Khoá luận tốt nghiệp vành định giá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===£o £Qg3=== NGÔ THỊ LAN HƯƠNG VÀNH ĐỊNH GIÁ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C huyên ngành: Đ ại số Người hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN HUY HƯNG HÀ NỘI - 2015 Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài “Vành định giá”, với sự say mê, cố gắng của bản thân, cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng đã giúp em hoàn thành tốt khóa luận của mình. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy cũng như các thầy cô giáo trong tố Đại số, các thầy cô giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên đã giúp đỡ em trong thời gian qua. Do thời gian có hạn, kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong nội dung khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận được sự đóng góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Ngô Thị Lan Hương Ngô Thị Lan Hương K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành là kết quả nghiên cứu và tìm hiểu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng. Khóa luận với đề tài “Vành định giá” này không trùng với kết quả của bất kì công trình nghiên cứu nào khác. Neu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Ngô Thị Lan Hương Ngô Thị Lan Hương K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU......................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị.....................................................2 1.1. Vành.....................................................................................................2 1.2. Iđêan.....................................................................................................9 1.3. Một số vành........................................................................................13 1.4. Trường................................................................................................ 15 1.5. Môđun................................................................................................ 16 1.6. Bổ đề Zorn......................................................................................... 20 CHƯƠNG 2. VÀNH ĐỊNH GIÁ............................................................... 23 2.1. Định lý về sự mở rộng......................................................................23 2.2. Định nghĩa vành định giá................................................................. 25 2.3. Định lý về sự mở rộng cực đại.........................................................26 2.4. Tính chất của vành định giá............................................................. 26 CHƯƠNG 3. VÀNH ĐỊNH GIÁ RỜI R Ạ C ............................................ 30 3.1. Định nghĩa định giá rời rạc.............................................................. 30 3.1.3. Ví dụ................................................................................................ 31 3.2. Mệnh đ ề .............................................................................................32 3.3. Định nghĩa vành định giá rời rạc.....................................................32 3.6. Độ dài dãy hợp thành........................................................................34 3.7. Mệnh đ ề .............................................................................................34 3.8. Mệnh đ ề .............................................................................................35 3.9 Định lý về điều kiện tương đương của vành định giá rời rạc.......36 3.10. Hệ quả..............................................................................................37 3.11. Hệ quả..............................................................................................37 KẾT LUẬN..................................................................................................38 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................39 Ngô Thị Lan Hương K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp M Ở ĐÀU Đại số là một thành phần trọng yếu của Toán học. Đã có rất nhiều nhà Toán học nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực Đại số, đặc biệt là Đại số hiện đại. Các lớp vành đặc biệt là một trong những đối tượng nghiên cứu hay và có nhiều ứng dụng. Mỗi vành đều có một số tính chất đặc trung riêng. Hiện nay, các công trình nào nghiên cứu và hệ thống các lớp vành đặc biệt còn ít và chưa đầy đủ. Vành định giá cũng nằm trong một số các vành đặc biệt ấy. Việc nghiên cứu vành định giá góp phần bố sung vào hệ thống các lớp vành đặc biệt, nó mang cả ý nghĩa khoa học lẫn thực tiễn. Từ nhận thức trên cùng niềm say mê Toán học và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hưng em đã mạnh dạn thực hiện khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Vành định giá Đe tài nghiên cứu những tính chất đặc trưng và nổi bật của: vành định giá, vành định giá rời rạc. Nội dung khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Vành định giá. Chương 3: Vành định giá rời rạc. Do khuôn khố thời gian và trình độ bản thân còn hạn chế, khóa luận không thể tránh nối những thiếu sót. Em mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài “Vành định giá ” được hoàn thiện và phát triển hơn. Ngô Thị Lan Hương 1 K37B - Toán Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẲN BỊ 1.1. Vành 1.1.1. Định nghĩa vành a) Định nghĩa ChoX là tập hợp tùy ý khác rỗng. TrênX, ta trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi là phép cộng và phép nhân và kí hiệu lần lượt là (+), (.). X cùng với 2 phép toán lập thành một vành nếu: i) X cùng với phép cộng là một nhóm aben. ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm. iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi X, y ,z e X ta có: x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz b) Chú ý +) Vành X gọi là có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân. +) Vành X gọi là vành giao hoán nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán. +) Vành X gọi là vành giao hoán có đon vị nếu X là một vị nhóm nhân giao hoán. +) Phần tử không của vành (kí hiệu 0) là phần tử đơn vị của phép cộng. +) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1. c) Ví dụ Ngô Thị Lan Hương 2 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1) Tập hợp z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân các số thông thường là vành giao hoán có đơn vị, gọi là vành cácsố nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỷ R , vành các số phức c (với phép toán cộng và phép toán nhân các số thông thường). 2) Cho Z n =|Õ,Ĩ,...,W —lỊ,ĩ = Ị/ + jư lf e Z Ị . Trên TLn ta trang bị hai phép toán: x + ỵ = x + ỵ, x.ỵ = x.y. Khi đó, , +, •) là vành giao hoán, có đơn vị 1. 1.1.2. Tính chất Cho X là một vành. Với mọi x , j 6 X , « e Z ta có: +) x.o = o.x = 0 +) (nx) ỵ = nxy = x{ny) +) (x - y ) z = x z - y z +) Nếu vành có ít nhất 2 phần tử thì 0 Ỷ 1. 1.1.3. Định nghĩa vành con a) Định nghĩa Cho X là một vành, A là một bộ phận của X ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong X nghĩa là x+ y G A và xy G A, với mọi x ,ỵ G Á . Khi đó, A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Ngô Thị Lan Hương 3 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét: Vành con của vành giao hoán, có đơn vị X cũng là vành giao hoán có đơn vị. b) Ví dụ Bộ phận {0} chỉ gồm phần tử không và bộ phận X là hai vành 1) con của vành X. 2) Vành đa thức ^ X , Xn> X, 1» X n là vành con của vành X 1’ 2»—» n c) Tính chất - Giao của họ bất kì các vành con của vành X là một vành con của X . - Hợp của một họ tùy ý các vành con của vành X chưa chắc là vành con của vành X. - Giả sử X là vành, í / c l , giao của tất cả các vành con của vành X chứa u cũng là vành con của X chứa u , gọi là vành con của X sinh bởi u . Kí hiệu: ( u ) . 1.1.4. Vành thương a) Định nghĩa: Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thương = {x + /4 lx e X } cùng với hai phép toán: (x + A) + ( j + A) = x + j + /4 (x + A )(y + A) = xy + A lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A . b) Nhận xét - Phần tử không của vành thương X / I là lớp 0 = 0 + / = /. - Neu X là vành giao hoán thì Ngô Thị Lan Hương x/l 4 cũng là vành giao hoán. K37B - Toán Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 - Khóa luận tốt nghiệp Neu X là vành có đơn vị thì x/ĩ cũng là vành có đơn vị với đơn vị là 1= 1+ 7. - = {x + 0 \ x e X } = X , x/ ỵ = {x + X \ x e X } = {X} c) Ví dụ Cho z là vành, YỈL là một iđêan của z (w eN ). Khi đó, tồn tại vành thương • + Nếu n = 0 thì ta có ftZ={0}. Ta có, ỵ/ỊQỊ + Nếu n > 0 thì = ^Ặri' 1.1.5. Đồng cấu vành a) Định nghĩa: Cho X ,Y là các vành, một ánh xạ / :X -^Y là đồng cấu vành nếu với mọi x , ỵ e X thì: / ( * +30 = / ( * ) + /( ? ) ; Hơn nữa: +) / là đơn cấu nếu / là