Về một số loại số giả nguyên tố

Do đó, trong Lýthuyết số đã có khái niệm số nguyên tố xác suất như sau: Một số tự nhiên n thoả mãn một tính chất nào đó của số nguyên tố được gọi là một số nguyên tố với một xác suất nào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ CẨM ANH

VỀ MỘT SỐ LOẠI SỐ GIẢ NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ CẨM ANH

VỀ MỘT SỐ LOẠI SỐ GIẢ NGUYÊN TỐ

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2013

lí Fermat bé) thì "có nhiều khả năng" nó là số nguyên tố Do đó, trong Lýthuyết số đã có khái niệm số nguyên tố xác suất như sau:

Một số tự nhiên n thoả mãn một tính chất nào đó của số nguyên tố

được gọi là một số nguyên tố với một xác suất nào đó, hay nói gọn hơn là một

số nguyên tố xác suất (probable prime)

Một số nguyên tố xác suất được gọi là số giả nguyên tố (pseudoprime)

nếu nó là một hợp số Tuỳ theo tính chất của số nguyên tố mà nó thoả mãn, ta

sẽ có các loại số giả nguyên tố khác nhau, như: số giả nguyên tố Fermat, sốgiả nguyên tố Fermat mạnh, số giả nguyên tố Euler, số giả nguyên tố Euler-Jacobi

Như vậy, có sự phân biệt rõ giữa số nguyên tố xác suất với số giảnguyên tố Số nguyên tố xác suất có thể là số nguyên tố hoặc cũng có thể làhợp số, trong khi đó số giả nguyên tố chỉ là hợp số và thoả mãn một tính chấtnào đó của số nguyên tố

Kiểm tra tính nguyên tố (primality test) là bài toán kiểm tra xem một

số tự nhiên có phải là số nguyên tố hay không? Bài toán này đặc biệt trởnên quan trọng khi các hệ mật mã khoá công khai ra đời Liên hệ với bài toántrên, kiểm tra một số nguyên cho trước có phải là số giả nguyên tố hay không(pseudoprimality test) cũng có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn Đối vớinhững số nhỏ, những bài toán đó dĩ nhiên không khó Tuy nhiên khi làm việcvới những số lớn, ta cần tìm ra những thuật toán hữu hiệu nghĩa là có thể thựchiện được trên máy tính trong một khoảng thời gian chấp nhận được Có baonhiêu loại số giả nguyên tố? Tính chất của chúng như nhế nào và chúng cónhững ứng dụng gì? Đó là những vấn đề mà chúng tôi sẽ đặt ra, để tìm hiểu

trong bản luận văn này, với tựa đề “Về một số loại số giả nguyên tố”

Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung giới thiệu cáckết quả về: số nguyên tố; số giả nguyên tố; kiểm tra nguyên tố; kiểm tra giảnguyên tố; một số thuật toán và ứng dụng của số nguyên tố và số giả nguyên

Chương 1: Trình bày các định lý cơ bản về số nguyên tố, số nguyên tố

xác suất và một số thuật toán để tính nguyên tố theo xác suất

Chương 2 : Giới thiệu một số loại số giả nguyên tố Trình bày sơ lược

về Maple; đồng thời giới thiệu ứng dụng kiểm tra số giả nguyên tố trên

Maple

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, tôi cũng đã nhiều

cố gắng, song chắc chắn vẫn còn thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý,chỉ bảo của các thầy cô giáo và của các bạn đồng nghiệp

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã tận tìnhhướng dẫn, chỉ bảo; cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, KhoaToán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học và Thư viện Trường Đại học Vinh đãgiúp đỡ, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ trongsuốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nghệ An, tháng 08 năm 2013

Lê Thị Cẩm Anh

1.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho

số nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó (không có ước thực sự) Một số

nguyên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.

1.1.2 Định lý Ước nhỏ nhất khác 1 của số tự nhiên lớn hơn 1 là số nguyên

1.1.4 Định lý cơ bản của Số học Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích

được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số Số nguyên tố được coi là một “tích” chỉ gồm một thừa số là chính nó.

Từ đó có dạng phân tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên n>1

Khi n là một số rất lớn, việc kiểm tra xem n là số nguyên tố hay hợp

số và bài toán phân tích một hợp số n ra thừa số nguyên tố là một bài toánkhó Nếu n cỡ vào khoảng 100 chữ số thập phân, số các phép tính bít cần

thiết để kiểm tra n có phải là số nguyên tố hay không sẽ vào cỡ 10 50 Vớinhững máy tính thực hiện một triệu phép tính trong một giây, thời gian cầnthiết sẽ vào khoảng 3,1 10 36 năm Trong tin học, những bài toán dạng nàyđược gọi là “Bài toán bất trị” (xem [3])

1.1.5 Định lý Wilson Số tự nhiên p 1 là số nguyên tố khi và chỉ khi

 p 1 ! 1 mod p

Khi p 2, ta có

 p 1 ! 1  1 mod 2  

Bây giờ giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 2 Với mỗi số nguyên b với

1  b p 1, tồn tại duy nhất một số nguyên a với 1  a p 1, để cho

3 (

3

Nhân hai vế với 1 và p 1, ta được

).

(mod 1 ) 1 )(

2 )(

3 (

3 2 1 )!

1

Ngược lại, giả sử p thoả mãn đồng dư thức nói trên và b là một ước số của

p, với b p Khi đó, b là một ước số của  p 1 ! Nhưng theo giả thiết, p

lại là ước số của  p 1 ! 1,  do đó b 1 Vậy p là số nguyên tố Định lý

Để đơn giản, ta gọi công việc xem xét một số đã cho có phải là số

nguyên tố hay không là kiểm tra nguyên tố Về mặt lý thuyết, định lý Wilson

có thể được dùng để kiểm tra nguyên tố Tuy nhiên, thuật toán dựa theo định

lý Wilson khó có thể sử dụng với những số nguyên lớn, bởi vì khi số p đủlớn thì  p 1 ! cũng sẽ rất lớn Do đó, số các phép tính bit đòi hỏi sẽ quá cao

Định lý sau đây có nhiều ứng dụng trong bài toán kiểm tra nguyên tố

1.1.6 Định nghĩa Hàm số Euler ( )m là hàm số học có giá trị tại mỗi số tựnhiên m 0 bằng số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m:

1 ( , ) 1

Hàm ( )m có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước (cấp) của nhóm nhân

các số nguyên module m Hơn nữa, đối với hàm Euler ( )m ta có công thức

Gauss là công thức tổng trải trên các ước dương d của m:

Ví dụ Tìm số dư trong phép chia 21000000 cho 77

1.1.10 Kiểm tra Fermat Nếu ta muốn kiểm tra số nguyên n có là nguyên tố

không, thì ta lấy ngẫu nhiên các số nguyên b và kiểm tra xem đồng dư thức

thức b n bmodn có đúng không Nếu đồng dư thức này không đúng với

một giá trị b nào đó thì n là hợp số Nếu đồng dư thức này đúng với nhiều giá trị của b, thì ta có thể nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó Có thể

phép thử sẽ cho ta một kết quả sai

1.1.11 Kiểm tra Lucas – Lehmer Trong Số học cho máy tính (hay Số học

thuật toán), kiểm tra Lucas – Lehmer là phép kiểm tra tính nguyên tố đối với

số tự nhiên n; nó đòi hỏi rằng có một thừa số nguyên tố của n − 1 là đã biết Nếu tồn tại số b nhỏ hơn n và lớn hơn 1 là số thoả mãn

 

( 1)/n q 1 mod ,



với mọi ước nguyên tố q của n − 1, thì n là số nguyên tố Nếu không tìm thấy

số nguyên b như vậy thì n là hợp số.

