Đáp án đề cương ôn tập môn toán giữa kỳ 1 lớp 12 năm học 2020 - 2021

Khi tăng độ dài cạnh đáy của một khối chóp tam giác đều lên 2 lần và giảm chiều cao của hình chóp đó đi 4 lần thì thể tích khối chóp thay đổi như thể nào?. Không thay đổiA[r]

ĐỀCƯƠNGƠNTẬPGIỮAKỲ1LỚP12 Phần Giải tích

Câu 1. Cho hàm số y f x  xác định liên tục khoảng  ; , có bảng biến thiên hình sau:

Mệnh đề sau đúng?

A Hàm số nghịch biến khoảng 1; B Hàm số đồng biến khoảng  ; 2

C Hàm số nghịch biến khoảng ;1 D Hàm số đồng biến khoảng  1; 

Lờigiải ChọnB

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng  ; 1, suy hàm số đồng biến khoảng  ; 2

Câu 2. Cho hàm số y f x  xác định có đạo hàm cấp cấp hai khoảng a b; 

 

0 ;

x  a b Khẳng định sau sai?

A y x 0 0 y x0 0 x0 điểm cực trị hàm số

B y x 0 0 y x0 0 x0 điểm cực tiểu hàm số

C Hàm số đạt cực đại x0 y x 0 0

D y x 0 0 y x0 0 x0 khơng điểm cực trị hàm số

Lờigiải ChọnD

Dsai xét hàm số yx4  thỏa mãn y 0 0 y 0 0 x00 điểm cực tiểu hàm số

Câu 3. Cho hàm số 2017

2

y x



 có đồ thị  H Số đường tiệm cận  H là?

A 0 B 2 C 3 D 1

Lờigiải ChọnB

Đồ thị  H có tiệm cận đứng x2 Ta có lim lim 2017  

2

xyx x   H có tiệm cận ngang y0

Vậy số đường tiệm cận  H

x  1 

y   

y



2

1



Câu 4. Đường cong hình sau đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào?

A y x42x21. B y x4x21. C y x43x23. D y x43x22.

Lờigiải ChọnA

Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ 0; 1  Loại C D Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ 1; 0 Loại B

Câu 5. Cho hàm số

2

x y

x

 

 có đồ thị  C Tìm tọa độ giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị

 C

A I2; 2 B I2; 2 C I2; 2  D I 2; 2

Lờigiải ChọnA

Tập xác định D\ 2 Tiệm cận đứng x 2

 2

2

lim

x

x x   

  

 ,  2

2

lim

x

x x   

   

Tiệm cận ngang y2 lim 2

x x x 

 



Vậy I2; 2

Câu 6. Đồ thị sau hàm sốyx43x23 Với giá trị m phương trình

4

3

x  x m có ba nghiệm phân biệt?

A m 3 B m 4 C m0 D m4

Lờigiải ChọnC

Xét phương trình 4

3 3

x  x m  x  x   m

Khi dựa vào đồ thị để phương trình cho có ba nghiệm     m 3 m0

x y

O

1



3



5



O x

y

1



1

Câu 7. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề đúng?

A yCT 0 B maxy5

 C yC Ð 5 D min y4 Lờigiải

ChọnC

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x1, yC Ð 5; đạt cực tiểu x0,

CT

y  ; hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ

Câu 8. Tìm đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1

x y

x

 



A 1,

2

x y 1 B x1, y 2 C x 1, y2 D x 1,

2

y

Lờigiải ChọnC

Hàm số y ax b

cx d

 

 có đường tiệm cận đứng

d x

c

  đường tiệm cận ngang y a c



 Hàm số 1

x y

x

 

 có đường tiệm cận đứng x 1 đường tiệm cận ngang y2

Trình bày lại Ta có : Vì

1

2

lim lim

1

1 1

x x

x x

x

x

 

 

 

  nên đường thẳng y2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Vì

1

2

lim

x x x  

  

 ,

2

lim

x x x  

  

 nên đường thẳng x 1 tiệm cân đứng đồ thị

hàm số

Câu 9. Các khoảng đồng biến hàm số

3

yx  x

A 0; B 0; 2 C  D ;1 2;

Lờigiải ChọnC

2

3

y  x    x  suy hàm số đồng biến 

Câu 10. Cho hàm số

2

x y

x

 

 có đồ thị  H Tiếp tuyến  H giao điểm  H với trục

hồnh có phương trình là:

A y3x B yx3 C y3x3 D 1 1

3

y x

Lờigiải

x  

y  0  || 

y 

4

5

Phương trình hồnh độ giao điểm  H trục hoành 1

x

x x



  



Giao điểm  H trục hồnh M1;0 Ta có

 2

3

,

2

y x

x

    



Phương trình tiếp tuyến  H M1;0   1 1 1 1

y y x  x

Câu 11. Cho hàm số y f x  có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu

B Hàm số đạt cực đại x0 đạt cực tiểu x2

C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 2

D Hàm số có ba điểm cực trị

Lờigiải ChọnB

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có cực trị

Hàm số đạt cực đại x0 giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu B1; 1  giá trị cực tiểu 2

Câu 12. Số cực trị hàm số

2

yx  x 

A 0 B 2 C 3 D 1

Lờigiải ChọnD

Tập xác định D

 

3

4 4

y  x  x x x 

0

y   x  y 

2

12

y  x 

 0

y    Hàm số có cực tiểu Vậy hàm số có cực trị

Câu 13. Gọi (H) đồ thị hàm số

1

x y

x

 

 Điểm M x y( ;0 0) thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai

đường tiệm cận nhỏ nhất, với x00 x0y0 bằng?

A 2 B 1 C 0 D 3

Lờigiải ChọnB

Tập xác định \ 1

O x

y

2



Dễ có tiệm cận đứng d1:x 1 tiệm cận ngang d2:y2

Ta có    

1

0

2

, , 1

1

x

d M d d M d x

x 

    

 0

1

1

1

x

x

   



Đẳng thức xảy 0 0 0

0

1

1

1

x x x

x

      

 Vì x0 0 nên

0

x   y0  1 x0y0 1

Câu 14. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động

6 17

s t  t  t, với t s  khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s m  quãng đường vật khoảng thời gian Trong khoảng thời gian giây đầu tiên, vận tốc v m s / của chất điểm đạt giá trị lớn

A 29 /m s B 26 /m s C 17 /m s D 36 /m s

Lờigiải ChọnA

Có: vs' 3t212t17

Ta tìm giá trị lớn v 3t212t17 khoảng 0;8

' 12

v   t  ,v'  0 t BBT:

Vậy vận tốc lớn khoảng giây là: 29 /m s

Câu 15. Cho hàm số y f x ax3bx2cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng?

A a0, b0, c0, d 0 B a0, b0, c0, d 0

C a0, b0, c0, d 0 D a0, b0, c0, d0

Lờigiải ChọnC

Ta có y 3ax22bx c

Dựa vào đồ thị ta thấy nhánh cuối bên phải hướng lên suy a0 Đồ thị cắt trục tung điểm x1d 1

Hàm số có điểm cực trị x1 1 0,x2 3 0x1x2 0

b a

    b

1

x x 

3

c a

Câu 16. Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y2x m  4x2 x (với m là tham số)

A

4

m

y  B

4

m

y  C

2

m

y  D

2

m

y 

Lờigiải ChọnB

Ta có:

 lim 2 4 1

x xm x  x

    

2

2

2

lim

2

x

x m x x

x m x x

            2

4 1

lim

2

x

m x m

x m x x

           2 lim 1 x m m x m

x x x





 

   



4

m

  

2

lim

x xm x  x

 lim 12

x

m x

x x x

              

Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang 4

m

y 

Câu 17. Tìm tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số

2

2

x m m

y

x

 





đoạn  0;1 2

A m1

m  B m3

m 

C m 1

m D m2

m 

Lờigiải

ChọnC

 

2

2

2

0

3

x m m m m

y y x x               2 m m

y y  

    2

2 2

2

m m

y   m m

         



2

1

2 3

2 m m m m            

Câu 18. Hàm số y 8 2 xx2 đồng biến khoảng sau đây?

