốc X → w=(x1,x2,…,xn),

• Ghi chú: Trong trường hợp các giá trị xiquan sát được chênhlệch với nhau rất ít thì khi hệ thống hóa chúng thành bảng, tanên ghép chúng lại từng lớp cho gọn Khi tiến hành tính toán đốivới bảng ghép lớp, ta lấy giá trị giữa làm đại diện cho toàn lớp