đồng cấu và / là đon ánh. +) / là toàn cấu nếu / là đồng cấu và / là toàn ánh. +) / là đẳng cấu nếu / là đồng cấu và / là song ánh. b) Tính chất cơ bản: Ta có các khẳng định sau: i) Tích của hai đồng cấu vành (nếu có) là một đồng cấu vành. ii) Cho / : X —» Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường thì / là đồng cấu không hoặc đơn cấu. iii) Cho / : X Y là một đồng cấu vành. +) Neu / có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành Ngô Thị Lan Hương 5 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp g : X ~^>Y sao cho g . f = \x thì / là đơn cấu. +) Neu / có nghịch đảo phải tức là tồn tạimộtđồngcấu vành g : X —» y sao cho f . g = 1K th ì/ là toàn cấu. +) Neu / có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì / là đẳng cấu. iv) Cho / :X —» F là đồng cấu vành, A là một vành con của X , B là iđêan của Y thì +) f (À ) là một vành con của Y. +) / " ' ( 5 ) là một iđêan của X . Đặc biệt: Cho / : X —» Y là đồng cấu vành. Hạt nhân của / , kí hiệu là K e rf, K tĩf ={ x g X \ f ( x ) = 0ỵj . Ảnh của đồng cấu / , kí hiệu I m / = / ( x ) = Ị / ( x ) e FI x e . Khi đó +) X là vành nên I m / là vành con của Y . +) {0K} là iđêan của Y nên Kerf là iđêan của X . Vậy +) / là đơn cấu khi và chỉ khi Kevf = {0X}. +) / là toàn cấu khi và chỉ khi Im / = Y . c) Định lý cơ bản của đồng cấu vành Ngô Thị Lan Hương 6 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cho đồng cấu vành / :X —> Y, A,B tương ứng là các iđêan của X ,Y sao cho / : Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu vành sao cho biểu đồ sau giao hoán p, X, nghĩa là f p A= p Bf Pb A < /B với PA : X —> , PB:Y —>Y/ß là hai toàn cấu chính tắc. Đặc biệt: Nếu A = K erf, # = {0y} thì ^/ß = J/^Q Ị “ ^ ’ khi ^ ta có biểu đồ sau giao hoán X — »Y Xy Kerf nghĩa là f p = f với p : X —» J. là toàn cấu chính tắc. Nếu / là toàn cấu vành thì Hơn nữa / là đơn cấu và I m / = I m / . Hệ quả: Ngô Thị Lan Hương 7 K37B - Toán Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp (1) Cho / : X —» Y là đồng cấu vành thì J. = Im / . (2) Nếu / : X —» Y là toàn cấu vành thì Xỵ/g f —Y ' (3) Cho A,B là hai iđêan của X thỏa mãn B B zdA , khi đó (5 ,)■ (4) Nếu B,c là các iđêan của X thì / c n . / D o L- d) Ví dụ 1) Giả sử A là một vành con của vành X . Đơn ánh chính tắc f : A —>X ữ I—> ữ là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc. 2) Ánh xạ đồng nhất của một vành X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của X . 3) Giả sử X ,Y là hai vành, ánh xạ k:X^Y X I—>0 với 0 là phần tử không của Y là một tự đồng cấu gọi là đồng cấu không. 4) Giả sử A là một iđêan của vành một vành X. Ánh xạ h :X ^y A x\—>X + A Ngô Thị Lan Hương 8 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp là một đồng cấu từ vành X tới vành thương . Đồng cấu này còn là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc. 1.1.6. Định nghĩa miền nguyên a) Ước của một phần tử Cho X là vành giao hoán, a ,b e X , a gọi là bội của b hay a chia hết cho b , kí hiệu a \b nếu tồn tại c e X sao cho a = b c . Khi đó ta cũng nói b là ước của a , kí hiệu là b Ia . b) Ước của không Cho íỉ g X \ Ị o Ị . a gọi là ước của 0 nếu sao cho a b = 0. Khi đó, b cũng gọi là ước của không. Ví dụ: Z 6 =|Õ ,ĩ,...,5Ị,phần tử không là 0. Các ước của 0 là 2,3,4. 1.1.7. Miền nguyên a) Định nghĩa Miền nguyên là vành giao hoán có đơn vị, có ít nhất 2 phần tử và không có ước của 0. b) Ví dụ: Z,Q,M ,C là một miền nguyên. 1.2. Iđêan 1.2.1. Định nghĩa, vỉ dụ a) Định nghĩa X là một vành và / là một tập con của X. Khi đó, / gọi là iđêan của X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) / * 0 . ii) Với mọi x ,ỵ GI thì x + ỵ GỈ . iii) Với mọi r e X , a e / thì r.aG l. b) Nhận xét Ngô Thị Lan Hương 9 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp - Mỗi iđêan của một vành X khác 0 và khác X được gọi là một iđêan thực sự. - Neu X là một vành có đơn vị và iđêan I chứa một phần tử khả nghịch a thì x = aịa~^x^ GI với mọi x e X hay I = x . Vậy I = x khi và chỉ khi I chứa một phần tử khả nghịch. Từ đó, suy ra neu X là một trường thì X chỉ có hai iđêan là {0} hoặc X vì khi đó mọi iđêan khác không của X đều chứa phần tử khả nghịch. c) Điều kiện tương đương Cho X là vành, I d X , / ^ 0 . Các điều kiện sau tương đương: i) I là iđêan của X. iỉ) Với mọi a , b e l thì a - b & ỉ và X G X thì Xũ G I,ữx G /. d) Ví dụ 1) Vành X luôn có các iđêan tầm thường là iđêan không {0} và iđêan X . 