bài giảng xác xuất thống kê

b.Không gian mẫu: Kết quả đơn giản nhất của phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố sơ cấp kí hiệu.. Tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu hay không gian các

Chương 1:Biến cố ngẫu nhiên & xác suất

k

n C

C = −

+)Định nghĩa: Một chỉnh hợp không lặp chập n của n

phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử (Một sự sắp xếp n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần

4 Chỉnh hợp lặp:

+)Định nghĩa: Một bộ có phân biệt thứ tự gồm k phần

tử không nhất thiết khác nhau từ n phần tử (k≤n) được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho

6 Qui tắc nhân

Giả sử có m cách chọn A, n cách chọn B và số cách chọn A và chọn B không phụ thuộc nhau, thì số cách

+) Nếu A và B không giao nhau thì:

II Không gian mẫu và biến cố ngẫu nhiên

1 Phép thử và biến cố

a.Phép thử: Phép thử là một thí nghiệm hay một sự

quan sát nào đó Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu

ta không thể dự báo được kết quả nào sẽ xảy ra

b.Không gian mẫu: Kết quả đơn giản nhất của phép

thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố sơ cấp (kí hiệu ) Tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là

không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp(kí hiệu )Ω

i

ω

c.Biến cố ( sự kiện) ngẫu nhiên:

+) Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố (sự kiện) ngẫu nhiên kí hiệu A, B, C…

2 Quan hệ giữa các biến cố

Các định nghĩa

a)Tích của hai biến cố A, B là một biến cố, kí hiệu là AB hay A B, được hiểu theo nghĩa là A và B, mà nó sẽ xảy

ra khi và chỉ khi∩ đồng thời cả A & B cùng xảy ra

b)Tổng của hai biến cố A, B là một biến cố, kí hiệu là

A+B hay A B, được hiểu theo nghĩa là hoặc A hoặc B ,

mà nó sẽ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra ít nhất một trong các biến cố A hoặc B

∪

Mở rộng: Tích của các biến cố A1 ,A2 , An ,kí hiệu là

A1A2 An ,là 1 biến cố mà nó xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A1 ,A2 , An cùng xảy ra

c)Hiệu của hai biến cố A, B là biến cố mà sẽ xảy ra

khi và chỉ khi A xảy ra còn B không xảy ra (kí hiệu

A – B hoặc A \ B)

⊂

d)Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra kéo theo B xảy ra (kí hiệu A B)

Mở rộng: Tổng của các biến cố A1 ,A2 , An ,kí hiệu là

A1+A2+…+An ,là 1 biến cố mà nó xảy ra khi và chỉ khi có

ít nhất một trong các biến cố A1 ,A2 , An xảy ra

e)Hai biến cố A & B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong 1 phép thử Tức là:

AB = Vf)Hai biến cố A & B được gọi là đối lập với nhau nếu

+) Nếu kí hiệu là biến cố A không xảy ra, không phải

+) Quy tắc đối ngẫu De Morgan:

g) Hệ xung khắc: Hệ biến cố { A1, A2,…, Ak } là hệ xung khắc từng đôi một nếu AiAj=V với mọi i ≠ j

h) Hệ các biến cố {A1, A2, A3,…An} được gọi là hệ biến cố

chúng là một biến cố chắc chắn

i) Hai biến cố A & B được gọi là độc lập nhau nếu B xảy

ra hay không xảy ra không ảnh đến sự xảy ra hay không xảy ra của A, và ngược lại

+) Nếu kí hiệu là biến cố A không xảy ra, không phải

+) Quy tắc đối ngẫu De Morgan:

g) Hệ xung khắc: Hệ biến cố { A1, A2,…, Ak } là hệ xung khắc từng đôi một nếu AiAj=V với mọi i ≠ j

+) Nếu kí hiệu là biến cố A không xảy ra, không phải

+) Quy tắc đối ngẫu De Morgan:

Tóm tắt các định nghĩa:

A + B xảy ra  hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra

AB xảy ra  A & B cùng xảy ra

A – B (A\B) xảy ra  A xảy ra và B không xảy ra

xảy ra  A không xảy ra

+ +

≠

∀ φ

=

n

j i

A

A

voi A

A

2 1

A

j i

Ví dụ 1: Kết quả điểm thi môn toán của học sinh trong một lớp được xếp loại như sau: điểm 9 và điểm 10 là giỏi, 7 và 8 là khá, 5 và 6 là trung bình, 3 và 4 là kém, điểm 0,1 và 2 là rất kém, 5 đến 10 là đạt, 0 đến 4 là

không đạt Lấy ngẫu nhiên một học sinh của lớp và kí hiệu A, B, C, D, E, F, G tương ứng kết quả thi là giỏi,

khá, trung bình, kém, rất kém, đạt, không đạt Hãy nêu mối quan hệ giữa các biến cố:

