un +1 = un ± ( un )
DÃY SỐ DẠNG
α
Kiều Đình Minh
(Giáo viên THPT Chuyên Hùng
Vương, Phú Thọ)
Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng
un +1 = f ( un ) .
Tuy nhiên với dãy số dạng này vấn
đề hội tụ của dãy thường không được đặt ra vì quá đơn giản (giới hạn chỉ có thể là
∞ ).
0
hoặc
Trong bài viết này chúng ta chủ yếu xây dựng những đánh giá cho dãy hoặc tìm bậc
tiệm cận của dãy, cụ thể là tìm β sao cho
( ) , tức là
un = O n β
un
nβ
bị chặn. Chúng ta cũng khảo
1
sát dãy đã cho với các trường hợp cụ thể hay gặp của α như α = 2;α = 3; α = −1; α = −2;α = −
2
và một vài trường hợp α lớn hơn, riêng trường hợp α = 1 là quá đơn giản nên chúng ta
không xem xét đến.
α = −1
Trường hợp này chúng ta hay gặp nhất trong giải toán. Vì vậy chúng tôi đưa lên khảo sát
trước tiên.
Bài toán 1 Cho dãy số ( un ) : u1 = a
(a > 0); un +1 = un +
1
∀n = 1, 2,...
un
a 2 + 2 ( n − 1) ≤ un ≤ a 2 + 2 ( n − 1) +
Chứng minh rằng
n −1
2 a2 +1
(
)
∀n = 1, 2,...
Lời giải Trước hết ta có một số nhận xét về dãy này
●
un > 0 ∀n
● ( un ) là dãy tăng thực sự và
un ≥ u1 ∀n
1
2
Ta có
u
2
k +1
n −1
n −1
n −1
1
1
1
1
= uk + ÷ = uk2 + 2 + 2 ⇒ ∑ uk2+1 = ∑ uk2 + 2 + 2 ÷⇒ un2 = u12 + 2 ( n − 1) + ∑ 2
uk
uk
uk
k =1
k =1
k =1 uk
, suy ra
un2 > u12 + 2 ( n − 1) ∀n ≥ 2 ⇒ un > a 2 + 2 ( n − 1) ∀n ≥ 2 ⇒ un ≥ a 2 + 2 ( n − 1) ∀n ≥ 1
Mặt khác lại có
uk2 ≥ u12 + 2 ( k − 1) ⇒
1
1
1
1
≤ 2
⇒ 4≤
2
2
uk u1 + 2 ( k − 1)
uk
u1 + 2 ( k − 1)
(
)
2
<
1
(u
2
1
+ 2 ( k − 1)
)
2
−1
=
n −1
1 1
1
1
1
1 1 n −1
1
1
1
1
= 2
− 2
− 2
− 2
∀k ≥ 1
÷⇒ ∑ 4 < ∑ 2
÷= 2
÷<
2 u1 + 2k − 3 u1 + 2k − 1
2 k =1 u1 + 2k − 1 u1 + 2k + 1 2 u1 + 1 u1 + 2n − 1 2 u12 + 1
k =1 u k
(
n −1
1
≤
∑
2
k =1 uk
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có
Do đó
un2 < u12 + 2 ( n − 1) +
Tóm lại:
)
( n − 1) = n − 1 ∀n ≥ 2
1
≤
4
2 u12 + 1
2 a2 +1
k =1 uk
n −1
( n − 1) ∑
(
)
(
)
n −1
n −1
⇒ un < a 2 + 2 ( n − 1) +
∀n ≥ 2
2
2 a +1
2 a2 + 1
(
)
(
a 2 + 2 ( n − 1) ≤ un ≤ a 2 + 2 ( n − 1) +
Bài toán 2 Cho dãy số ( un ) : u1 = 5;
n −1
2 a2 +1
un +1 = un +
(
)
)
∀n = 1, 2,... ■
1
∀n = 1, 2,... .
un
Tìm phần nguyên [ u1001 ] .
Lời giải Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta có
2025 < u1001 < 2025 +
Bài toán 3 Cho dãy số ( un ) : u1 = 1;
1000
⇒ 45 < u1001 < 45,5 ⇒ [ u1001 ] = 45
48
un +1 = un +
1
∀n = 1, 2,... .
un
Tìm giới hạn
.
u
lim n ÷ .
n →+∞
n
Lời giải Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta có
2 n − 1 un
≤
≤
n
n
2n − 1 +
n −1
4
n
Chuyển qua giới hạn khi
⇒ 2−
n → +∞
1 un
1 1 1 1
≤
≤ 2− +
−
n
n 2 n n2
n
và theo nguyên lý kẹp suy ra
u
lim n ÷ = 2 .
n
n →+∞
Nhận xét: Với bài toán này ta có thể làm cách khác như sau
2
Dễ thấy
lim un = +∞ ,
n →+∞
suy ra
u −u
lim
= lim
n →+∞ 2 ( n + 1) − 2 n
n →+∞
2
n +1
2
n
1
un2
= 1.
