- Tính chất đường chéo của tứ giác đặc biệt. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ M bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB, BC, CA cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng min[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ - DẠNG CHỨNG MINH :
TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,
GĨC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY )
I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA. 1 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn : Cách Sử dụng định nghĩa đường trịn
Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AM, BN, CP ; H là
trực tâm tam giác Gọi D, E, F thứ tự trung điểm cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự trung điểm AH, BH, CH
Chứng minh : điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm đường trịn
Cách Sử dụng định lí đảo Tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hệ 1: Nếu tứ giác có góc góc kề bù với góc đối tứ giác nội
tiếp đường tròn
Hệ : Nếu MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn.
Ví dụ : Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C (C không
(2)Cách : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.
Nếu nhiều điểm nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng chứa AB, nhìn AB góc điểm thuộc đường tròn nhận AB làm dây
Hệ : Nếu hai đoạn thẳng AB CD cắt I thỏa mãn IA.IB = IC.ID bốn điểm A,B,C,D thuộc đường trịn
Ví dụ : Cho (O) MA, MB tiếp tuyến, MCD cát tuyến ( MC < MD ) Gọi I là
(3)2 Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn.
Các cách chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn.
Cách : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến đường tròn ( đường thẳng đường trịn có điểm chung )
Cách : Theo VTTĐ đường thẳng đường tròn ( khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn )
Cách : Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
Cách : Sử dụng định lí đảo góc tạo tia tiếp tuyến dây Nếu
1 ABx AmB
Bx tiếp tuyến (O)
Ví dụ Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O; R) cố định Từ điểm A kẻ đường
thẳng d không qua O, cắt đường tròn (O) B, C (B nằm A C) Các tiếp tuyến đường tròn (O) B, C cắt D Kẻ DH vng góc với AO H; DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC
Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn (O)
+ OI.OD = OC2 = OM2 (1)
+ PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2)
+ Từ (1) (2) => OM2 = OH.OA => AM tiếp tuyến (O)
3 Chứng minh đường thẳng song song, góc
a Chứng minh đường thẳng song song.
(4)- Góc vị trí SLT, SLN, ĐV, phía bù - Cạnh đối tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV
- Định lí thứ đường trung bình tam giác, hình thang - Định lí Ta let đảo
b Chứng minh góc nhau. - Cộng góc
- Góc SLT, SLN, ĐV
- Góc có cạnh tương ứng song song - Sử dụng tam giác nhau, đồng dạng
- Quan hệ góc đường trịn : Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây
Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp
tuyến B C cắt S, BC OS cắt M AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR : NP // MS
+
AB AE AE AEB BMS
BS BM EM
#
+ ABx ACB MEC
=> ( ) (1)
AM AE AEM ABS c g c
AS AB
#
+ ( ) (2)
AN AE AEN ABP g g
AP AB
#
Từ (1) (2) suy NP//MS ( định lí Ta let đảo ) 4 Chứng minh đẳng thức hình học.
- Các phép biến đổi tương đương - Định lí Pitago
- Định lí Ta let hệ
- Cạnh , đường chéo tứ giác đặc biệt - Tam giác nhau, đồng dạng
(5)- Tính chất trọng tâm tam giác
- Trong đường tròn, hai cung căng hai dây nhau; hai dây song song chắn hai cung
- Quan hệ góc đường trịn
- Phương tích điểm đường tròn
Vớ dụ Từ điểm D nằm ngồi đờng trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA DB đến
đ-ờng tròn (A B tiếp điểm) Tia
Dx
nằm hai tia DA DO;Dx
cắt đờng tròn hai điểm C E (E nằm C D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB MChøng minh r»ng:
2
MB
DE
=
MC
DC
+
900 900 900 1800 3600
2
EOC EAC
BMC OMC CEO s® EAC
=> ( ) (1)
AE MB AEC MBC g g
AC MC
#
+
2
( ) DA DE AE AE DE (2)
DAE DCA g g
DC DA AC AC DC
#
Từ (1) (2) suy đpcm
Ví dụ Cho đường trịn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC
nhọn AB, AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC không chứa D lấy F(F B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N F) và
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P A)
a) Chứng minh AN.AF = AP.AM
b) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC. Các đường thẳng IH CD cắt K Chứng minh :
DC BD BC
(6)M P N E
O B
D
C A
F I
H
K
a) APEADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)
ABM ADE (Cùng bù với góc EDC)
Suy ra: ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM
Nên
AE AM
AE AB AM AP
AP AB (1)
Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF
AE AF
AE AB AN AF
AN AB (2)
Từ (1) (2) suy ra: AN.AF = AP.AM
b) Xét I nằm B, D ( Nếu I nằm ngồi B,D vai trị K với DC I với BD) Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK ( FBD), suy tứ giác
CKFH nội tiếp nên FKC 900
Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:
DK BH
FK FH
Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:
CK BI
FK FI
Suy ra:
DC BH BI
FK FH FI
DC BD BH BD BI BH ID
FK FI FH FI FI FH FI
Mà
ID HC
FI FH suy ra:
DC BD BH HC BC
(7)5 Chứng minh thẳng hàng ( đồng quy ).