2) ĨỈL = { n x i x e Z Ị là một iđêan của z . 1.2.2. Iđêan sinh bởi một tập a) Định nghĩa Cho u là tập con của vành X . Giao của tất cả các iđêan của X chứa u là một iđêan chứa u và được gọi là iđêan sinh bởi tập u . Ký hiệu: (ơ ). b) Nhận xét + ( u ) là iđêan nhỏ nhất của X chứa u . + Nếu u là tập con hữu hạn của X thì ta nói I = (u ) là iđêan hữu hạn sinh của X . Ngô Thị Lan Hương 10 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp + Nếu u = 0 thì (ơ ) = ( 0 ) = {0 }. Đặc biệt: Neu I = (a) = {ax IX e X Ị = aX thì I được gọilà iđêan chính, c) Ví dụ 1) 0 c X , X c X thì < 0 > = {0}, < X > = X. 2) Mọi iđêan của vành z là iđêan chính vì giả sử A là iđêan của z => 3n e z để A = rỉL = (rij. 3) Cho X là trường thì mọi iđêan của X là iđêan chính. 1.2.3. Iđêan cực đại a) Định nghĩa Iđêan / của vành R được gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: ỉ) I * R . ii) Không tồn tại iđêan B của R chứa / mà I ^ B,B ^ R . Hay nói cách khác, / là phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các iđêan thực sự của R . b) Ví dụ 1) Neu K là một trường thì K có duy nhất một iđêan cực đại là iđêan (0). 2) Trong vành các số nguyên z , với p là một số nguyên tố, thì (p) = là iđêan cực đại. 1.2.4. Iđêan nguyên tố a) Định nghĩa Ngô Thị Lan Hương 11 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cho R là vành, iđêan / của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu: i) I ± R . ii) Neu X. ỵ e I thì X G ỉ hoặc y e l b) Ví dụ 1) Trong vành giao hoán z , w eN * thì ĨỈL là iđêan nguyên tố của z n là số nguyên tố. Chứng minh: (=>) Giả sử nz là iđêan nguyên tố của z , n e N * => w > 1. Ta chứng minh n là số nguyên tố. Ta có, M =>n > \ =>n > 2 . Giả sử n = r.s, 1< r , s < n. n —n. l e ríL =^> r.s e rữL => re r.n _ => . 56«z s:n => r =n s —ĩl Do vậy, lĩ là số nguyên tố. (rc>2=>ftZ ^Z . Rõ ràng iđêan thực sự của Jj.. Vjc, y erili=>xy:n x:n X G ĩĩL y\n y e ỈỈL là nL là iđêan nguyên tố. 2) Trong một miền nguyên X thì iđêan {0} là một iđêan nguyên X G tố. Thật vậy, Vx, ye{0}=>xy = 0=ĩ ỊoỊ _.ye{0} Suy ra {0} là iđêan nguyên tố của miền nguyên X . c) Tính chất Ngô Thị Lan Hương 12 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp p là một iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi vành thương R = ^ /p là một miền nguyên. Do đó, mỗi iđêan cực đại là một iđêan nguyên tố. 1.3. Một số vành 1.3.1. Vành các thương (địa phương hóa) a) Tập con nhân đóng Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị. Tập con s của X được gọi là tập con nhân đóng nếu: i) 1 e S ii) Với mọi Sj, s2 e s thì SjS2 e s. Ví dụ: 1) Neu X là một miền nguyên thì X \{0} là một tập con nhân đóng của X. 2) X là vành giao hoán, có đơn vị, vành con A của X là một tập con nhân đóng. 3) Một iđêan của X là một tập con nhân đóng. b) Địa phương hóa Trên tập tích X X s, ta xét quan hệ ~ sau đấy: Với ( r ,ỉ) ,( r ',ỉ ') G X x S , ta nói ( r ,s ) ~ ( r \ s ') nếu có một phần tử Sị e S sao cho s](s’r - s r ’) = 0. Dễ dàng kiểm tra được ~ là một quan hệ tương đương. Lóp tương đương của phần tử (r, s) được kí hiệu là — hay rỵ . s Tập thương x x sỵ được kí hiệu là s !x. Trên S^X, ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau: r s Ngô Thị Lan Hương r' _ s' r + sr' s' ss' 13 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp r_ r^_ĩT_ s s' ss' Khi đó, (S^X, +, .) lập thành một vành giao hoán, có đon vị là ỳ ị , gọi là các thương của X theo s. Nó cũng được gọi làđịa phương hóa của vành X theo s. 1.3.2. Vành địa phương a) Định nghĩa Vành giao hoán X chỉ có duy nhất một iđêan cực đại gọi là vành địa phương. Chú ý: + Phần tử 0 của S ’R là — và —= —, Vs £ s. 1 1 5 1 1 s + Phần tử 1 của S'JR là - và 7 = —, 1 1 5 G5. b) Ví dụ 1) Trường X là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là iđêan {0}. 2) Vành z không là vành địa phương vì p L (/7 là số nguyên tố) là các iđêan cực đại của z . 