2
2+
Theo định lý Stolz thì
un2
lim
= 1 .■
n →+∞ 2n
α = −2
Đây cũng là trường hợp mà chúng ta hay gặp. Chúng ta cùng xem xét các bài toán sau
Bài toán 4 Cho dãy số ( un ) : u1 = a (a > 0);
3
un +1 = un +
1
∀n = 1, 2,... .
un2
Chứng minh rằng
n
1 1
1 1 n 1
a 3 + 3 ( n − 1) ≤ un < 3 a 3 + 3 n − 1 + 3 ÷+ 6 + ∑ + ∑ 2 ∀n ≥ 1
a a
9 k =1 k
k =1 k
Lời giải Ta cũng có nhận xét như trên
●
un > 0 ∀n
● ( un ) tăng thực sự và
un ≥ u1 ∀n .
Ta có
uk3+1 = uk3 + 3 +
n −1
n −1
3 1
3
3
3
+
∀
k
≥
1
⇒
u
>
u
+
3
⇒
u
>
uk3 + 3 ⇒ un3 > u13 + 3 ( n − 1) ⇒ un > 3 a 3 + 3 ( n − 1)
∑
∑
k +1
k
k +1
3
6
uk u k
k =1
k =1
(
)
∀n ≥ 2 ⇒ un ≥ 3 a 3 + 3 ( n − 1) ∀n ≥ 1
Lại có
uk3+1 < uk3 + 3 +
3
1
+
3
u1 + 3 ( k − 1)
u13 + 3 ( k − 1)
(
)
2
< uk3 + 3 +
n −1
n −1
1
1
1
1
3
3
÷
+
⇒
u
<
u
+
3
+
+
∑
∑
k +1
k
k − 1 9 ( k − 1) 2
k − 1 9 ( k − 1) 2 ÷
k =2
k =2
n −1
1
1 n −1 1
3 1 n−2 1 1 n−2 1
3
+ ∑
=
u
+
3
n
−
1
+
( ) 3 + 6 + ∑ + ∑ 2 ∀n ≥ 3
1
9 k = 2 ( k − 1) 2
u1 u1 k =1 k 9 k =1 k
k =2 k − 1
⇒ un3 < u23 + 3 ( n − 2 ) + ∑
Suy ra
n
1 1
1 1 n 1
un3 < a 3 + 3 n − 1 + 3 ÷+ 6 + ∑ + ∑ 2 ∀n ≥ 1
a a
9 k =1 k
k =1 k
Tóm lại ta có:
3
n
1 1
1 1 n 1
a 3 + 3 ( n − 1) ≤ un < 3 a3 + 3 n − 1 + 3 ÷+ 6 + ∑ + ∑ 2 ∀n ≥ 1 .■
a a
9 k =1 k
k =1 k
Chúng ta để kết quả đánh giá vế phải của bất đẳng thức trên như vậy để tuỳ thuộc vào hoàn
cảnh cụ thể mà sử dụng ngắt đánh giá cho hợp lý.
Bài toán 5 Cho dãy số ( un ) : u1 = a (a > 0);
a) Chứng minh rằng tồn tại
p, q > 0
un +1 = un +
sao cho
1
∀n = 1, 2,... .
un2
up
lim n
n →+∞
n
÷= q .
Hãy tìm giới hạn đó.
3
n
b) Chứng minh rằng tồn tại
r >0
1
∑u
sao cho
k =1
4
k
< r ∀n ≥ 1 .
Lời giải a) Áp dụng kết quả bài toán 4 ta có
a 3 + 3 ( n − 1)
n
Vì
3
3
un3 a + 3 ( n − 1)
3
1
1 n 1 1 n 1 a + 3 ( n − 1)
3
1
2n 2
≤
<
+ 3+ 6+ ∑ + ∑ 2<
+ 3+ 6+
+
n
n
na na n k =1 k 9n k =1 k
n
na na
n
9n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
<
1
+
=
2
−
<
2
⇒
<
n
< 2n .
