bài giảng xác xuất thống kế

H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG SÁCH H NG D N H C T P XÁC SU T TH NG KÊ (Dùng cho sinh viên ngành CNTT TVT h đào t o đ i h c t xa) L u hành n i b HÀ N I - 2006 H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG SÁCH H NG D N H C T P XÁC SU T TH NG KÊ Biên so n : Ts. LÊ BÁ LONG L I NÓI U Lý thuy t xác su t th ng kê m t b ph n c a toán h c, nghiên c u hi n t ng ng u nhiên ng d ng chúng vào th c t . Ta có th hi u hi n t ng ng u nhiên hi n t ng không th nói tr c x y hay không x y th c hi n m t l n quan sát. Tuy nhiên, n u ti n hành quan sát nhi u l n m t hi n t ng ng u nhiên phép th nh nhau, ta có th rút đ c nh ng k t lu n khoa h c v hi n t ng này. Lý thuy t xác su t c ng c s đ nghiên c u Th ng kê – môn h c nghiên c u các ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, x lý thông tin, nh m rút k t lu n ho c quy t đ nh c n thi t. Ngày nay, v i s h tr tích c c c a máy tính n t công ngh thông tin, lý thuy t xác su t th ng kê ngày đ c ng d ng r ng rãi hi u qu m i l nh v c khoa h c t nhiên xã h i. Chính v y lý thuy t xác su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t nhóm ngành đ i h c. Có nhi u sách giáo khoa tài li u chuyên kh o vi t v lý thuy t xác su t th ng kê. Tuy nhiên, v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên ph i làm vi c đ c l p nhi u h n, v y c n ph i có tài li u h ng d n h c t p c a t ng môn h c thích h p cho đ i t ng này. T p tài li u “H ng d n h c môn toán xác su t th ng kê” đ c biên so n c ng nh m m c đích trên. T p tài li u đ c biên so n cho h đ i h c chuyên ngành i n t -Vi n thông theo đ c ng chi ti t ch ng trình qui đ nh c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông. N i dung c a cu n sách bám sát giáo trình c a tr ng đ i h c kh i k thu t theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi . Chính th , giáo trình c ng có th dùng làm tài li u h c t p, tài li u tham kh o cho sinh viên c a tr ng, ngành đ i h c cao đ ng kh i k thu t. Giáo trình g m ch ng t ng ng v i đ n v h c trình (60 ti t): Ch ng I: Các khái ni m c b n v xác su t. Ch ng II: Bi n ng u nhiên đ c tr ng c a chúng. Ch ng III: Véc t ng u nhiên đ c tr ng c a chúng. Ch ng IV: Lu t s l n đ nh lý gi i h n. Ch ng V:.Th ng kê toán h c Ch ng VI: Quá trình ng u nhiên chu i Markov. i u ki n tiên quy t môn h c hai môn toán cao c p đ i s gi i tích ch ng trình toán đ i c ng. Tuy nhiên s h n ch c a ch ng trình toán dành cho hình th c đào t o t xa, nhi u k t qu đ nh lý ch đ c phát bi u minh h a ch u ki n đ ch ng minh chi ti t. Giáo trình đ c trình bày theo cách thích h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa. Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích ý ngh a, yêu c u c a ch ng đó. Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có th t đ c hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t ch d n rõ ràng. c bi t b n đ c nên ý đ n nh n xét, bình lu n đ hi u sâu h n ho c m r ng t ng quát h n k t qu h ng ng d ng vào th c t . H u h t toán đ c xây d ng theo l c đ : đ t toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng lý thuy t cu i nêu thu t toán gi i quy t toán này. Các ví d đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán, v y s giúp ng i đ c d dàng h n ti p thu h c. Sau ch ng có ph n tóm t t n i dung cu i câu h i luy n t p. Có kho ng t 20 đ n 30 t p cho m i ch ng, t ng ng vói -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t. H th ng câu h i bao trùm toàn b n i dung v a đ c h c. Có nh ng câu ki m tra tr c ti p ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng m t cách t