BÀI TOÁN cơ NHIỆT

Ví dụ 1: Một pittông linh động có khối lượng m được treo trên một lò xo, chia thể tích của một xi lanh đặt thẳng đứng thành hai phần.. Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng,

BÀI TOÁN CƠ - NHIỆT

Với chất khí

1 Nguyên tắc tư duy các bài toán cơ - nhiệt:

Các bài toán cơ nhiệt thường có nút thắt là mối quan hệ giữa các đại lượng cơ học và đại lượng nhiệt Các mối quan hệ này thường tập trung ở 2 dạng quan hệ:

1.1 Quan hệ lực – áp suất:

Những bài toán này thường dựa trên quan hệ giữa áp lực và áp suất, trong đó áp lực thì là hợp lực của các loại lực cơ học (trọng lực, lực đàn hồi, lực ma sát, lực quán tính ) trong điều kiện cân bằng của pitton, và áp suất mà khối khí nhận được được xác định thông qua áp lực

Vì vậy để giải quyết các bài toán dạng này, chỉ cần nắm vững:

- Các loại lực

- Mối quan hệ giữa áp suất và áp lực

- Điều kiện cân bằng của chất điểm, vật rắn

- Các định luật, phương trình của chất khí

1.2 Quan hệ năng lượng:

Những bài toán này thường có quan hệ cơ - nhiệt thông qua công cơ học do khối khí và hệ cơ học bên ngoài thực hiện và nhận tương ứng với nhau

Với những bài toán này để xử lý cần nắm vững những kiến thức:

- Định lý động năng

- Định luật biến thiên và bảo toàn năng lượng

- Định luật bảo toàn động lượng

- Nguyên lý I Nhiệt động lực học và cách tính công của khối khí

- Cách tính công của các lực đặc biệt

2 Một số bài tập ví dụ:

2.1 Ví dụ 1:

Một pittông linh động có khối lượng m được treo trên một lò xo, chia thể

tích của một xi lanh đặt thẳng đứng thành hai phần Tại vị trí cân bằng, độ cao

phần dưới của xi lanh là H còn độ dãn của lò xo khi đó là 0 x ở phần dưới của 0

xi lanh người ta tiêm vào n mol nước Sau khi toàn bộ nước bay hơi , pittông dịch chuyển lên phía trên một đoạn x1=αx0 (α =3/2) Hãy tìm:

1 Nhiệt độ đã ổn định của hơi;

2 Công mà hơi thực hiện Bỏ qua sự truyền nhiệt qua thành xi lanh

Giải:

Điều kiện cân bằng cơ học khi chưa tiêm nước vào là mg=kx0,

Trong đó k là độ cứng của lò xo Sau khi nước bay hơi hết và trạng thái cân bằng thứ hai đã được xác lập, thể tích của hơi là:

(H0 x0)S,

Ở đây S là diện tích của tiết diện bên trong của xi lanh áp suất của hơi khi đó là:

0

S

mg S

kx mg

Coi hơi nước như là một khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái ta tìm được nhiệt độ của hơi

nR

x H mg nR

V p

α

=

= Công mà hơi thực hiện dùng để tăng làm tăng thế năng của pittông và lò xo Nếu lấy gốc thế năng của pittông tại vị trí cân bằng của nó khi chưa có nước trong xi lanh, thì thế năng tổng cộng của pittông và lò xo tại thời điểm ban đầu bằng:

2 2

0

2 0 1

mgx kx

Khi đó thế năng tại trạng thái cuối là:

2

1 2

0 0

2 2

0 2

+

= +

−

x mg

kx W

Công mà hơi thực hiện đúng bằng độ biến thiên thế năng

0 0

2 1 2

8

9

mgx W

W

2.2 Ví dụ 2:

Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được nối với nhau bằng một

ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, trên ống nối có lắp một van K Lúc đầu

K đóng Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối lượng M, chứa một lượng khí

lý tưởng đơn nguyên tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T0 Trong xi lanh 2 có pit-tông khối lượng m = M/2 và không chứa khí Phần trên của pit-tông trong hai xi lanh là chân không Sau đó van K được

mở để khí từ xilanh 1 tràn qua xi lanh 2 Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn còn khoảng trống Cho νµ/M = 0,1, với ν là số mol khí; ma sát giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ

Giải:

