đề cương ôn thi phần toán hình không gian lớp 12

Các công thức tính thể tích của khối đa diện V= Sđáy.. a Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng b Hai mặt phẳng vuông góc.. Các dạng bài tập MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài toán tính thể tích khối đa

TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT

TỔ TOÁN TIN

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

A Kiến thức cơ bản

1 Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)

2 Các công thức tính thể tích của khối đa diện

V= Sđáy h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ

3 Quan hệ vuông góc trong không gian

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

b) Hai mặt phẳng vuông góc

c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

B Các dạng bài tập

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Bài toán tính thể tích khối đa diện

*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:

+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích

+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để được 1 khối đa diện có thể tính thểtích bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích

SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3

2 a2

Vậy VSABC = S∆ABC SO = 13 .

4 3

Gọi O là tâm ∆ABC

Gọi A’ là trung điểm BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O

Tam giác vuông SOA có:

3 4

sin

3 2

1 2

1

2

2 2

l

BC AA

4 sin

sin 4

sin

3 3

⇒VSABC = 13 S∆ABC SO = 33.(sin2 4).sinsin2 4

Bài 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a,

AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC Tính VA’ABCtheo a?

-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH

Tam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 41 (a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3 B H C

2a

C' A'

⇒VA’ABC = 13 S∆ABC A’H =31.21a2 3 a 3 a22

Bài 3 Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có

AB = BC =a B’ là trung điểm SB C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC

a) tính VSABC

b) Chứng minh rằng AB ⊥ (AB’C’) Tính VSAB’C’

Giảia)

a

a

B'C'

B

b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân tại A ⇒ AB’ ⊥ SB

S

C a

60 ⇒ AB = a-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 21 ) =3a2

-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại B

b) Hạ SH ⊥ (ABC)

Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H là trung điểm AC

∆ABC vuông tại BTam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = a42  SH 2a

BH = 23

AC (Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều ⇒ SH = SA2 2a )

2

1 3

1 3

ABC SH AB BC SH a a

Bài 5: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC và

∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3

Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp số: VSABCD = 46

Bài 6: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a,

BC = 3a Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính VSABCD

Giải

C D

H K

ABCD SH a a

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3, (SAB) (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính VSBMDN

Giải

(SAB) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)

S∆CDN = S∆MDA = 41 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 12 S⋄ABCD = 21 2a.2a = 2a2

∆SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông tại S

4 3

1 1 1 1

1

a a a SB SA

SH      ⇒ SH = a23

⇒VSBMDN = 13 S⋄BMDN.SH = 312 a2.a23 a323

Bài 8: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC

và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng 

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diệnSAKI

2 sin 2 3

Bài 1 : SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đường chéo

= 60o các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o Tính VSABCD

Giải

A B

C

O D

-Hạ SO ⊥ (ABCD)

- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy ⇒ O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A,

B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD

- Đặt AC = BD =x

Ta có ShcnABCD = 21 AC.BD.sin60o = 2 3

4

3 2 3 2 2

S∆SBC = SM.BC = 2 3a2

3 2

3 3 3

V SBC

B

D

4

5 3

M 5

Dễ thấy ∆ABC vuông tại A S∆ABC = 12 AB.AC = 6 VDABC = 31 S∆ABC.DA = 8

Bài 4 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAD) (ABCD), ∆SAD đều Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD

Tính thể tích hình chóp CMNP

Giải

C

N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E là trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD

1.a a

8

1 4

1SCBD  S ABCD  a

VCMNP = 21 S∆NCP.MF = 3181a2.a43 a3963

Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O

0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 5: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;

SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a33 .

N M

H

Ta có SAB=600

∆SAB vuông tại A có AM =



⇒SBCMN =

3 3

10 ).

(

2

BM BC

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o;

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lượt là trung điểm SA và SD.Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM

Giải

SH

c)Thể tích khối nón V = 31 Sđáy.h , h: chiều cao

B/.Bài tập

ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thứctrên

Bài 7: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên

bằng b Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

Giải

a

C

C'O

O'

A1

A1'B'

BI

2 1 3

2 2

a O

S

M

B A

I

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD,(SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SA

Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SM SO SA

Với AO = a22 , AS =

3

2

223

2 30 cos

a a

8 3

2 3 2 3 3

Bài 9: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông

nội tiếp trong đường tròn tâm O AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ Biết góc củamặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o Tính thể tích khối trụ

Giải

A' B'

B

A

D C

A

DC AD

' ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy

Do đó: ADA’ = 60o

∆OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2

∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o = R 6

Bài 1 0 : Cho mặt cầu đường kính AB=2R Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h Một mặt

phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C)

Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có :

IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = h( 2R h)

Thể tích cần tính là:V= ( 2 )

3 3

3 Rh  h



, V’ = 0

43

R h

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

BÀI 1: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt

bên SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp

Bài giải

Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy

Ta có p=ABBC2 CA=9a Nên SABC= p(p a)(p b)(p c)=6a2. 6

Bài 3

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a

3 và mpSAB vuông góc với mặt đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN.