A 1;  B 1; 4 C ;1 D 2;1

ChọnD

Xét hàm số: y 8 2 xx2

có: TXĐ: D  2; 4

 2

2 2

8 2 2 1

2 2 8

x x x x

y

x x x x x x



   

   

     

; y 0 x1 Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y 8 2 xx2 đồng biến khoảng  

2;1



Câu 19. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số x m y x  

 đồng biến khoảng xác

định

A m1; 2 B m2;  C m2; . D m  ; 2

Lờigiải ChọnC

TXĐ: D\ 1  Ta có

 2

2 m y x    

Để hàm số đồng biến khoảng xác định

 2

2

0

1

m

y x D

x



     

 m2 suy m2; 

Câu 20. Gọi A, B giao điểm đồ thị hàm số

1 x y x  

 đường thẳng y  x Tính AB

A AB4 B AB C AB2 D AB4

Lờigiải ChọnA

Tọa độ điểm A, B nghiệm hệ phương trình: 1 y x x x x             

4

y x x x           2 y x x                

2 2;1

2 2;1

A B            

2 2; 2

AB

  AB4

Câu 21. Cho hàm số y f x  xác định  có đồ thị hàm số y f x đường cong hình bên Hỏi hàm số y f x  có điểm cực trị?

x 2

y  

y

0

3

A 6 B 5 C 4 D 3

Lờigiải ChọnD

Dựa vào đồ thị y f x ta thấy phương trình f x 0 có nghiệm giá trị f x đổi dấu lần

Vậy hàm số y f x  có điểm cực trị

Câu 22. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ymx3x2m26x1 đạt cực tiểu

1

x

A m1 B m 4 C m 2 D m2

Lờigiải ChọnA

Ta có: y 3mx22x m 26 y 6mx2

Để hàm số ymx3x2m26x1 đạt cực tiểu x1 thì:  

 

2

1

1 3 4 0 4

1

6

1 1

3

m

y m m m

m m

y

m

  

 

      

 

   

  

   

  

  

 

Thử lại: với m1 ta có: yx3x25x 1 y3x22x5,

1

0 5

3

x y

x

     

   

Vì a 1 nên hàm số đạt cực đại

3

x  đạt cực tiểu x1 Vậy m1 thỏa mãn

Câu 23. Tính diện tích lớn Smax hình chữ nhật nội tiếp nửa đường trịn bán kính cm



A max 36 cm

S B

max 36 cm

S C

max 96 cm

S D

max 18 cm

S

Lờigiải ChọnB

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích ABCD có OCx0x6, OB6 Khi diện tích hình chữ nhật ABCD là: SAB BC

2 36

 x x  f x  Diện tích lớn hình chữ nhật ABCD giá trị lớn f x 

2 36

 x x

0; 6

 

2

2

2 36

36

   



x

f x x

x

2

4 72

36

 

 

x x

   

 

3 0;

3 0;

  

  

   



x

f x

x

BBT

Ta có:

0; 6  

max f x 36

Vậy

max 36 cm

S

Câu 24. Cho hàm số y f x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị m để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt

6

x O

D C

B A

x 3 2

 



f x  

 

f x

0

36

Lờigiải ChọnA

Từ đồ thị  C hàm số y f x  ta suy đồ thị  C hàm số y f x  sau: - Giữ nguyên phần đồ thị  C phía trục hồnh

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị  C phía trục hồnh Khi đó, đồ thị  C hợp hai phần

Ta có: f x m phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C đường thẳng

 d :ym (song song trùng với trục hoành)

Dựa vào đồ thị  C , ta có phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt

khi

5

m m    

 



Câu 25. Cho hàm số y x a

bx c

 

 có đồ thị hình vẽ bên Tính giá trị biểu thức P  a b c

A P 3 B P1 C P5 D P2

ChọnA

Ta có: Tiệm cận đứng: x2 c

b

   2b c 0 1 Tiệm cận ngang: y1 1

b

  b1 2

Thế  2 vào  1 suy c 2 Suy hàm số có dạng

2

x a

y x

 



Đồ thị hàm số qua điểm 2;0 nên ta có: 2

a

  

  a 2

Vậy P   2 2 3

Câu 26. Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số yx42x2

tại điểm phân biệt

A  1 m0 B m0 C 0m1 D m0

Lờigiải ChọnA

 Tập xác định D

 y 4x34x, 0 0

1

x y

y

x y

  



        



 Bảng biến thiên

x  1 

y    

y 

1



0

1





 Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị m cần tìm  1 m0

Câu 27. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

2

3

y x  mx  x đồng biến 

A  1 m1 B  1 m1 C 0m1 D 0m1

Lờigiải ChọnB

Tập xác định: D Đạo hàm: y x24mx4

Hàm số cho đồng biến tập xác định  y 0, x  dấu “=” xảy hữu hạn điểm 

Điều kiện:   4m240,  m    1 m1

Câu 28. Tìm giá trị thực tham số m để hàm số  

1

y x mx  m m x đạt cực đại x1

ChọnB

Tập xác định D

Ta có: y x22mxm2m1;

2

y  x m

Hàm số đạt cực đại x1 suy y 1 0m23m0

3

m m

 

  



Với m0: y 1 20 x điểm cực tiểu hàm số

Với m3: y 1   4 0 x điểm cực đại hàm số Vậy m3 giá trị cần tìm

Câu 29. Gọi S tập hợp giá trị tham số m để hàm số

2

3

y x  mx  mx m nghịch biến đoạn có độ dài Tính tổng tất phần tử S

A 9 B 1 C 8 D 8

Lờigiải ChọnD

TXĐ: D

Ta có: y x2mx2m, y  0 x2mx2m0  1

Để hàm số chonghịch biến đoạn có độ dài  1 phải có hai nghiệm x1,

2

x thỏa mãn x1x2 3 Điều tương đương với

1

0

x x

     

 

 

2

8

8

m m

m m

  

  

  

 

1

m m

  

  



Do đó, S  1;9

Vậy tổng tất phần tử S

Câu 30. Tổng bình phương giá trị tham số m để đường thẳng ( ) :d y  x m cắt đồ thị

 :

1

x

C y

x

 



 hai điểm phân biệt A, B với AB2

A 84 B 5 C 50 D 2

Lờigiải ChọnC

Phương trình hồnh độ giao điểm  d  C :

2

1

x

x m

x

 

  

  2x   1  x mx1

 

2

1

x m x m

       1

 1 phải có hai nghiệm phân biệt khác (-1) Điều tương đương với

2

0 m 6m

       *

Gọi x1, x2 hai nghiệm  1 Giả sử A x 1;x1m, B x 2;x2m Khi đó, ta có:

 2

2

1

2

AB  x x 2x1x22 8 x1x224x x1 2 4

2

6

m m

   

7

m m

 

   



Vậy tổng bình phương giá trị tham số m 50

Câu 31. Biết đồ thị Cm hàm số yx4mx2m2018 luôn qua hai điểm M Ncố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN

A I 1; 2018  B I0;1 C I0; 2018 D I0; 2019

Lờigiải ChọnD

Giả sử M x y 0; 0 điểm cố định họ Cm Khi

4

0 0 2018,

y x mx m m

 

0 0 2018 0,

x m x y m

        0 2018 x x y            0 0 1 2018 x x x y             0 0 2019 2019 x y x y                    1; 2019 1; 2019 M N     

Suy tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN có tọa độ I0; 2019

Câu 32. Cho hàm số y f x  xác định, liên tục  có bảng biến thiên sau:

Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x  1 m có hai nghiệm

A m 2, m 1 B m0, m 1 C m 2,m 1 D  2 m 1

Lờigiải ChọnC

Ta có f x  1 m f x m1

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có hai nghiệm 1 m m         m m        

Câu 33. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y mx

x m

 

 giảm khoảng ;1?

A 2 B Vô số C 1 D 0

Lờigiải ChọnC

Điều kiện x m.Do x  ;1 nên m   ; 1 Ta có   2 m y x m    

x  1 

y    

Để hàm số giảm khoảng ;1 thìy 0 với x  ;1

4 2

m m

      

Do m nguyên m   ; 1 nên m 1 Vậy có giá trị m thỏa mãn

Câu 34. Tiếp tuyến đồ thị hàm số

2 x y x  

 với tiệm cận tạo thành tam giác có diện

tích bằng:

A 6 B 7 C 5 D 4

Lờigiải ChọnC

Gọi M x y 0; 0 điểm nằm đồ thị hàm số, 0

x  

 2

10 y x   

Phương trình tiếp tuyến M :y f x( )0 xx0y0

    0 0 10 2 x

y x x

x x       

Tiệm cận đứng:

x  , tiệm cận ngang: y2 Gọi A giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng

1 A x      0 0

4

10

2 2

2 A x x y x x x x               

Vậy

0

4

1 ;

2

x A x         

Gọi B giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngangyB 2

    0 0 10 2

2 B

x x x x x        2 B x x

   Vậy 1; 2

2

x

B  

 

Giao điểm tiệm cận 1; 2

I 

 

Ta có:

0

10 10

0;

2

IA IA x x           

2 1; 0

IB x  IB x 



Tam giác IAB vuông I nên 0

0

1 10

2 2

IAB

S IA IB x

x

   



Câu 35. Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số yx42mx2m1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp chúng 1?

A 1 B 2 C 3 D 4

Lờigiải ChọnA

 

3

4 4

y  x  mx x x m

Xét y x

x m         

Tọa độ ba điểm cực trị: A0;m1 , B m;m2m1 ,

 ; 1

C m m m

Gọi H trung điểm cạnh BC Ta có  

0;

H m m

1

2

ABC

AB AC BC

S AH BC

R

   (do ABC cân A)

2

2

AB AH R

 

2

4

AH m

AB m m

       

Suy 4

4

mm  m

3

1

3

m m m

   

Câu 36. Cho hàm số yx42mx22m2m4 có đồ thị

 C Biết đồ thị  C có ba điểm cực trị A, B,

C ABDC hình thoi D0; 3 , A thuộc trục tung Khi m thuộc khoảng nào?