A, B, C, D - Xung khắc từng đôi nhưng không đầy đủ

A,B,C,D,E - Xung khắc từng đôi và đầy đủ

F & G - Là hai biến cố đối nhau

B

A

⊂ F

Ví dụ 2: Kiểm tra chất lượng 5 sản phẩm.

biểu diễn qua Ak các biến cố sau:

a)Tất cả 5 sản phẩm đều tốt (A) A = A1 A2 A3 A4 A5

b)Tất cả 5 sản phẩm đều xấu (B)

5 4

3 2

1A A A A A

=

B

c)Có ít nhất một sản phẩm tốt (C)

C = A1 + A2 + A3 + A4 + A5d)Có ít nhất một sản phẩm xấu (D)

=

= A1A2A3A4A5

D A1 + A2 + A3 + A4 + A5

III Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

1.Khái niệm xác suất của biến cố:

Xác suất (“độ chắc”)của biến cố A là một số không âm tồn tại khách quan chỉ khả năng xảy ra của biến cố A (kí hiệu P(A)- P viết tắt từ chữ Probability)

P(A) phải xây dựng sao cho thoả mãn:

+)Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1: P(U)=1

+)Xác suất của biến cố không thể bằng 0: P(V)=0

+)Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên A: 0 ≤ P(A) ≤ 1

2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển

3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

a) Tần suất: Tỷ số được gọi là tần suất của

m f

n

=

b) Định nghĩa: Xác suất của biến cố A là giá trị ổn

Ví dụ :

Một số điện thoại ở thành phố gồm 6 chữ số Giả sử ta chọn số điện thoại một cách ngẫu nhiên Tìm xác

suất để chọn được số điện thoại sao cho:

1) Chữ số 5 đầu tiên và 6 chữ số khác nhau

2) Chữ số đầu tiên là lẻ và số điện thoại là số chẵn

3) Chữ số 4 đầu tiên và 5 chữ số còn lại là đối xứng

4) Chữ số 5 đầu tiên, số 0 cuối cùng và 4 số giữa trùng với năm sinh của chủ hộ

Giải: Gọi A={Số 5 đầu và 6 số khác nhau}

9

A

01512

0 10

15120 10

5 6 7 8

9 10

IV Các định lí cơ bản về xác suất

1.Định lí nhân xác suất

a) Xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với giả

thuyết biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B đã xảy ra Ký hiệu là P(A/B)

+) Nếu A,B độc lập nhau thì: P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B) +) Nếu A,B xung khắc nhau thì: P(A/B)=0, P(B/A)=0

b) Công thức nhân xác suất

P(A.B) = P(B).P(A/B)=P(A).P(B/A)

+) Nếu A, B độc lập nhau, ta có: P(AB)= P(A) P(B)

+) Nếu A,B xung khắc nhau thì: P(AB)=0

Công thức nhân mở rộng:

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An)

c) Các tính chất của xác suất có điều kiện:

+) 0≤ P(A/B) ≤1

+) P(B/B) = 1

+) Nếu A kéo theo B thì P(B/A)=1

+) P A B( / ) 1 = − P A B( / )

2 Định lí cộng xác suất

a) Trường hợp có hai biến cố

+) Nếu {A1, A2, …, Ak} là hệ các biến cố xung khắc từng đôi một, ta có:

P(A +A + +A ) P(A ) P(A ) P(A )k = + + +

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

+) Nếu A, B độc lập nhau, ta có:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)

+) Nếu A,B xung khắc nhau thì: P(A + B) = P(A) + P(B)

+) Với A và là hai biến cố đối lập thì:

AA

+ A = U ; P( + A ) = P(U)

A

+) Với hệ biến cố đầy đủ { A1 ,A2 , ,An } ta có:

P(A1) + P(A2) +…+ P(An) = 1

Ví dụ 1: Trong số 300 sinh viên năm thứ nhất có 100

sinh viên biết tiếng Anh, 80 sinh viên biết tiếng Pháp, 30 sinh viên biết cả hai ngoại ngữ Anh – Pháp Chọn ngẫu nhiên một sinh viên năm thứ nhất Tính xác suất sinh

viên này biết ít nhất một ngoại ngữ (Anh hoặc Pháp)