N

Hạ SH AB tại H thì SH chính là đường cao

SADM=1/2AD.AM=a2

SCDN=1/2.CD.CN=.a2

Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2.

mặt khác 2 2 2

111

SB SA

SH    SH= 22. 22

SB SA

SB SA

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D;

AB=AD=2a,CD=a Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

BC

S IBC

5

3 3 2

 SI=IH.tan600= a

5

3

Gọi E,D lần lượt là AC,BC

B

S

E D

 SAB đều AB=a,  SBC Vuông BC=a. 2

 SAC có AE=SA.sin600=

2

3

a  AC=a 3và SE=SAcos600=21a.

 ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy ABC vuông tại B

MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G.

A1G chính là đường cao

Bài 7

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= 3 và AD= 7 Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1.

N H M

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD

Từ H hạ HMAD tại M và HNAB tại N

Theo gt  A1MH=600 và A1NH=450

Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= 0

60sin

x

=3

2x

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)

Nên HN=AM mà AM= 2

Bài 8 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn AB=a,AD=a 3

,SA=2a và SA ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài giải

1

a a

BA SA AH

AS AB

Trong tam giác vuông HAI có

5

6 5

4 2

2 2 2

a AH

14 7

3 2 5

6 5

2 ( 2 6

1

)

.(

6

1

2

1 3

1

2

1 3 1

3

a a

a a

a a

V

KI AK HI AH SI KI

AK SI HI

AH SI

V V

V

SAHIK

SIKA SIHA

35

3.43 2.3

1

5

4.2

1

.2

1

2

2 2

a

a V

SB

SA V

SC SB

SI SH

V SAHI  SABC  SABC  

Tương tự

35

3

8a3

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CẤP CAO

Bài 1

Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y CMR VABCD không đổi

giải

nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y

đặt (x,y)=  và d(x,y)=d

Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)

Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ

VLT= d.SCDE=d.12 CD CE.sin  =21 d.b.a.sin 

mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm

Tứ diện BCDE có VBCDE=31.d(B,CDE).SCDE=31 .VLT

Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau

Do vậy VABCD=31.VLT=16 .d.a.b.sin  = hằng số

l

E F

B

E C

D

D F

Bài 2 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

SM V

SB

SM V

SB

SM V

SC

SK SA

SA SB

SM

V

V

SABCD SBAC

SMAK SBAC

12

1

.4

1

.2

1



1

2

.2

.2

22

SC

SN SB

SM SC

SB

SN

SM

SC SO

SN SG SB SO

SM SG S

S S

S S

S S

SC

SN SB

SGM SBO

SGN SMG

SM SB

SN SC

SN t SC

SN t

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=   3  1

t

t t SC

SN SB

1 1

Bài 3 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD),

AB = a, SA = a 2 H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứngminh rằng: SC  (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

Giải

C O

H

a

N F E

Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE = 21 CN

Tam giác vuông SAD có 1 2 1 2 1 2

AD AS

3

2

2 2

a

a a AD AS

27 2

2a3

Bài 4: SABCD có ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = 21 AD ∆SBD vuông tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a

CB

-Trong ∆SBD kẻ SH b BD

Vì (SBD) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD)-Tam giác vuông SBD có 12 12 12

SD SH

225

1 64

1 1

a a

Q

RB

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR

Giải

A' C

A

B E

M

N F

Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)

Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

9

2 3

2 3

9 4

FEA ABC

FEA SFEA

2749

ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE =272 V ⇒ V1 = 92 V + 274 V + 272 V = 94 V 54

2 1



V V

Bài 7: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

Giải

a

HC

1 2

1 1

4 cos sin 4 sin

S∆ABM = 21 MC’.AB = 2

4

2 2

2

232

1x ( )  (x) x 3  x

VABCD = x 3 x 3 x2 x

121

2 4

Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC  BD, ox  (ABCD) Lấy

S  Ox, S  O Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1,

B1, C1 sao cho SA SA1 32 ; SB SB1 21; SC SC1 31

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1 Chứng minh rằng SD SD1 52

Giải

C D

1 1 1

SC SD

SD SA

SA

VSADC

V SA1D1C1 1 1 1 1

.

SD SB

SB SA

SA VSABD

V SA1B1D1 1 1 1 1

.

31

SD

SD SD

SD SC

SC SB

SB VSBCD

V SB1C1D1 1 1 1 1

.

1   ⇒ SD SD1 52

MỘT VÍ DỤ MINH HỌA VỀ CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI

CỦA TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3, SA (ABC), SA =2a

Tính thể tích hình chóp SABCD và tính d(A, (SBC))

Giải

S

C

M

a 32a

S∆ABC = 21 a 3 a 3 sin 60o =

4 3 3 2

3 2

2 2 3 5

3 2 3





a S

V

SBC SABC

a

KẾ HOẠCH ÔN TẬP VÀ PHÂN CHIA THỜI GIAN CÁC CHUYÊN ĐỀ Tổng thời gian ôn tập: 60

1 Chuyên đề: Khảo sát hàm số và bài toán liên quan: 12

2 Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân, ứng dụng của tích phân; 6 tiết

3 Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình đại số: 4 tiết

4 Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit: 4 tiết

5 Chuyên đề: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác: 6 tiết

6 Chuyên đề: Hình học không gian: 6 tiết

7 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian.: 10 tiết

8 Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: 4 tiết

9 Chuyên đề: Tổ hợp, xác suất, số phức: 6 tiết

10 Chuyên đề: Bất đẳng thức, cực trị biểu thức đại số: 2 tiết