bài giảng xác xuất thống kê

Chương 1:Biến cố ngẫu nhiên & xác suất I. Giải tích tổ hợp 1. Tổ hợp +) Định nghĩa: Từ tập hợp n phần rút ra k phần tử khác nhau, mỗi tập hợp con như vậy được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. +) Công thức tính: Số tổ hợp chập k của n phần tử là: .( 1) ( 1) ! 1.2 !( )! k n n n n k n C k k n k − − + = = − +)Chú ý: 0 1 2 ( 1) 1, 1, , 2 n n n n n n n C C C n C − = = = = kn n k n CC − = 2. Chỉnh hợp không lặp (chỉnh hợp): +)Định nghĩa: Một bộ có thứ tự k phần tử khác nhau (không được lặp lại) từ n phần tử (k ≤ n) được gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử. +)Công thức tính: Số các chỉnh hợp không lặp k của n phần tử là: ( 1)( 2) ( 1) k n A n n n n k = − − − + 3. Hoán vị: +)Định nghĩa: Một chỉnh hợp không lặp chập n của n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử. (Một sự sắp xếp n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử) +)Công thức: Pn!nA n n == 4. Chỉnh hợp lặp: +)Định nghĩa: Một bộ có phân biệt thứ tự gồm k phần tử không nhất thiết khác nhau từ n phần tử (k≤n) được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho. +)Công thức tính số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k k n nA = 5. Qui tắc cộng tập hợp: +) Cho 2 tập hợp A và B với số phần tử tương ứng là n A và n B , khi đó: A B A B A B n n n n ∪ ∩ = + − 6. Qui tắc nhân 6. Qui tắc nhân Giả sử có m cách chọn A, n cách chọn B và số cách chọn A và chọn B không phụ thuộc nhau, thì số cách chọn A và B là m.n. +) Nếu A và B không giao nhau thì: A B A B n n n ∪ = + II. Không gian mẫu và biến cố ngẫu nhiên 1. Phép thử và biến cố a.Phép thử: Phép thử là một thí nghiệm hay một sự quan sát nào đó. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo được kết quả nào sẽ xảy ra. b.Không gian mẫu: Kết quả đơn giản nhất của phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố sơ cấp (kí hiệu ). Tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp(kí hiệu ) Ω i ω c.Biến cố ( sự kiện) ngẫu nhiên: +) Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố (sự kiện) ngẫu nhiên kí hiệu A, B, C… Ω +) Biến cố ngẫu nhiên A được gọi là xảy ra nếu một trong các biến cố sơ cấp thuộc A xảy ra. +) Biến cố chắc chắn, ký hiệu là U (hoặc ) là hiện tượng chắc chắn sẽ xảy ra trong 1 phép thử. +) Biến cố khong thể, ký hiệu là V (hoặc Ø ) là hiện tượng không thể xảy ra trong 1 phép thử. 2. Quan hệ giữa các biến cố Các định nghĩa a)Tích của hai biến cố A, B là một biến cố, kí hiệu là AB hay A B, được hiểu theo nghĩa là A và B , mà nó sẽ xảy ra khi và chỉ khi đồng thời cả A & B cùng xảy ra. ∩ b)Tổng của hai biến cố A, B là một biến cố, kí hiệu là A+B hay A B, được hiểu theo nghĩa là hoặc A hoặc B , mà nó sẽ xảy ra khi và chỉ khi xảy ra ít nhất một trong các biến cố A hoặc B. ∪ Mở rộng: Tích của các biến cố A 1 ,A 2 , A n ,kí hiệu là A 1 A 2 A n ,là 1 biến cố mà nó xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A 1 ,A 2 , A n cùng xảy ra. c)Hiệu của hai biến cố A, B là biến cố mà sẽ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra còn B không xảy ra (kí hiệu A – B hoặc A \ B). ⊂ d)Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra kéo theo B xảy ra (kí hiệu A B) Mở rộng: Tổng của các biến cố A 1 ,A 2 , A n ,kí hiệu là A 1 +A 2 +…+A n ,là 1 biến cố mà nó xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố A 1 ,A 2 , A n xảy ra. e)Hai biến cố A & B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong 1 phép thử. Tức là: AB = V f)Hai biến cố A & B được gọi là đối lập với nhau nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: .A B V A B U =   + =  +) Nếu kí hiệu là biến cố A không xảy ra, không phải A xảy ra , ta thấy: A A A= A Từ đó suy ra là đối lập của A. +) Chú ý : +) Quy tắc đối ngẫu De Morgan: g) Hệ xung khắc: Hệ biến cố { A 1 , A 2 ,…, A k } là hệ xung khắc từng đôi một nếu A i A j =V với mọi i ≠ j. .A A V A A U  =   + =   1 2 1 2 1 2 1 2 . . n n n n A A A A A A A A A A A A  + + + =   = + + +   h) Hệ các biến cố {A 1 , A 2 , A 3 ,…A n } được gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn. i) Hai biến cố A & B được gọi là độc lập nhau nếu B xảy ra hay không xảy ra không ảnh đến sự xảy ra hay không xảy ra của A, và ngược lại. +) Nếu A và B không độc lập nhau thì phụ thuộc nhau và ngược lại. 1 2 . i j n A A V i j A A A U  = ∀ ≠   + + + =   [...]... A1 A 2 A 3 A 4 A 5 + III Xác suất của biến cố ngẫu nhiên 1.Khái niệm xác suất của biến cố: Xác suất (“độ chắc”)của biến cố A là một số không âm tồn tại khách quan chỉ khả năng xảy ra của biến cố A (kí hiệu P(A)- P viết tắt từ chữ Probability) P(A) phải xây dựng sao cho thoả mãn: + )Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1: P(U)=1 + )Xác suất của biến cố không thể bằng 0: P(V)=0 + )Xác suất của một biến cố... 10 10 IV Các định lí cơ bản về xác suất 1.