Giải:

Đặt A: biến cố sinh viên này biết tiếng Anh

B: biến cố sinh viên này biết tiếng Pháp

N: biến cố sinh viên này biết ít nhất một ngoại ngữ

Ta có: N = A + B, AB ≠ Ø

130

80

100P(AB)

P(B)P(A)

B)P(A

Ví dụ 2:Công ty X có 60 nhân viên Trong đó có 20

người thạo TA, 25 người thạo TP, 14 người thạo tiếng Nhật, 12 người vừa biết TA vừa biết TP, 8 người vừa biết TA vừa biết TN, 4 người vừa biết TP vừa biết TN,

có 2 người thạo cả ba thứ tiếng trên Chọn ngẫu nhiên

1 người Tìm xác suất để người đó thạo ít nhất một

trong ba thứ tiếng đó

Giải: Gọi A:” gặp một người thạo TA”,

B: “ gặp một người thạo TP”,C: “ gặp một người thạo TN”

H: “ gặp một người thạo ít nhất 1 trong ba thứ tiếng”.Xác suất cần tìm là: P(H)= P(A + B + C)

60

3760

260

460

860

1260

1460

2560

20

P(ABC)P(BC)

P(AC)P(AB)

P(C)P(B)

)P(A P(H)

=+

−

−

−+

+

=

Ví dụ: Ba người cùng bắn vào bia Xác suất bắn trúng

của từng người là 0.6; 0.7 và 0.8 Tìm xác suất của các biến cố sau:

F: “ Có không quá hai người bắn trúng”,

G: “ Có không ít hơn hai người bắn trượt”

Giải: Kí hiệu:

Ai : “ Người thứ i bắn trúng” với i = 1, 2, 3,

3 Công thức xác suất đầy đủ

Cho { H1 ,H2 ,…,Hn } là một hệ biến cố đầy đủ và A là

một biến cố nào đó trong cùng phép thử Khi đó xác

như sau:

P(A) P(H ).P(A/H ) P(H ).P(A/H ) P(H ).P(A/H ) = + + +

Được gọi là công thức xác suất đầy đủ (toàn phần)

Ví dụ 1: Một lô hạt giống được phân làm 3 loại Loại I

chiếm 2/3 số hạt của lô Loại II chiếm 1/4, còn lại là

loại III Loại I có tỷ lệ nảy mầm 80%, loại II có tỷ lệ

nảy mầm 60% và loại III có tỷ lệ nảy mần 40% Ta lấy ngẫu nhiên từ lô ra 1 hạt Tìm xác suất để được hạt

nảy mầm.(Nói cách khác: Tỷ lệ nảy mầm chung của lô hạt giống đó là bao nhiêu?)

Nảy mầmKhông nảy mầm

Nảy mầmKhông nảy mầm

2/3

1/41/12

Gọi Hi là biến cố hạt giống lấy ra thuộc loại i, i= 1,2,3

A là biến cố hạt giống lấy ra thuộc loại hạt nảy mầm lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố.1 2 3

P(A/H ) 0.8, P(A/H ) 0.6, P(A/H ) 0.4 = = =

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

4 Công thức Bayes (công thức chuyển điều kiện)

k k

Cho { H1, H2,…,Hn } là hệ biến cố đầy đủ và biến cố A

điều kiện A đã xảy ra được tính bởi công thức Bayes (hay công thức chuyển điều kiện)

+) Chú ý: Nếu H kéo theo A thì:

Ví dụ 1:Trong một trạm cấp cứu bỏng có 80% bệnh

nhân bỏng do nóng và 20% bỏng do hoá chất

Loại bỏng do nóng có 30% bị biến chứng

Loại bỏng do hoá chất có 50% bị biến chứng

a) Tính xác suất để khi bác sĩ mở tập hồ sơ của 1 bệnh nhân thì gặp 1 bệnh án cuả bệnh nhân bị biến chứng b) Biết rằng đã gặp một bệnh án của bệnh nhân bị

biến chứng Tính xác suất để BN đó bị bỏng do:

+) Nóng gây nên

+) Hoá chất gây nên

Giải: Gọi A: “ Bệnh nhân bị biến chứng”,

a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ có:

P(A) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)