A 9;

5

m  

 

B 1;1

2

m  

 

C m2;3 D 9;

m  

 

Lờigiải ChọnD

Ta có y 4x x 2m

2 0 x y x m          ;

Với điều kiện m0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  2

0;

A m  m ; B m m; 43m2;

 2

;

C m m  m Để ABDC hình thoi điều kiện BCAD trung điểm I BC

trùng với trung điểm J AD Do tính đối xứng ta ln có BCAD nên cần IJvới

 2

0; ,

I m  m

4

2

0;

m m

J   

 

ĐK: m42m2 3 2m46m2m44m2 3 0

3 m m       ;

m  

   

 

Câu 37. Một công ty muốn làm đường ống dẫn dầu từ kho A bờ biển đến vị trí B

trên hịn đảo Hịn đảo cách bờ biển km Gọi C điểm bờ cho BC vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến C km Người ta cần xác định ví trí D AC

để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết giá để lắp đặt km đường ống bờ 100.000.000 đồng nước

260.000.000 đồng

A 7 km B 6 km C 7.5 km D 6.5 km

Lờigiải ChọnD

Đặt ADx km, x0 CD 9 x; BD 369x2

Giá thành lắp đặt là:

 2  2

6

100.10 x 36 9x 260.10 10 10 x26 36 9x 

 

 

Xét hàm số f x 10x 369x2.26 < < 9 x   

 2

9

10 26

36

x

f x

x



   

 

 2  

10 36 x 26 x

      2

576 10368 43056

x

x x

   

   



13

x

 

Lập bảng biến thiên hàm số f x  0;9 ta thấy hàm số đạy giá trị nhỏ 13

2

x

Vậy AD6.5 km

Câu 38. Cho hàm số f x x33x22 có đồ thị đường cong hình bên

Hỏi phương trình 3  2

3 3 2

x  x   x  x    có nghiệm thực phân biệt?

A 7 B 9 C 6 D 5

Lờigiải ChọnA

Xét phương trình x33x2233x33x22220  

1 Đặt tx33x22 (*)  1 trở thành t33t220  2 Theo đồ thị ta có  2 có ba nghiệm phân biệt

1

1

1

t t t

  

      

Từ đồ thị hàm số ta có

+ t  1  2; 2 (*) có ba nghiệm phân biệt

+ t 1 3  2; 2 nên (*) có ba nghiệm phân biệt (khác ba nghiệm t1) + t 1 32 nên (*) có nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt

Câu 39. Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

 2

1

1

x y

m x

 

 

có hai tiệm cận đứng:

A m0 B m0 C

1

m m

  

  

D m1

Lờigiải

O x

y

2



1 1

ChọnC

Đặt g x m x 124mx22mx 4 m

Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng cần tìm m để phương trình g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

ĐK:  

  m

m m m

g              m m       

Câu 40. Cho hàm số yx32mx23m1x2 có đồ thị  C Đường thẳng d y:   x cắt đồ thị

 C ba điểm phân biệt A0; 2, B C Với M3;1, giá trị tham số m để tam giác

MBC có diện tích

A m 1 B m 1 m4.C m4 D Không tồn m

Lờigiải ChọnB

Hoành độ giao điểm  C d nghiệm phương trình

 

3

2 2

x  mx  m x   x

 x32mx23m2x0

  

2

x x  mx m 



 

2

0

2

x

x mx m

  

    



Để  C cắt d ba điểm phân biệt    có hai nghiệm phân biệt khác

 2

2

3

1 2

3

2 m m m m m m m m                          

Giả sử toạ độ giao điểm A0; 2, B x B;yB,C x C;yC với xB;xC nghiệm  

Khi đó, ta có

B C

B C

x x m

x x m

  

 

 



2 B B C C y x y x         

Suy BC 2xBxC2  2xBxC24x xB C  4 m24 3 m2

 

Mà  

2

3

;

1

d M d    



Ta có  ; 

2

MBC

S  d M d BC

  

2 4

1

2

2

2  m  m  

 

2

4 24

3

m m

m m

   

1 m m       

(thoả mãn (*))

Câu 41. Cho hàm số

1 x y x  

  C điểm M a b ;  thuộc đồ thị  C Đặt T3a b 2ab,

để tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục toạ độ nhỏ mệnh đề sau đúng?

A  3 T 1 B  1 T 1 C 1T3 D 2T 4

Lờigiải ChọnA

Hàm số

1 x y x  

 có tập xác định: D\ 1

Điểm  ;    3 1

1

a

M a b C b a

a



    



Trục Ox, Oy có phương trình y0 x0 Tổng khoảng cách từ M a b ;  đến hai trục tọa độ

1 a P a a    

Xét hàm số a P a a   

 có tập xác định:D\ 1

3

3

3

3

1

3

1 a a a a a a a a a P a a a a a a a a a a                                             2 2

1

1

1

1

1 1

4

1 1 a a a a P a a a a                                

Bảng biến thiên:

a P

P

1



 

0



0  

     

Vậy min P 2 a   1 b Do M1; 1 T 2

A h(1) 1 h(4)h(2) B h(0)h(4)2h(2)

C h( 1) h(0)h(2) D h(2)h(4)h(0)

Lờigiải ChọnC

Xét hàm số ( )h x  f x( )x đoạn 1;4

Ta có ( )h x  f x( ) 1 Dựa vào đồ thị hàm số y f( )x đoạn 1;4 ta ( )

h x  Suy hàm số đồng biến 1;4 Do đáp án C

Câu 43. Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình

3

x  x  m có nghiệm phân biệt

A 1m3 B  2 m0 C  1 m1 D 0m2

Lờigiải ChọnC

3

3

x  x  m  x  x  m

Xét hàm số yx33x22

2

3 ;

2

x

y x x y

x

 

    

 

Đồ thị hàm số y x33x22

Từ ta suy đồ thị hàm số y x33x22

Số nghiệm phương trình x33x22m1 hồnh độ giao điểm đồ thi hàm số

3 3 2

y x  x  đường thẳng ym1

Câu 44. Một ao hình ABCDE (như hình vẽ), ao có mảnh vườn hình trịn có bán kính 10m Người ta muốn bắc câu cầu từ bờ AB ao đến vườn Tính gần độ dài tối thiếu l cầu biết :

- Hai bờ AE BC nằm hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng cắt điểm O ;

- Bờ AB phần parabol có đỉnh điểm A có trục đối xứng đường thẳng

OA;

- Độ dài đoạn OA OB 40m 20m;

- Tâm I mảnh vườn cách đường thẳng AE BC 40m 30m

A l17, 7m B l25, 7m C l27, 7m D l15, 7m

Lờigiải ChọnA

Gán trục tọa độ Oxy cho A Oy

B Ox

  

 

cho đơn vị 10m

Khi mảnh vườn hình trịn có phương trình   C : x42y321 có tâm I4;3 Bờ AB phần Parabol  P :y 4 x2 ứng với x0; 2

Vậy tốn trở thành tìm MN nhỏ với  

 

M P

N C

   

  

Đặt trường hợp xác định điểm Nthì MNMIIM, MN nhỏ

MNMIIM  N; M; I thẳng hàng Bây giờ, ta xác định điểm N để IN nhỏ

 

N P  2

;

N x x

  IN  4x21x22 IN24x21x22

2

8 17

IN x x x

    

Xét f x x4x28x17trên 0; 2  

4

f x x x

   

 

f x   x1, 3917 nghiệm 1,39170; 2 Ta có f1,39177, 68 ; f 0 17 ; f 2 13

Vậy giá trị nhỏ f x  0; 2 gần 7, 68 x1, 3917

Vậy minIN  7, 682, 77 IN27, 7m MN INIM 27, 10 17, 7m

Câu 45. Cho hàm số y f x  có đồ thị f x hình vẽ

Hàm số  

2

1

2

x

y f x  x nghịch biến khoảng

A 3; 1 B 2; 0 C 1; 3 D 1;

2

 



 

 

Xét hàm số  

2

1

2

x

y f x  x có y f1x x

0

y   f1x  x 0 f1x 1x

1

1

1

x x x    

   

   

4

x x x

    

   

Ta có bảng biến thiên:

Do Hàm số  

2

1

2

x

y f x  x nghịch biến khoảng 1;3

Câu 46. Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số

3 12

y x  x  x m có

điểm cực trị

A 44 B 27 C 26 D 16

Lờigiải ChọnB

Xét hàm số f x 3x44x312x2m Ta có f x 12x312x224x,

 

0

0 12 12 24

2

x

f x x x x x

x   

        

  

Ta có bảng biến thiên

x  1 

 

f x  0  0  0 

 m 

 

f x

5

m m32

x  2 

y    

y

Xét hàm số      

   

0

f x f x

y f x

f x f x

 



  

 

 

neáu neáu

Nên từ bảng biến thiên hàm số y f x  suy hàm số y 3x44x312x2m có 5

điểm cực trị 32

m m

 

 

  

5 m 32

  

Do có 27 giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y 3x44x312x2m có 5

điểm cực trị

Câu 47. Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 3;3 đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Biết (1)f 6      

2

1

x

g x  f x   Kết luận sau đúng?