Định lí nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với giả thuyết biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B đã xảy ra Ký hiệu là P(A/B) +) Nếu A,B độc lập nhau thì: P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B) +) Nếu A,B xung khắc nhau thì: P(A/B)=0, P(B/A)=0 b) Công thức nhân xác suất P(A.B) = P(B).P(A/B)=P(A).P(B/A)... + )Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên A: 0 ≤ P(A) ≤ 1 2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển m P(A)= n Trong đó: +) n là số tất cả các biến cố sơ cấp đồng khả năng +) m là số biến cố thuận lợi cho biến cố A xảy ra 3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê m a) Tần suất: Tỷ số f A = n được gọi là tần suất của biến cố A b) Định nghĩa: Xác suất của biến cố A là giá trị ổn định của tần suất khi số phép... 2, 3, A i : “ Người thứ i bắn trượt” với i = 1, 2, 3 3 Công thức xác suất đầy đủ Cho { H1 ,H2 ,…,Hn } là một hệ biến cố đầy đủ và A là một biến cố nào đó trong cùng phép thử Khi đó xác suất của A có thể tính theo xác suất của các biến cố Hi như sau: P(A) = P(H1 ).P(A/H1 ) + P(H 2 ).P(A/H 2 ) + + P(H n ).P(A/H n ) Được gọi là công thức xác suất đầy đủ (toàn phần) Ví dụ 1: Một lô hạt giống được phân... bi trắng, 1 bi đen Chọn ngẫu nhiên 1 bình rồi từ bình đó lấy ra 1 bi a) Tìm xác suất để lấy được bi màu trắng b) Giả sử lấy được bi màu đen Tính xác suất để bi đen đó lấy được từ bình loại III Giải: Gọi A: “ lấy được bi trắng”, Ai: lấy được bình loại i, i = 1,2,3 Khi đó A1, A2, A3 là nhóm các biến cố đầy đủ a) Theo công thức xác suất đầy đủ có: P(A) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) = 2/5.2/5... P(H)= P(A + B + C) P(H) = P(A ) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) 20 25 14 12 8 4 2 37 = + + − − − + = 60 60 60 60 60 60 60 60 Ví dụ: Ba người cùng bắn vào bia Xác suất bắn trúng của từng người là 0.6; 0.7 và 0.8 Tìm xác suất của các biến cố sau: A: “ Có ít nhất một người bắn trúng”, B: “ Có ít nhất một người bắn trượt”, C: “ Chỉ có người thứ nhất bắn trúng”, D: “ Có đúng một người bắn... P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1) Nếu các biến cố Ai (i=1,…,n) độc lập nhau thì: P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An) c) Các tính chất của xác suất có điều kiện: +) 0≤ P(A/B) ≤1 +) P(B/B) = 1 +) Nếu A kéo theo B thì P(B/A)=1 +) P( A / B) = 1 − P( A / B ) 2 Định lí cộng xác suất a) Trường hợp có hai biến cố P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) +) Nếu A, B độc lập nhau, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)... 12 P(A/H1 ) = 0.8, P(A/H 2 ) = 0.6, P(A/H 3 ) = 0.4 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(H1 )P(A/H1 ) + P(H 2 ) P(A/H 2 ) + P(H 3 )P(A/H 3 ) 2 1 1 = 0,8 + 0, 6 + 0, 4 = 0, 7 3 4 12 4 Công thức Bayes (công thức chuyển điều kiện) Cho { H1, H2,…,Hn } là hệ biến cố đầy đủ và biến cố A xảy ra trong cùng phép thử Khi đó xác suất của Hk với điều kiện A đã xảy ra được tính bởi công thức Bayes... nóng và 20% bỏng do hoá chất Loại bỏng do nóng có 30% bị biến chứng Loại bỏng do hoá chất có 50% bị biến chứng a) Tính xác suất để khi bác sĩ mở tập hồ sơ của 1 bệnh nhân thì gặp 1 bệnh án cuả bệnh nhân bị biến chứng b) Biết rằng đã gặp một bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng Tính xác suất để BN đó bị bỏng do: +) Nóng gây nên +) Hoá chất gây nên Giải: Gọi A: “ Bệnh nhân bị biến chứng”, H1: “Bệnh nhân... người vừa biết TP vừa biết TN, có 2 người thạo cả ba thứ tiếng trên Chọn ngẫu nhiên 1 người Tìm xác suất để người đó thạo ít nhất một trong ba thứ tiếng đó Giải: Gọi A:” gặp một người thạo TA”, B: “ gặp một người thạo TP”, C: “ gặp một người thạo TN” H: “ gặp một người thạo ít nhất 1 trong ba thứ tiếng” Xác suất cần tìm là: P(H)= P(A + B + C) P(H) = P(A ) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) . Các định lí cơ bản về xác suất 1.Định lí nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với giả thuyết biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của. lợi cho biến cố A xảy ra 3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê a) Tần suất: Tỷ số được gọi là tần suất của biến cố A. A m f n = b) Định nghĩa: Xác suất của biến cố A là giá trị ổn định. thoả mãn: + )Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1: P(U)=1. + )Xác suất của biến cố không thể bằng 0: P(V)=0 + )Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên A: 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. Định nghĩa xác suất dạng