Ví dụ Với n = 71, n − 1 = 70 = 2 5 7 Lấy b = 11, trước hết

70

11 1 mod 71 Kiểm tra với các ước khác của 70 ta có

35 14 10

11 5

mod 71 ,mod

4 111

71 ,mod 71

32 1

 

 

 

Do đó bậc của 11 module 71 là 70 và như vậy 71 là số nguyên tố

1.1.12 Kiểm tra Proth Mỗi số nguyên dương p có dạng 2 k n 1, với k lẻ được là một số nguyên Proth.

Định lý Proth Cho p là một số Proth, dạng 2 k n 1, với k lẻ và k < 2n Khi

đó, nếu có số nguyên b nào đó sao cho

1.1.13 Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố Năm 2002, ba tác giả

Manindra Agrawal, Neeraj Kayal và Nitin Saxena (Viện công nghệ Kanpur– Ấn Độ ) công bố thuật toán kiểm tra tính nguyên tố với độ phức tạp đa thức(thường gọi là thuật toán AKS) Tuy nhiên, với bậc đa thức khá cao (khoảngO(log12n)), cho đến nay, thuật toán chưa chứng tỏ đuợc tính hiệu quả rõ rệttrong tính toán thực tiễn Về mặt lý thuyết, thuật toán có ý nghĩa lớn vì vấn

đề này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người trong một thờigian dài Thuật toán AKS sử dụng những kiến thức khá sơ cấp với ý tưởng rấtmạch lạc, rõ ràng Thuật toán xuất phát từ ý tưởng như sau

1.2 Các giả thuyết về số nguyên tố

1.2.1 Giả thuyết Goldbach - Euler Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.

Năm 1742, nhà toán học Goldbach viết thư cho nhà toán họcEuler, trong thư Golbach đã đưa ra bài toán sau (mà sau này thường được gọi

là Giả thuyết Golbach mạnh): Mọi số tự nhiên lớn hơn 5 đều biểu diễn được

dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố

Euler trả lời rằng, theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều biểu diễn được

dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố (còn gọi Giả thuyết Golbach yếu) Nếu

chứng minh được một trong hai mệnh đề này, thì sẽ chứng minh được mệnh

đề còn lại

200 năm sau, đến năm 1937, xung quanh bài toán Golbach nhà toánhọc Vinogradov đã giải quyết bằng cách chứng minh rằng mọi số lẻ đủ lớnđều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố

Cho đến nay, bài toán Goldbach-Euler vẫn chưa giải được hoàn toàn Tuynhiên, nếu mệnh đề của Euler là đúng, chúng ta có thể chứng minh mệnh đề

Goldbach như sau: Cho số tự nhiên n > 5, chứng minh rằng n viết được dưới

dạng tổng của 3 số nguyên tố Xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1 Nếu n chẵn thì n = 2 + m với m chẵn, m > 3 Vì số chẵn lớn hơn 2 kế tiếp là 4 nên dù là m > 3 thì m vẫn viết được dưới dạng tổng 2 số nguyên tố Do đó, n viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.

Trường hợp 2 Nếu n lẻ thì n = 3 + m với m chẵn, m > 2 Theo mệnh đề Euler, vì m chẵn, m > 2 nên m viết được dưới dạng tổng hai số nguyên tố Do

đó, n viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.

Không có gì rõ ràng hơn giả thuyết này, và nó đã được kiểm tra với tất

cả các số chẵn dưới 106 Câu trả lời vẫn là một bài toán mở

Định lý sau là một bước tiến lớn đối với giả thuyết Goldbach - Euler

Định lý Chen Mọi số chẵn đủ lớn đều có thể được viết dưới dạng tổng của

hai số nguyên tố hoặc của một số nguyên tố và một số nửa nguyên tố (tích của hai số nguyên tố)

Định lý trên được nhà toán học Chen (người Trung Quốc) phát biểuđầu tiên vào năm 1966 và chứng minh chi tiết vào năm 1973 (xem [5], [6]).Chứng minh của Chen được P M Ross rút gọn khá nhiều (xem [7])

1.2.2 Giả thuyết về cặp số nguyên tố sinh đôi

Ta biết rằng các số nguyên tố có thể xa nhau tùy ý Điều đó được thể

hiện trong kết quả sau Cho số nguyên dương n tùy ý Khi đó, tồn tại n số tự nhiên liên tiếp mà mỗi một trong chúng đều là hợp số.