A Phương trình g x 0 có hai nghiệm thuộc 3;3

B Phương trình g x 0 khơng có nghiệm thuộc 3;3

C.Phương trình g x 0 có nghiệm thuộc 3;3

D Phương trình g x 0 có ba nghiệm thuộc 3;3

Lờigiải ChọnC

Ta có:      

2

1

x

g x  f x   g x  f  x  x1

Vẽ đường thẳng yx1 hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f x (như hình vẽ bên)

Từ đồ thị ta thấy: g x  f  x  x10,   x  3;1 (do đường cong nằm phía đường thẳng), g x  f  x  x10,  x 1;3 (do đường cong nằm phía đường thẳng)

Ta có:      

2

1

1

2

g  f     6 Bảng biến thiên:

O x

y

3



1

2



Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích S1 lớn (trong phần bên trái có nhiều ơ, có diện tích 1), đó:

 

1

3

4 S g x dx





   1

3

4 g x 

  4g 1 g 3 g 3 0 Mặt khác: diện tích nhỏ (trong phần bên phải có ơ), đó:

 

1

4S  g x dx  3

1

4 g x

   4g 1 g 3 g 3 0

Vậy phương trình g x 0 có nghiệm thuộc đoạn 3;3 (nghiệm nằm khoảng 3;1)

Câu 48. Phương trình x512 1024x16 4 8x512 1024 x có nghiệm? A 4 nghiệm B 3 nghiệm C 8 nghiệm D 2 nghiệm

Lờigiải

ChọnB

Cách1: Phương trình x512 1024x16 4 8x512 1024 x  1

Điều kiện: x512;1024

Bình phương hai vế phương trình  1 ta có:

   8   4  

512 2 x512 1024x 256 128 x512 1024x 16 x512 1024x  2 Đặt t8x512 1024 x điều kiện 0 t 4

 2 trở thành

8 64 128

t  t  t  t4t34t28t320

3

4

4 32

t

t t t

   

   



 Với t4, mà theo ta có t4 Do đẳng thức xảy

512 1024 768

x   x x

 Với

4 32

t  t  t 

Xét hàm số f t t34t28t32 với 0 t Ta có f t 3t28t 8  t 0; 4

Mà f    0 f  32.1280

x 3 1

 

g x  

 

Suy

4 32

t  t  t  có nghiệm t0 khoảng 0; 4 Do phương trình 8  

0

512 1024

x x t có nghiệm phân biệt khác 768 Vậy phương trình  1 có nghiệm

Câu 49. Cho phương trình:

    3

sinx cos 2 x 2 cos xm1 cos xm23 cos x m 2

Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm

0;

x  

 ?

A 2 B 1 C 4 D 3

Lờigiải ChọnD

Ta có:

    3

sinx cos 2 x 2 cos xm1 cos xm2 3 cos x m 2

    3

sinx sin x 2 cos x m 2 cos x m 2 cos x m

         

 3  

3 3

2 sin x sinx 2 cos x m 2 cos x m

       

Xét hàm số f t 2t3t có f t 6t2 1 0, t , nên hàm số f t  đồng biến  Bởi vậy:

     

1  f sinx  f cos xm2 sinx cos3x m 2  2 Với 0;2

3

x 

 

 

2 sin x2 cos x m 2

 

3

2 cos x cos x m

    

Đặt tcosx, phương trình  3 trở thành 2t3t2 1 m  4 Ta thấy, với 1;1

2

t  

  phương trình cosxtcho ta nghiệm

2 0;

3

x  

  Do đó,

để phương trình cho có nghiệm 0;2

x  

  điều kiện cần đủ phương trình  4

có nghiệm 1;1

t  

 

Xét hàm số g t  2t3t21 với 1;1

t  

 

Ta có g t  6t22t,  

0

0 1

3

t g t

t

  

  

   

Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình  4 có nghiệm 1;1

t  

 

khi 28

4

27

m

   

Hay, giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm 0;2

x    

  4; 3; 2

Câu 50. Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thị hình bên Hàm số y f x x2

nghịch biến khoảng

A 1;

2

 

 

 

  B

3 ;

 

 

 

  C

3 ;

2

 



 

  D

1 ;

 



 

 

Lờigiải ChọnD

Đặt    2

yg x  f xx g x  fxx2  xx21 2 x f xx2

Cho g x 0

 2

1

0

x

f x x

 

  

  



 

 

2

1

1 ptvn ptvn

x x x x x

  



  



 



1

x

 

Với

x

1

1

0

2

x

f x

 

 

 

  

       

 

 

 



nên g x 0

O x

y

1

2

t

2



3



 

g t   

1

 1

 

g t

28 27

Với

x

1

1

0

2

x

f x

 

 

 

  

       

 

 

 



nên g x 0 hay hàm số g x  f x x2 nghịch

biến khoảng 1;

 



 

 

Câu 51. Cho hàm số f x ax5bx4cx3dx2ex h a b c d e h  , , , , , , biết f  1 0

 

y f x có đồ thị hình vẽ Hỏi có số nguyên âm m không nhỏ 10

 để hàm số  

3

6

x x

y f x   mx đồng biến tập số thực ?

A 11 B 8 C 10 D 9

Lờigiải

ChọnD

Ta có:

   

 

5

4

3

5

20 12

f x ax bx cx dx ex h

f x ax bx cx dx e

f x ax bx cx d

     

     

    

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

Đồ thị hàm số y f x qua điểm 0; 2 2d 2d 1

Đồ thị hàm số y f x qua điểm 1; 0; 2; 2 ;  1; 2 nên ta có hệ phương trình:

20

20 12 20 12

1

20 12 2 20 12

4

160 48 12 2 160 48 12

0

a

a b c a b c

a b c a b c b

a b c a b c

c

  

       

  

  

              

  

           

   

 

Lại có: f  1 0

e

 

Nên:

   

4

3

1

2

4

3

f x x x x

f x x x

    

   

3

 

2

x

y f x   x m

Hàm số  

3

6

x x

y f x   mx đồng biến tập số thực 

   

 

2

2

0 ,

0 ,

,

2

y x

x

f x x m x

x

m f x x x

x

m f x x



   



      



     

 



     

 

 

 

Đặt:    

2

4

1

3

2 4

x x

g x  f x  x x x   x

   

1 3

g x  f x   x x  x  x

Bảng biến thiên

3

m

  

Mà m 10,m nên m  2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10        

Vậy có giá trị m thỏa đề

Câu 52. Cho hàm số f x , bảng biến thiên hàm số f x sau:

Số điểm cực trị hàm số  

4

y f x  x

A 5 B 9 C 7 D 3

Lờigiải ChọnC

Có f4x24x8x4f4x24x,

 

 

 

2

2

1

4

4

x

f x x

f x x

  

 

   

  



Từ bảng biến thiên ta có  

 

 

 

 

2

1

2

2

3

4

4 ;

4 1;

4

4 0;1

4 1;

x x a

x x a

f x x

x x a

x x a

     



   



    

  

 

   



(1)

Xét g x 4x24x, g x 8x4,  

g x   x  ta có bảng biến thiên

Kết hợp bảng biến thiên g x  hệ (1) ta thấy: Phương trình 4x24xa1   ; 1 vơ nghiệm

Phương trình 4x24xa2  1; 0 tìm hai nghiệm phân biệt khác

 Phương trình 4x24xa20;1 tìm thêm hai nghiệm phân biệt khác

2

 Phương trình 4x24xa21; tìm thêm hai nghiệm phân biệt khác

2

 Vậy hàm số y f4x24x có tất điểm cực trị

Câu 53. Cho hàm số f  x  x22x24x3 với x Có giá trị nguyên dương m để hàm số y f x 210xm9 có 5 điểm cực trị?

A 18 B 16 C 17 D 15

Lờigiải

ChọnB

Ta có  

2

0

3

x

f x x

x   

   

  

, x2 nghiệm kép nên qua giá trị x2 f x

không bị đổi dấu

Đặt g x  f x 210xm9 g x'  f  u 2x10 với

10

Nên    

2

2

2 10

10

0

10

10

x

x x m

g x

x x m

x x m

                               2 2

10

10

10

x

x x m

x x m

x x m

                     

Hàm số  

10

y f x  xm có điểm cực trị g x  đổi dấu lần Hay phương trình  1 phương trình  2 phải có hai nghiệm phân biệt khác

    ' ' 0 5 h p             

, (Với h x x210x m 8 p x x210x m 6)

17 19 17 17 19 m m m m m                  

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn

Câu 54. Cho hàm số f x( )2x3x28x7 Gọi Slà tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số mđể phương trình f f x( ( ) 3) m2 ( ) 5f x  có nghiệm thực phân biệt Tổng phần tử Sbằng

A 25 B 66 C 105 D 91

Lờigiải ChọnD

Đặt t f x( ) 3

* t f x( ) 3  t 2x3x28x4 (1)

Đặt 2

1

( ) ; ( ) ; ( ) 316

3 27                        x y

g x x x x g x x x g x

x y

Bảng biến thiên

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số yg x( )và yt

+ t 1 316 27



t phương trình (1) có nghiệm + t 1 316

27



t phương trình (1) có nghiệm

+ 316

27

  t phương trình (1) có nghiệm phân biệt * Ta có f f x( ( ) 3) m2 ( ) 5f x   f t( )m2t1 (2) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm

2

 

t

2

(2) f t( )m4t 4t 1 m4t 4t 1 f t( )m 2t 3t 12t6

Đặt 2

( ) 12 ; (t) 6 12 ; ( )

2

   

           