ng h p sáng t o ki n th c đ gi i quy t. Vì v y vi c gi i t p giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a mình. Tuy r ng tác gi r t c g ng, song th i gian b h n h p v i yêu c u c p bách c a H c vi n, v y thi u sót t n t i giáo trình u khó tránh kh i. Tác gi r t mong s đóng góp ý ki n c a b n bè đ ng nghi p, h c viên xa g n xin cám n u đó. Cu i bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông, Trung tâm t o B u Chính Vi n Thông b n bè đ ng nghi p khuy n khích đ ng viên, t o nhi u u ki n thu n l i đ hoàn thành t p tài li u này. Hà N i, đ u n m 2006. Lê Bá Long Khoa c b n H c Vi n CNBCVT Ch CH ng 1: Các khái ni m c b n v xác su t NG I: CÁC KHÁI NI M C B N V XÁC SU T GI I THI U Các hi n t ng t nhiên hay xã h i x y m t cách ng u nhiên (không bi t tr c k t qu ) ho c t t đ nh (bi t tr c k t qu s x y ra). Ch ng h n ta bi t ch c ch n r ng lông c a qu có m u đen, m t v t đ c th t cao ch c ch n s r i xu ng đ t . ó nh ng hi n t ng di n có tính quy lu t, t t đ nh. Trái l i tung đ ng xu ta không bi t m t s p hay m t ng a s xu t hi n. Ta không th bi t có cu c g i đ n t ng đài, có khách hàng đ n m ph c v kho ng th i gian đó. Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khoán th tr ng ch ng khoán… ó nh ng hi n t ng ng u nhiên. Tuy nhiên, n u ti n hành quan sát nhi u l n m t hi n t ng ng u nhiên nh ng hoàn c nh nh nhau, nhi u tr ng h p ta có th rút nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng hi n t ng này. Lý thuy t xác su t nghiên c u qui lu t c a hi n t ng ng u nhiên. Vi c n m b t quy lu t s cho phép d báo hi n t ng ng u nhiên s x y nh th nào. Chính v y ph ng pháp c a lý thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rãi vi c gi i quy t toán thu c nhi u l nh v c khác c a khoa h c t nhiên, k thu t kinh t -xã h i. Ch xác su t: ng trình bày m t cách có h th ng khái ni m k t qu v lý thuy t - Các khái ni m phép th , bi n c . - Quan h gi a bi n c . - Các đ nh ngh a v xác su t: đ nh ngh a xác su t theo c n, theo th ng kê. Các tính ch t c a xác su t: công th c c ng công th c nhân xác su t, xác su t c a bi n c đ i. - Xác su t có u ki n, công th c nhân tr su t đ y đ đ nh lý Bayes. - - ng h p không đ c l p. Công th c xác Dãy phép th Bernoulli xác su t nh th c Khi n m v ng ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con, ph n bù c a m t t p … h c viên s d dàng vi c ti p thu, bi u di n ho c mô t bi n c . tính xác su t bi n c theo ph thu n l i đ i v i bi n c s tr ng h pháp đ m - gi i tích t h p (đã đ c h c nhiên đ thu n l i cho ng i h c s ng pháp c n đòi h i ph i tính s tr ng h p p có th . Vì v y h c viên c n n m v ng ph ng l p 12 ch ng c a toán đ i s A2). Tuy nh c l i k t qu m c 3. M t nh ng khó kh n c a toán xác su t xác đ nh đ c bi n c s d ng công th c thích h p. B ng cách tham kh o ví d gi i nhi u t p s rèn luy n t t k n ng này. Ch ng 1: Các khái ni m c b n v xác su t N I DUNG 1.1. PHÉP TH VÀ BI N C 1.1.1. Phép th (Experiment) Trong th c t ta th ng g p nhi u thí nghi m, quan sát mà k t qu c a không th d báo tr c đ c. Ta g i chúng phép th ng u nhiên. Phép th ng u nhiên th ng đ c ký hi u b i ch C . Tuy không bi t k t qu s x y nh th nào, nh ng ta có th li t kê đ c ho c bi u di n t t c k t qu c a phép th C . M i k t qu c a phép th C đ c g i m t bi n c s c p. T p h p t t c bi n c s c p c a phép th đ c g i không gian m u, ký hi u Ω . Ví d 1.1: ̇ Phép th tung đ ng xu có không gian m u Ω = {S, N } . ̇ V i phép th tung xúc x c, bi n c s c p có th xem s n t m i m t xu t hi n. V y Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . ̇ Phép th tung đ ng th i đ ng xu có không