∑
∑
∑
∑
2
2
n
k =1 k
k = 2 ( k − 1) k
k =1 k
k =1 k
theo nguyên lý kẹp ta có
Vậy
n → +∞
và
p = q = 3.
n −1
n −1
n
1
u −u
1
1
1
1
1
1 1 1
1
2 2
−
= k +1 k = 3
> 4 ⇒ ∑ 4 < ∑ −
=
−
⇒
< = ∀n ≥ 1
÷
∑
4
uk uk +1
uk uk +1
uk uk +1 uk +1
uk +1 u1 un
u1 a
k =1 u k +1
k =1 uk
k =1 u k
b) Ta có
Chọn
un3
lim ÷ = 3 .
n →+∞
n
Chuyển qua giới hạn khi
r=
2
a
ta có điều phải chứng minh.■
Nhận xét: Phần a) ta có thể dùng định lý trung bình Cesaro như sau
Vì
un3 − un3−1 = 3 +
α =−
3
un3−1
+
1
un −1
→3⇒
un3
→ 3.
n
Do đó
p = q = 3.
1
2
Bài toán 6 Cho dãy số ( un ) : u1 = a (a > 0); un +1 = un +
1
∀n ≥ 1 .
un
Chứng minh rằng
3
3
3 ( n − 1) + 2 ( n − 1)
3
3
1 1 ÷
a
a
+
n
−
1
≤
u
<
+
a
a
+
+
+
∀n = 1, 2,...
(
)
n
÷
3
2
2
4 a a 8a 9 ÷
Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy ta có
3
u
3
k +1
2
3
3
3
3
n −1 3
n −1 3
1
1
9 3 3
3
3
= uk +
÷ = uk3 + 3uk2 + 3 + 3 > uk3 + 3uk2 + = uk2 + ÷ ⇒ uk2+1 > uk2 + ⇒ ∑ uk2+1 > ∑ uk2 + ÷
4
2
2
2
uk ÷
k =1
k =1
uk
3
2
n
3
2
1
⇒u >u +
3
3
( n − 1) = a a + ( n − 1)
2
2
Mặt khác lại có
4
2
2
3
3
1
1
1
1
3
3
1
2
2
uk +1 = uk +
−
<
u
+
⇒
u
<
u
+
⇒
u
<
u
+ 3+ 3
÷
k
÷
k +1
k
k +1
n +
2
2uk 4uk
2uk
2uk
2
8uk
4u 2
k
n −1
⇒ ∑u
k =1
3
2
k +1
3
3
3
3
1 ÷
3
3 n −1 1 1 n −1 1
2
< ∑ uk + + 3 + 3 ⇒ un2 < a a + ( n − 1) + ∑ 3 + ∑ 3
2
8uk ÷
2
4 k =1 2 8 k =1 uk
k =1
÷
2
4
u
uk
k
n −1
Để ý rằng ta có các đánh giá sau
n −1
1
k =1
uk2
∑
=
3
n −1
1
1
2 n −1 1
1
2
<
+ ∑ <
+
2 ( n − 1) ;
3
k =1
a a + ( k − 1) a a 3 k =1 k a a 3
2
3 un4−1 + ÷ ∀n ≥ 2 ⇒ 3 un4 > 3 un4−1 + ∀n ≥ 2 ⇒ 3 un4 > ( n − 1) ∀n ≥ 2 ( 1)
3
3
3
4
n
Mặt khác
3
3
1 1
1
÷∀k ≥ 2
uk = uk −1 +
−
+
÷
3uk −1 3 3 uk5−1 27uk3−1 ÷
suy ra
4
1
4
2
4
1
3 4
u < 3 uk −1 +
∀k ≥ 2 .
÷ = uk −1 + + 3 4 + 3 8 +
3uk −1
3 3 uk −1 27 uk −1 81uk4−1
4
k
3
un4 < 1 +
3
4
2 n 1
4 n
1
1 n 1
( n − 1) + ∑ 3 4 + ∑ 3 8 + ∑ 4
3
3 k = 2 uk −1 27 k =2 uk − 1 81 k =2 uk −1
Do đó với mọi
( 2 ) . Dựa vào ( 1)
n≥4,
ta có
và bất đẳng thức
Bunyakovski ta có
n
n
1
∑
k =2 3
uk4−1
= 1+
3
4
n
n
∑u
1
k =2
4
k −1
k =3
(
n
= 1+ ∑
k =3
(
1
3
uk4−1
1
3
3 n 1
3
< 1+
∑
4 k =3 k − 2
4
1
3
2 ( n − 2)
÷ < 1+
n−2
4
n
= 1+ ∑
< 1+
uk4−1
uk8−1
k =2 3
k =3 3
( n − 2 ) 2 −
1
∑
1
= 1+ ∑
uk4−1
)
3
)
2
< 1+
< 1+
n
( n − 2) ∑
k =3
1
( k − 2)
2
< 1+
3
4
=
÷
÷
k = 4 ( k − 3) ( k − 2 )
n
1
÷= 4
÷ 3.