Ví dụ 2: Có 2 bình loại I, 2 bình loại II, 1 bình loại III

Bình loại I có 2 bi trắng, 3 bi đen Bình loại II có 1 bi

trắng, 4 bi đen Bình loại III có 4 bi trắng, 1 bi đen

Chọn ngẫu nhiên 1 bình rồi từ bình đó lấy ra 1 bi

b) Giả sử lấy được bi màu đen Tính xác suất để bi đen

đó lấy được từ bình loại III

Giải: Gọi A: “ lấy được bi trắng”,

Ai: lấy được bình loại i, i = 1,2,3Khi đó A1, A2, A3 là nhóm các biến cố đầy đủ

a) Theo công thức xác suất đầy đủ có:

P(A) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)

= 2/5.2/5 + 2/5.1/5 + 1/5.4/5 = 10/25 = 0.4a) Tìm xác suất để lấy được bi màu trắng

b) Áp dụng công thức Bayes ta có:

3

1 1 P(H ) 5 5

1 0.4 P( )

A

−

Chương 2: Biến ngẫu nhiên

I Biến ngẫu nhiên (BNN)

Cho ánh xạ

( ) ω

→

X

ω

R

Ω :

X



Khi đó X được gọi là một biến ngẫu nhiên

Trong đó: là không gian biến cố sơ cấp ( không

Ω

∈

+) Biến ngẫu nhiên được kí hiệu là X, Y, Z,…

+) Các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận: x,y,z,…

1 Định nghĩa BNN

2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu chỉ nhận một

số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị

3 Biến ngẫu nhiên liên tục

X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của

nó lấp đầy một khoảng nào đó

Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc Gọi X là số chấm xuất hiện.Khi đó X là BNN rời rạc với các giá trị là X = {1,2,3,4,5,6}

Ví dụ: Một người đến bến xe buýt Giả sử cách 15 phút

có 1 chuyến xe Gọi Y là thời gian chờ xe buýt

Khi đó Y là BNN liên tục với các giá trị là:

Y = [ 0, 15p ]

II Luật phân phối xác suất của BNN

1 Bảng phân phối xác suất ( chỉ áp dụng cho BNN rời rạc )

a) Định nghĩa: Cho BNN rời rạc X = { x1 ,x2 ,…xn }

Bảng phân phối xác suất có dạng:

+) Nếu ta có song ánh Y = f(X) thì Y có cùng phân phối xác suất với X:

Y y1 y2 y3 … yn

P p1 p2 p3 … pn

Trong đó: yi = f(xi)+) Giả sử Y = f(X) và tồn tại xi ≠ xj sao cho f(xi) = f(xj), khi đó P(Y = f(xi)) = pi + pj

b) Hai biến ngẫu nhiên độc lập:

+) Định nghĩa: Cho hai BNN rời rạc X = {x1, x2, …, xn}

và Y = {y1, y2, …, ym} X và Y được gọi là độc lập với

nhau khi và chỉ khi: P(X= xi; Y= yj) = P(X= xi) P(Y= yj) với mọi i, j

Ví dụ: Từ một hộp có { 7 cp và 3pp } lấy ra 4 sản phẩm Gọi X là số pp được lấy ra

b) Gọi Y là số cp được lấy ra Lập bảng phân phối xác

suất của Y

+) Giả sử BNN Z = f(X, Y) với X, Y độc lập nhau Khi đó phân phối xác suất của Z được xác định như sau:

Ví dụ: Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với bảng

phân phối xác suất như sau:

P 0,3 0,4 0,3

P 0,4 0,6

Lập bảng phân phối xác suất cho X + Y và X.Y

2 Hàm phân phối xác suất

a) Định nghĩa: Cho bnn X Hàm số F(x) = P(X<x) với

mọi x thuộc R được gọi là hàm phân phối xác suất của bnn X

khi

1

4 x

3 khi

15/16

3 x

2 khi

11/16

2 x

1 khi

5/16

1 x

0 khi

1/16

0 x

khi

0

F(x)

Bảng phân phối xác suất của X:

b) Các tính chất của hàm phân phối xác suất

giảm

Tc3: P( a ≤ X <b) = F(b) – F(a)

+) Với bnn liên tục ta có 2 hệ quả:

Tc1: Hàm phân phối xác suất của bnn rời rạc là hàm gián đoạn bậc thang Hàm phân phối xác suất của bnn liên tục là hàm liên tục