gian m u Ω = {( S , S ), ( S , N ), ( N , S ), ( N , N )}. Chú ý r ng b n ch t c a bi n c s c p vai trò đ c bi t lý thuy t xác su t. Ch ng h n có th xem không gian m u c a phép th tung đ ng ti n Ω = {0, 1}, bi n c s c p ch m t s p xu t hi n đ ch m t ng a xu t hi n. 1.1.2. Bi n c (Event) V i phép th x y hoàn toàn đ C ta th ng xét bi n c (còn g i s ki n) mà vi c x y hay không c xác đ nh b i k t qu c a C . M i k t qu ω c a qu c a C ω . C đ c g i k t qu thu n l i cho bi n c A n u A x y k t Ví d 1.2: N u g i A bi n c s n t xu t hi n ch n phép th tung xúc x c d 1.1 A có k t qu thu n l i 2, 4, 6. Tung hai đ ng xu, bi n c xu t hi n m t m t s p m t m t ng a (xin âm d qu thu n l i ( S , N ) ; ( N , S ) . Nh v y m i bi n c A đ k t qu thu n l i đ i v i A . ví ng) có k t c đ ng nh t v i m t t p c a không gian m u Ω bao g m M i bi n c ch có th x y m t phép th đ m u đó. Có hai bi n c đ c bi t sau: c th c hi n, ngh a g n v i không gian • Bi n c ch c ch n bi n c luôn x y th c hi n phép th , bi n c trùng v i không gian m u Ω . • Bi n c không th bi n c nh t đ nh không x y th c hi n phép th . Bi n c không th đ c ký hi u φ . Ch ng 1: Các khái ni m c b n v xác su t Tung m t xúc x c, bi n c xu t hi n m t có s n t nh h n hay b ng bi n ch c ch n, bi n c xu t hi n m t có n t bi n c không th . 1.1.3. Quan h gi a bi n c Trong lý thuy t xác su t ng i ta xét quan h sau cho bi n c . a. Quan h kéo theo Bi n c A kéo theo bi n c B , ký hi u A ⊂ B , n u A x y B x y ra. b. Quan h bi n c đ i Bi n c đ i c a A bi n c đ c ký hi u A đ c xác đ nh nh sau: A x y ch A không x y ra. c. T ng c a hai bi n c T ng c a hai bi n c A, B bi n c đ c ký hi u A ∪ B . Bi n c A ∪ B x y ch có nh t A ho c B x y ra. {A1 , A2 , . , An } bi T ng c a m t dãy bi n c n nc ∪ Ai . Bi n c x y có i =1 nh t m t bi n c Ai x y ra. d. Tích c a hai bi n c A, B bi n c đ c hai bi n c A , B x y ra. Tích c a hai bi n c Tích c a m t dãy bi n c c ký hi u AB . Bi n c {A1 , A2 , . , An } bi AB x y ch n nc ∏ Ai . Bi n c x y t t i =1 c bi n c Ai x y ra. e. Bi n c xung kh c A, B g i xung kh c n u bi n c tích AB bi n c không th . Ngh a hai bi n c không th đ ng th i x y ra. Hai bi n s Chú ý r ng bi n c v i phép toán t ng, tích l y bi n c đ i t o thành đ i s Boole phép toán đ c đ nh ngh a có tính ch t nh phép toán h p, giao, l y ph n bù đ i v i t p c a không gian m u. f. H đ y đ bi n c Dãy bi n c A1 , A2 , . , An đ c g i m t h đ y đ bi n c n u: i. Xung kh c t ng đôi m t, ngh a Ai A j = φ v i m i i ≠ j = 1, . , n , n ii. T ng c a chúng bi n c ch c ch c, ngh a ∪ Ai = Ω . i =1 c bi t v i m i bi n c A , h {A, A } h đ yđ . Ch ng 1: Các khái ni m c b n v xác su t Ví d 1.3: M t nhà máy có ba phân x ng s n xu t m t lo i s n ph m. Gi s r ng m i s n ph m c a nhà máy ch m t ba phân x ng s n xu t. Ch n ng u nhiên m t s n ph m, g i A1 , A2 , A3 l n l t bi n c s n ph m đ c ch n phân x ng th nh t, th hai, th ba s n xu t. Khi h ba bi n c A1 , A2 , A3 h đ y đ . g. Tính đ c l p c a bi n c Hai bi n c A B đ c g i đ c l p v i n u vi c x y hay không x y bi n c không nh h ng t i vi c x y hay không x y bi n c kia. T ng quát bi n c A1 , A2 , . , An đ c g i đ c l p n u vi c x y hay không x y c a m t nhóm b t k k bi n c , ≤ k ≤ n , không làm nh h không x y c a bi n c l i. ng t i vi c x y hay nh lý 1.2: N u A, B đ c l p c p bi n c : A, B ; A, B ; A, B c ng đ c l p. Ví d 1.4: Ba x th A, B, C m i ng l i b n m t viên đ n vào m c tiêu. G i A, B, C l n t bi n c A, B, C b n trúng m c tiêu. a. Hãy mô t bi n c : ABC , A B C , A ∪ B ∪ C . b. Bi u di n bi n c sau theo A, B, C : - D : Có nh t x th b n trúng. - E : Có