Vậy nhưng, các số nguyên tố cũng có thể rất gần nhau Cặp số 2,3 làcặp số nguyên dương liên tiếp duy nhất mà cả hai đều là số nguyên tố Cặp số

 p q,  được gọi là cặp số nguyên tố sinh đôi nếu cả hai đều là số nguyên tố và

2

q p  Tìm tất cả các bộ số nguyên tố sinh đôi là một bài tập đơn giản, thế

nhưng vấn đề sau thì lại là một giả thuyết lớn: Tồn tại vô hạn cặp số nguyên

tố sinh đôi Nói khác đi, tồn tại vô hạn cặp số nguyên tố có khoảng cách nhỏ hơn 3 Giả thuyết về cặp số nguyên tố sinh đôi được cho là của nhà Toán học

Hy Lạp Euclid và do đó là một trong những bài toán lâu đời nhất của Toánhọc

Ta có thể cho công thức tính số các cặp số nguyên tố sinh đôi trong bàitập sau: Ký hiệu qua 2 x số các cặp số nguyên tố sinh đôi  p q,  trong đó

q không vượt quá x Chứng minh rằng, khi x 7 ta có

trong đó [ ]x là ký hiệu phần nguyên của số thực x.

Định lý Brun ([7]) Nếu chúng ta giả thiết rằng số các cặp số nguyên tố sinh

đôi là vô hạn thì tổng các nghịch đảo của chúng là hội tụ, nghĩa là tổng

1 1 1 1 1 1 1

3 5 7  11 13 17  19 L

có giá trị hữu hạn.

Yitang Zhang, giáo sư tại Đại học New Hampshire (Durham, Mỹ), vừa

có bước đột phá trong việc chứng minh Giả thuyết về cặp số nguyên tố sinhđôi Ông đã chứng minh được rằng, có vô hạn cặp số nguyên tố có khoảngcách nhỏ hơn 70 triệu Kết quả của Yitang Zhang vẫn còn cách khá xa so vớiviệc chứng minh được Giả thuyết về cặp số nguyên tố sinh đôi Nghĩa là cầnphải giảm từ 7.107 xuống còn 3! Tuy nhiên, đây được xem là một bước tiếnrất quan trọng bởi vì nó chỉ ra rằng, khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên

tiếp không tăng lên đến vô hạn Trước đó, vào năm 2005, Daniel Goldston

cùng hai cộng sự khác đã chứng minh được rằng:

trong đó p là số nguyên tố thứ n Ngoài ra, nếu chấp nhận Giả thuyết n

Elliott–Halberstam, một giả thuyết về sự phân bố của các số nguyên tố, họ

còn chứng minh được rằng: Tồn tại vô số cặp số nguyên tố có khoảng cách

nhỏ hơn 16 Zhang đã giới thiệu kết quả này vào đầu năm 2013 trong một

seminar ở trường Đại học Harvard và đã gửi một bài báo đến Annals of

Mathematics, tạp chí của Viện nghiên cứu Cao cấp Princeton Hi vọng bài

báo sẽ sớm được công bố để các nhà Toán học từ khắp nơi trên thế giới cóthể khẳng định tính đúng đắn của nó

Bộ ba số nguyên  p q r, ,  được gọi là bộ số nguyên tố sinh ba nếu cả ba

số đều là số nguyên tố và q p 2, r q 2 Chúng ta dễ dàng tìm được chỉ

có duy nhất một bộ ba số nguyên tố sinh ba, đó là bộ số 3,5,7 Như vậy, ta

rút ra nhận xét sau “Phải chăng sinh ba thì ít mà sinh đôi thì nhiều”.