Khi K mở, toàn bộ lượng khí chuyển qua xi lanh 2

Kí hiệu: H0 – độ cao cột khí trong bình 1 khi K chưa mở;

H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng

Áp dụng nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có:

0 0 0

3

g

Trước khi K mở, ở xi lanh 1:

0 Mg; 0 0

S

M

ν

=

Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2: gH RT

m

ν

=

1

2 1 5

M

M

νµ νµ

+

+

2.3 Ví dụ 3:

Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần

nhờ một pit-tông mỏng dẫn nhiệt Pit-tông được nối với một thành ở đầu xi lanh bằng một lò xo nhẹ Ở hai bên của pit-tông đều có ν mol

khí lí tưởng đơn nguyên tử Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài của lò xo lúc chưa dãn là ℓ/2 Ở trạng thái ban đầu lò xo bị dãn một đoạn là X và nhiệt độ của khí trong hai phần của xi lanh là T Sau đó, người ta đục một lỗ nhỏ qua thành của pit-tông Xác định độ biến thiên nhiệt độ của khí trong xi lanh

ΔT sau khi khí trong xi lanh đã cân bằng Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, lò xo và

ma sát giữa pit-tông và xi lanh

Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của lò so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây ra bởi độ chênh lệch về áp suất ở hai bên của pit-tông

3( ) ( )

kx

ν − ν = −

3

RT k

Sau khi pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn của lò xo bằng không Toàn

bộ năng lượng từ thế năng đàn hồi dự trữ trong lò xo biến thành nội năng của khí, nên:

2 3 2

kx

vR T

Vậy:

3

ν

2.4 Ví dụ 4:

Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi một pittông nặng cách nhiệt Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý tưởng

Ban đầu khi nhiệt độ khí của hai phần như nhau thì thể tích phần khí ở

trên pittông gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần dưới pittông Hỏi nếu nhiệt

độ của khí ở phần trên pittông được giữ không đổi thì cần phải tăng

nhiệt độ khí ở phần dưới pittông lên bao nhiêu lần để thể tích khí ở phần dưới pittông sẽ gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần trên pittông ? Bỏ qua ma sát giữa pittông và xylanh

Giải:

Lượng khí ở 2 phần xylanh là như nhau nên:

2

' 2

' 2 1

' 1

' 1 1

2 2 1

1 1

T

V P T

V P T

V P T

V P R

µ

Vì V1=nV2 nên P2 =nP1

Theo giả thiết: V1' =V n2' / , suy ra:

'

'

n

T = P (1)

Để tính

' ' 1

2 P P

ta dựa vào các nhận xét sau:

Hiệu áp lực hai phần khí lên pittông bằng trọng lượng Mg của pittông:

S ) P P ( Mg S ) P P ( 2' − 1' = = 2 − 1

P − = − = −P P P n P

P = + −P n P (2)

Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng ở phần trên của pittông:

P1V1 = P1’V1’

1

' 1 ' 1 1

V

V P

P =

→ Thay vào (2), ta suy ra:

'

1 ( 1)

n

P = + − V (3)

Để tìm

1

' 1 V

V

ta chú ý là tổng thể tích 2 phần khí là không đổi:

V1+V2 = V1’+V2’

1

V

n

' 1 1

1

V

Thay vào (3) ta được:

' 2 ' 1

1 2 1

1 ( 1)

n

−

Thay vào (1) ta có kết quả:

'

'

2 1 3

2.5 Ví dụ 5:

Một xilanh chiều dài 2l, bên trong có một pittông có tiết diện S Xilanh có thể trượt có ma sát trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát µ (hình vẽ) Bên trong xilanh, phía bên trái có một khối khí ở nhiệt độ T0 và áp suất bằng áp suất khí quyển bên ngoài P0, pittông cách đáy khoảng l Giữa bức tường thẳng đứng và pittông có một lò xo nhẹ độ cứng K Cần phải tăng nhiệt độ của khối khí trong

xi lanh lên một lượng T∆ bằng bao nhiêu để thể tích của nó tăng lên gấp đôi, nếu ma sát giữa xi lanh

và pittông có thể bỏ qua Khối lượng tổng cộng của xilanh và pittông bằng m

Giải

- Vì áp suất bên trong và bên ngoài là bằng nhau nên ban đầu lò xo không biến dạng

1- Trường hợp 1:

s

m

F ≥kl ⇔ µmg ≥ kl Khi đó xi lanh sẽ đứng yên

Gọi T là nhiệt độ cuối cùng của khối khí thì:

0 0

0

2Sl

kl P

 + ×

0

2

SP

∆ = − =  + ÷

 ng.