 

t

h t t t t h t t h t

t

Bảng biến thiên

Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số yh t( )và ym

Dựa vào bảng biến thiên ta có

+ m14 phương trình (2) vơ nghiệm

+ m14hoặc m 11thì phương trình (2) có nghiệm + 11m14 phương trình (1) có nghiệm phân biệt

Phương trình f f x( ( ) 3) m 2 ( ) 5f x  có nghiệm thực phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt

Vậy phương f f x( ( ) 3) m2 ( ) 5f x  có nghiệm thực phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 316

2 27

  t

Dựa vào bảng biến thiên ta kết 11m14 Suy S 1; 2; ;13 Tổng phần tử S 1 11 12 13 91   

Câu 55. Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ

Các giá trị tham số m để phương trình

   

3

2

4

3

2

m m

f x f x



 



A 37

2

m B 3

2

m  C 37

2

m  D

2

m

Lờigiải ChọnA

         

         

3

2 2

2

3 2 2 2

4

3

2

2 2 5

m m

f x m m f x f x

f x

m m f x f x f x



      



      

Xét hàm số f t t3   t, t  f ' t 3t2  1 0, t 

       

   

2

2

2

2 2

0

4 5

2

f m f f x m f x

m m

m m

f x f x

     

  



 

   

  

 

 

Với  

2

4

2

m

f x    từ đồ thị ta thấy có nghiệm Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt phương trình

 

2

4

2

m

f x   phải có hai nghiệm  

2

4 37

4 ,

2

m

m m



    

Câu 56. Cho hàm số y f x  xác định, liên tục và có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên m để phương trình 2f 3 6 x9x2m3 có nghiệm

A 9 B 17 C 6 D 5

Lờigiải

ChọnA

Điều kiện: 0

x x   x

Đặt 3 6 9 2, 0;2

3

t  x x x  

 

Ta có:

2

6 18

4 0;

3

2

x

t x

x x

  

        

 



Bảng biến thiên cho t 3 6x9x2.Vì 0;2  1;3

x   t

Phương trình trở thành:     3,  1;3 *  

m

f t m  f t   t 

Phương trình 2f 3 6 x9x2m3có nghiệm  

m

f t 

  có nghiệm t  1;3

6 12 ,

2

m

a m a m a



                   với

 1;3  

1

max 2, 0;

2

f t a a



 

    

 

Mà mm    9; 8; 7; ; 1  có giá trị m nguyên thỏa ycbt

Phần2.Hìnhhọc

Câu 1. Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân tam giác có mặt phẳng đối xứng?

A 4 B 3 C 2 D 1

Lờigiải ChọnC

Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân tam giác có mặt phẳng đối xứng gồm mặt phẳng trung trực cạnh bên mặt phẳng trung trực cạnh đáy tam giác đáy hình lăng trụ (hình vẽ minh họa)

Câu 2. Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là:

A

3

V  Bh B

6

V  Bh C V Bh D

2

V  Bh

Lờigiải ChọnA

Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B là:

V  Bh

Câu 3. Khối đa diện loại p q;  xếp theo thứ tự tăng dần số đỉnh

A  3;3 , 3; 4,  5;3 , 4;3,  3;5 B  3;3 , 4;3, 3; 4,  3;5 ,  5;3

C  3;3 , 3; 4, 4;3,  5;3 ,  3;5 D  3;3 , 3; 4, 4;3,  3;5 ,  5;3

Lờigiải ChọnD

Gọi Đ tổng số đỉnh, C tổng số cạnh, M tổng số mặt khối đa diện loại p q;  Ta có: pĐnM 2C Cụ thể:

 Xét khối lập phương loại   4; 8; 12

6

4;3 p q Đ pM C pM

M q

 



    

  



 Xét khối bát diện loại   3; 6; 12

8

3; p q Đ pM C pM

M q

 



    

  



 Xét khối mười hai mặt loại   5; 20; 30

1

2

2

; p q Đ pM C pM

M q

 



    

  



 Xét khối hai mươi mặt loại   3; 12; 30

2

0

2

; p q Đ pM C qM

M q

 



    

  



Vậy ta có xếp:  3;3 , 3; 4, 4;3,  3;5 ,  5;3

Câu 4. Cho khối lăng trụ ABC A B C    tích V, thể tích khối chóp C ABC là:

A 2V B 1

2V C

1

3V D

1 6V

Lờigiải ChọnC

Gọi h khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABC B diện tích tam giác ABC Khi đó, thể tích lăng trụ V Bh, thể tích khối chóp C ABC .

3

C ABC

V   Bh Do đó, .

C ABC

V   V

Câu 5. Khối đa diện loại 4; 3 có mặt?

A 4 B 7 C 8 D 6

Lờigiải ChọnD

Khối đa diện loại 4; 3 hình lập phương nên có sáu mặt

Câu 6. Vật thể vật thể sau không phải khối đa diện?

A . B .

C . D .

Lờigiải Chọn C

Câu 7. Hình đa diện sau khơng có mặt phẳng đối xứng?

A Hình lập phương B Hình chóp tứ giác

C Hình lăng trụ tam giác D Hình lăng trụ lục giác

Lờigiải ChọnC

Câu 8. Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A Khối đa diện loại p q;  khối đa diện có p mặt, q đỉnh

B Khối đa diện loại p q;  khối đa diện lồi thỏa mãn mặt đa giác p

cạnh đỉnh đỉnh chung q mặt

C Khối đa diện loại p q;  khối đa diện có p cạnh, q mặt

D Khối đa diện loại p q;  khối đa diện lồi thỏa mãn đỉnh đỉnh chung p mặt mặt đa giác q cạnh

Lờigiải ChọnB

Theo định nghĩa khối đa diện sách giáo khoa hình học 12 trang 15

Câu 9. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SAABCD

SAa Thể tích khối chóp S ABCD là:

A a3 B

3

3 12

a

C

3

3

a

D

3

4

a

Lờigiải ChọnC

Ta có: hSAa 3; BSABCD a2

3

1

3

a

V  B h

C D

A B

Câu 10. Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm A, B, C cho

2

SA  SA,

3

SB  SB,

4

SC  SC Gọi V V thể tích khối chóp

S ABC S A B C    Khi tỉ số V

V



là:

A 12 B

12 C 24 D

1 24

Lờigiải: ChọnD

Theo cơng thức tỉ số thể tích khối chóp, ta được: 1 24

V SA SB SC

V SA SB SC

   

  

Câu 11. Cho hình chóp S ABC có đáyABC tam giác cạnh a, SAABC SAa Thể tích khối chóp S ABC

A

3

a

B

a

C

3

a

D

a Lờigiải

ChọnD

Ta tích khối chóp S ABC

2

1

3 4

S ABC ABC

a a

V  S SA a 

Câu 12. Hình bát diện có số cạnh

A 6 B 8 C 12 D 10

Lờigiải ChọnC

Hình bát diện có số cạnh 12

Câu 13. Tìm số mặt hình đa diện hình vẽ bên:

C' B' A'

A C

A 11 B 10 C 12 D 9

Lờigiải ChọnD

Quan sát hình đa diện cho ta đếm tất có mặt

Câu 14. Cho hình đa diện Khẳng định sau sai?

A Mỗi mặt có cạnh

B Mỗi đỉnh đỉnh chung cạnh

C Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt

D Mỗi cạnh cạnh chung mặt

Lờigiải ChọnD

Xét tứ diện

Quan sát đường tơ đậm, ta thấy cạnh có hai mặt Do đó, khẳng định D sai

Câu 15. Khối chóp có nửa diện tích đáy S, chiều cao 2h tích là:

A V S h B

3

V  S h C

3

V  S h D

2

V  S h

Lờigiải ChọnC

Ta có: 1.2

3 3

V  B h S h S h

Câu 16. Tính thể tích V khối lập phương ABCD A B C D     biết AC a

A V a3 B

3

4

a

V  C

3

3

a

V  D V 3 3a3

Lờigiải ChọnA

Ta có AC  AB AB 3a ABa

Do thể tích V khối lập phương ABCD A B C D    

V a

Câu 17. Lăng trụ tam giác có độ dài tất cạnh Thể tích khối lăng trụ cho

Lờigiải

ChọnB

Diện tích đáy: 1.3.3.sin 60

2

ABC

S    Thể tích 27

4

lt ABC

V S AA

Câu 18. Tính thể tích khối tứ diện có cạnh

A B 2 C 4

9 D

9

Lờigiải ChọnD

Cách1: Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều:

3

3

12

V  

Cách2: Khối tứ diện S ABC có đáy tam giác đường cao SG

2

3

4

ABC AB

S   , 3 2 9 3 6.

3

AB

AG  SG SA AG   

Vậy .