Một mệnh đề toán học khẳng định điểm thẳng hàng ln có mệnh đề tương đương khẳng định đường thẳng đồng quy
Cách chứng minh điểm thẳng hàng ( đường thẳng đồng quy ): - điểm tạo thành góc bẹt
- Tiên đề Euclid - Bổ đề hình thang
- Ba đường cao, đường phân giác ( - ), ba đường trung tuyến, ba đường trung trực tam giác
- Tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt - xAB xAC
- Góc vị trí đối đỉnh
- Nếu hai đường trịn tiếp xúc đường nối tâm qua tiếp điểm
Ví dụ ( Đường thẳng Simson ).
Cho ba điểm A, B, C đường trịn Chứng minh chân đường vng góc hạ từ M đường trịn xuống đường thẳng AB, BC, CA nằm đường thẳng ( Đường thẳng Simson điểm M )
+ FCM MBD FMC BMD BED FEC => D, E, F thẳng hàng.
Ví dụ Cho tam giác ABC khơng có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường trịn (O; R) (B,
C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I
(8)Có MIC MOC (BAC ) => B, O, I, C, M thuộc đường trịn đường kính OM => PF/(BOICM) = FI.FM = FC.FB (1)
Lại có PF/(O) = FC.FB = FQ.FT (2)
=> FI.FM = FQ.FT => điểm M, T, I, Q thuộc đường tròn => QTM 900=> M, T, P thẳng hàng
II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài Cho tam giác MNP vuông M Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía ngồi tam giác MNP cho NQ = NP MNPPNQ gọi I trung điểm PQ, MI cắt NP tại
E
1) Chứng minh PMI QNI
2) Chứng minh tam giác MNE cân 3) Chứng minh: MN PQ = NP ME
Bài Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh:
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE.DN = EN.BD
Bài Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường trịn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm OD
1) Chứng minh OM // DC
2) Chứng minh tam giác ICM cân
3) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN.
Bài Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường trịn (O) điểm B, C ( AB < AC ) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F
(9)2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM AC.
3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2
Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy điểm C ( CA > CB) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A, C cắt điểm D Kẻ CH vng góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC E
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.
2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Chứng minh : 2BCF CFB 900
3) BD cắt CH M Chứng minh EM // AB.
Bài Cho tam giác ABC có A 900 Vẽ đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai D, đường
thẳng AC cắt đường tròn ( O) điểm thứ hai E
1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn
2) Gọi F giao điểm hai đường tròn (O) (O’) ( F khác A) Chứng minh ba
điểm B, F, C thẳng hàng FA phân giác góc EFD
3) Gọi H giao điểm AB EF Chứng minh BH.AD = AH BD
Bài Cho đường trịn ( O;R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O A) Tia CM cắt đường tròn ( O; R) điểm thứ hai N Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) N Tiếp tuyến cắt đường thẳng vng góc với AB M P
1) Chứng minh OMNP tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CN// OP
3) Khi AM =
1
3AO Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN theo R. Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường cao BE,
CF tam giác Gọi H giao điểm BE CF Kẻ đường kính BK (O).
a) Chứng minh tứ giác BCFE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành
c) Đường trịn đường kính AC cắt BE M, đường trịn đường kính AB cắt CF N Chứng minh AM = AN.
Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, nửa đường trịn lấy điểm C (C
khác A B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Vẽ đường thẳng d vng góc với AB B Các đường thẳng AC AD cắt d lần lượt E F
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
2) Gọi I trung điểm BF.Chứng minh ID tiếp tuyến nửa đường tròn cho
(10)Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, kẻ AH vuông góc với BC H Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C H) Kẻ ME vuông góc với AB E; MF vng góc với AC F
1) Chứng minh điểm A, E, F, H nằm đường tròn 2) Chứng minh BE.CF = ME.MF
3) Giả sử MAC 45 0 Chứng minh
BE HB = CF HC.
Bài 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có BC = 2R AB < AC Đường thẳng xy tiếp tuyến đường tròn (O;R) A Tiếp tuyến B C đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy D E Gọi F trung điểm đoạn thẳng DE
a) Chứng minh tứ giác ADBO tứ giác nội tiếp
b) Gọi M giao điểm thứ hai FC với đường tròn (O;R) Chứng minh
2
CED AMB
c) Tính tích MC.BF theo R
Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt H Tia AO cắt đường tròn (O) D
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành
c) Gọi M trung điểm BC, tia AM cắt HO G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bài 13.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có BC = 2R AB < AC Đường thẳng xy tiếp tuyến đường tròn (O;R) A Tiếp tuyến B C đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy D E Gọi F trung điểm đoạn thẳng DE
1) Chứng minh tứ giác ADBO tứ giác nội tiếp
2) Gọi M giao điểm thứ hai FC với đường tròn (O;R) Chứng minh
2
CED AMB
3) Tính tích MC.BF theo R Bài 14.
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt H Tia AO cắt đường tròn (O) D
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn b) Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành
c) Gọi m trung điểm BC, tia AM cắt HO G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bài 15.
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nằm nửa đường tròn (
,
(11)góc IAM cắt nửa đường tròn E, cắt BM F Tia BE cắt AI H, cắt AM K Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ABF tam giác cân.
b/ BE BH BM BI
c/ Tứ giác AKFH hình thoi.
Bài 16.
Cho đường trịn tâm O đường kính AB, nửa đường tròn (O) lấy điểm G E (theo thứ tự A, G, E, B) cho tia EG cắt tia BA D Đường thẳng vng góc với BD D cắt BE C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F
a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp b) Chứng minh: BF = BG
c) Chứng minh:
DA DG DE BA BE BC
Bài 17.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O (AB < AC) Các đường cao AD CF tam giác ABC cắt H
1) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp Suy AHC 180 0 ABC
2) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) (M khác B C) N điểm đối xứng M qua AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp
3) Gọi I giao điểm AM HC; J giao điểm AC HN Chứng minh AJI ANC
4) Chứng minh : OA vng góc với IJ Bài 18.
Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường trịn (C) có tâm C, bán kính CA Đường thẳng AH cắt đường trịn (C) điểm thứ hai D
1)Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn (C)
2)Trên cung nhỏ AD đường tròn (C) lấy điểm E cho HE song song với AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) điểm thứ hai F Gọi K trung điểm EF Chứng minh rằng:
a) BA2 = BE.BF BHE BFC
b) Ba đường thẳng AF, ED HK song song với đôi Bài 19.
Cho điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) N (N khác C)
(12)b) Chứng minh MB2 MN MC
c) Tia AN cắt đường tròn (O) D ( D khác N) Chứng minh: MAN ADC Bài 20.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, gọi BC OS cắt M
a) Chứng minh AB MB = AE.BS
b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng
c) Gọi AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR NP vng góc với BC
Bài 21 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O) (C khơng trùng với A, B), M điểm cung nhỏ AC Các đường thẳng AM BC cắt I, đường thẳng AC BM cắt K
a) Chứng minh rằng:
ABM IBM
ABI cânb) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp
c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến A (O) N Chứng minh đường thẳng NI tiếp tuyến đường tròn (B;BA) NI
MO.d) Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn (B;BA) D (D không trùng với I) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng
Bài 22 Cho đường trịn (O) có tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME<MF) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO)
a) Chứng minh MA.MB = ME.MF
b) Gọi H hình chiếu vng góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS vng góc với đường thẳng KC
d) Gọi P Q lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
Bài 23.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, M điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạn thẳng OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ tia tiếp tuyến Ax, By với (O) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với IM cắt Ax C Qua I dựng đường thẳng vng góc với IC cắt tia By D Gọi E giao điểm AM, CI F giao điểm ID MB
(13)3/ Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng
4/ Chứng tỏ hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CME MFD tiếp xúc M
Bài 24.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC (DAC, EAB)
1 Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn
2 Gọi I điểm đối xứng với A qua O J trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng
3 Gọi K, M lần lượt giao điểm AI với ED BD Chứng minh 2
1 1
DK DA DM
Bài 25.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường trịn tâm O Đường trịn (K) đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt E F Gọi H giao điểm BF CE
a) Chứng minh AE.AB = AF.AC b) Chứng minh OA vng góc với EF