1.2.3 Giả thuyết không tồn tại số hoàn chỉnh lẻ

Người Hy Lạp cổ đại có quan niệm rất thần bí về các số Họ thú vị khi

phát hiện ra số hoàn chỉnh, nghĩa là các số nguyên dương mà tổng các ước số

dương khác nó của nó, bằng chính nó Đối với số hoàn chỉnh chẵn, có kết quảsau

), 1 2 (

2 1 

 m m

n

trong đó m 2là số nguyên dương sao cho 2 m 1 là số nguyên tố.

Đối với số hoàn chỉnh lẻ, giả thuyết “Không tồn tại số hoàn chỉnh lẻ”

vẫn chưa được chứng minh

1.2.4 Giả thuyết tồn tại vô hạn số nguyên tố Mersenne

Các số hoàn chỉnh không chỉ là trò chơi của người Hy Lạp cổ đại Như

ta đã thấy, ta có một số hoàn chỉnh chẵn khi có một số nguyên tố dạng 2m 1



Các số nguyên tố như vậy được gọi là số nguyên tố Mersenne Các số nguyên

tố Mersenne có vai trò quan trọng trong lý thuyết và cả trong ứng dụng(chẳng hạn vấn đề tìm các số nguyên tố lớn để xây dựng các hệ mật mã côngkhai) Chú ý rằng, nếu 2m 1

Gần đây bằng sự trợ giúp của máy tính, người ta đã tìm được các sốnguyên tố Mersenne khá lớn Chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne và sốnguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết đến năm 2008 là số 243112609- 1 , có12.978.189 chữ số.

1.2.5 Giả thuyết về số nguyên tố Fermat

Fermat phát biểu rằng, các số tự nhiên F n 22n 1, n0,1, 2, là số các

số nguyên tố Các số nguyên tố F được gọi là số nguyên tố Fermat Chẳng hạn, n

0 3, 1 5, 2 17, 3 257

F  F  F  F  là các số nguyên tố Fermat

Fermat đã dự đoán các số có dạng F  n 22n  là số nguyên tố Tuy1

nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh

thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, ngoài F F F F F0 , , , , 1 2 3 4, trong khi đã có hơn

70 số Fermat là hợp số đã được kiểm chứng, với

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73,

n 

Chúng ta chỉ ra một ứng dụng của số nguyên tố Fermat

Định lý Gauss Một đường tròn có thể chia thành n phần bằng nhau bằng

s

số tự nhiên, q i i 1,s là những số nguyên tố Fermat.

Như vậy có thể chia một vòng tròn thành n phần bằng nhau với

Chứng minh Vì n là hợp số nên ta có thể viết n ab trong đó a b, là các sốnguyên với 1 a b n   Rõ ràng ta phải có a hoặc b không vượt quá n.Giả sử đó là a, khi đó ước nguyên tố của a là ước nguyên tố của n ■

Từ định lý trên, ta có thuật toán sau đây để tìm ra các số nguyên tốnhỏ hơn hoặc bằng số n 1 cho trước

1.3.2 Sàng Eratosthenes Sàng Eratosthenes là một thuật toán để tìm các số

nguyên tố nhỏ hơn n Thuật toán này do nhà toán học cổ Hy Lạp là

Eratosthenes phát minh ra

Trước tiên, ta viết dãy số từ 1 đến n Trong dãy số đó gạch đi số 1, vì nó

không phải là số nguyên tố Số nguyên tố đầu tiên là 2 Tiếp đến ta gạch tất

cả những số trong dãy chia hết cho 2 Số đầu tiên không chia hết cho 2 là 3

Số 3 là số nguyên tố Ta lại gạch các số chia hết cho 3 còn lại trong dãy Tiếptục quá trình trên, ta gạch khỏi dãy những số chia hết cho một trong các sốnguyên tố bé hơn hoặc bằng n Theo định lý trên, những số còn lại của dãy