3

S ABC ABC

V  S SG

Câu 19. Cho khối lăng trụ ABC A B C    tích V Tính thể tích khối đa diện ABCB C 

A 3

4

V

B 2

3

V

C

2

V

D

4

V

Lờigiải ChọnB

A

B

C S

G A

B

C A

B

Ta có:

3 3

ABCB C B ABC C B AC

V V V

V  V  V     

Câu 20. Nếu không sử dụng thêm điểm khác ngồi đỉnh hình lập phương chia hình lập phương thành

A Bốn tứ diện hình chóp tam giác

B Năm hình chóp tam giác đều, khơng có tứ diện

C Một tứ diện bốn hình chóp tam giác

D Năm tứ diện

Lờigiải ChọnA

Hình chóp tam giác ACB D 

Bốn tứ diện D ACD , C CB D  , B ACB A AB D  

Câu 21. Cho hình lập phương ABCD A B C D     có diện tích tam giác ACD a2 3 Tính thể tích

V khối lập phương

A V 4 2a3 B V 2 2a3 C V 8a3 D V a3

Lờigiải ChọnB

A

B

C A

B

A B

C D

A

B

C D

Gọi độ dài cạnh hình lập phương x Khi đó: Tam giác ACD tam giác cạnh x 2:

2

3

ACD S  a

 22

1

3

2

x

a

   xa

Vậy V x3a 23 2 2a3

Câu 22. Khi tăng độ dài cạnh đáy khối chóp tam giác lên lần giảm chiều cao hình chóp lần thể tích khối chóp thay đổi thể nào?

A Tăng lên lần B Không thay đổi C Tăng lên lần D Giảm lần

Lờigiải ChọnB

Ta tích hình chóp là: đáy

V  S h

Giả sử cạnh đáy a diện tích đáy

2

3

đáy a

S 

Nếu cạnh đáy tăng lên lần, tức 2a diện tích đáy

3

a chiều cao h giảm lần, tức

4

h

thể tích khối chóp

2

1

3

3 4 đáy

h a

a  h S hV

Do thể tích khối chóp không thay đổi

Câu 23. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt phẳng BCC B  vng góc với đáy B BC 30 Thể tích khối chóp A CC B  

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

3 18

a

D

3

3

a

Gọi H hình chiếu B BC Từ giả thiết suy ra: B H ABC



1

.sin

BB C

S   BB BC B BC 14 sin 30

2 a a

 a2

Mặt khác:

2

BB C

S   B H BC B H 2SBB C

BC 



 

2

2

a a a

 

LT ABC

V B H S

2 3

2

a a



3 3

2

a



1

A CC B A CC B B

V    V  

1

2 3VLT 3VLT

 

3

1

3

a



3 3

6

a



Câu 24. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Biết OAa, OB2a, OCa Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC

A

2

a

B

19

a

C 17

19

a

D 2

19

a

Lờigiải ChọnD

Cách1:

3

1

6

OABC

a

V  OA OB OC

Tính AB OA2OB2 a 5, AC OA2OC2 2a, BC OB2OC2 a

    19

S  p pAB pAC pBC  (với p ABACBC )

a

C'

A' B'

C B

A H

4a

B

O C

Gọi hd O ABC ;  Ta có 3

3 19

OABC

OABC ABC

ABC V

V h S h

S

   

Cách2:

Áp dụng cơng thức tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh O đến mặt phẳng ABC tứ diện vng OABC ta có: 2 12 12 12 22

3

OH OA OB OC  a

2

19

a OH

 

Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có diện tích mặt ABCD, BCC B , CDD C 

2a ,

3a ,

6a Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D    

A 36a3 B 6a3 C 36a6 D 6a2

Lờigiải ChọnB

Ta có

2

2

ABCD

S  a  AB BC 2a2  1

2

3

BCC B

S    a BC BB  3a2  2

2

6

CDD C

S    a CD CC.  6a2 AB BB.  6a2  3

Nhân vế theo vế      1 , , ta  2

36

AB BC BB  a  AB BC BB  6a3

3

ABCD A B C D

V     AB BC BB  a

Câu 26. Tính thể tích khối bát diện có cạnh

A 8

3 B

16

3 C

4

3 D

16

Lờigiải ChọnA

C' D' B'

C B

A D

Gọi ABCDEF hình bát diện có tâm H (như hình vẽ) có cạnh

Ta có 2

2

AC

EH  AH   

Thể tích bát diện cho

2

1

2 .2

3 3

E ABCD ABCD

V  V  S EH 

Câu 27. Cho tứ diện OABC có OAa, OB2 ,a OC3a đơi vng góc với O Lấy

M trung điểm cạnh AC; N nằm cạnh CB cho

CN  CB Tính theo a thể tích khối chóp OAMNB

A 2a3 B 1

6a C

3

2

3a D

3

1 3a

Lờigiải ChọnC

Ta có:

1

M

O

B

C A

N

E

A

B

D

F

 

    

1 1

; ;

3 3 3

MOBC OCN OBC OABC

a

V  d M OBC S  d M OBC S  V 

3

3

3

AOMNB OABC MOBC

a a

V V V a  

Câu 28. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng ABCD A B C D     có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD

bằng 60 cạnh bên AA a

A 9

2a B

3

1

2a C

3

3

2 a D

3

3a

Lờigiải ChọnC

Trong ABCD gọi OACBD Ta có: ABD tam giác cạnh a

BD a

  , AC2AOa

Thể tích khối lăng trụ là: V SABCD.AA BD AC AA



2a a a

 3

2 a



Câu 29. Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng B, BCa, AC2a, tam giác SAB tam giác Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M AC Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

6

a

V  B

3

3

a

V  C

3

6

a

V  D

3

3

a V 

Lờigiải ChọnA

a

a a

O

C'

D' B'

C B

A D

Tam giác ABC vuông B: AB AC2BC2 a Tam giác SAB nên SAABa

Tam giác SAM vuông M nên: SM  SA2AM2 a

Vậy

3 ABC

V  S SM d

3

6

a



Câu 30. Lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác vng cân A, ABa, biết thể tích lăng trụ

ABC A B C  

3

4

a

V  Tính khoảng cách h AB B C 

A

3

a

h B

8

a

h C

3

a

h D

3

a h

Lờigiải ChọnA

Ta có ABA B C  d AB B C ,  d AB A B C ,   d B A B C ,   

2

2

ABC a

S 

2a

a M

B

C A

S

a a

h

B C

A

B'

A'

ABC

V S h

3

2

4

3

ABC a

V a

h

S a

   

Câu 31. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     tích G trọng tâm tam giácBCD Thể tích V khối chóp G ABC là:

A

3

V  B

6

V  C D

18

V 

Lờigiải ChọnD

Gọi O tâm hình hộp

Ta có G trọng tâm tam giác BCD

3

GO CO

  nên . .

3

G ABC C ABC

V   V

Mà . .

6

C ABC ABCD A B C D

V   V      nên

1 18

G ABC

V  

Câu 32. Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    có cạnh đáy a mặt bên có diện tích 4a2 Thể tích khối lăng trụ là

A

6

a

B a3 C 2a3 D

3

2

3

a

Lờigiải ChọnB

Do ABC A B C    khối lăng trụ tam giác nênABB A  hình chữ nhật

12

V 

C'

B' A'

A

B

C

A B

C D

A

B

C

D

Mặt khác mặt bên có diện tích

4a nên

2

AB AA  a

2

4a AA

AB



 

2

4

a AA

a 

   AA2 2a

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

1

.sin 60

ABC A B C

V     AB AB AA

1

2 2.sin 60 2

2a a a

  a3

Câu 33. Cho khối chóp tam giác S ABC có SAABC, tam giác ABC có độ dài cạnh AB5a;

BC a; AC7a, góc SB ABC 45. Tính thể tích khối chóp S ABC

A 50 3a3 B 50 3

3 a C

3

50

3 a D

3

50 a

Lờigiải ChọnB

Ta có nửa chu vi ABC 10

2

AB AC BC

p    a

Diện tích ABC SABC 10 2a a a a 10 3a2

 

SA ABC nên SAB vng, cân A nên SAAB5 Thể tích khối chóp S ABC .

3

S ABC ABC

V  SA S

Câu 34. Cho hình chóp Gọi , , , theo thứ tự trung điểm , , ,

Tính tỉ số thể tích hai khối chóp

A B C D

Lờigiải

ChọnA

2

1

5 10

3 a a

 50 3

3 a



S ABCD M N P Q SA SB SC SD

S MNPQ S ABCD

1

1

1

Ta có

Câu 35. Cho khối lăng trụ có đáy tam giác cạnh , cạnh bên ,

góc mặt phẳng đáy Tính thể tích khối lăng trụ cho theo

A B C D

Lờigiải ChọnA

Kẻ , Khi góc mặt phẳng đáy góc

Trong vuông , có

Ta có

Q

P N

M

A

B

C

D S

1

S MNP S ABC

V  V . .