1.3.3. Vành nhân tử hóa a) Phần tử bất khả quy: Cho X là một miền nguyên, phần tử a e X \ Ịo} và khác khả nghịch được gọi là bất khả quy nếu a không có ước thực sự. b) Vành nhân tử hóa: là một miền nguyên trong đó, mọi phần tử khác không đều có phân tích duy nhất ra các phần tử bất khả quy. 1.3.4. Vành Noether Ngô Thị Lan Hương 14 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 - Khóa luận tốt nghiệp Một vành giao hoán, có đơn vị được gọi là vành Noether nếu mọi iđêan của nó đều là hữu hạn sinh, tức là tồn tại một tập sinh hữu hạn phần tử. 1.3.5. Căn của vành Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, A là iđêan của X. Căn của vành A kĩ hiệu là Rad(A) = G X 13n e N : x" G a Ị. Ta có {0} là iđêan của X. Khi đó căn của {0} được gọi là căn lũy linh của X và kí hiệu là Rad(X): R ad(X ) = { x e X l3 n eN * :x " = 0 } Mỗi phần tử của Rad(X) được gọi là phần tử lũy linh của X. 1.4. Trường 1.4.1. Định nghĩa trường a) Phần tử khả nghịch Phần tử u s X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1 tức là 3v G X: uv = 1. b) Định nghĩa Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều tồn tại phần tử nghịch đảo. Hoặc cho X là một vành, X là trường nếu X* = X \ {0} cùng với phép nhân là một nhóm aben. c) Ví dụ + Q,M,C là các trường số. + Với n là số nguyên tố thì Z ;| là một trường. 1.4.2. Trường con a) Định nghĩa Ngô Thị Lan Hương 15 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Cho X là một trường, A Ỷ 0 , A cho ta mở rộng h trên B/ /p — >c r [ x ~]J. 2.1.3. Hệ quả Ngô Thị Lan Hương 24 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử X là một vành con của trường K, c là một trường đỏng đại số nào đó, h: X —> c là một đong cấu, và R là vành con tối đại của K, trên đó h có thế mở rộng như một đồng cấu vào c. Khỉ đó R là vành địa phương, và nếu X G K, X Ỷ 0, thì X G R hoặc X 1 G R. Chứng minh: Giả sử s là tập các cặp (D, g) trong đó D là một vành con của K chứa X, và g: D —» c là đồng cấu mở rộng của /. Thế thì s Ỷ 0 (v ì nó chứa (X, /)) và được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm và thu hẹp. Nói cách khác, ta có (D, g) < ( D \ g r) nếu D 0, p là đa thức bất khả quy trên K\ m, n là đa thức bất kỳ trong &(x) không chia hết cho p. 4. Cho K = k{Kx), vành định giá R là tập họp tất cả các phân thức hữu tỷ / / g e& (x)sao cho deg/ < deg g. 5. Cho K là vành của các chuỗi Laurent. Một phần tử khác 0 của K có oo dạng / = a x ‘vởi dị t k , r &rL ,a r ^0,Ả:là trường. Ta có thể viết /=/■ / = arx' g , ở đó g thuộc vành R = [[*]] của các chuỗi lũy thừa hình thức trên k. Hơn nữa, số hạng không đổi của g là 1, suy ra / c ó thể nghịch đảo được (bằng phép chia). Do vậy, R là một vành định giá của K. 2.3. Định lý về sự mở rộng cực đại. Cho R là một vành con của trường K và h: R —>c là một đồng cấu vành từ R vào trường đóng đại sô c thì h có sự mở rộng cực đại (V,h). Nói cách khác, V là một vành con của K chứa R, h là một mở rộng của h và sự mở rộng này là duy nhất. Khi đó, V là một vành định giá của K. Chứng minh: Cho s là tập các cặp (Rị, hj), Rị là một vành con của K, Rị ZDR, hị là một mở rộng của h trên Rị. Tập s sắp thứ tự bộ phận (Rị, hị) < (Rj, hj) Rị là một vành con của Rj và hj hạn chế trên Rị trùng với hị. Áp dụng bổ đề Zom, ta có một mở rộng cực đại (V ,h). Neu i e Ả r \Ịo Ị thì do (2.1.1), h cũng có một mở rộng trên v [ x ] hoặc v [ x Do tính cực đại nên v[x] = V hoặc ^[-X-1] = V. Do vậy, i g V , hoặc g V. 2.4. Tính chất của vành định giá. Cho V là vành định giá của trường K. Ngô Thị Lan Hương 26 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1. Trường các thương của V là K. Thật vậy, vì một phần tử X G K \ |0 j có thể được viết là hoặc Y - \ • 2. Vành con của K chứa V là một vành định giá của K. Điều này suy ra từ định nghĩa của vành định giá. 3. V là một vành địa phương. Ta sẽ chỉ ra rằng tập M không đơn vị của V là một iđêan. Thật vậy, nếu a và b là khác 0, khác đơn vị thì a /b & v hoặc b/a& v. + Nếu a /b & v thì a + b = b(\ +a/b) e M (vì nếu b(\ + a/b) là đơn vị thì b là đơn vị). + Tương tự, nếu b/a g V thì a + b e M . Nếu r e V và a G M thì ra G M, ngược lại, a sẽ là đơn vị. Do vậy, M là một iđêan. 4. V là miền đóng nguyên. Thật vậy, cho x< e K \{ 0 } , X nguyên trên V. Ta có: x" + cn_jX/ỉ_1 +... + Cjjt + c0 = 0,c. e V. Ta phải chỉ ra x e V vì nếu không x" ' g V. Nhân phương trình trên với được: x =-cn_ị -Cn_2JC_l - ...