2- Trường hợp 2: mgµ < kl

a- Gọi x là độ nén cực đại của lò xo Pittông còn đứng yên cho đến khi xk mg x mg

k

µ

= µ ⇒ =

Gọi T1 là nhiệt độ của khối khí tại thời điểm lò xo nén cực đại P1 là áp suất chất khí trong xi lanh ở thời điểm này thì: P1S= P S k0 + =x P S0 +µmg

1 0

mg

S

µ

- Áp dụng phương trình trạng thái có:

0 0

mg

µ

=

0

 µ  µ 

⇒ = + ÷ + ÷

+) Khi T > T1 thì pittông bắt đầu dịch chuyển, bắt đầu từ thời điểm này áp suất chất khí trong xi lanh là không đổi Ta có:

1

1

0

2

1

kl

 µ 

+

Từ đó tìm được: 0 0

0

2

SP

2.6 Ví dụ 6:

Một xi lanh đặt nằm ngang, bên trong có một pittông ngăn xi lanh thành hai phần: phần bên trái chứa khí lý tưởng đơn nguyên tử, phần bên phải là chân không Hai lò xo k1 và k2 gắn vào pittông và xylanh như hình vẽ Pittông được giữ ở vị trí mà cả

hai lò xo đều chưa bị biến dạng, trạng thái khí lúc đó là (p1, V1, T1) Giải phóng pittông thì khi pittông ở trạng thái cân bằng, trạng thái khí là (p2, V2, T2) với V2 = 3V1 Bỏ qua các lực ma sát

Xylanh, pittông và các lò xo đều cách nhiệt Tính tỉ số 2

1

p

p và

2 1

T T

Giải

Khi pittông ở vị trí cân bằng, độ biến dạng của mỗi lò xo là x:

2 1 2 1

x

−

Khi đó áp lực lên hai mặt pittông bằng nhau:

p S k x k x− =

2

⇒ = = (1)

Phương trình trạng thái:

2 2 1 1 2 1 1 1 2 2

3 3

T = T ⇒ T =TV = T ⇒T = p (2)

Hệ không trao đổi nhiệt:

0

Q= ∆ + = ⇒ = −∆U A A U

2

2 1 1 1 2 2 2 1 1







2

1

p

p

⇒ = − ⇒ = (4)

Thế (4) vào (2): 2

1

9 11

T T

⇒ = (5)

2.7 Ví dụ 7:

Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có nhốt 1 mol khí

lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai pittông cách nhiệt

có khối lượng bằng nhau và bằng M có thể chuyển động không ma sát

trong xilanh (Hình 4) Lúc đầu hai pittông đứng yên, nhiệt độ của khí

trong xilanh là To Truyền cho hai pittông các vận tốc v1, v2 cùng chiều

(v1=3vo, v2=vo) Tìm nhiệt độ cực đại mà khí trong xilanh đạt được, biết bên ngoài là chân không

2 Hình 4

- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo phương ngang là lực đẩy F1 ngược chiều v1 nên pittông (1) chuyển động chậm dần đều

- Đối với pittông (2): tương tự, lực đẩy F2 cùng chiều v2 nên pittông (2) chuyển động nhanh dần đều

- Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí nhốt trong xi lanh chuyển động theo

- Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc của pittông (1) đối với pittông (2) là:

2 1

12 v v

v = − → pittông (1) chuyển động về phía pittông (2) chậm dần rồi dừng lại lúc to, sau đó t>to thì pittông (1) chuyển động xa dần với pittông (2) và khí lại giãn nở

- Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc t<to: khí bị nén, G chuyển động về phía pittông (2)

- Lúc t>to: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2) Vậy ở nhiệt độ to thì vG=0 → cả hai pittông cùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v

- Định luật bảo toàn động lượng ta có:

M3vo+Mvo=(2M+m)v→ v=4Mvo/(2M+m)