8

S MQP S ADC

V  V

1 1

8 8

S MNPQ S MQP S MNP S ABC S ADC S ABCD

V V V V V V

     

1

S MNPQ

S ABCD V V

 

ABC A B C   ABC a AA a

AA 30 a

3 3

8

a 3

24

a 3

4

a 3

12

a

 

A H  ABC HABC AA AA

AH A AH 30

A AH

 H A H  A A sinA AH a.sin 30

2

a A H

 

2

3

4

ABC A B C ABC

a a

V    S A H 

3

3

ABC A B C a

V   

Câu 36. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, hai mặt phẳng SAB,SAD

cùng vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

A

3 2

3

a

B

3 6

3

a

C

3

2

3

a

D

3

4

3

a

Lờigiải ChọnB

Ta có SAABCSCA60 SAtan 60 AC a Do thể tích khối chóp S ABCD

3

1

3 ABCD 3

a

V  S SA a a 

Câu 37. Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh ,

hợp với đáy góc Thể tích khối hộp

A B C D

Lờigiải ChọnB

Góc Suy

Thể tích khối hộp đứng

Câu 38. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC A B C    có đáy tam giác vng cân A,

ACAB a, góc AC mặt phẳng ABC 30 Thể tích khối lăng trụ

ABC A B C  

A 4a B

3

4a

C

3

2a

D

2

4a

ABCD A B C D    ABCD a BAD60 AB

ABCD 30

2

3

a 3

2

a

6

a 2

6

a

D'

B' C'

C B

A'

D A

AB ABCD B AB BB AB tanB AB a ABCD

V BB S

2

3

3

2

a a

a

Lờigiải ChọnB

Ta có AC hình chiếu vng góc AC lên mặt phẳng ABC

 



AC, ABC  CAC 30

   

Tam giác ACC vuông C có tan 30 3

a

CC AC  

Khi

3

4

3

ABC A B C ABC

a

V    S CC

Câu 39. Cho khối tứ diện tích V Gọi V thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho Tính tỉ số V

V



A

3

V V



 B

4

V V



 C

8

V V



 D

2

V V

 

Lờigiải

ChọnD

Gọi khối tứ diện cho ABCD

Gọi E, F, G, H, I, J trung điểm AD, AB, AC, BC, CD, BD Khi ta có: V V4.VA FEG.

Mặt khác .

A FEG

V  V

Suy 1

2

V

V V V

V

 

   

H G

E F

J

B D

C A

I A B

A

C B

A

C

Câu 40. Đáy hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C    tam giác cạnh a4 biết diện tích tam giác A BC Thể tích khối lăng trụ

A 2 B 4 C 8 D 16

Lờigiải ChọnC

Diện tích đáy 3.42 4

ABC

S  

Gọi H trung điểm BC, suy A H BC 3

a

AH  

Mặt khác

2

A BC

S   A H BC A H S A BC

BC 



   

Trong A AH vuông A, ta có AA A H 2AH2 2 Do thể tích lăng trụ V 2.4 38

Câu 41. Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo mặt , 10 , 13 Tính thể tích khối hộp cho

A 10 18

6

V  B V 8 C V 6 D V 4

Lờigiải ChọnC

Giả sử hình hộp ABCD A B C D     có độ dài đường chéo mặt bên

AB  , B D   10, AD  13

Đặt AA x, A B   y, A D  z ( , ,x y z0)

C D B

B' A'

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông A AB , A B D  , A AD  ta có hệ phương trình:

2

2

2

5 13 10

x y

x z

y z

  



 

 

 



Suy

2 2

4

1

3

x x

y y

z z

   

 

  

 

  

 



(vì , ,x y z0) Vậy thể tích khối lập phương V xyz6

Câu 42. Ông An muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/m2 Nếu ông An biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí

th nhân cơng thấp Hỏi ơng An trả chi phí thấp để xây dựng bể bao nhiêu?

A 108 triệu đồng B 54 triệu đồng C 168 triệu đồng D 90 triệu đồng

Lờigiải ChọnA

Theo ta có để chi phí th nhân cơng thấp ta phải xây dựng bể cho tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ

Gọi ba kích thước bể a, 2a, c a m 0,c m 0

Ta có diện tích cách mặt cần xây S 2a24ac2ac2a26ac

Thể tích bể

2

144

.2 288

V a a c a c c

a

    

Vậy 2

2

144 864 432 432 432 432

2 2 216

S a a a a a

a a a a a a

        

Vậy

216

min

S  m

Chi phí thấp 216 500000 108  triệu đồng

Câu 43. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giácABC cạnh a, tam giác SBA vuông B, tam giác SAC vng C Biết góc hai mặt phẳng SAB ABC 60 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

A

3

3

a

B

3

3 12

a

C

3

3

a

D

3

3

a

Lờigiải

ChọnB

S

D

B

Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ABC, suy SDABC Ta có SDAB SBAB gt( ), suy ABSBDBABD Tương tự có ACDC hay tam giác ACD vuông C

Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền cạnh góc vng), suy SBSC Từ ta chứng minh SBD SCD nên có DBDC

Vậy DA đường trung trực BC, nên đường phân giác góc BAC Ta có DAC30, suy

3

a

DC  Ngồi góc hai mặt phẳng SAB ABC

 60

SBD , suy tan tan

3

SD a

SBD SD BD SBD a

BD

    

Vậy

2

1 3

3 12

S ABC ABC

a a

V  S SD a

Câu 44. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng A góc ABC30; tam giác SBC

là tam giác cạnh a mặt phẳng SAB vng góc mặt phẳng ABC Khoảng cách từ A

đến mặt phẳng SBC là:

A

5

a

B

3

a

C

3

a

D

6

a

Lờigiải ChọnD

Ta có tam giácABC vng tạiA góc ABC30 BCa, suy ,

2

a a

AC AB

Lại có SAB ABC AC SAB

CA AB

 



 

   

, suy tam giác SAC vuông A Suy

2

2 2

2

a a

SA SC AC  a    

 

Tam giác SABcó 3, 3,

2

a a

SA AB SBa Từ sử dụng cơng thức Hê-rơng ta tính

2

2

2 SSAB

a a a AB

S  SH   BH 

S

B A

C

K H

Suy  ,   , 

d H SBC  d A SBC Từ H kẻ HKBC

Kẻ HESK HESBC Ta dễ tính  , 

6

a a

HK  d H SBC 

Vậy  ,   ,  6

2

a a

d A SBC  d H SBC   

Câu 45. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, BCa Cạnh bên

SA vng góc với đáy đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB góc 30 Tính thể tích V khối chóp S ABCD theo a

A

3

2

a

V  B

3

2

a

V  C V  3a3 D

3

3

a

V 

Lờigiải ChọnA

Ta có: BC SA BC SAB

BC AB

 

 

  

SB

 hình chiếu SC lên mặt phẳng SAB

 

SC SAB,  SC SB,  CSB 30

    

Xét tam giác SBC vuông B có tan 30 BC SB 3a SB

   

Xét tam giác SAB vuông A có SA SB2AB2 2a Mà SABCD AB BC a2

Vậy

3

1

3 ABCD

a

V  S SA

Câu 46. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm

A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC

4

a

Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC A B C   

A

3

a

V  B

3

3 12

a

V  C

3

3

a

V  D

3

3 24

a

V 

Lờigiải ChọnB

S

A

B C

Ta có A G ABC nên A G BC; BC AM BCMAA

Kẻ MI AA; BC IM nên  ; 

a

d AA BC IM 

Kẻ GH AA, ta có 2 3

3

AG GH a a

GH

AM  IM    

2 2 2 2 2 2

3

1 1 3 6

3 12

a a

AG HG a

A G

HG  A G  AG    AG HG  a a  

2

3

3 12

ABC A B C ABC

a a a

V    A G S   ( đvtt)

Câu 47. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vuông; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

3 7

a

Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

V  a B

V a C

3

V  a D

3

3

a

V 

Lờigiải ChọnD

Gọi I ; J trung điểm AB; CD; K hình chiếu I lên SJ

3

x

K

D J C B

I A S A

B

C M

G H

I

A

B

Vì AB//CD nên      

2

; ; IS IJ

d A SCD d I SCD IK

IS IJ

  



2

3

3 2

7

4

x x a

x x

 



3

x a

 

Từ suy

3

1 3

3 2

x a

V  x 

Câu 48. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng cân B, ACa 2, SAABC, SAa Gọi G trọng tâm SBC, mp  qua AG song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi Vlà thể tích khối đa diện khơng chứa đỉnhS Tính V

A

4

a

B

4 27

a

C

5 54

a

D

2

a Lờigiải

ChọnC

Trong mặt phẳng SBC Qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC SB, ,E F Khi ta khối đa diện không chứa đỉnh S ABCEF

Ta có G trọng tâm SBC nên AF

2

3

S E

S ABC

V SA SF SE

V SA SB SC  

Do

.AF

4

9 S ABC 9

S E S ABC ABCEF S ABC S ABC

V  V V V  V  V

Vì tam giácABCvng cân ,B ACa nên ABBCa Mặt khác

3

1

3

S ABC

a

V  a a a Suy

3

5

9 54

ABCEF

a a

V  

Câu 49. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có cạnh đáy 2a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC 

2

a

Khi thể tích khối lăng trụ bằng:

A a3 B 3a3 C 4

3a D

3

Lờigiải ChọnB

Gọi Klà trung điểm BC, dựng AH A K H  A K  Ta có AHA BC , suy

 

 ; 

6

A A BC

a

d  AH 

Tam giác ABCđều, có đường cao 3.2

AK aa

Xét tam giác AA K vuông A, đường cao AH

Ta có: 2 2 2 42 12 12

6 3 AA a

AA  AH  AK  a  a  a  

Thể tích khối lăng trụ: . 3. 3 2 2 3

4

ABC

V AA S a a  a

Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có độ dài tất cạnh a hình chiếu vng góc đỉnh C lên mặt phẳng ABB A  tâm hình bình hành ABB A  Thể tích khối lăng trụ

  

ABC A B C tính theo a là

A

2

a

B

3

2 12

a

C a3 D

3

3

a

Lờigiải

ChọnA

Gọi O tâm hình thoi ABB A 

Theo giả thiết suy COBA hay tam giác CBA cân C

K B'

C'

C A

B A'

H

a O

C A

B'

A'

Do C ABB A   hình chóp tứ giác đều, cạnh a Ta có

2

2 2 2

2

 

     

 

a a

CO CA AO a

Khi

3

1 2

3

     

C ABB A ABB A

a a

V S CO a

Ta có . .