không bị gạch là tất cả các số nguyên tố không vượt quá n Thật vậy, những

số này không có ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của nó,

vậy nó phải là số nguyên tố

Bảng sau cho thấy thuật toán đơn giản để tìm số nguyên tố và các bội số

Hình 1.3.2 : Hình minh họa cho thấy thuật toán đơn giản để tìm số

nguyên tố và các bội sốNhư vậy, sàng Eratosthenes cho ta một thuật toán xác định mọi sốnguyên tố không vượt quá một số cho trước Tuy vậy, ta vẫn gặp khó khănkhi ta làm việc với những số lớn Nguyên nhân là vì thuật toán có độ phứctạp quá lớn, ta phải thực hiện phép chia cho tất cả các số nguyên tố không

vượt quá căn n Bây giờ ta xét về độ phức tạp của thuật toán trên.

1.3.3 Định nghĩa Với mỗi số thực dương x cho trước Ký hiệu

Chứng minh 1) Vì p là số nguyên tố nên ta có 0 1 1,

trong đó, trong chuỗi sau cùng, n lấy giá trị 1 và tất cả các số tự nhiên lớn

hơn 1, mà trong đó dạng phân tích tiêu chuẩn của nó không có ước nguyên

Vì ln x là một số vô cùng lớn đồng thời với x, nên bất đẳng thức P x   lnx

cho P x  cũng là một vô cùng lớn đồng thời với x.

2) Ta chú ý rằng p k  k 1 với mọi k 1, 2, nên ta có

Ta cũng cần chú ý rằng, định lý về tính vô hạn của tập hợp các sốnguyên tố cho ta biết  x là một vô cùng lớn theo x. Kết quả này bắt đầucho ta thấy bậc của vô cùng lớn  x , mặc dầu còn rất thô sơ.

x p

x

P( ) ln ( 1 1) ln ln

1 1

) 1 1 ( ln

Do đó

, ) 1 ( 2

1 )

( ) 1 ( 2

1 )

( ) ( ln

1 ln ln ) (x  x

S

nghĩa là ta được S x  là một vô cùng lớn đồng thời với x ■

Để chuẩn bị cho việc chứng minh rằng  x

x



dần tới 0 khi x tiến ra vô

cùng, ta giới thiệu hàm số N x r ,  xác định như sau

1.3.5 Định nghĩa hàm số N x r ,  Cho x là một số thực dương và r là số tựnhiên khác 0 Kí hiệu N x r ,  là số các số tự nhiên không lớn hơn x vànguyên tố cùng nhau với r số nguyên tố đầu tiên p p1 , 2 , , p r Ta quy ước

r x N

1

).

1 1 ( 2

) , (

Chứng minh Từ định nghĩa, ta có hệ thức

).

1 , ( ) 1 , ( ) ,

p

x N r

x N r x N

r

Từ đó ta được

), 0 ,

( ) 1 ( )

0 , (

) 0 , ( )

0 , (

)

,

(

2 1 , ,

r r

x N

p p

x N p

x N x

) 1 ( ]

[ ) ,

(

2 1

x p

p

x p

x x

r x

1 ( 1

1 1

( 2

) ,

(

2 1

r r

r

p p p p

p p

x r

r x N

1

).

1 1 ( 2

) ,



Chứng minh Từ định nghĩa của hàm N x r , , ta có

Áp dụng Bổ đề 1.3.6 ta được

)

1 1 ( 2

) (

r x

Gọi  là một số mà 2 x, và lấy r sao cho p r   p r1, khi đó ta có

x

).

1 1 ( 2

2 ) (

1 ) 1 1 (

lại là một vô cùng bé ( chẳng hạn, ta lấy

2 ln 2

ln x



 ), ta được2

1 2 ln 2

ln ln

1 2

) (







x x

x

x



,hay ta có

, ln ln

) (

x

c x

x





với một hằng số c thích hợp nào đó Hệ thức này đã chứng minh định lý ■

Định lý trên còn cho ta biết  x là một vô cùng lớn có bậc không lớn

Hadamard (và một cách độc lập bởi nhà toán học Bỉ C.J de la Vale’ePoussin, xem [3]).