-CjX_("_2) -C0JC_('’_1) EV. 5. Neu / và J là các iđêan của V thì / c / hoặc i c / . Do vậy, các iđêan của V được sắp thứ tự toàn phần bởi phép hợp. Chứng tỏ J ỢL ỉ. Chọn a thuộc ỉ \ J ( a Ỷ 0). Nếu b e J ta phải chỉ ra b e /. Nếu b = 0 ta có điều phải chứng minh. Giả sử b ì 0 ta có b /a & v (ngược lại aỊb e V thì a = {a/b)b e / (mâu thuẫn)). Bởi vậy, b = (b /a )a G Ĩ. 6. Ngược lại, cho V là một miền nguyên với trường các thương K. Neu các iđêan của V được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm thì V là một vành định giá của K. Ngô Thị Lan Hương 27 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Thật vậy, nếu xeẢT\{0} thìx = a/b; a,b khác phần tử 0 của V. Theo giả thiết, (a)c(£>) vì aỊb& V hoặc (z?)c(a) vì bịa& v. 7. Neu p là iđêan cực đại của vành định giá V thì Vp và v/p là vành định giá. Thật vậy, nếu K là trường các thương của V thì nó cũng là trường các thương của Vp. v/p là miền nguyên do đó nó có một trường các thương. Theo tính chất 5, các iđêan của V là sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên nó đúng với Vp và v/p. Kết quả suy ra từ tính chất 6. 8. Nếu V là một vành định giá Noether thì V là một iđêan chính (PID). Ngoài ra với số nguyên to p e V, mỗi iđêan có dạng (/?'"), m > 0. Với p bất kì, P l ( pm) = 0. Vì V là vành Noether, một iđêan I của V được sinh ra m=ì hữu hạn bởi a x,a 2,...,an. Theo tính chất 5, ta có thế đánh so a ■sao cho (ữ 1) c ( a 2) c . . . c ( ữ n).Nhưng khi đó I c ( o (i) c I nên I = (« „). Mặt khác, iđêan cực đại M của V là (p) (với p là số nguyên tố), vì M là iđêan nguyên tố. Nếu (ứ) là một iđêan bất kì thì (ữ)= V, a là đơn vị. Giả sử a không đơn vị với ũ g M. Khi đó p chia hết a , a = pb. Nếu p là không đơn vị thì p chia hết b và ta có a = p 2c. Tiếp tục bằng quy nạp và sử dụng giả thiết V là iđêan chính suy ra V là vành nhân tử hóa. Ta có a = p mu với m nguyên xác định và u là đơn vị. Do đó, (ứ) = (//" ). Nếu (à) G ( p m) với mọi m > 1 thì p m chia hết a . Lại có, sự nhân tử hóa là duy nhất nên ta phải có a = 0 (chú ý nếu a là đơn vị thì a = p, mâu thuẫn). Ngô Thị Lan Hương 28 K37B - Toán Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 9. Cho R là một vành con của trường K. Miền đóng nguyên R của R trong K là giao của tất cả các vành định giá V của K với R c V . Neu CL£ R thì a nguyên trên R, do vậy a nguyên trên vành định giá bất kì V d ì?. Mà V là miền đóng nguyên do tính chất 4 nên a G V. Trái lại, ta có a e R. Khi đó, a m in (r,r') = min ( v( prm / n),v(pr m l rì)). Suy ra điều phải chứng minh. Tương tự, trong ví dụ 3, đặt v(f/g) = deg g - deg f. Trong ví dụ 4, 00 đặt v( ^ a x ' ) = r (nếu ar Ỷ 0). Ta xác định được các định giá rời rạc. i= r Ngô Thị Lan Hương 31 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 3.2. Mệnh đề Neu Vlà một định trị rời rạc trên trường K thì V = Ịa e K: v(a) > OỊ là một vành định giá với ỉđêan cực đại M = Ịa e K: v(a) > 1}. Chúng minh: Theo sự xác định của các tính chất (a), (b), (c) của (3.1.2), ta có V là một vành. Neu a 0. Suy ra, ã 1 G V. Chứng tỏ V là vành định giá. Vì a là đơn vị của V nên nếu cả a và ã 1 G V thì v(a) = 0. M là iđêan không đơn vị và là iđêan cực đại của vành định giá V. 3.3. Định nghĩa vành định giá rời rạc Các định giá rời rạc không xác định tất cả các vành định giá. Một vành định giá bất kì tương ứng một giá trị tuyệt đối tổng quát ánh xạ vào một nhóm sắp thứ tự không nhất thiết là các số thực. Ta sẽ không xem xét trường hợp tổng quát vì ta chỉ nghiên cứu định giá rời rạc là đủ. Một vành định giá V sinh ra từ một định giá rời rạc V như trong (3.2) được gọi là một vành định giá rời rạc viết tắt là DVR. 3.4. Chuẩn hóa 3.4.1. Định nghĩa chuẩn hóa Một phần tử t G V với v(t) = 1 được gọi là chuẩn hóa hoặc phẩn tử nguyên to. Chú ý: Chuẩn hóa tồn tại do V là toàn ánh. Một chuẩn hóa cho ta biết nhiều về vành định giá rời rạc và trường K. 3.4.2. Mệnh đề Cho t là một chuấn hóa trong vành định giá rời rạc V thì t sinh ra ỉđêan cực đại M của V. Đặc biệt, M là iđêan chính. Trái lại, nếu t ’ là phần tử sinh của M thì t ’ là chuấn hóa. Chúng minh: Ngô Thị Lan Hương 32 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Vì M là iđêan cực đại duy nhất, suy ra (t) M. Nếu a e M thì v ( a ) > l nên v(W_1) = v ( a ) - v ( í ) > 1 - 1 = 0 . Suy ra, at~' g V, ngược lại a e (t). Giả sử M = ậ ’). Vì t e M ta có t = c t’ với c e V. Do đó, 1 = vịt) = v(c) + v(t’) >0 + 1 = 1 do đó v(t’) = 7. 3.4.3. Mênh đề Neu t ỉà chuan hóa thì mọi phần tử a khác 0, a G K có thế biếu diên duy nhất là a = u f, u là đơn vị của V, n G z . Cũng có K = Vf, K = S ''v với s = Ịì, t, t 2, . . . , } . ChÚTằg minh: Cho n = v(a) sao cho v(af) = 0 suy ra a f là đơn vị u. Neu a = utn thì v(a) = v(u) + nv(t) = 0 + n = n. Do đó, u được xác định bởi a. K = V[ được suy ra từ tính chất 1 của vành định giá và ta có các phần tử của Vđều có giá trị n > 0. Ket quả này cũng đúng với các iđêan. 