3

      

C A B C ABC A B C

V V nên . .

3

     

C ABB A ABC A B C

V V

Do

3

3

2

     

ABC A B C C ABB A a

V V

Câu 51. Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác vng cân B, ABa Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABClà điểm H thuộc cạnh AC cho HC2HA Mặt bên

ABB A  tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ là:

A

6

a

B

3

3

a

C

3

3

a

D

3

3

a

Lờigiải ChọnD

Tam giác ABC vuông cân B, ABa BC

2

3

ABC a S

 

Ta có ABB A  tạo với đáy góc 60 A IH 60, với IH//BC

Suy tan 60

3

A H IH   BC ah

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

3

3

2

ABC A B C ABC a

V   S h

Câu 52. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB2 cạnh cịn lại x Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD 2

A x B x2 C x3 D x2

Lờigiải ChọnB

Cách1: Gọi M trung điểm CD H hình chiếu A BM ;

 

CD AM CD BM CDABMAH BCD

A C

B

B

C A

Đặt AMB suy sin  AH

AM

3 sin

2



AH  x

1



ABCD BCD

V AH S

2

1 3

sin 2

3 

 x x  sin25126

x

Xét tam giác AMB ta có:

2 2

2

8

cos

2

 AM BM AB  

AM BM x

Ta phương trình:

2

6

512

1

 

   

 

x x Giải phương trình ta x2 Cách2:Nhận xét: CD AM CD ABM

CD BM

 

 

  

1 2

2

3 3

ABCD NBCD BNCD DNC

V  V  V  BN S   MN DC

 

trong

2 2

2

2

3

3 12

2

DN AB AN x

x

MN DN DM

    



 

   



,0xa 3

2

3 12

2 2

3

ABCD

x

V   x x

Câu 53. Một người cần làm hình lăng trụ tam giác từ nhựa phẳng để tích

3

6 cm Để hao tốn vật liệu cần tính độ dài cạnh khối lăng trụ tam giác bao nhiêu?

A Cạnh đáy cm cạnh bên cm

B Cạnh đáy cm cạnh bên cm

C Cạnh đáy 2 cm cạnh bên cm

D Cạnh đáy cm cạnh bên bằng1cm

Lờigiải ChọnB

M A

D

C

B H

A

M B

A

M B

Giả sử hình lăng trụ tam giác cần làm ABC A B C    có độ dài ABx, AA h

Khi

4

ABC

S  x

3

4

ABC A B C ABC

V    S AA x h

Theo giả thiết

2

3 24

6

4 x h h x

Để tốn vật liệu diện tích tồn phần khối lăng trụ ABC A B C    nhỏ Gọi Stp tổng diện tích mặt khối lăng trụ ABC A B C   , ta có:

2

3 72

2 3

2

tp ABC ABB A

S S S x hx x

x  



     

Khảo sát   72

2

f x x

x

  0;, ta f x  nhỏ x2 Với x2 3h2 cm

Câu 54. Cho tứ diện ABCD có ABCDa M, N trung điểm cạnh AD BC Biết thể tích khối ABCD

3 3

12

a

V  d AB CD ; a (giả sử

2

a

MN ) Khi độ dài đoạn MN là:

A MN a B

2

a

MN  C

2

a

MN  D MNa

Lờigiải: ChọnC

h

x C'

B' A'

C

B A

H

N

M

C B

D

E

Dựng hình bình hành BDCE Khi ta có d CD AB ; d C ABE ; a Đặt

2

a MN x x  

 , suy AE2x

Gọi H trung điểm AB, ta có: 1.2 2 2

2

ABE

S  AE BH  x a x x a x Nên kí hiệu

diện tích tam giác

   

3

2

1

3 12

a

V C ABE V ABCD  a x a x 

2

2 2 4

16 16

4

a

x a x x a x a

     

2

2

3 4

x a

x a

    

 



Kết hợp điều kiện,

a

x

Câu 55. Xét khối tứ diện ABCD, ABx, cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện

ABCD lớn

A x B x2 C x 14 D x3

Lờigiải ChọnD

Gọi M, H trung điểm AB CD

Ta có tam giác ABC, ABD cân C D Suy CM AB AB CDM

DM AB

 

 

  

Ta có: CAB DAB c c c  suy MCMD Ta MHCD

Tứ diện BMCH có đường cao BM , đáy tam giác MHC vng H Có

2

x

BM  ; BH BC2CH2  12 3 3

3

HC ;

2

2 9

4

x

HM  BH BM   Suy

2

1

2

MHC

x

S  MH HC 

2 3

x 2

H M

B D

2

1

2 2.2

3 2

ABCD BMCD BMHC

x x

V  V  V  

2 2

3 3 3

9

3 4 4

x x x x x x 

        

 

Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện 3

2 , đạt

2

2

9 18

4

x x

x x

     

Câu 56. Một viên đá có hình dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cắt khối đá mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện khối đá bị cắt mặt phẳng nói (Giả thiết tổng thể tích hai khối đá sau thể tích khối đá đầu)

A

2

a

B

2

2

a

C

2

4

a

D

2 a Lờigiải ChọnD

Gọi M , N, P, Q giao điểm mặt phẳng cắt với cạnh bên SA, SB, SC, SD

và H SOMNPQ Do  

      SO ABCD SH MNPQ MNPQ ABCD         

Đặt SH SM SN SP SQ k

SO  SA  SB SC SD k0 (Định lý Thales) V VS ABCD

Ta có VS MNPQ

V 2 S MPQ S MNP

S ABC S ACD V V

V V

 

2

SM SN SP SM SP SQ

SA SB SC SA SC SD

 

   

   

3

1 k k

  k3

Theo ycbt :

S MNPQ V

k

V  

1

k

 

Mặt khác S MNPQ V V  MNPQ ABCD SH S SO S

 MNPQ

ABCD S k S  MNPQ ABCD S S k   2 a  a 

Câu 57. Cho nhơm hình vng cạnh m  hình vẽ Người ta cắt phần tô đậm nhôm gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x m , cho bốn đỉnh

của hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm giá trị x để khối chóp nhận tích lớn

A

4

x B

3

x C 2

5

x D

2

x

Lờigiải ChọnC

Từ hình vng ban đầu ta tính , 1 1

2

x x

OM  S M S O OM   (0x 2)

Khi gấp thành hình chóp S ABCD S1S nên ta có SM S M1

Từ 2 2

2

x

SO SM OM   (Điều kiện

2

x

  )

Thể tích khối chóp S ABCD : . 2 2 2

3 6

S ABCD ABCD

V  S SO x  x  x  x

Ta thấy VSABCD lớn f x 2x42 2x5,0 2

x

  đạt giá trị lớn Ta có f x 8x310 2x4 2x34 2 x

 

0

0 2 2

5

x

f x

x

  

  

  

Bảng biến thiên

S S

A

B D

M O

1

S C

A

B C

D O

x

Vậy: VS ABCD. lớn 2

x

Câu 58. Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A

lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC

4

a

Khi thể tích khối lăng trụ

A

3 3

12

a

B

3 3

a

C

3 3

a

D

3 3

24

a Lờigiải

ChọnA

Gọi H trọng tâm tam giác ABC I trung điểmBC Ta có

 

A H BC

AI BC BC A AI BC AA

A H AI H

   

 

    



   



Gọi K hình chiếu vng góc I lên AA Khi IK đoạn vng góc chung AA

và BC nên =  , 

a

IK d AA BC  Xét tam giác vuông AIK vuông K có



3

= , 30

4 2

a a

Xét tam giác vuông AA H vng H có = tan30 3

3 3

a a

A H AH   

Vậy

2

3

V

4 12

ABC A B C

a a a

    

Câu 59. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn 1152 m chiều cao cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phòng theo kích thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường)

A 16 m 24 m B 8 m 48 m C 12 m 32 m D 24 m 32 m

Lờigiải ChọnA

Đặt x, y, h chiều dài, chiều rộng chiều cao phịng Theo giả thiết, ta có x y.3 1152 y 384

x

  

Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần nhỏ

Ta có Stp 4xh 6yh 3xy 4xh 6.384h 1152 4h x 576 1152

x x

 

         

 

Vì h khơng đổi nên Stp nhỏ f x  x 576 x

  (với x0) nhỏ

Cách1: Khảo sát f x  x 576 x

  với x0 ta f x  nhỏ x24 y16

Cách2. BĐT Côsi x 576 x.576 48

x x

   Dấu “=” xảy x 576 x 24

x

   

TheodõiFanpage:NguyễnBảoVương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

HoặcFacebook:NguyễnVươnghttps://www.facebook.com/phong.baovuong

Thamgiangay:NhómNguyễnBàoVương(TÀILIỆUTỐN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

ẤnsubkênhYoutube:NguyễnVương



https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tảinhiềutàiliệuhơntại:http://diendangiaovientoan.vn/