nhi u nh t x th b n trúng. - F : Ch có x th C b n trúng. - G : Ch có x th b n trúng. c. Các bi n c A, B, C có xung kh c, có đ c l p không ? Gi i: a. ABC : c đ u b n trúng. A B C : c đ u b n tr t. A ∪ B ∪ C : có nh t ng i b n trúng. b. D = AB ∪ BC ∪ CA . Có nhi u nh t m t x th b n trúng có ngh a có nh t hai x th b n tr t, v y E = AB ∪ BC ∪C A . F = ABC . G = ABC ∪ ABC ∪ ABC . c. Ba bi n c A, B, C đ c l p nh ng không xung kh c. 1.2. NH NGH A XÁC SU T VÀ CÁC TÍNH CH T Vi c bi n c ng u nhiên x y hay không k t qu c a m t phép th u không th bi t ho c đoán tr c đ c. Tuy nhiên b ng nh ng cách khác ta có th đ nh l ng kh n ng xu t hi n c a bi n c , xác su t xu t hi n c a bi n c . Ch ng 1: Các khái ni m c b n v xác su t Xác su t c a m t bi n c m t s đ c tr ng kh n ng khách quan xu t hi n bi n c th c hi n phép th . D a vào b n ch t c a phép th (đ ng kh n ng) ta có th suy lu n v kh n ng xu t hi n c a bi n c , v i cách ti p c n ta có đ nh ngh a xác su t theo ph ng pháp c n. Khi th c hi n nhi u l n l p l i đ c l p m t phép th ta có th tính đ c t n su t xu t hi n c a m t bi n c đó. T n su t th hi n kh n ng xu t hi n c a bi n c , v i cách ti p c n ta có đ nh ngh a xác su t theo th ng kê. 1.2.1. nh ngh a c n v xác su t Gi s phép th C tho mãn hai u ki n sau: (i) Không gian m u có m t s h u h n ph n t . (ii) Các k t qu x y đ ng kh n ng. Khi ta đ nh ngh a xác su t c a bi n c A P ( A) = sè tr−êng hîp thuËn lîi đèi víi A sè tr−êng hîp cã thÓ (1.1) N u xem bi n c A nh t p c a không gian m u Ω P ( A) = A sè phÇn tö cña A = sè phÇn tö cña Ω Ω (1.1)’ A xu t hi n m t ch n phép th gieo xúc x c ví d 1.1 có 3 ng h p thu n l i ( A = ) tr ng h p có th ( Ω = ). V y P( A) = = . Ví d 1.5: Bi n c tr tính xác su t c n ta s d ng ph ng pháp đ m c a gi i tích t h p. 1.2.2. Các qui t c đ m a. Qui t c c ng N u có m1 cách ch n lo i đ i t ng x1 , m cách ch n lo i đ i t ng x , . , mn cách ch n lo i đ i t ng x n . Các cách ch n đ i t ng xi không trùng v i cách ch n x j n u i ≠ j có m1 + m2 + + mn cách ch n m t đ i t ng cho. b. Qui t c nhân Gi s công vi c H g m nhi u công đo n liên ti p H1 , H , . , H k m i công đo n H i có ni cách th c hi n có t t c n1 × n2 × × nk cách th c hi n công vi c H . c. Hoán v M i phép đ i ch c a n ph n t đ nhân ta có th tính đ c: c g i phép hoán v n ph n t . S d ng quy t c Có n ! hoán v n ph n t . Ch ng 1: Các khái ni m c b n v xác su t d. Ch nh h p Ch n l n l t k ph n t không hoàn l i t p n ph n t ta đ c m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . S d ng quy t c nhân ta có th tính đ c s ch nh h p ch p k c a n ph n t Ank = n! (n − k )! (1.2) e. T h p M t t h p ch p k c a n ph n t m t t p k ph n t c a t p n ph n t . C ng có th xem m t t h p ch p k c a n ph n t m t cách ch n đ ng th i k ph n t c a t p n ph n t . Hai ch nh h p ch p k c a n ph n t khác n u: ̇ có nh t ph n t c a ch nh h p ch nh h p kia. ̇ ph n t đ u nh nh ng th t khác nhau. Do v i m i t h p ch p k c a n ph n t có k! ch nh h p t ch nh h p khác ng v i hai t h p khác khác nhau. ng ng. M t khác hai V y s t h p ch p k c a n ph n t Ank k = Cn = k! n! k!(n − k )! (1.3) Ví d 1.6: Tung m t xúc x c hai l n. Tìm xác su t đ có l n n t. Gi i: S tr ng h p có th 36. G i A bi n c “ l n tung xúc x c có l n đ c m t 6”. N u l n th nh t m t l n th hai ch có th m t t đ n 5, ngh a có tr ng h p. T ng t c ng có tr ng h p ch xu t hi n m t l n tung th hai. Áp d ng 10 . quy t c c ng ta suy xác su t đ ch có m t l n m t tung xúc x c l n 36 Ví d 1.7: Cho t mã bit đ c t o t chu i bit bit đ ng kh n ng. Hãy tìm xác su t c a t có ch a k bit 1, v i k = , . , . Gi i: S tr ng h p có th Ω = 26 . t Ak bi n c " t mã có ch a k bit 1" . Có th xem m i t mã có ch a k bit m t t h p ch p k c a ph n t , v y s tr 6! đ i v i Ak s t h p ch p k . Do Ak = C 6k = k!