BÀI TẬP: SUY DIỄN THỐNG KÊ XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Bài 6.31 (tr.139) Một ngẫu nhiên kích thước n = 64 rút từ tổng thể phân phối chuẩn với trung bình 50 độ lệch chuẩn Tìm xác suất để trung bình mẫu nằm khoảng 48,5 đến 51,5 BL: Gọi X biến ngẫu nhiên tổng thể Theo ra: X ~ N (µ = 50, σ = 4) Mẫu kích thước n = 64, ta cần tìm P (48,5 < X < 51,5) = ? Cách 1: Công thức cần sử dụng là: P( μ − σ n uα1 < X < μ + σ n uα ) = − α Ta có: μ− μ+ σ n σ n uα1 = 50 − uα = 48,5 64 ⇔ uα1 = uα = 50 + uα = 51,5 64 ⇔ uα = Tra bảng giá trị tới hạn (bảng 6) uα ta có: uα = uα = = u0,0013 ⇒ α1 = α = 0,0013 ⇒ α = α1 + α = 0,0026 ⇒ P (48,5 < X < 51,5) = − 0,0036 = 0,9974 Cách 2: Ta có: X ~ N ( μ = 50, P (48,5 < X < 51,5) = P ( σ2 = ) 64 48,5 − 50 51,5 − 50 n )= 0.954 Æ 10 n = 10 → n = 100 Bài 6.34 Gọi X trọng lượng sản phẩm cho Theo đề bài: X ~ N ( μ = 20,5, σ = 22 ), kích thước mẫu n = Yêu cầu toán ⇔ Tìm ε để P( X − μ < ε ) = 0,95 Ta có X ~ N ( μ = 20,5, σ2 = 22 = 1) 4 ε ε Nên P ( X − μ < ε ) = φ ( ) = 0,95 ⇔ 2.φ ( ) = 0,95 ⇔ φ (ε ) = 0,475 ⇔ ε = 1,96 σ n Bài 6.35 Theo đề ta có σ 12 50 = ) 100 100 σ 40 X2 ~ N ( μ , σ 2 = 40 ) kích thước mẫu = 100 Æ X ~ N ( μ , = = ) 100 100 X1 ~ N ( μ , σ = 50 ), kích thước mẫu = 100 Æ X ~ N ( μ , Suy X − X ~ N ( μ − μ = 0, σ 12 100 + σ 22 100 = ) 10 = Yêu cầu toán ⇔ P( X − X ≥ Ta có: P( X − X ≥ = - P( X − X < = – P(-2 < X − X U 0,05 =1,645 P( f ≤ 0,1 + 0,1.0,9 1, 645 )=0,95 P(f ≤ 0,14935)= 0,95 100 Vậy lấy ngẫu nhiên 100 sp để kiểm tra tỷ lệ phế phẩm tối đa mẫu sp 0,14935 chấp nhận lô hàng Bài 6.38 (tr.140) Tỷ lệ đỗ tốt nghiệp trung học chung nước 70% Vậy trường có 800 hs thi tốt nghiệp phải có tối thiểu em đỗ coi bình thường Hãy KL với XS 0,95 BL: Gọi p tỷ lệ đỗ tốt nghiệp chung nước: p=0,7 Gọi X số hs đỗ TN trường cho Gọi f tỷ lệ đỗ tốt nghiệp trường Ta có f = X 800 Để tìm giá trị tối thiểu X, toán đưa đến việc phải tìm giá trị tối thiểu f, tức cần tìm ε cho: P( f ≥ ε ) = 0, 95 +) − α = 0,95 Æ α = 0,05 Æ uα = u0,05 = 1,645 +) P = 0,7 ; n = 800 0,7.0,3 X ≥ 0,6733) = 0,95 1,645 = 0,67333 ⇒ p( f = 800 800 ⇒ ε = 0,7 − → p(X ≥ 0,6733 800 = 538,46) = 0,95 Vậy với XS 0,95 trường có tối thiểu 539 hs đỗ coi bt Bài 6.39 Gọi P tỷ lệ gia đình Hà Nội có thu nhập hàng năm khoảng từ 600 USD đến 1200 USD Theo ra: p=0,4 Ta cần tìm n cho p( f − p ≤0,04) =0,95 Công thức cần sử dụng là: p (1 − p ) P( f − p ≤ p (1 − p ) n Bài 6.40 Gọi p1 , = 0, 4(1 − 0, 4) uα )= 1- α × 1,96 = 0,04 =>n=576,24 => mẫu 577 gia đình uα p tỷ lệ đàn ông phụ nữ ủng hộ việc sử dụng biện pháp tránh n thai p1 =0,65 p n =0,52 Cần tìm P( f - f n = 400>100 n = 400>100 2 >0,16) =? Công thức cần sử dụng : P ( f - f > ( p1 - p2 ) - uα s f )= 1- α ta có : ( p1 - p2 ) - uα s f = 0,16 uα = -0,8686 => => u 1−α = 0,8686 => 1- α = 0,1922 Baì 6.41 025 0,95 24 χ 02,975 (10) = 3,247 Bài 6.42: P( 12,401< P( δ2 χ χ 1−α1 n −1 χ b s 2 1−α1 χ 02,025 ( 10)= 20,483 < 36,415)= ? (n-1) (n-1)= 36,415 => χ χ α 21 1−α1 (24)= 12,401 =>1- α = 0,975 (24)= 36,415 => α = 0,05 => 1- α = 0,975-0,05= 0,925 6.43 Gọi X chiều cao niên vùng Theo ra: X ~ N ( µ=170; σ =10) Với mẫu n=31, ta cần tìm xác suất P( X ≤ 172 ) =? Công thứccần sử dụng: P(X ≤µ+ σ uα ) = - α n σ 31 uα = 172 => uα = ( 172 − 170 ) µ+ = 1,11 => α = 0,1335 10 n => P( X ≤ 172 ) = − α = − 0,1335 = 0,8665 b) Cần tìm xác suất P(S>15) = P (S2 > 225) =? Áp dụng công thức suy diễn phương sai mẫu ta có: P(S > σ2 n −1 χ1- α 2(n-1) ) = - α T a có σ2 225.(31 − 1) = 67,5 100 Vậy P(S >15) < 0,001 χ1- α 2(n-1) = 225 => χ1- α 2(30) = n −1 => - α < 0,001 6.44 a) Gọi X số thị trường chứng khoán tháng tới nhà phân tích tài dự báo X ~N(µ ; σ2 ) S2 Cần tìm số a cho P( ≥ a) = 0,05 σ áp dụng công thức suy diễn phương sai mẫu ta có: P( S > σ2 S2 2(n-1) χ1−α 2( n −1) χ1- α )=1-αÙP( > )=1-α n −1 σ n −1 Thay số với n=8; - α = 0,05 => χ1- α 2(n-1) = χ0,05 2(7) = 14,07 χ 2(7) 14,07 S2 = 2,01; tức P( >2,01) = 0,05 a= = n −1 σ b) P(a< S2 σ2 < 2,01 )=0,9 Theo công thức P( χ12(−αn −1) n − a < S2 σ < χα2( n −1) n − ) = 1− α b ??????????????? Vậy với xác suất 0,9 tỷ số phương sai mẫu phương sai thực nằm + ∞ 2,01 6.45 Tỷ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ thành phố : p=0,25 a) Mẫu n=120,cần tìm xác suất P(f > 0,28)=? Áp dụng CT suy diễn thống kê tần suất mẫu , có p (1 − p ) uα ) = - α P(f > p − n Có: p (1 − p ) 0,25.0,75 uα =0,25 − uα => uα = -0,76 0,28= p − n 120 => u1−α = 0,76 => P(f > 0,28)=1 - α = 0,2236 b) Mẫu n= 120 Cần tìm a cho P (f-p ≥a) =0,1 ÙP(f≤p+a)=0,9 Công thức suy diễn cần sử dụng: p (1 − p ) uα ) = - α P(f ≤ p + n - α =0,9 => uα = u0,1 = 0,4602 p (1 − p ) => a= uα = 0,25.0,75 120 n Kết luận: ………… 0,4602=0.018 6.46 Gọi X trọng lượng loại gia cầm cho, X~N(µ=2,5; σ2) Theo ra: P(|X – 2,5| uα =5 => α = 0,00000029 n => P(2,4< X α=0,01 => χα 2(n-1) =χ0,01 2(9) =21,67 0,12 => P( S2 < 21,67 = 0,024) = 0,99 Ù P( S < 0,024 =0,155) = 0,99 Kl: Vậy với xác suất 0,99 độ lệch chuẩn tối đa 10 chi tiết không 0,155 cm kết luận lô chi tiết đạt tiêu chuẩn ... với xác suất 0,9 tỷ số phương sai mẫu phương sai thực nằm + ∞ 2,01 6.45 Tỷ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ thành phố : p=0,25 a) Mẫu n=120,cần tìm xác suất P(f > 0,28)=? Áp dụng CT suy diễn thống. .. Yêu cầu toán ⇔ P( X − X ≥ Ta có: P( X − X ≥ = - P( X − X < = – P(-2 < X − X α = 0,1335 10 n => P( X ≤ 172 ) = − α = − 0,1335 = 0,8665 b) Cần tìm xác