÷
Lại do
( n − 2 ) 1 + ∑
( 3)
9 n
1
9 17
< 1+ =
( 4)
∑
2
16 k =3 ( k − 2 )
8 8
27 n
1
27 n
1
27 59
<
1
+
< 1+
=
( 5)
∑
∑
3
2
64 k =3 ( k − 2 )
64 k =3 ( k − 2 )
32 32
Từ ( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) và ( 5) suy ra
3
un4 <
4
1
35 1 59
n+
2 ( n − 2) + + .
( 6)
3
2
54 81 32
4
Từ ( 1) , ( 6 ) ta được
4 1 un3 4 1
35 1 59
< +
2 ( n − 2) +
+ .
∀n ≥ 4 ( 7 )
1 − ÷ <
3 n n 3 2n
54n 81 32n
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức ( 7 ) khi
n → +∞
ta được
43
u
lim n
n →+∞
n
lim un = +∞
n →+∞
nên suy ra
7
lim u
n →+∞
Vậy
4
α−
3
n
4
+∞ khi α > 3
=
0 khi α < 4
3
4
α=
3
mà
4
3
n
unα u α − 43 .
=
.un
n
n
là giá trị duy nhất để
unα
n
Do đó
÷, n = 1, 2,...
4
+∞ khi α >
u
3
lim
=
n →+∞ n
4
0 khi α <
3
α
n
43
u
lim n
n →+∞
n
hội tụ và
÷= 4
÷ 3 .■
÷
α =2
Bài toán 9 Cho dãy số ( un ) : u1 ∈ ( 0;1) ;
Lời giải Ta chứng minh
bằng quy nạp ta được
lim un = 0 .
n →+∞
un +1 = un − un2 ∀n ≥ 1 .
Tìm giới hạn
n ( 1 − nun )
lim
n →+∞
ln n
.
2
Thật vậy, ta có
un ∈ ( 0;1) ∀n .
1
u + 1 − u1
0 < u2 = u1 ( 1 − u1 ) ≤ 1
÷ = ⇒ u2 ∈ ( 0;1)
2
4
Dễ thấy dãy đã cho giảm nên suy ra tồn tại
Chuyển qua giới hạn biểu thức truy hồi đã cho ta có
a = a − a2 ⇔ a = 0 .
Vậy
,
lim u n = a .
n →+∞
lim un = 0 .
n →+∞
Áp
dụng định lý trung bình Cesaro ta có
1
1
u
1
1
lim
= lim n = lim
−
n →+∞ nu
n →+∞ n
n →+∞ u
n
n +1 un
(
)
un − un − un2
un − un +1
1
= lim
= lim
= 1 ⇒ lim nun = 1
÷ = nlim
2
n →+∞
n →+∞ 1 − u
n →+∞
u n − un un
n
→+∞ un +1un
(
)
Áp dụng định lý Stolz ta có
lim
n →+∞
n ( 1 − nun )
ln n
= lim
nun ( 1 − nun )
un ln n
n →+∞
1
1
1
−n
− ( n + 1) − + n
1 − nun
u
u
un
= lim ( nun ) lim
= 1. lim n
= lim n +1
=
n →+∞
n
→+∞
n
→+∞
un ln n
ln n
ln ( n + 1) − ln n
1
1
− −1
u ( 1 − un ) u n
nun
1
= lim n
= lim
=
=1
n →+∞
n →+∞
n +1
1 ( 1 − 0 ) ln e
ln
( 1 − un ) ln 1 + ÷
n
n
Bài toán 10
Cho
a > 0; α ∈ ( 0;1)
. Xét dãy ( un ) : u1 > 0; un+1 = ( 1 − α ) un +
aα
u
1−α
α
n
. Chứng minh rằng
dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải Xét hàm số
f ′ ( u ) = 0 ⇔ u = aα .
un ≥ aα ∀n ≥ 2 .
f ( u ) = ( 1−α ) u +
aα
u
1−α
α
, u > 0, a > 0, α ∈ ( 0;1)
Lập bẳng biến thiên ta có
có
1
−
f ′ ( u ) = ( 1 − α ) 1 − au α ÷
f ( u ) ≥ aα , ∀u > 0 .