(6 − k )! V y xác su t c a bi n c t ng ng P ( Ak ) = 6! k!(6 − k )!2 ng h p thu n l i , k = , . , . Ví d 1.8: M t ng i g i n tho i quên m t hai s cu i c a s n tho i ch nh đ r ng chúng khác nhau. Tìm xác su t đ quay ng u nhiên m t l n đ c s c n g i. c H ng d n t p 4.12 Ta bi t r ng S bi n ng u nhiên có phân b DS = n . ES = 6 5n . Theo b t đ ng th c Trêb sép 36 { } n DS 31 ⎧n ⎫ 31 = 1− = ⇔ P⎨ − n < S < + n ⎬ ≥ . 36 36 n ⎩6 ⎭ 36 P S − ES < n ≥ − 4.13 p= nh th c tham s 12 ⎫⎪ ⎧⎪ 12 t S = ∑ X n . Ta c n tìm M nh nh t đ P ⎨∑ X n ≤ M ⎬ ≥ 0,99 . ⎪⎭ ⎪⎩n=1 n =1 Ta có ES = 192 , DS = 12 . Theo b t đ ng th c Trêb sép P{S − 192 ≤ ε} ≥ − DS ε2 ≥ 0,99 ⇒ ε = 34,64 . V y M = 192+34,64 = 226,64. 4.14 Th a mãn lu t s l n Trêb sép. 4.15 Th a mãn lu t s l n Trêb sép. 4.16 Th a mãn lu t s l n Trêb sép. c xác su t P ≥ 0,9131 4.17 Áp d ng b t đ ng th c Trêb sép tính đ 4.18 Áp d ng b t đ ng th c Trêb sép c n ki m tra 23.750 chi ti t. 4.19 G i X s s n ph m h ng. Ta có X ~ v i λ = 250 ⋅ 0,02 = . T tra b ng ta đ B (250 ; 0,02) . X s có x p x phân b Poisson c: a) P{X = 2} = 0,0842 ; b) P{X ≤ 2} = 0,1247 4.20 Gi s X s ng i ch n n đ t 1. Khi 1000 − X s ng k s ch ng i nhà n. Ta ph i ch n k nh nh t đ i ch n n đ t2.G i P{X < k , 1000 − X < k } ≥ 0,99 ⇔ P{1000 − k < X < k } ≥ 0,99 . Ta xem X có phân b chu n v i μ = 500 , σ = 250 . V y ta ph i có ⎛ k − 500 ⎞ ⎛ 500 − k ⎞ ⎛ k − 500 ⎞ ⎛ k − 500 ⎞ ⎟⎟ − Φ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 0,99 ⇔ 2Φ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ 1,99 ⇔ Φ⎜⎜ ⎟⎟ ≥ Φ(2,58) . Φ⎜⎜ ⎝ 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ T k ≥ 500 + 2,58 250 = 540,49 . V y k = 541 . 4.21 a) G i X s ng i trúng n. Ta có X ~ B (350 ; 0,9) . X có phân b x p x chu n ⎛ ⎞ v i μ = 292,5 , σ = 5,4 . V y P{X ≤ 300} ≈ Φ⎜ ⎟ = Φ(1,48) = 0,9306 . ⎝ 5,4 ⎠ b) Gi s n s ng iđ c g i. Phân b c a X x p x phân b chu n v i μ = 0,9n , σ = 0,3 n . V y 160 H ng d n t p ⎛ 300 − 0,9n ⎞ ⎟ ≥ 0,99 = Φ (2,33) ⇔ 300 − 0,9n ≥ (0,3)(2,33) n . P{X ≤ 300} ≈ Φ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0,3 n ⎠ Gi i b t ph ÁP ÁN CH c n ≤ 319,99 . V y n = 319 . ng trình ta đ NG V 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 úng Sai úng úng úng Sai Sai úng úng Sai 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 Sai Sai úng úng Sai Sai Sai Sai 5.19 M u ng u nhiên có kích th c 10: W = ( X , X , . , X 10 ) . ⎫⎪ 1⎫ ⎪⎫ ⎪⎧ 10 ⎪⎧ 10 ⎧ P ⎨ X = ⎬ = P ⎨ ∑ X i = ⎬ = P ⎨∑ X i = 5⎬ . Vì X có phân b nh th c nên 2⎭ ⎪⎭ ⎪⎭ ⎪⎩ i =1 ⎪⎩10 i =1 ⎩ ⎫⎪ ⎧⎪ 10 5 P ⎨∑ X i = 5⎬ = P10 (5) = C10 (0,5) ⋅ (0,5)10−5 = C10 (0,5)10 . ⎪⎭ ⎪⎩ i =1 5.20 X có phân b chu n N (μ; σ ) nên X có phân b chu n N (μ; { } { { } σ2 ) .V y n ⎛ε n ⎞ ⎛−ε n ⎞ ⎛ε n ⎞ ⎟ ⎟ = 2Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ P X − μ < ε = P μ − ε < X < μ + ε = Φ⎜⎜ ⎜ σ ⎟ . Do ⎜ σ ⎟ ⎟ σ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ } ⎛ 0,2 100 ⎞ ⎟ = 2Φ (2) = 0,9545 . P X − 20 < 0,2 = 2Φ⎜⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 5.21 B ng phân b t n s X T ns X T n su t 1/5 2/5 1/5 1/5 B ng phân b t n su t Hàm phân b th c nghi m 161 H ng d n t p x ≤1 ⎧0 ⎪1 / < x ≤ ⎪⎪ F10 ( x) = ⎨3 / < x ≤ ⎪4 / < x ≤ ⎪ ⎪⎩1 x>4 5.22 f = x = 6,8 ; s = 1,15 , s = 1,072 . ⎧nf = 1082 > 10 i u ki n ⎨ ⎩n(1 − f ) = 918 > 10 1082 ; 2000 f (1 − f ) f − uβ n = 1082 918 ×1082 − 2,33 = 0,515 2000 2000 V y t i thi u có 51,5% s phi u b u cho ng c viên A. 5.23 x = ∑ xi = 34,15 = 0,976 . 