- Động năng của hệ lúc đầu: Wđ1= ( 12 22) 5 2

2

1

o

Mv v

v

- Động năng của hệ lúc ở to là: Wđ2= (2 ) 2

2

1

v m

→ Độ biến thiên động năng: ∆W=Wđ2-Wđ1=

m M

m M

Mv o

+

+ 2

) 5 2 ( 2

2

3 2

3 2

3

i

- Vì ∆U=∆W nên

m M

m M Mv R T

+ +

=

2

) 5 2 ( 3

3 Một số bài tập vận dụng:

3.1 Bài tập 1:

Trong một xylanh bịt kín hai đầu đã được hút hết khí, ta treo một pittông có thể

trượt không ma sát dọc theo xylanh nhờ một lò xo Ban đầu lò xo không biến dạng và

pittông nằm ở đáy xylanh Người ta đưa vào dưới pittông một lượng khí Oxy sao cho

pittông nâng lên độ cao h Pittông nằm ở độ cao h1 bằng bao nhiêu nếu khí này được

nâng từ nhiệt độ ban đầu T lên nhiệt độ T1?

ĐS h1 = T1/T h

3.2 Bài tập 2:

Xylanh kín hai đầu được nối với bình chân không thể tích V bằng một ống

mảnh Trong xylanh treo một pittông có thể trượt không ma sát dọc theo xylanh Ban

đầu lò xo nằm cân bằng tại đáy và không tì lên đáy xylanh Khi van đóng, đưa một

lượng khí nào đó vào dưới pittông sao cho pittông nằm ở độ cao h so với đáy Pittông

nằm ở độ cao h1 bằng bao nhiêu khi van mở? Tiết diện xylanh là S Nhiệt độ khí

không đổi

ĐS h V2/4S2 h2 V/2S

3.2 Bài tập 2:

Trong một xylanh dài 2l = 2m có một pittông được nối với cả hai đáy

của xylanh bởi hai lò xo giống nhau có độ cứng k = 1493 N/m Ban đầu

xylanh đã được hút hết khí, lò xo không biến dạng Pittông dịch chuyển một

đoạn bằng bao nhiêu nếu như ta đưa m = 28g Nitơ vào một bên? Nhiệt độ của

Nitơ là 273K

ĐS x = 0,5m

3.3 Bài tập 3:

Trong một xylanh đặt thẳng đứng chứa khí khối lượng m Khí được ngăn cách

với khí quyển nhờ một pittông Pittông được nối với đáy của xylanh bằng một lò xo

có độ cứng k ở nhiệt độ T1, pittông nằm cách đáy xylanh một khoảng là h Cần nâng

nhiệt độ khí lên T2 bằng bao nhiêu để pittông nâng lên độ cao H? Khối lượng mol của

không khí là µ

mR

h H kH h

H T

1 2

3.4 Bài tập 4:

Để giảm thể tích chất khí trong xylanh đi n lần, cần đặt lên trên pittông một khối lượng M Cần đặt thêm một khối lượng là bao nhiêu để thể tích khí giảm tiếp đi k lần? Các quá trình là đẳng nhiệt

ĐS m = Mn(k-1)/(n-1)

3.5 Bài tập 5:

Trong một xylanh đặt thẳng đứng tiết diện S, có một pittông khối lượng m giam một lượng không khí Trên pittông, có một vật nặng Khi lấy vật đi, thể tích không khí dưới pittông tăng hai lần, còn nhiệt độ của không khí giảm đi hai lần Hãy xác định khối lượng của vật M áp suất khí quyển là P0

ĐS M = 3(m+PoS/g)

3.6 Bài tập 6:

Lực cực đại tác dụng lên người đang được giác hơi là bao nhiêu, nếu đường kính ống giác hơi

là D = 4cm? Tại thời điểm áp ống vào cơ thể, không khí trong ống có nhiệt độ là t = 800C, nhiệt độ môi trường là t0 = 200C áp suất khí quyển P0 = 105Pa Bỏ qua sự thay đổi của thể tích ống giác (do

độ phồng của da)

ĐS F = (pD2Po/4)(1-To/T) = 21N

3.7 Bài tập 7:

Bên dưới một píttông diện tích S = 100cm2 có m = 28g Nitơ ở nhiệt độ T1 = 273K Xylanh được đun nóng tới nhiệt độ T2 = 373K Pittông khối lượng M = 100kg được nâng lên độ cao ∆h bằng bao nhiêu? áp suất khí quyển P0 = 105Pa