HQ1: P(X=a) = 0;

HQ2: P( a ≤ X <b ) = P( a< X < b ) = P( a < X ≤ b )

= P( a ≤ X ≤ b )

Tc4: lim F(x) 0 ( hay F(= − ∞ =) 0),

b) Tính P( 0 < X < 3 )

3 Hàm mật độ xác suất (chỉ áp dụng cho bnn liên tục) a) Định nghĩa: Cho BNN liên tục X có hàm phân phối

F(x), khi đó đạo hàm f(x) = F’(x) được gọi là hàm mật

x ( F

+) Nếu ta có 1 song ánh Y = Ψ(X), X = φ(Y) và biết

rằng X là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất f(x), khi

đó có thể xác định hàm mật độ xác suất của Y:

( ) [ ( )] '( )

f(x) 0 x 0 f(x)dx 1

A dx

e Ab dx

Abe f(x)dx

1

0

bx - 0

2) Xác định hàm phân phối xác suất của X.

4) Cho song ánh Y = X2 với X ≥ 0, Y ≥ 0 Hãy xác định hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của Y.

-b y b

0

1 ( ) be dt 1 - e

Ví dụ 2: Cho hàm phân phối xác suất của bnn liên tục X

10

x )

x ( F

III Các tham số đặc trưng của BNN

1 Kỳ vọng của BNN

a) Định nghĩa 1: Cho BNN rời rạc X nhận các giá trị x1,

x2,…,xn,… với các xác suất tương ứng p1 ,p2 ,…,pn,…

∑∞

=

=1

i i i

p x )

X

(

b) Định nghĩa 2: Cho X là BNN liên tục có hàm mật độ

X

(

c) Ý nghĩa: Kỳ vọng đặc trưng cho giá tri trung bình

của BNN đó

vii) Với X,Y là hai BNN bất kỳ, ta có:

( )

[ E X Y ]2 ≤ E ( ) ( ) X2 E Y2 ( Bất đẳng thức Cauchy)

Ví dụ: Tung đồng thời 2 đồng xu Gọi X là số mặt sấp

xuất hiện Y là số mặt ngửa xuất hiện

Tính E(X2), E(Y2), E(X.Y)

Kiểm chứng lại BĐT Cauchy ta có: 0,52 < 1,5.1,5

Giải: Ta có bảng phân phối xác suất của X và Y:

P 0,25 0,5 0,25

Tương tự: E(Y2) = 1,5

2 Phương sai của BNN

a) Định nghĩa: Giả sử BNN X có E(X) = a Phương sai

được ký hiệu là D(X), VarX hoặc σ2x

n

i i i

b) Các tính chất của phương sai

i) DX ≥ 0 với mọi X và DX = 0 khi và chỉ khi X = C, với C là hằng số

4 Một số đặc số khác

a)Mốt: - Đối với BNN rời rạc X, Mốt là giá trị của BNN

đó với xác suất cực đại, ký hiệu là modX

b)Trung vị (median): là giá trị của bnn X chia phân

phối thành hai phần có xác suất giống nhau tức là nếu kí hiệu trung vị là medX thì P(X≤medX)= P(X>medX)=1/2

- Đối với BNN liên tục, Mốt là giá trị của BNN đó với

hàm mật độ xác suất cực đại

- Đối với BNN rời rạc X, medX là giá trị của X sao cho

F(medX) lớn nhất không vượt quá 1/2

- Đối với BNN liên tục X, ta tìm med bằng cách giải

phương trình F(x) = 1/2

IV Một số qui luật phân phối xác suất thông dụng

A Biến ngẫu nhiên rời rạc

1 Phân phối không - một

a)Định nghĩa: Bnn X được gọi là tuân theo qui luật

không - một, ký hiệu: X ~ A(p), nếu X chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1

2 Phân phối nhị thức

a) Dãy các phép thử Bernoulli

+) Định nghĩa: Giả sử ta có:

i) n phép thử độc lập nhau

ii) Trong mỗi phép thử ta quan sát biến cố A

iii) P(A) = p như nhau đối với mỗi phép thử

Khi đó ta gọi n phép thử trên là dãy phép thử Bernoulli ( hoặc còn được gọi là lược đồ Bernoulli)

b) Qui luật nhị thức

Nếu gọi X là số lần A xuất hiện trong dãy phép thử

Bernoulli, thì X tuân theo QL nhị thức, kí hiệu: X~B(n,p)