35 n 2⎤ ⎡ ( 34,15)2 ⎤⎥ = 0, 01687 ⎢ ⎡ ( ∑ xi ) ⎥ ⎢ − = − s = x 33,8943 ∑i ⎥ 34 ⎢ n −1 ⎢ n 35 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ s = 0,1299; uβ 5.24 T n su t m u f = s 0,1299 = 1,96 × = 0, 043 . Kho ng tin c y 95%: 35 n ⎧nf = 53 > 10 53 , u ki n ⎨ 400 ⎩ n(1 − f ) = 347 > 10 G i p xác su t b t đ f (1 − f ) uβ Kho ng n = 1,96 53 × 347 = 0, 0332 400 400 2000 , N s cá h . N V y 0, 0993 < 5.25 c cá có đánh d u, kho ng tin c y 95% c a p : ng [ 0, 0993 ; 0,1657 ] cl M t khác p = [0,933 ; 1, 019] . 2000 2000 2000 < 0,1657 ⇒ 2,086}. ; Mi n bác b ∑ riui = 0, ; ∑ riui = 0, 42 ⇒ 0, + 99, 25 = 99,319 ; 29 s = 25 × ⎡ 0, 42 ⎤ ⎢0, 42 − ⎥ = 0,37 ⇒ s = 0, 608 28 ⎣⎢ 29 ⎦⎥ (100 − 99,319) 29 = 6,032 ∈ Wα . 0,608 V y bác b H ch p nh n H1 , ngh a s n ph m b đóng thi u. 5.28 G i μ th i gian trung bình hoàn thành m t s n ph m. Ta ki m đ nh gi thi t H : μ = 14 ; đ i thi t Tiêu chu n ki m đ nh T = x − 15 t ui = i ⇒ x = 15 ; ⇒ s2 = × ( X − 14 ) S n ; Mi n bác b H1 : μ ≠ 14 Wα = {T > 1,96}. ∑ riui = ; ∑ riui = 300 ⎡ ⎤ = 4,819 ⇒ s = 2,195 300 − ⎢ 249 ⎣ 300 ⎥⎦ 163 H ⇒ Tqs = ng d n t p (115 − 14) 300 = 7,89 ∈ Wα . 2,195 V y bác b H ch p nh n H1 , ngh a c n thay đ i đ nh m c. 5.29 G i μ m c hao phí x ng trung bình c a ôtô ch y t A đ n B. Ta ki m đ nh gi thi t H : μ = 50 ; đ i thi t H1 : μ < 50 Tiêu chu n ki m đ nh T = Theo m u ta có x = s2 = ( 50 − X ) n S ; Mi n bác b Wα = {T > 2,052}. 1387,5 = 49,5536; 28 ⎛ 1387,52 ⎞ 8,1696 = 0,3026 ⇒ s = 0,55 ⎜⎜ 6876375 − ⎟= 27 ⎝ 28 ⎟⎠ 27 Tqs = (50 − 49,53) 30 = 4,2948 ∈ Wα . 0,55 V y bác b H ch p nh n H1 , ngh a m c hao phí x ng có gi m xu ng. 5.30 G i μ s hoá đ n trung bình h th ng máy tính m i x lý đ gi thi t H : μ = 1300 ; H1 : μ > 1300 đ i thi t Tiêu chu n ki m đ nh T = T m u c th ta có T = c gi . Ta ki m đ nh ( X − 1300 ) S (1378 − 1300 ) 215 n ; Mi n bác b 40 Wα = {T > 1,96} . = 2, 294 > 1,96 V y bác b H ch p nh n H1 , ngh a h th ng máy tính m i x lý t t h n. ÁP ÁN CH 6.7 NG VI 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Sai Sai úng úng úng Sai P { X = 0, X1 = 2, X = 1} = P { X = 0} P { X = X = 0} P { X = X = 0, X1 = 2} 164 H ng d n t p = P { X = 0} P { X = X = 0} P { X = X = 2} = 0,3 ⋅ 0,7 ⋅ 0,8 = 0,168 . ⎡0, 47 0,13 0,40 ⎤ ⎢ ⎥ 6.8 a) P = 0,42 0,14 0,44 . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0,26 0,17 0,57 ⎥⎦ { } b) P { X = X1 = 0} = P X = X = = 0,13 ; P{X = X = 0} = P{X = 1, X = X = 0} + P{X = 1, X = X = 0} + P{X = 1, X = X = 0} = P{X = X = 0}P{X = X = 0, X = 0} + P{X = X = 0}P{X = X = 0, X = 1}+ P{X = X = 0}P{X = X = 0, X = 2} = P{X = X = 0}P{X = X = 0} + P{X = X = 0}P{X = X = 1} + P{X = X = 0}P{X = X = 2} = 0,47 ⋅ 0,2 + 0,13 ⋅ 0,2 + 0,40 ⋅ 0,1 = 0,16 . c) Phân b d ng [x, y, z ] nghi m c a h ph ng trình ⎧[x y z ]P = [x y z ] . ⎨ ⎩ x, y , z ≥ ; x + y + z = Nh v y x, y, z nghi m không âm c a h ph ng trình ⎧− x + y + z = ⎪⎪ ⎨ 2x − y + z = ⎪ +y +z = ⎩⎪ x có nghi m x = 6.9 t 50 21 68 , y= ,z= . 139 139 139 p0 = P { X = 0} . a) P { X = 0, X = 0, X = 0} = P { X = 0} P { X = 0, X = X = 0} = P { X = 0} P { X1 = X = 0} P { X = X = 0, X1 = 0} = p0α . ( ) b) P { X = 0, X = 0, X = 0} + P { X = 0, X1 = 1, X = 0} = p0 α + (1 − α ) . c) P { X = X = 0} = 16(α − 1)5 + 40(α − 1) + 40(α − 1)3 + 20(α − 1) + 5(α − 1) + . 6.10 Không gian tr ng thái s E = {−1, 0,1, 2,3} . 