Ta có bảng minh họa định lí như sau

x

x x

ln / ) (

Khi n là một số rất lớn, việc kiểm tra xem n là số nguyên tố hay hợp

số và bài toán phân tích một hợp số n ra thừa số nguyên tố là một bài toánkhó Nếu n cỡ vào khoảng 100 chữ số thập phân, số các phép tính bít cầnthiết để kiểm tra n có phải là số nguyên tố hay không sẽ vào cỡ 10 50 Vớinhững máy tính thực hiện một triệu phép tính trong một giây, thời gian cầnthiết sẽ vào khoảng 3,1 10 36 năm Trong tin học, những bài toán dạng này

được gọi là “Bài toán bất trị”.

1.4 Số nguyên tố xác suất

Định lí bé Fermat khẳng định rằng, với mọi số nguyên tố p và mọi sốnguyên a, ta có a p º a(mod )p Nếu mệnh đề này cũng đúng với số nguyên

dương n và với số nguyên dương a nào đó, tức a n º a(mod )n , thì n sẽ

được gọi là số nguyên tố xác suất Fermat cơ sở a

1.4.1 Kiểm tra Solovay-Strassen tính nguyên tố theo xác suất Các phép

kiểm tra tính nguyên tố hay dùng nhất là các thuật toán ngẫu nhiên Giả sử có

một mệnh đề Q(p,a) nào đó đúng với mọi số nguyên tố p và một số tự nhiên

a£ p Nếu n là một số tự nhiên lẻ và mệnh đề Q(n,a) đúng với một a£ n

được lấy ngẫu nhiên, khi đó a có khả năng là một số nguyên tố Một thuật toán kết luận rằng n là số nguyên tố là một thuật toán ngẫu nhiên hay thuật

toán xác suất

Trong các thuật toán loại này, xác suất sai của phép kiểm tra có thể

giảm xuống nhờ việc chọn một dãy độc lập các số a; nếu với mỗi số a xác

suất để thuật toán kết luận một số là số nguyên tố là nhỏ hơn một nửa thì sau

k lần thử độc lập, xác suất sai là nhỏ hơn 2−k, độ tin cậy của thuật toán sẽ tăng

lên theo k.

Kiểm tra Solovay-Strassen là một trong các phương pháp kiểm tra tính

nguyên tố theo xác suất do Robert M Solovay và Volker Strassen phát triển

1.4.2 Cấu trúc cơ bản của phép kiểm tra ngẫu nhiên

Cấu trúc cơ bản của một phép kiểm tra ngẫu nhiên là

1 Chọn một số ngẫu nhiên a.

2 Kiểm tra một hệ thức nào đó giữa số a và số n đã cho Nếu hệ thức sai thì n là một hợp số (số a là "bằng chứng" chứng tỏ n là hợp số) và dừng

thuật toán

3 Lặp lại bước 1 cho đến khi đạt được số lần đã định hoặc gặp bước 2

Sau hữu hạn lần kiểm tra, nếu không tìm được bằng chứng chứng tỏ n là hợp

số thì ta kết luận n là số nguyên tố.

1.4.3 Kiểm tra Fermat

Kiểm tra Fermat là một thuật toán xác suất kiểm tra một số tự nhiên làhợp số hay là số nguyên tố xác suất

Nếu ta muốn kiểm tra số n có là số nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên các số nguyên a và kiểm tra theo định lí Fermat bé Nếu nó không đúng với một giá trị a nào đó thì n là hợp số Còn nếu đẳng thức đúng với nhiều giá trị của a, thì ta nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó.

Với số nguyên a sao cho a n 1 1 mod n

 , nếu n là hợp số được thì n gọi là một số giả nguyên tố Fermat cơ sở a.

Nếu có một số nguyên a sao cho a n 1 1 mod n

 , thì a được xem như là một bằng chứng Fermat để chứng tỏ n là hợp số.