3.5. Mệnh đề Với mọi ỉđêan I Ỷ 0 của vành định giá rời rạc V thì đều có dạng Mn, ở đó M là iđêan cực đại V và n là so nguyên. Ta viết v(I) = n, theo giả thiết M° = V. Chứng minh: Chọn a G I sao cho n = v(a) là số nhỏ nhất có thể. Theo (3.4.3), a = utn nên f = ũ ằa e ỉ. Theo (3.4.2), M = (t) suy ra M n cr/. Cho b e I với v(b) = k > n (do tính nhỏ nhất của n). Theo chứng minh của (3.4.3), bt'k là đơn vị u ’ nên b = u ’tk. Vì k > n ta có b G(tn) = M n. Chứng tỏ I czMn. Tính duy nhất của n là hệ quả của bổ đề Nakayama. Ngô Thị Lan Hương 33 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Nếu ư = M' với r < s thì M’ = Mr+I = M.M’. Do đó Mr = 0, mâu thuẫn với giả thiết IỶO. 3.6. Độ dài dãy họp thành Cho I là iđêan khác 0 của vành định giá R thì v(I) = ỉr(R/I) là độ dài dãy hợp thành của R - môđun R/I. Chúng minh: Do (3.5), ta có R =,M =,M2= ỉ. Do đó, m 3 MỈỈ 2 M2/ Ỉ 3 .. .3 M '/ l = 0. Do tính chất cơ bản của độ dài dãy hợp thành ta có, / = lR thì l ( R / ỉ ) = l ( ^ - ) + l(M / / ) = / ( / ? / M) + l ( ^ / - ) + / ( M2/ / ) . M /ỉ M // Tiếp tục quá trình trên ta được l ( R/ = ! M M)- i=0 VI M sinh bởi một chuẩn hóa, suy ra ỉ + M i+I sinh ra M'/Mi+I. Vì M'/Mi+I được triệt tiêu bởi M, nó là một R/M - môđun, và là một không gian vectơ trên trường R/M. Không gian vectơ là một chiều vì Af (i=0, 1, ...,n) là phân biệt (xem chứng minh của (3.5)). Do đó, l(R/I) = n. Ta sẽ chứng minh một định lý đặc trưng của vành định giá rời rạc và một vài kết quả sơ bộ cần tới. 3.7. Mệnh đề Cho I là một iđêan của vành Noether R. Với số nguyên dương m, ta có (n /7)"' c / . Đặc biệt, khi I = 0 ta có Võ được gọi là căn lũy lỉnh của R. Kí hiệu: Rad(R). Chứng minh: Ngô Thị Lan Hương 34 K37B - Toán Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Vì R là vành Noether, V7hữu hạn sinh bởi aị,...,an với a"' E I thì c được sinh bởi tích a r\..jarỊ với r-m. i= ì Chọn m = ì + ^ ( n . -1). Ta có r, > nh với ỉ nào đó. Vì nếu /=] r l . Do đó, 1 = l k = (m + r b f = mk + sb, se R. Nhân 2 vế với a ta được a = am + sab £ I. 3.8.2. Mệnh đề Cho M là một iđêan cực đại của vành Noether R v à Q l à iđêan bất kỳ của thì các mệnh đề sau tương đương: 1. Q là M - nguyên sơ. 2. 7 ẽ = w . 3. Tồn tại n nguyên duơng, M l (2) Theo định nghĩa M - nguyên sơ. (2) => (1) Suy ra từ bổ đề (3.8.1). Ngô Thị Lan Hương 35 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp (2) => (3) Từ kết quả (3.7) với ỉ = Q, tồn tại n nguyên dương ta có M" £ q £ J q = m . (3) => (2): Ta thấy do M là iđêan cực đại nên M là iđêan nguyên tố, suy ra yjMn =M với mọi n > l . Suy ra M =\ I m ìi cz yịọ cz \[h4 = M . 3.9 Định lý về điều kiện tương đương của vành định giá ròi rạc. Cho R là một miền địa phương Noether, một chiều. M là ỉđêan cực đại của K, k = R/jyj là trường thương. Các mệnh đề sau là tương đương: 1. R là một vành định giá rời rạc. 2. R là một miên đóng nguyên. 3. M là iđêan chính. 5. Mọi iđêan khác 0 là một lũy thừa của M. 6. Tồn tại X e R sao cho mọi ỉđêan khác 0 có dạng (xk'), k>0. Chứng minh: Trước tiên ta thực hiện 2 bước: (A): Nếu R /à một iđêan khác 0 thì R là M - nguyên sơ và R 3 M \ n bất kì. Vì M là iđêan nguyên tố khác 0 duy nhất nên sl~R = M. (B): Do R là một miền địa phương Noether và M là iđêan cực đại nên M " Ỷ ư ì+l, Vn > 0. (1) => (2): Suy ra rừ tính chất của vành định giá. (2) => (3): Cho a e M và a Ỷ 0. Theo bước (A), tồn tại một số nguyên n sao cho Mn c (a), M"'7 ỢL (a). Chọn b e Mn'1 và b Ể (a), cho X = a/b e K, K là trường các thương của R. Ta có X 7 Ể R (vì b Ể (a)) => x '1 không nguyên trên R. Do vậy, x^M ỢL M (vì nếu x']M cz M thì M là Ngô Thị Lan Hương 36 - môđun, K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp R[x'1] - môđun được sinh hữu hạn như môđun R). Nhưng x '!M c: R do = R, M = Rx = (x). cách xác định X (3) => (4): Theo (B) thì M/M2 ì 0, lại có dimK(M/M2) < 1 suy ra dimK(M/M2)=l. (4) => (5): Cho R là một iđêan í 0. Theo bước (A) có R =2 M l với n bất kì, dimK(R/Mn) < 1. Do đó, R là lũy thừa của M. (5) =í> (6): Theo bước (B), M Ỷ M 2 ^ € M, X Ể M2. Mà (x) = ư theo giả thiết, do đó r - 1, (x) = M, (.xk) = Mk. (6) => (1): Rõ ràng (x) = M, do đó (xk) Ỷ (xk+Ị) (theo bước (B)). Nếu a là một phần tử khác 0 nào đó của R ta có (a) = (*?), k bất kì. Xác định v(à) = k và mở rộng Vtới K* bằng cách xác định v(ab']) = v(a) - vịb). Kiểm tra rằng, Vlà cách biểu diễn tốt nhất và là một định giá rời rạc. Vậy R là một vành định giá của Vhay R là một vành định giá rời rạc. 3.10. Hệ quả Vành R là một vành định giá rời rạc khi và chỉ khi R là một miên ỉđêan chính địa phương. 