165 H ng d n t p ⎧⎪ P {ξ = − j} nÕu i ≤ 0, Theo công th c (6.21) ta có pij = P { X (n + 1) = j X (n) = i} = ⎨ ⎪⎩ P {ξ = i − j} nÕu < i ≤ 3. p −1, −1 = P{ X (n + 1) = −1 X (n) = −1 } = P(φ) = , p−1,0 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P(ξ = 3) = P(φ) = , p−1,1 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P (ξ = 2) = 0,3 , p−1,2 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P(ξ = 1) = 0,3 , p−1,3 = P { X (n + 1) = X (n) = −1} = P(ξ = 0) = 0, , . Ma tr n xác su t chuy n: 0,3 0,3 0, ⎤ ⎡ ⎢ 0 0,3 0,3 0, ⎥⎥ ⎢ P = ⎢0,3 0,3 0, 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0,3 0,3 0, ⎥ ⎢⎣ 0 0,3 0,3 0, ⎥⎦ 6.12 Các tr ng thái có chu k 1. Có l p liên thông {0,1} , {2,3} , {4} . 1/ 1/ 1/2 1/ 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 166 1/ Ph l c PH L C ϕ( x) = PH L C I: GIÁ TR HÀM M T 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 167 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 2π − e 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 x2 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 000065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 Ph l c PH L C II: GIÁ TR HÀM PHÂN B t ∫e 2π −∞ Φ (t ) = − CHU N T C 2π x2 dx Φ (t ) t t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,5000 5398 5793 6179 6554 0,6915 7257 7580 7881 8159 0,8413 8643 8849 9032 9192 0,9332 9452 9554 9641 9712 0,9773 9821 9861 9893 9918 0,9938 9953 9965 9974 9981 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7703 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 5279 5675 6064 6443 6808 7156 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8132 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 Φ (t ) 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 168 Ph l c PH L C III: GIÁ TR T I H N C A PHÂN B STUDENT α t α (n) B c t α = 0,05 α = 0,025 α = 0,01 α = 0,005 α = 0,001 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 inf 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,796 1,703 1,701 1,699 1,645 12,706 4,303 3,128 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 1,960 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,606 2,583 2,567 2,552 2,539 2,58 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,326 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,576 318,309 22,327 10,215 7,173 5,893 5,208 4,705 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,090 169 Ph l c PH L C IV: GIÁ TR T I H N C A PHÂN B KHI BÌNH PH NG χ2 α χ α2 (n) B c t χ 02,995 χ 02,99 χ 02,97 χ 02,95 χ 02,05 χ 02,025 χ 02,01 χ 02,005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 5,001 5,142 5,697 6,265 6,844 7,343 8,034 8,543 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,930 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,982 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,388 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,625 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,524 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 30,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,993 48,278 49,588 50,892 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 28,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 46,645 50,993 52,336 53,672 170 Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O [1]. ng Hùng Th ng, 1997. M đ u v lý thuy t xác su t ng d ng. NXB GD. [2]. ng Hùng Th ng, Bài t p xác su t, NXB Giáo d c – 1998. [3]. ng Hùng Th ng, Th ng kê ng d ng, NXB Giáo d c,1999. [4]. Nguy n Cao V n, Tr n Thái Ninh Nguy n Th H , Bài t p lý thuy t xác su t th ng kê toán, NXB Giáo d c, Hà N i 2002. [5]. Nguy n Ph m Anh D ng, 1999. Các hàm xác su t ng d ng vi n thông. Trung Tâm T o B u Chính Vi n Thông 1. [6]. Nguy n Duy Ti n, V Vi t Yên, 2000. Lý thuy t xác su t. NXB GD. [7]. Nguy n Duy Ti n (và t p th ), 2000. Các mô hình xác su t ng d ng, t p 1, 2, 3. NXB i h c Qu c gia Hà