ĐS ∆h = (T2 T1)

Mg S P

R m

o

− +

3.8 Bài tập 8:

Bên dưới một píttông diện tích S = 100cm2 có m = 28g Nitơ ở nhiệt độ T1 =

1000C Pittông được nối với một vật khối lượng M = 50kg qua một hệ ròng rọc

(hình vẽ 2.1) Xylanh được làm lạnh đến nhiệt độ T2 = 00C Vật được nâng lên độ

cao ∆h bằng bao nhiêu? áp suất khí quyển p0 = 105Pa Bỏ qua khối lượng của

pittông

ĐS ∆h = 164cm

3.9 Bài tập 9:

Một xi lanh nằm ngang kín hai đầu, có thể tích V=1,2lít và chứa không khí ở áp suất p0=105N/m2 Xi lanh được chia thành 2 phần bằng nhau bởi pittông mỏng khối lượng m=100g đặt thẳng đứng Chiều dài xi lanh 2l=40cm Xi lanh được quay với vận tốc góc ω quanh trục thẳng đứng

ở giữa xilanh Tính ω nếu pittông cách trục quay một đoạn r=0,1m khi nó đã nằm yên đối với xilanh

ĐS: 200rad/s

3.10 Bài tập 10:

Một ống thuỷ tinh có chiều dài l=50cm, tiết diện S=0,5cm2, được hàn kín một đầu và chứa đầy không khí Ấn ống chìm vào nước theo phương thẳng đứng, đầu kín ở trên Tính lực F cần đặt vào ống để giữ ống trong nước sao cho đầu trên của ống thấp hơn mặt nước một đoạn h=10cm Biết khối lượng ống m=15g, áp suất khí quyển là p0=760mmHg

ĐS: F=0,087N

3.11 Bài tập 11:

Trong một ống nhỏ dài và tiết diện đều nằm ngang có giam một cột không khí dài l0 = 144mm ngăn cách với không khí bên ngiài bằng cột thuỷ ngân dài h = 150mm Áp suất khí quyển là 750mmHg Độ dài của cột không khí sẽ là bao nhiêu khi:

a Ống thẳng đứng, miệng ở trên

b Ống thẳng đứng, miệng ở dưới

c Ống nghiêng góc α = 300, miệng ống ở dưới

d Ống nghiêng góc α = 300, miệng ống ở trên

ĐS: 120mm; 180mm; 160mm; 130,4mm

3.12 Bài tập 12:

Xilanh tiết diện S = 10cm2 được đậy bằng một pittông nặng Khi xilanh này được nâng lên trên với gia tốc 2g thì thể tích phần dưới xilanh giảm đi 1,5 lần Tìm khối lượng của pittông, coi nhiệt độ của khí trong bình không đổi áp suất khí quyển po = 105Pa

ĐS M = 3,3kg

3.13 Bài tập 13:

Xilanh tiết diện S = 10cm2 được đậy bằng một pittông nặng m = 5kg Khi xilanh chuyển động xuống dưới với gia tốc 4g thì thể tích phần dưới xilanh tăng 2 lần Nhiệt độ khí không đổi Tính áp suất bên ngoài po

ĐS Po = 3,5.105Pa

3.13 Bài tập 14:

Trong một ống được đặt thẳng đứng bên trong có các pittông không khối

lượng tiết diện S1, S2 được nối với nhau bằng một dây mảnh không giãn bên

trong chứa đầy nước Tìm lực căng sợi dây nếu hai đầu ống thông với khí

quyển Bỏ qua ma sát

ĐS T =ρglS1S2/(S1−S2)

3.15 Bài tập 15:

Trong một dự án điều khiển khí cầu máy có đề xuất rằng nhiệt lượng tỏa ra khi động cơ làm việc được sử dụng để nung nóng khí chứa trong bình của khí cầu Xác định lực nâng bổ sung đối với khí cầu có bình chứa khí hêli thể tích là V = 1,3.106m3 Nhiệt độ khí do sự nung nóng kể trên được tăng từ T1 = 300K tới T2 = 400K áp suất khí trong cả hai trường hợp đều bằng p0 = 105 Pa

ĐS F = 5.105N

3.16 Bài tập 16: