BÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊ, BÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊBÀI GIẢNG XÁC XUẤT THỐNG KÊ

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Ứng dụng trong KCCT Chương 2

■ Bi ến cố ng ẫu nhiên và các phép tính về xác su ất

■ Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất.

■ Lý thuyết mẫu

■ Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên.

■ Kiểm định giả thiết thống kê.

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1.1 Phép thử và các loại biến cố

1.1.1 Khái niệm về phép thử và biến cố

1.1.2 Phân loại các biến cố

1.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố

1.1 Phép thử và các loại biến cố

1.1.1 Khái niệm về phép thử và biến cố:

Trong khoa học tự nhiên cũng như trong xã hội, mỗi

hiện tượng đều gắn liền với một nhóm các điều kiện cơ

bản và hiện tượng đó chỉ xảy ra khi nhóm các điều kiện

cơ bản được thực hiện Chẳng hạn muốn quan sát một

đồng xu xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa thì ta phải tung

đồng xu đó lên, hoặc muốn nghiên cứu chất lượng của

một lô hàng thì ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số

sản phẩm từ lô hàng đó ra để kiểm tra v.v

Như vậy khi thực hiện một số các điều kiện nào đó ta

nói đã thực hiện một phép thử Còn những hiện tượng

được xét trong phép thử sẽ gọi là các biến cố (hay sự

kiện) Các biến cố thường được ký hiệu là các chữ cái in

hoa như A, B, C, ,X, Y, , A1, A2, An, B1,B2, ,Bn,

1.1.2 Phân loại các biến cố:

Trong thực tế có ba loại biến cố, đó là biến cố

không thể có, biến cố chắc chắn và biến cố ngẫu

nhiên

+ Biến cố không thể có: Biến cố nhất định không xảy

ra sau phép thử gọi là biến cố không thể có, ký hiệu là

+ Biến cố chắc chắn: Biến cố nhất định xảy ra sau

phép thử gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu là Ω

+ Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố có thể xảy ra sau phép

thử, cũng có thể không xảy ra sau phép thử gọi là biến

cố ngẫu nhiên Các biến cố ngẫu nhiên thường được

ký hiệu là các chữ cái in hoa như A, B, C, ,X, Y, ,

A1, A2, An, B1, B2, ,Bn,

1.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố:

1.1.3.1 Biến cố kéo theo:

- Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu sự

xảy ra của A kéo theo sự xảy ra của B, ký hiệu là

1.1.3.2 Hợp ( tổng) của các biến cố:

- Biến cố A được gọi là biến cố hợp ( biến cố tổng)

của hai biến cố B và C nếu nó là biến cố ít nhất một

trong hai biến cố B hoặc C phải xảy ra sau phép

thử.

Ký hiệu: hoặcA B C   A = B + C

1.1.3.3 Giao ( tích) của các biến cố:

- Biến cố A được gọi là biến cố giao ( biến cố tích)

của hai biến cố B và C nếu nó là biến cố đồng thời cả

hai biến cố B và C cùng phải xảy ra sau phép thử.

Ký hiệu: hoặcA B C   A = B.C

Mở rộng: Biến cố A được gọi là biến cố giao ( biến

cố tích) của n biến cố A1, A2, , An nếu nó là biến

cố tất cả n biến cố A1, A2, , An cùng phải xảy ra

sau phép thử

1.1.3.4 Biến cố xung khắc:

- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau

nếu nó không thể đồng thời xảy ra sau phép thử Nói

cách khác nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không

xảy ra và ngược lại.

Như vậy nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì

A.B = Φ

- Một hệ gồm n biến cố A1, A2, , An được gọi là

xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong

hệ cũng xung khắc với nhau

1.1.3.5 Hệ đầy đủ các biến cố:

- Một hệ gồm n biến cố A1, A2, , An được gọi là

một hệ đầy đủ các biến cố nếu trong kết quả của

phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong n biến cố

trên

Như vậy hệ gồm n biến cố A1, A2, , An được gọi

là một hệ đầy đủ các biến cố nếu nó thoả mãn đồng

thời hai điều kiện sau:

(1.1)

1

i j n

i i

1.1.3.6 Biến cố đối lập:

- Biến cố không xảy ra biến cố A được gọi là biến

cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là

Như vậy, hai biến cố A và được gọi là đối lập với

nhau nếu chúng tạo thành một hệ đầy đủ các biến

1.2 Khái niệm và các định nghĩa về xác suất:

1.2.1 Khái niệm về xác suất : 1.2.2 Các định nghĩa về xác suất : 1.2.3 Các tính chất về xác suất :

1.2 Khái niệm và các định nghĩa về xác suất:

1.2.1 Khái niệm về xác suất :

Xác suất của biến cố A là một con số , số đó đặc

trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố A trong

phép thử tương ứng Ký hiệu là p(A)

1.2.2 Các định nghĩa về xác suất :

Nếu trong một phép thử có tất cả n trường hợp

đồng khả năng trong đó có m trường hợp thuận lợi

cho biến cố A thì xác suất của biến cố A là một số

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất Tính

xác suất để :

a) Xúc xắc xuất hiện mặt hai chấm.

b) Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là chẵn.

Ví dụ 2: Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số từ tập hợp 5

chữ số {0, 1, 2, 3, 4 } xếp thành hàng ngang từ trái sang

phải Tính xác suất để xếp được một số gồm 3 chữ số (

1.2.2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê:

Xét phép thử ngẫu nhiên nào đó Biến cố A được

quan sát trong phép thử này Ta lặp lại độc lập n lần

phép thử này với điều kiện như nhau và thấy có m lần

biến cố A xuất hiện Khi đó tỉ số được gọi là tần

suất xuất hiện biến cố A Ký hiệu là

m n

( ) m

f A

n



Định nghĩa: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một

phép thử là một số p không đổi mà tần suất xuất hiện

biến cố đó trong n phép thử sẽ hội tụ theo xác suất

về p khi số phép thử tăng lên vô hạn.

( ) ( )

p A  f A

khi n đủ lớn thì ta có thể lấy

1.3.2.2 Xác suất có điều kiện:

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với

điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều

kiện của A, ký hiệu là p(A/B).

1.3.2.3 Định lý nhân xác suất:

Định lý: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng

tích của một trong hai biến cố đó với xác suất có

điều kiện của biến cố còn lại Tức là ta có:

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

p A B  p A p B A  p B p A B

Hệ quả 1: + Nếu p(B) > 0 thì ta có:

+ Nếu p(A) > 0 thì ta có:

Hệ quả 2: Cho A1, A2, , An là n biến cố, khi đó :

Hệ quả 3: Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì

Ví dụ 1: Một hộp đựng 10 viên bi xanh và 4 viên bi

trắng Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần một

viên Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được bi

xanh

Ví dụ 2: Một xí nghiệp có 3 máy nổ hoạt động độc

lập nhau Xác suất để trong một ngày máy nổ thứ

1.3.3 Hệ quả của định lý cộng và định lý nhân xác

suất:

Định lý 1: Xác suất của tổng hai biến cố không xung

khắc bằng tổng xác suất các biến cố đó trừ đi xác

suất của tích các biến cố đó.

p(A + B) = p(A) + p(B) – p(A.B)

Hệ quả: Xác suất của tổng n biến cố không xung

khắc được xác định bởi công thức:

Định lý 2: Xác suất của tổng n biến cố không xung

khắc và độc lập trong toàn bộ bằng một trừ đi tích xác

suất của các biến cố đối lập với các biến cố đó

PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên một chiều:

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều:

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên một chiều:

2.1.1 Định nghĩa và phân loại đại lượng

ngẫu nhiên

2.1.2 Quy luật phân phối xác suất của đại

lượng ngẫu nhiên

2.1.3 Các tham số đặc trưng của đại lượng

ngẫu nhiên

2.1.4 Một số quy luật phân phối thông dụng

2.1.5 Các định lý giới hạn

2.1.Đại lượng ngẫu nhiên một chiều:

2.1.1.Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên:

2.1.1.1.Định nghĩa:

Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà trong kết

quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các

giá trị có thể có của nó với một xác suất tương ứng

xác định.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường ký hiệu là: X,

Y, Z hoặc X1, X2, Xn, Y1, Y2, Yn, Các giá trị có

thể có của chúng thường ký hiệu là: x, y, , x1, x2, ,

xn, y1, y2, , yn

2.1.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên:

Đại lượng ngẫu nhiên được chia làm hai loại: đại

lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên

tục

+ Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các

giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn

hay đếm được

+ Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu

các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên

trục số

2.1.2 Quy luật phân phối xác suất của đại lượng

2.1.2.1 Định nghĩa:

Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn mối

qua hệ giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu

nhiên và các xác suất tương ứng của nó đều được

gọi là quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

nhiên ấy.

Trong thực tế người ta thường sử dụng ba phương

pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của đại

lượng ngẫu nhiên là: bảng phân phối xác suất, hàm

phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất

2.1.2.2 Bảng phân phối xác suất:

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận

một trong các giá trị có thể có là x1, x2, , xn với các

xác suất tương ứng là p1, p2, , pn Khi đó bảng

phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

i i

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc Gọi X là: “số chấm

xuất hiện” Hãy xây dựng quy luật phân phối xác

suất của X

Ví dụ 2: Trong một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó

có 6 chính phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm

Xây dựng quy luật phân phối xác suất của số chính

phẩm được lấy ra

Ví dụ 3: Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 0,8 Xạ

thủ được phát từng viên đạn để bắn cho đến khi

trúng bia thì dừng bắn Hãy xây dựng quy luật phân

phối xác xuất của số viên đạn được phát cho xạ thủ

2.1.2.3 Hàm phân phối xác suất:

ngẫu nhiên X ký hiệu là F(x), là xác suất để đại

lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là

một số thực bất kỳ.

F(x) = P(X < x)

+ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm

phân phối xác suất được tính bằng công thức:

F(x) =

1 1

1 1

+ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm

phân phối xác suất được xác định bằng công thức:

F(x) =

trong đó f(u) là hàm mật độ xác suất của đại lượng

ngẫu nhiên liên tục X

( )

x

f u du



Các tính chất của hàm phân phối xác suất:

Tính chất 1:

Hàm phân phối xác suất luôn nhận giá trị trong [0;1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1

Tính chất này trực tiếp suy ra từ định nghĩa của hàm

phân phối xác suất, vì nó là một xác suất nên giá trị của

Hệ quả 1:

Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị

trong khoảng [a, b) bằng hiệu số của hàm phân phối

xác suất tại hai đầu khoảng đó:

Ví dụ : Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối

xác suất:

a) Tìm hệ số a và b

b) Tính xác suất để trong kết quả của phép thử X

nhận giá trị trong khoảng (0 ; 1/3)

1 ( ) ax+b 1

3 1

2.1.2.4 Hàm mật độ xác suất:

Hàm mật độ xác suất đặc trưng cho quy luật phân

phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X

Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của đại lượng

ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu là f(x), là đạo hàm bậc

nhất của hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu

nhiên đó.

Tính chất 1:

Tính chất 2:

Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất F(x) của đại

lượng ngẫu nhiên liên tục X bằng tích phân suy rộng

của hàm mật độ xác suất trong khoảng Tức là

2.1.3 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu

nhiên:

Định nghĩa: Kỳ vọng toán ( gọi tắt là kỳ vọng ) của

đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là E(X) / M(X); µx /,

được xác định như sau:

+ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng

phân phối xác suất là:

thì kỳ vọng của X được xác định bởi công thức:

+ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật

độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng của X được xác định

Ví dụ 1: Tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên rời

rạc X có bảng phân phối xác suất là:

Một số tính chất của kỳ vọng:

+ E(C) = C (C là hằng số)

+ E(CX) = C.E(X)

+ E(X+Y) = E(X) + E(Y)

+ E(XY) = E(X).E(Y) với X và Y là hai đại lượng

ngẫu nhiên độc lập

2.1.3.2 Phương sai:

Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X,

ký hiệu là D(X) là kỳ vọng toán của bình phương độ

lệch của đại lượng ngẫu nhiên với kỳ vọng của nó:

+ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật

độ xác suất là f(x) thì phương sai được tính bằng

Tuy nhiên trong thực tế , việc tính phương sai bằng

các công thức trên có thể gặp nhiều khó khăn, vì vậy

sử dụng các tính chất của kỳ vọng ta có thể biến đổi

các công thức trên về dạng tương đương, dễ dàng

tính toán hơn:

2( ) ( ) ( )

D X  E X  E X

+ Nếu X là rời rạc thì:

+ Nếu X là liên tục thì:

2 2

Ví dụ 1: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng

phân phối xác suất là:

Một số tính chất của phương sai:

Định nghĩa: Độ lệch tiêu chuẩn của đại lượng ngẫu

nhiên X, ký hiệu  ( ) X , được định nghĩa là :

2.1.3.3 Các tham số khác:

Mốt: Mốt của đại lượng ngẫu nhiên là giá trị của đại

lượng ngẫu nhiên có khả năng xuất hiện lớn nhất

trong một lân cận nào đó, Ký hiệu là modX Như vậy ,

nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì Mốt là giá trị

của X ứng với xác suất lớn nhất, còn nếu X là đại

lượng ngẫu nhiên liên tục thì Mốt là giá trị làm hàm

mật độ xác suất đạt max Như vậy Mốt có thể chỉ là

cực đại địa phương và một đại lượng ngẫu nhiên có

thể có một hoặc nhiều Mốt.

0 x

f(x)

m0

Ví dụ : Cho đại lượng ngẫu nhiên có đồ thị của

hàm mật độ xác suất như hình vẽ Khi đó ta có

modX = m0

Trung vị: Trung vị là giá trị của đại lượng ngẫu

nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất

bằng nhau, ký hiệu là medX Tức là:

1

2

Mô men cấp k: Mô men cấp k đối với a của đại

lượng ngẫu nhiên X là một số được xác định như

2.1.4 Một số quy luật phân phối thông dụng:

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi

là phân phối theo quy luật không - một với tham số p

nếu nó có bảng phân phối xác suất là:

với p + q = 1

E(X) = pD(X) = pq

2.1.4.2 Quy luật phân phối nhị thức:

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được

gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham

số n, p, ký hiệu là B(n, p) nếu nó có bảng phân phối

2.1.4.3 Quy luật phân phối Poison ( poatxông):

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi

là phân phối theo quy luật Poisson với tham số , ký

hiệu là P() nếu nó có bảng phân phối xác suất là:

2.1.4.4 Quy luật phân phối chuẩn:

Định nghĩa 1: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được

gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn, ký hiệu

nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

2

( , )

N a 

2 2

2

1 ( )

E(X) = a, D(X) = 

Nếu hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng như

trên thì hàm phân phối là:

2 2

( ) 2

1 ( )

Định nghĩa 2: Đại lượng ngẫu nhiên được

gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn hoá nếu

hàm mật độ xác suất là

X a U

Định nghĩa 3: Hàm Laplace được ký hiệu là và

được xác định bởi công thức sau:

1 ( )

Công thức tính xác xuất để đại lượng ngẫu nhiên

X có phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng

Ví dụ: Độ dài của các chi tiết do một máy sản xuất ra

là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kích

thước trung bình là a = 5cm và độ lệch tiêu chuẩn là

Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một chi tiết thì chi

tiết đó có độ dài nằm trong khoảng từ 4cm đến 7cm

Trong thực tế nhiều khi ta phải tính xác suất để đại

lượng ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị sai

lệch so với kỳ vọng toán của nó về giá trị tuyệt đối

nhỏ hơn một số dương cho trước, tức là ta phải tìm

2.1.3.5 Quy luật phân phối Student:

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục T nhận giá

trị trong khoảng (-∞; +∞) được gọi là tuân theo quy

luật phân phối Student với n bậc tự do, ký hiệu T(n)

nếu hàm mật độ xác suất của T có dạng:

( ) x t e dtx t



  

E(T) = 0, D(T) =

2

n

n 

Phân vị Student, ký hiệu là , là giá trị của đại

lượng ngẫu nhiên T phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do, thoả mãn điều kiện:

2.1.5 Các định lý giới hạn:

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập, trong mỗi

phép thử xác suất để biến cố A xảy ra đều bằng p và

không xảy ra đều bằng q = 1 – p Gọi X là số lần xuất

hiện biến cố A trong n phép thử đó thì X có phân phối

theo quy luật nhị thức và xác suất để X nhận một trong

các giá trị có thể có của nó được tính bằng công thức

khá lớn thì đại lượng ngẫu nhiên được coi là có phân

phối chuẩn Khi đó :

Vậy với n khá lớn thì ta có công thức tính gần đúng

2.1.5.2 Định lý giới hạn tích phân Laplace:

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập, trong mỗi

phép thử xác suất để biến cố A xảy ra đều bằng p và

không xảy ra đều bằng q = 1 – p Gọi X là số lần xuất

hiện biến cố A trong n phép thử đó thì X có phân

phối theo quy luật nhị thức và xác xuất để X nhận giá

trị từ k1 đến k2 lần là:

Nếu gặp trường hợp n khá lớn thì đại lượng ngẫu

nhiên được coi là có phân phối chuẩn Khi đó :