N i. [8]. T ng ình Qu , H N i, 2004. ng d n gi i t p xác su t th ng kê, NXB i H c Qu c Gia Hà [9]. Tr n M nh Tu n, Xác su t Th ng kê, lý thuy t th c hành tính toán, NXB Qu c Gia Hà N i, 2004. iH c [10]. B.V. Gnedenko, The theory of probability, Mir publishers, Moscow 1976. [11]. D. L. (Paul) Minh, Applied Probability Models, Duxbury, Thomson Learning, 2001. [12]. J. L. Doob, 1953. Stochastic Processes. Willey and Sons, New York. [13]. S. Karlin, 1966. A first Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York and London. [14]. M. Loeve, 1977. Probability Theory, I, II. 4th ed, Springer - Verlag, Berlin and New York. 171 M cl c M CL C L I NÓI U CH NG I: CÁC KHÁI NI M C B N V XÁC SU T . GI I THI U . N I DUNG 1.1. PHÉP TH VÀ BI N C . 1.2. NH NGH A XÁC SU T VÀ CÁC TÍNH CH T . 1.3. XÁC SU T CÓ I U KI N 12 1.4. DÃY PHÉP TH BERNOULLI 15 TÓM T T 17 CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P . 20 CH NG II: BI N NG U NHIÊN VÀ CÁC C TR NG C A CHÚNG 23 PH N GI I THI U . 23 N I DUNG 24 2.1. BI N NG U NHIÊN . 24 2.2. BI N NG U NHIÊN R I R C 25 2.3. BI N NG U NHIÊN LIÊN T C 29 2.4. CÁC THAM S C TR NG C A BI N NG U NHIÊN . 38 2.5. HÀM C TR NG 46 TÓM T T 47 CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P . 49 CH NG III: VÉC T NG U NHIÊN 54 GI I THI U . 54 N I DUNG 55 3.1. KHÁI NI M VÉC T NG U NHIÊN 55 3.2. B NG PHÂN B XÁC SU T C A VÉC T NG U NHIÊN R I R C HAI CHI U . 56 3.3. VÉC T NG U NHIÊN LIÊN T C . 60 3.4. TÍNH C L P C A CÁC BI N NG U NHIÊN 61 3.5. HÀM C A CÁC BI N NG U NHIÊN 62 3.6. CÁC THAM S C TR NG C A BI N NG U NHIÊN . 66 3.7. PHÂN B CÓ I U KI N VÀ K V NG CÓ I U KI N 68 3.8. PHÂN B CHU N NHI U CHI U 72 TÓM T T 73 CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P . 76 CH NG IV: LU T S L N VÀ NH LÝ GI I H N 81 172 M cl c GI I THI U . 81 N I DUNG 81 4.1. CÁC D NG H I T C A DÃY CÁC BI N NG U NHIÊN . 81 4.2. LU T S L N 82 4.3. NH LÝ GI I H N TRUNG TÂM 85 4.4. X P X PHÂN B NH TH C 86 TÓM T T 88 CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P . 89 CH NG V: TH NG KÊ TOÁN H C . 92 GI I THI U . 92 N I DUNG 93 5.1. LÝ THUY T M U . 93 5.2. LÝ THUY T C L NG . 103 5.3. KI M NH GI THI T TH NG KÊ . 111 TÓM T T 119 CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P . 124 CH NG VI: QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN CHU I MARKOV 128 GI I THI U . 128 N I DUNG 129 6.1. KHÁI NI M VÀ PHÂN LO I QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN . 129 6.2. CHU I MARKOV 131 6.3. PHÂN LO I TR NG THÁI CHU I MARKOV . 138 CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P . 146 H NG D N GI I BÀI T P 149 ÁP ÁN CH NG I . 149 ÁP ÁN CH NG II . 151 ÁP ÁN CH NG III 156 ÁP ÁN CH NG IV 159 ÁP ÁN CH NG V . 161 ÁP ÁN CH NG VI 164 PH L C 167 PH L C I: GIÁ TR HÀM M T ϕ( x) = 2π − e x2 167 PH L C II: GIÁ TR HÀM PHÂN B CHU N T C 168 PH L C III: GIÁ TR T I H N C A PHÂN B STUDENT . 169 173 M cl c PH L C IV: GIÁ TR T I H N C A PHÂN B KHI BÌNH PH NG χ . 170 TÀI LI U THAM KH O 171 M C L C . 172 174 XÁC SU T TH NG KÊ Mã s : 491XSU210 Ch u trách nhi m b n th o TRUNG TÂM ÐÀO T O B U CHÍNH VI N THÔNG . nhân xác sut, xác sut ca bin c đi. - Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác sut đy đ và đnh lý Bayes. - Dãy phép th Bernoulli và xác. đnh mt mc xác sut th nào đc gi là nh s ph thuc vào tng bài toán c th. Chng hn nu xác sut đ máy bay ri là 0,01 thì xác sut đó cha th đc coi là nh. Song nu xác sut mt. 3. Mt trong nhng khó khn ca bài toán xác sut là xác đnh đc bin c và s dng đúng các công thc thích hp. Bng cách tham kho các ví d và gii nhiu bài tp s rèn luyn tt k nng