1.4.4 Thuật toán kiểm tra Fermat

Thuật toán kiểm tra Fermat có thể viết như sau

Inputs: n: giá trị để kiểm tra tính nguyên tố;

k: tham số tham gia vào quá trình kiểm tra

Output: hợp số nếu n là hợp số, nếu không nguyên tố xác suất

repeat k times:

lấy a ngẫu nhiên trong [1, n − 1]

if a n 1 1 mod n

  then return composite

return probably prime

1.4.5 Kiểm tra Miller-Rabin Kiểm tra Miller-Rabin là một thuật toán xác

suất để kiểm tra tính nguyên tố giống như các thuật toán kiểm tra Fermat vàkiểm tra Solovay-Strassen Nó được đề xuất đầu tiên bởi G L Miller nhưmột thuật toán tất định, dựa trên giả thiết Riemann tổng quát M O Rabin đãsửa chữa nó thành một thuật toán xác suất

Khi sử dụng kiểm tra Miller-Rabin chúng ta căn cứ vào một mệnh đề

xem chúng có đúng với số n muốn kiểm tra và một số a A được chọn ngẫu

nhiên hay không? Nếu mệnh đề Q(n,a) không đúng, thì n không phải là số

nguyên tố, còn nếu Q(n,a) đúng, số n có thể là số nguyên tố với một xác suất nào đó Khi tăng số lần thử, xác suất để n là số nguyên tố tăng lên.

Giả sử p là một số nguyên tố lẻ Khi đó, p 1 là số chẵn và ta có thểviết p 1 dưới dạng 2s m, trong đó s  * và m là số lẻ Điều này nghĩa là tarút hết các thừa số 2 khỏi p  1 Lấy số a bất kỳ trong tập 1, 2, ,p 1  Xétdãy số 2k m

Do đó, hoặc x s1  1 mod p hoặc x s1  1 mod p

Nếu x s1  1 mod p , ta dừng lại, còn nếu ngược lại ta tiếp tục với x s − 2

Sau một số hữu hạn bước, hoặc ta có một chỉ số k, 0   k s 1,sao cho

1 mod

k

x  p , hoặc tới k = 0 ta vẫn có x k  1 mod p

Ta có mệnh đề Q(p,a) như sau

Nếu p là số nguyên tố lẻ và p 1 2  s m thì với mọi a: 0 < a < p -1,

k

k

1.4.6 Định nghĩa thặng dư bình phương Giả sử m là số nguyên dương Số

x a m có nghiệm Nếu ngược lại, ta nói a không là thặng dư bìnhphương của m

1.4.7 Định lí Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết

 

đồng dư với x x 0 Ta sẽ chỉ ra rằng, nghiệm tùy ý khác x x 1 đồng dư với

Do đó, hoặc p x 0x1 , hoặc p x 0 x1, ta có điều phải chứng minh 

1.4.8 Định lí Nếu p là số nguyên tố lẻ, thì trong các số 1, 2, ,p 1 có đúng

1

2

p 

thặng dư bình phương

Chứng minh Để tìm tất cả các thặng dư module p trong các số 1, 2, ,p 1,

trước tiên ta bình phương các số đó và xét các thặng dư dương bé nhấtmodule p của các kết quả nhận được Các thặng dư dương bé nhất này là tất

cả các thặng dư dương bình phương trong các số từ 1 đến p 1 Giả sử a là

một thặng dư như vậy Vì phương trình đồng dư x2 amodp có đúng hainghiệm, nên trong số  p 1 bình phương đang xét, phải có hai bình phương

thặng dư a, số thặng dư bình phương đúng bằng 1

2

p 



1.4.9 Định nghĩa ký hiệu Legendre Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số

nguyên không chia hết cho p Ký hiệu Legendre a

* bằng 1, nếu a là thặng dư bình phương của p,

* bằng 1, nếu a không là thặng dư bình phương của p

1.4.10 Tiêu chuẩn Euler Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên

OUTPUT: FALSE nếu n là hợp số, nếu không TRUE

Chọn a ngẫu nhiên trong khoảng 1,n 1