3.11. Hệ quả Cho R là một vành định giá rời rạc với iđêan cực trị M. Neu t thuộc M/M2 thì t là chuẩn hóa. Ngô Thị Lan Hương 37 K37B - Toán Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Nghiên cứu đề tài này dựa trên kiến thức cơ bản về Đại số đại cương, luận văn đã đưa ra lý thuyết phù hợp để giải quyết ngắn gọn các sự kiện cơ bản liên quan tới vành định giá. Như vậy đề tài “Vành định giá” đã hoàn thành nội dung và mục đích nghiên cứu. Bước đầu làm quen với tài liệu nghiên cứu khoa học, do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Ngô Thị Lan Hương 38 K37B - Toán [...]... ịã 1) = v(]) —v(a) = 0 - v ( a) > 0 Suy ra, ã 1 G V Chứng tỏ V là vành định giá Vì a là đơn vị của V nên nếu cả a và ã 1 G V thì v(a) = 0 M là iđêan không đơn vị và là iđêan cực đại của vành định giá V 3.3 Định nghĩa vành định giá rời rạc Các định giá rời rạc không xác định tất cả các vành định giá Một vành định giá bất kì tương ứng một giá trị tuyệt đối tổng quát ánh xạ vào một nhóm sắp thứ tự không... g V , hoặc g V 2.4 Tính chất của vành định giá Cho V là vành định giá của trường K Ngô Thị Lan Hương 26 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1 Trường các thương của V là K Thật vậy, vì một phần tử X G K \ |0 j có thể được viết là hoặc Y - \ • 2 Vành con của K chứa V là một vành định giá của K Điều này suy ra từ định nghĩa của vành định giá 3 V là một vành địa phương Ta sẽ chỉ ra rằng... là vành địa phương nếu go được mở rộng tới vành địa phương xác định bởi hạt nhân của nó và nếu XG K \ Ịo} thì hoặc x e R , hoặc X-1 e R 2.2 Định nghĩa vành định giá 2.2.1 Định nghĩa Một vành con R của một trường K là một vành định giá của K nêu mọi phần tử X Ỷ 0, X g K thì X G R hoặc X 1 G R 2.2.2 Ví dụ 1 Trường K là vành định giá của chính nó 2 Cho K = Q , p là số nguyên tố không đổi Vành định giá. .. quát vì ta chỉ nghiên cứu định giá rời rạc là đủ Một vành định giá V sinh ra từ một định giá rời rạc V như trong (3.2) được gọi là một vành định giá rời rạc viết tắt là DVR 3.4 Chuẩn hóa 3.4.1 Định nghĩa chuẩn hóa Một phần tử t G V với v(t) = 1 được gọi là chuẩn hóa hoặc phẩn tử nguyên to Chú ý: Chuẩn hóa tồn tại do V là toàn ánh Một chuẩn hóa cho ta biết nhiều về vành định giá rời rạc và trường K 3.4.2... Ngô Thị Lan Hương 29 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 3 VÀNH ĐỊNH GIÁ RỜI RẠC 3.1 Định nghĩa định giá rời rạc 3.1.1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối Một giá trị tuyệt đối trên trường K là một ánh xạ K -> R X llxll sao cho Vx,y e K thì: 7.11x11 >0, 11*11=0 o x = 0 2 Ilx y ll = Ib d l.lly lL 3 lU + yll ) vì aỊb& V hoặc (z?)c(a) vì bịa& v 7 Neu p là iđêan cực đại của vành định giá V thì Vp và v/p là vành định giá Thật vậy, nếu K là trường các thương của V thì nó cũng... x ' ) = r (nếu ar Ỷ 0) Ta xác định được các định giá rời rạc i= r Ngô Thị Lan Hương 31 K37B - Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 Mệnh đề Neu Vlà một định trị rời rạc trên trường K thì V = Ịa e K: v(a) > OỊ là một vành định giá với ỉđêan cực đại M = Ịa e K: v(a) > 1} Chúng minh: Theo sự xác định của các tính chất (a), (b), (c) của (3.1.2), ta có V là một vành Neu a c là đồng cấu... + ỵ\\ mỉn (v(x), v(y)) Một định giá rời rạc cảm sinh một giá trị tuyệt đối khôngÁc-simet... Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 3 Cho K = k[x], k là một trường nào đó Khi đó, vành định giá R của K là tập hợp tất cả các hàm số có dạng p' m / n , ở đó r > 0, p là đa thức bất khả quy trên K\ m, n là đa thức bất kỳ trong &(x) không chia hết cho p 4 Cho K = k{Kx), vành định giá R là tập họp tất cả các phân thức hữu tỷ / / g e& (x)sao cho deg/ < deg g 5 Cho K là vành của các chuỗi Laurent ... iđêan không đơn vị iđêan cực đại vành định giá V 3.3 Định nghĩa vành định giá rời rạc Các định giá rời rạc không xác định tất vành định giá Một vành định giá tương ứng giá trị tuyệt đối tổng quát... VÀNH ĐỊNH GIÁ 23 2.1 Định lý mở rộng 23 2.2 Định nghĩa vành định giá 25 2.3 Định lý mở rộng cực đại .26 2.4 Tính chất vành định giá 26 CHƯƠNG VÀNH ĐỊNH GIÁ... định v(à) = k mở rộng Vtới K* cách xác định v(ab']) = v(a) - vịb) Kiểm tra rằng, Vlà cách biểu diễn tốt định giá rời rạc Vậy R vành định giá Vhay R vành định giá rời rạc 3.10 Hệ Vành R vành định