Dễ thấy
suy ra
un > 0∀n
nên
Xét hiệu
8
uk − uk −1 = α u
α −1
α
k −1
1
α
a − uk −1 ÷ ≤ 0∀k ≥ 2 .
tại giới hạn
l = (1−α ) l +
aα
l
1−α
α
lim un = l .
n →+∞
⇔ l = aα .
Vậy ( un ) bắt đầu giảm từ
u2
và bị chặn dưới bởi
aα
nên tồn
Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi đã cho ta có
Vậy
lim un = aα .■
n →+∞
Bình Luận: Như đã nhận xét trong các bài toán trên thì việc tìm giới hạn của
un
np
có thể
được thực hiện bằng cách sử dụng định lý Stolz hoặc định lý trung bình Cesaro. Tuy nhiên
với cách đánh giá và sử dụng nguyên lý kẹp thì lời giải bài toán tự nhiên hơn và cũng sơ
cấp hơn.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Cho dãy ( un ) : u1 = 1;
un +1 = un +
1
∀n = 1, 2,...
un
Chứng minh rằng
Chứng minh rằng
k
2. Cho dãy ( un ) : u1 = 1;
un +1 = un +
2
∀n = 1, 2,...
un
3. Cho dãy ( un ) : u1 = 1;
un +1 = un +
1
∀n = 1, 2,...
2un
1
i =1
i
k
1
a
÷ ∀n ≥ 1 ( a > 0 )
n
<
7
∀k ≥ 1 .
6
<
5
∀k ≥ 1
4
∑u
i =1
Chứng minh rằng
4. Cho dãy ( un ) : u1 > 0; un+1 = 2 un + u
1
∑u
4
i
1 1
1
nun < n + 1 + + ... + ÷
8 2
n
. Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới
hạn.
5. Cho dãy ( un ) : u1 = a (a > 0);
6. Cho dãy ( un ) : u1 > 0;
un +1 = un +
8. Cho dãy ( un ) : u1 ∈ ( 0;1) ;
1
Tìm giới hạn
1
a
un +1 = 2un + 2 ÷ ∀n = 1, 2,... ( a > 0 )
3
un
7. Cho dãy ( un ) : u1 = 1; un +1 = un +
9. Cho dãy ( un ) : u1 = 2 ;
1
∀n = 1, 2,... .
un2
1
∀n ≥ 1 .
un
Tìm
un +1 = un − un2 ∀n ≥ 1 .
un +1 = un − un2 ∀n ≥ 1 .
m
n →+∞
để tồn tại giới hạn
p∈¡
un
3
n
.
. Tìm giới hạn của dãy số đó.
Tìm giới hạn
Tìm
lim
u1 + u2 + ... + un
n →+∞
m
lim
.
lim nun .
n →+∞
sao cho tồn tại
lim n p ( nun − 1)
n →+∞
.
9
10.
Cho
dãy
( un ) : u1 = 1;
un +1 = un +
1
∀n = 1, 2,... p ∈ ¥ *
p
un
(
).
Chứng
minh
rằng
Chứng
minh
unp +1
= p +1.
n →+∞ n
lim
11.
Cho
1+
dãy
( un ) : u1 = 1;
un +1 = un +
p
1
∀n = 1, 2,... p ∈ ¥ * , p > 1
un
(
).
1
p
un
1
= 1+ .
n →+∞ n
p
lim
12.
Cho dãy ( un ) : u1 = 1;
un +1 = un + un2013 ∀n ≥ 1 .
Tìm giới hạn
ui2012
∑
n →+∞
i =1 ui +1
lim
n
.
10
... qua số bước trung gian, nhiên cần đủ ứng dụng toán giới hạn dãy số Chẳng hạn toán sau Bài toán (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 1993) Cho dãy số ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + ∀n ≥ un Tìm số thực... Cho dãy ( un ) : u1 > 0; un+1 = un + u ∑u i 1 1 nun < n + 1 + + + ÷ 8 n Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn Cho dãy ( un ) : u1 = a (a > 0); Cho dãy ( un ) : u1 > 0; un +1 = un + Cho dãy. .. lim n n →+∞ n ÷= ÷ ÷ Bài toán Cho dãy số ( un ) : u1 = 1; un +1 = un + u unα n dãy ÷, n = 1, 2, hội , n = 1, 2, Tìm tất số thực α cho tụ tìm giới hạn khác không un >